下载文档原格式
二次根式中考题型面面观李培华某某省化州市文楼中学 525136二次根式是代数式中的重要部分，是历年各省市中考的必考内容。
但是，有些同学对其中考题不熟悉，往往望而生畏。
本文将结合往年各省市中考题归纳其有关题型，希望能对同学们备考有所帮助。
考点1——考查二次根式的有关定义（1）最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
（2）同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。
例1（1999年某某市中考题）：下列根式中最简二次根式的个数有（ ）22x 、2ab 、53xy 、)(522b a -、3375y x 、22y x +、c y 22 A2个 B3个 C4个 D5个 解：x x 222= 222ab ab = xy xy y x 357533=cc y c y 222= ∴由最简二次根式的定义得，53xy 、)(522b a -、22y x +是最简二次根式 故正确选项为B例2（2005年市中考题）：下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A 24B 12C 23 D 18 解：6262242=⨯= 3232122=⨯=26222323=⨯⨯=2323182=⨯=∴正确选项为B 例3（2006年某某市中考题）：如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a _____解： 最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式a a 21783-=-∴解得5=a小结：把一个二次根式化为最简（同类）二次根式的一般步骤： ①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，绝对值小于1的小数化为真分数；②被开方数是多项式的进行因式分解；③使被开方数不含分母；④将被开方数中开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；⑤化去分母中的根号（即分母有理化）考点2——考查二次根式有意义的非负性质 二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a ②二次根式a 是非负数，即0≥a例4（2006年某某市中考题）：能使等式22-=-x x x x 成立x 的取值X 围是（ ）A 0>x B 2=x C 2>x D 2≥x 解：要使22-=-x x x x 就要x 满足以下条件：0≥x ①，02>-x ②，解①②得：2>x ，故正确选项为C例5（2003年某某市中考题）：化简x x ---+11的结果是（ ） A x +12 B x ---12 C0 D 无法化简 解：由x +1和x --1有意义得：01≥+x ①，01≥--x ②，解①②得：1-=x 此时011=---+x x ，故选C例６（2007年某某市中考题）：已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，某某数x y 的负倒数。
2010中考数学基础知识复习回顾一、数与式1、实数的分类正整数整数 零有理数 负整数 正分数 实数 分数负分数正无理数无理数 负无理数 注意：(1)实数还可按正数，零，负数分类．(2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n 为整数)表示；奇数一般用2n -1或2n +1(n 为整数)表示．(3)正数和零常称为非负数．2、数轴上的点和实数一一对应，如何在数轴上找到无理数所对应的点。
3、⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=．，，)0()0(0)0(a a a a a a注意： (1)0≥a ．(2)零的绝对值是它的本身，也可看成它的相反数，如：若，a a =则0≥a ；若0≤-=a a a ，则． (3)正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．4、有效数字和科学记数法（1）一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字．（2）把一个数记成n a 10⨯±的形式，其中：n a ，101<≤是整数，这种记数法叫做科学记数法注意：如果这个数的整数数位不比要求保留的有效数字多，则可以直接用四舍五入表示出来；如果整数数位比有效数字多，一定要先用科学记数法表示，然后四舍五入表示．例如15876保留两位有效数字是1.6×104，而不能写成16000．5、⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a注意：a 的“双重非负性” ：⎩⎨⎧≥≥．，00a a6、n 次方根、n 次算术根：如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ，那么这个数就叫做a 的n 次方根，即如果a x n=，那么x 就叫做a 的n 次方根．根指数是偶数的方根叫做偶次方根．根指数是奇数的方根叫做奇次方根．注意：(1)正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；零的偶次方根为零；负数没有偶次方根．(2)正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零．(3)n 为奇数，则nna a -=-．正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根．零的n 次方根也叫做零的n 次算术根．n a 有“双重非负性” ：0≥a ；0≥na ．7、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的． 8、用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．9、乘法公式：①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-； ③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+；④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．10、10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．11、因式分解的常用方法（1）提公因式法： （2）运用公式法： （3）分组分解法： （4）十字相乘法：因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．12、当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．13、二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a ．(2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a(3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ． (4))0,0(>≥=b a bab a ． 二、方程（组）不等式（组）1、如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．如方程23=-x 与方程102=x 就是同解方程．2、一元二次方程的一般形式是：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项． 3、一元二次方程的解法直接开平方法： 配方法： 公式法 因式分解法：4、一元二次方程根的情况与判别式 ∆ 的关系：(1)判别式定理：∆>0⇒方程有两个不相等的实数根； ∆=0⇒方程有两个相等的实数根； ∆<0⇒方程没有实数根；∆⇒≥0方程有两个实数根．(2)判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根⇒∆>0； 方程有两个相等的实数根⇒∆=0； 方程没有实数根⇒∆<0； 方程有两个实数根⇒∆≥0．5、分式方程的一般解法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” ．它的一般解法是：(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母； (2)解所得的整式方程；(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于0就是增根，应该舍去；若不等于0就是 原方程的根．6、二元一次方程组的解法(1)代入消元法： (2)加减消元法：7、三元一次方程组的解法三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．解三元一次方程组的一般步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解．8、一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：(1)a x >如图中A 所示：(2)a x <如图中B 所示：(3)a x ≥如图中C 所示：(4)a x ≤如图中D 所示：9、求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找．三、函数及其图像1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标特征：（1）点P 与点'P 关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）点P 与点''P 关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）点P 与点'''P 关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数．2、点(),P x y 到坐标轴及原点的距离(如图)：(1)点P (x ，y )到x 轴的距离等于|y |；(2)点P (x ，y )到y 轴的距离等于|x |；(3)点P (x ，y )到原点的距离等于22y x +3、一般的，如果b kx y +=(b k ,是常数，0≠k )，那么y 叫做x 的一次函数．特别的，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =(k 为常数，0≠k )．这时，y 叫做x 的正比例函数．4、一般的，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k >0时，y 随x 的增大而增大； （2）当0<k 时，y 随x 的增大而减小．5、设直线1l 和2l 的解析式为11b x k y +=和22b x k y +=，则它们的位置关系可由其系数确定：；；．6、一般的，如果)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，那么，y 叫做x 的二次函数．(1)一般式：c bx ax y ++=2(0≠a )．(2)顶点式：k h x a y +-=2)((0≠a )，其中ab ac k a b h 44,22-=-=．(3)两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标．如果没有交点，则不能这么表示．7、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点相交与2121l l k k ⇔≠平行与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧≠=重合与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧==处取得最大值(或最小值)，即当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性．如果在此范围内，y 随x的增大而增大，则2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x=时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大；当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．8、反比例函数中比例系数的几何意义过反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，则所得的矩形PMON的面积xy x y PN PM S=⋅=⋅=．x k y = ，k xy =∴．k S =∴．即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为k．四、统计与概率1、平均数的概念：①平均数：一般的，如果有n 个数1x ，2x ，…n x ，那么，nx1=(1x +2x +…+n x )叫做这n 个数的平均数，x读作“x 拔” ．②加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次(这里n f f f n =+++ 21)，那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为nf x f x f x x k k +++= 2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中1f ，2f ，…k f 叫做权． 2、平均数的计算方法：①定义法:当所给数据1x ，2x ，…n x 比较分散时，一般选用定义公式：nx 1=（1x ＋2x ＋…n x ）． ②加权平均数法:)(12211k k f x f x f x nx +++=，其中1f +2f +…+k f =n ．当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式： ③新数据法:当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='．其中，常数a 通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='， )'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数(通常把1x ，2x ，…n x 叫做原数据，1'x ，2'x ，…n x '叫做新数据)．3、统计学中的几个基本概念总体：所要考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中每一个考察对象叫做个体．样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数．在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数．注意：(1)弄清考察对象是明确总体、个体、样本的关键，这里考察对象指的是数据．(2)总体或样本中的每个数据都是一个个体，不同的个体在数值上是可以相同的，样本中有多少个个体，样本容量就是多少．4、方差的计算：(1)基本公式：()()()[]2222121x x x x x x ns n -++-+-=．(2)简化计算公式(I)：])[(12222212x n x x x ns n -+++=． 也可写成2222212)(1x x x x n s n -+++= ．此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．(3)简化计算公式(II)：]')'''[(12222212x n x x x ns n -+++= ．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…a x x n n -='，那么，])'''[(12222212x n x x x ns n'-+++= ，也可写成 2222212)(1x x x x ns n '-'++'+'= ．此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．(4)新数据法：原数据1x ，2x ，…，n x 的方差与新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…a x x n n -='的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得1'x ，2'x ，…n x '的方差就等于原数据的方差．五、三角形1、三角形的主要线段：（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点 （内心）；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．（2）在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点（重心）；二是三角形的中线是一条线段． （3）从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线．三条高线相交于一点（垂心）。
第六期三角形三角形、三角形的全等和等腰三角形是几何知识的基础，也是中考的重点知识，在中考中的出现形式也比较新颖，有探索题、开放题，分值一般在6-9分左右，有时还会与相似相结合。
知识梳理知识点1：三角形例1：如图所示，图中三角形的个数共有（）A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个思路点拨：.图中的三角形有△ABD, △ACD，△ABC，注意若BC 边上有多个点，A点与这些点连接后，用分类方法来寻找三角形则简单些.答案：C．例2：下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．1cm， 2cm， 5cm B．4cm， 8cm， 12cmC．5cm， 5cm， 15cm D．6cm，8cm， 9cm思路点拨：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.答案：D．例3：如图，在△ABC中，∠A＝ ．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝．思路点拨：根据外角的性质∠A=∠ACD-∠ABC, ∠A1=∠A1CD-∠A1BC,,而且∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，所以∠A=2∠A1，同理∠A1=2∠A2，以此类推.答案：20092练习1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1cm， 2cm， 3．5cm B．4cm， 5cm， 9cm C．5cm，8cm， 15cm D．6cm，8cm， 9cm2.如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，延长CB到D ，则∠ABD＝度．答案：1. D 2. 100°最新考题1．（2009·山西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.52.（2009·福建省龙岩市）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．（2009·辽宁省铁岭市）如图所示，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°，则E ∠的度数为（????）A ．??°??????B ．??°??????C ．??°??????D ．°例 ：如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ）A ．60B ．50C ．45D ．30 答案：A 例 ：如图 ，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠=__________度．思路点拨：折叠得到全等图形，对应的边、角相等，等腰三角形判定与性质。
热点专题五图形与变换、图形与坐标【考点聚焦】本专题包括“图形与变换”、“图形与坐标”两块内容，通过对近几年各地的中考试题的研究发现，对有关图形的轴对称、平移、旋转、相似、图形与坐标等知识点的考查呈发展趋势，题型以选择、填空、作图、解答等多面孔出现．1．图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；能利用轴对称进行图案设计．2．图形的平移：通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；能按要求作出简单平面图形平移后的图形；利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．3．图形的旋转：通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．4．图形的相似：了解比例的基本性质，能通过具体实例了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质；了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；了解图形的位似；利用相似解决一些实际问题；通过实例认识锐角三角函数；运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题．5．图形与坐标：认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化，灵活运用不同的方式确定物体的位置．热点1：轴对称图形和中心对称图形的识别例1（2008郴州）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）分析：把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转180后能与自身重合，则该图形为中心对称图形，因此，可知（C）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B）、（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；解：选（A）．点评：判断一个已知图形是不是轴对称图形或中心对称图形的关键是能否找到对称轴或对称中心，另外对于一些常见的几何图形要能对其对称性正确作出判断，而且要能掌握它的对称轴．对称中心分别是哪些直线和什么样的点，轴对称是中学数学的一个重要内容，也是中考的重要考点之一．热点2：利用图形变换的知识求作图形、设计图案等问题例2（2008长沙）如图1是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：（1）作出关于直线AB 的轴对称图形；（2）将你画出的部分连同原图形绕点O 逆时针旋转90；（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．分析：本题综合考查了图形变换的几个知识点．无论作轴对称图形，还是旋转作图，画出关键点变化以后的位置，再连线，是解决这类问题的基本方法．解：略．点评：本题立意新颖，综合性强，将图形变换知识的考查趣味化，解题的关键是认真审题，发现规律．利用平移与旋转来设计图案，实质上也是平移与旋转的特征的应用．热点3：图形与坐标知识，建立适当的直角坐标系描述物体的位置、图形的变换与坐标的变化、用不同的方式确定物体的位置例 3 （2008岳阳）如图2，在一个1010 的正方形DEFG 网格中有一个ABC △．（1）在网格中画出ABC △向下平移3个单位得到的222A B C △；（2）在网格中画出ABC △绕Ｃ点逆时针方向旋转90得到的222A B C △；（3）若以EF 所在直线为x 轴，ED 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，写出1A ，2A 两点的坐标．分析：在坐标平面内描出相应的点，是基本的教学目标，是画好图象的基础和前提，千万不可小视．解：（1）、（2）见图；（3）1(82)A ，，2(49)A ，，点评：图形与坐标的考查淡化了坐标的代数性质，强调了坐标与图形的联系，形式多样，一般不难．一般以作图题题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征．热点4：突出“双基”，灵活考查相似三角形的判定例4 （2008永州）如图3，添上条件：____________，则ABC ADE △∽△．解：BC DE ∥或ABC ADE ∠=∠或AB AC AD AE=等． 分析：这类考题题干简单，但是要求同学具备一定的探究能力，注意观察图形，还要对相似三角形的判定条件能够熟练掌握才能顺利答题，这类考题是基础型考题．热点5：相似三角形与圆当中的有关知识结合，灵活运用三角形相似解题． 例5 （2008张家界）如图4，已知AB 为圆O 的弦（非直径），E为AB 的中点，EO 的延长线交圆于点C ，CD AB ∥，且交AO 的延长线于点D ，:1:2EO OC =，4CD =，求圆O 的半径．分析：本考题先利用三角形相似求一边长，又利用直角三角形的勾股定理求半径．解：∵E 是AB 的中点，∴OE AB ⊥，即90AEO ∠=，∵AB CD ∥，∴90OCD ∠=．∵AOE DOC ∠=∠，∴AOE DOC △∽△，∴::1:2AE DC OE OC ==，∴122AE CD ==， 又∵2OA OC OE ==，而222AE OE OA +=，224(2)OE OE +=，OE =，圆O 的半径22OA OE === 点评：转化的思想方法是数学的基本思想方法之一，圆当中求关于弦、半径等问题时，通常要转化到三角形当中来计算．热点6：相似三角形与函数的有关知识结合，利用三角形相似相关性质解题． 例6 （2008常德）把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图5，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此时，AP CQ = ________．（2）将三角板DEF 由图5所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转至图6，设旋转角为α．其中090α<<，问AP CQ 的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．分析：本题综合考查函数、相似三角形、动点问题，第三问通过分析不同情况下两个三角板的位置，确定函数解析式．解：（1）8；（2）AP CQ 的值不会改变．理由如下：在APD △与CDQ △中，45A C ∠=∠=，18045(45)9APD αα∠=--+=-， 90CDQ α∠=-，∴APD CDQ ∠=∠，∴APD CDQ △∽△，∴AP CD AD CQ=， ∴22182AP CQ AD CD AD AC ⎛⎫==== ⎪⎝⎭． （3）情形1：当045α<<时，24CQ <<，即24x <<，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ ，过D 作DG AP ⊥于G ，DN BC ⊥于N ，∴2DG DN ==，由（2）知：8AP CQ =，得8AP x=． 于是12y AB BC = 1188(24)22CQ DN AP DG x x x --=--<<． 情形2：当4590α<≤时，02CQ <≤时，即02x <≤，此时两三角板重叠部分为DMQ △，由于8AP x =，84PB x =-，易证：PBM DNM △∽△，∴BM PB MN DN = 即22BM PB BM =-解得28424PB x BM PB x -==+-， ∴844444x MQ BM CQ x x -=--=---， 于是1844(02)24x y MQ DN x x x -==--<-≤．综上所述，当24x <<时，88y x x =--． 当02x <≤时，8444x y x x-=---． 点评：这类题一般是证明相似，计算线段长、面积、猜想线段间的关系，写出函数关系式等，要想正确解答这类题型，要熟练掌握三角形相似的判定方法和性质，而且还要熟悉基本图形，能从复杂的图形中分解出基本图形，利用相似三角形的相关知识解题． 热点7：准确把握直角三角形三角函数的定义，进行简单运算．例7 （2008怀化）如图9，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为E ，3sin5A =，则下列结论正确的有（ ） ①6DE =cm ； ②2BE =cm ；③菱形面积为260cm ； ④BD =．（Ａ）1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个分析：在直角三角形中，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．解：（Ｃ）．点评：本考题在解直角三角形中的边和角的问题时，把锐角三角函数的定义与勾股定理以及其他图形的性质结合起来综合运用．热点8：合理利用解直角三角形，解决生活中的常见问题．例8 （2008长沙）如图10所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin 270.45=，cos 270.89=，tan 270.51=）分析：本考题以姚明的身高为背景让学生体会到“生活中的身高”中的数学，解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题．解：作CD AC ⊥交AB 于D ，则27CAB ∠=，在Rt ACD △中，tan 2.04CD AC CAB =∠=（米）．所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险．点评：考查同学们对应用问题的数学化、数学建模思想的掌握是中考的热点，要根据题意构造合适的直角三角形，从而准确迅速的解答，这也是转化思想的体现．热点9：深刻理解三角形相似和解直角三角形，设计实际操作、开放探究结合的综合问题．例9 某中学平整的操场上有一根旗杆（如图11），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、测角仪、标杆）可供选用，请你用所学知识，帮助他们设计测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并记录测量数据（长度用a ，b ，c …表示；角度用αβ，…… 表示）；（3）根据你的测量的数据，计算旗杆的高度．分析：本考题有多种方法解题，可以从三角形相似和解直角三角形中，把握性质定理来解题．解：测量的方法有多种，如图：立标杆DE 如图12所示，在平行太阳光AC ，DF 的照射下AB 的影子是BC ，DE 的影子是EF ，且ABC DEF △∽△，得到A B D E B C E F =量得B C a =，DE b =，EF c =．ab AB c=． 点评：设计方案题是一种创新题型，它是考查同学们运用数学知识解决实际问题能力的热点题，它对提高同学们动手操作能力和空间想象力有着重要作用．【考题预测】1．已知：如图13，ABC △的顶点坐标分别为(43)A --，，(03)B -，，(21)C -，，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达1B 点，若设ABC △的面积为1S ，1AB C △的面积为2S ，则12S S ，的大小关系为（ ）（A ）12S S > （B ）12S S =（C ）12S S < （D ）不能确定2．图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤梯形，⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是_______．3．如图14，Rt AOB △的斜边OA 在y 轴上，且5OA =，4OB =．将Rt AOB △绕原点O 逆时针旋转一定的角度，使直角边OB 落在x 轴的负半轴上得到相应的Rt A OB ''△，则A '点的坐标是________．4．如图15，在ABC △中，D E ，分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，1CF =，则BC =________，ADE △和DBF △的面积之比为_________．5．如图16了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹杆、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为__________m ．6．如图17，ABC △中(23)A -，，(31)B -，，(12)C -，． （1）将ABC △向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出ABC △关于x 轴对称的222A B C △；（3）将ABC △绕原点O 旋转180，画出旋转后的222A B C ；（4）在111A B C △，222A B C ，333A B C △中，△______与△______成轴对称，对称轴是_________．7．如图18，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B 楼窗户朝南．B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户1.414= 1.732=2.236=）8．如图19，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图20），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30，再将这两张三角形纸片摆成如图21的形状，但点B C F D ，，，在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图21至图24中统一用F 表示）．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图21中的ABF △沿BD 向右平移到图22的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图21中的ABF △绕点F 顺时针方向旋转30到图23的位置，1A F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图21中的ABF △沿直线AF 翻折到图24的位置，1AB 交DE 于点H ，请证明：AH DH ．。
第四单元第25课时 相似三角形及其应用知识点回顾：相似三角形及其应用是中学的一个重要内容，学好相似三角形不仅能使我们对图形相似有更深刻的认识，也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高．在各种考试中，相似三角形及其应用都是重点考查的内容．它包括：了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过实例了解黄金分割；了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件和性质；能够利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）． 知识点一：比例线段1．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 ，那么这四条线段叫做成比例线段． 2．若b a ＝cb，则b 叫做a 、c 的 ． 3．比例的性质：(1)若b a ＝dc(b ≠0，d ≠0) (2)若b a ＝dc =±bba ．(3)若b a ＝dc =……＝n m（b ＋d ＋……＋m ≠0）， 那么nd b mc a ++++++ ＝ ．4．若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，且使 是 和 的比例中项，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做黄金分割点． 例1：（2009山西太原）如图1是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB =10cm ，则AC 的长约为 cm ．（结果精确到0.1cm ）解析：本题考查黄金分割的有关知识．由题意知2AC BC AB =⨯，∴ ()21010AC AC =-⨯， 解得x ≈6.2，故填6.2.． 同步检测一：图11．（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图2，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm2．（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ） A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5知识点二：相似三角形的概念1．具有 的图形称为相似性．2．对应角 ，对应边 的三角形叫做相似三角形。
初三数学总复习辅导学习资料（6）——几何经典难题1.已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．2.已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．3.如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5.已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．A P C DB A FGC EBO D D 2 C 2B 2 A2 D 1 C 1B 1C B DA A 1F6.设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．7.如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．8.如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．9.如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于10.如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．E11.设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．12.如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE直线PO 相交于B 、D ．求证：AB＝DC ，BC ＝AD ．13.已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．14.设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB15.设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．16.平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点， AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．17.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．18.如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．19. 已知:AB 为⊙O 的直径,C 为圆外一点,AC 交O 于点D, 2,,BC CD CA EDBD == BE 交AC 于F. （1）求证:BC 为⊙O 切线。
（2010哈尔滨）１．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，在△DCE中，∠DCE＝90°，DC＝EC＝6，点D在线段AC上，点E在线段BC的延长线上．将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′（点D的对应点为点D′，点E的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点C作CN⊥BE′，垂足为N，直线CN交线段AD′于点M，则MN的长为．（2010哈尔滨）２．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．（1）求点B的坐标；（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，25EGEF=？(2010台州市)22．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（2-）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为}{}{}{dbcadcba++=+，，，．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.②证明四边形OABC是平行四边形.（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．y Q（5, 5）y解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}． ……………………………………………2分{1，2}+{3，1}={4，3}． …………………………………………………………………2分（2）①画图 …………………………………………………2分最后的位置仍是B ．……………………………………1分② 证明：由①知，A （3，1），B(4，3)，C （1，2） ∴OC=AB =2221+=5，OA=BC =2213+=10， ∴四边形OABC 是平行四边形．…………………………3分（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．……………………2分（2010河南）19．（9分）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；；（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．P E A B C D(1)3或8(2) 1或11(3)由(2)可知，当BP=11时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形∴EP=AD=5 过D 作DF ⊥BC 于F ，则DF=FC=4，∴FP=3 ∴ DP=5∴EP=DP 故此时□PDAE 是菱形即以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能构成菱形。
2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题第一篇：2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题外国语中学中考数学压轴题专集1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB 的中点．（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标．2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；1（3）若tan∠BPD＝，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．3B C P B C P B C图1图2（备用）图3（备用）3．已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．P5．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC 的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c＝a1，求证：a＝kc；（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．Ac1C B1C116．如图1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，在△ABC上画一条直线，若这条直线既平．．分△ABC的面积，又平分△ABC的周长，我们称这条线为△ABC的“等分积周线”．（1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”；（2）在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；（3）如图2，若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．C图2 图17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P以3cm/s的速度运动4①当PQ∥AB时，求t的值；②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．A备用B8．如图1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4．求证：AE ＋BF ＝EF ；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE ＋BF ＝EF 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；D A B A D图2 图3 图1A D B A F图4 图5（3）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． D ；FC9．（河南省）222222B B（1）操作发现·如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求AD的值． ABAD的值； AB第二篇：中考数学几何证明压轴题AB1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD 的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．A(B(E)图13－1 图13－2图13－31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM=(2)等腰三角形.证明：因为DE=DF,∠EDC=∠FBC,DC=BC.所以，△DEC≌△BFC 2=1.即DC=BC.2所以，CE=CF,∠ECD=∠BCF.所以，∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90︒即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BE=k,则CE=CF=2k，所以EF=.因为∠BEC=135︒，又∠CEF=45︒，所以∠BEF=90︒.所以BF==3k 所以sin∠BFE=k1=.3k32.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22 ∴AE＝CF∴△ADE≌△CBF ．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．（2）BM=FN仍然成立．（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．第三篇：中考数学几何证明题中考数学几何证明题在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;第一个问我会，求第二个问。
