福建省福州八中高一下学期期末考试——数学

密 封 装 订 线高一下学期期末联考数学试题满 分：150分一、选择题（每题5分，共60分。

答案请写在答题卡上） 1、角α的终边过点P （-4，3），则αcos 的值为（ ）。

A 、4B 、－3C 、54-D 、53 2、若θθθ则,0cos sin >在( )A 、第一、二象限B 、第一、四象限C 、第一、三象限D 、第二、四象限3、已知M 是ABC ∆的BC 边上的中点，若AB a =u u u r r 、AC b =u u u r r，则AM u u u u r 等于（ ）。

A 、)(21→→-b aB 、)(21→→+b aC 、)(21→→--b aD 、)(21→→+-b a4、7sin6π=（ ）。

A 、12 B 、3- C 、3 D 、12- 5、若扇形的圆心角α＝2，弧长l ＝4，则该扇形的面积S ＝（ ）。

A 、2B 、2πC 、4πD 、46、要得到函数2tan(2)4y x π=+的图像, 需要将函数2tan(2)y x =的图像（ ）。

A 、向左平移4π个单位B 、向右平移4π个单位 C 、向左平移8π个单位 D 、向右平移8π个单位 7、在ABC ∆中， ,,AB a CB b ==u u u r r u u u r r且0a b •<r r 则三角形ABC 是（ ）。

A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形 8、已知→→b a ,是单位向量，且(2)a b a →→→-⊥，则→→b a 与的夹角是（ ）。

A 、3πB 、2π C 、4π D 、32π 9、若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则tan2α＝( )。

A 、－34 B 、34 C 、－43 D 、4310、已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2A ωφπ>><)的周期为T ， 在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）。

福建省福州市八县（市）一中高一数学下学期期末联考试题高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若扇形的半径为6 cm ，所对的弧长为2cm ，则这个扇形的面积是（ ）。

A 、12cm 2 B 、6 cm 2 C 、6cm 2 D 、4 cm 22、在△ABC 中，若(1,)(3,2)AB m BC，，090=∠B 则m =（ ）。

A 、－32 B 、32 C 、23- D 、233、若324tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αtan 的值是（ ）。

A 、33B 、3-C 、1D 、以上答案都不对 4、在ABC △中,角C B A ,,所对的边分别是,,a b c ,若C A sin sin =，ac a b =-22,则=∠A （ ）。

A 、2π B 、4π C 、3π D 、6π 5、0000167cos 43sin 77cos 43cos +的值是（ ）。

A 、3、12 C 3、12-6、以下关于向量说法的四个选项中正确．．的选项是（ ）。

A 、若任意向量a b 与共线且a 为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得a b λ=； B 、对于任意非零向量a b 与，若)()0a b a b （，则a b ;C 、任意非零向量a b 与满足a b a b ，则a b 与同向；D 、若A,B,C 三点满足2133OAOB OC ，则点A 是线段BC 的三等分点且离C 点较近。

7、在△ABC 中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（ ）。

A 、030,6,3===A b a ； B 、0150,5,6===A b a ；C 、060,34,3===A b a ；D 、030,5,29===A b a ； 8、已知23)23(sin -=-απ，则=+)3(cos απ（ ）。

A 、23 B 、23- C 、21 D 、-219、已知△ABC 满足32,2,4π=∠==BAC AC AB ，点E D 、分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则 AF DC 的值为（ ）。

福建省福州八中0910学年高一下学期期末考试数学高一数学 必修Ⅳ考试时刻：120分钟 试卷总分值：150分第一卷〔100分〕一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上〕1．化简AC -BD +CD -AB 得A ．ABB ．DAC ．BCD ．02．设sin α=-53,cos α=54，那么以下的点在角α的终边上的是 A ．(-3,4) B ．(-4,3) C ．(4,-3) D ．(3,-4)3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是A ．3-B ．12C ．3D ．12- 4．函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y5．在边长为2的正三角形ABC 中，BC AB •为A ．32B ．32-C ．2D ．2-6．如图，ABCD 的对角线交点是O ，那么以下等式成立的是 A ．AB OB OA =+B ．BA OB OA =+C ．AB OB AO =-D ．CD OB OA =-7．假设()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值是 A ．1813B ．223C ．1213 D ．61 yx2 －20 125π－12π8．函数f (x)是以π为周期的奇函数且1)4(-=-πf ,那么)49(πf 的值为A ．4πB ．－4πC ．1D ．－1二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕 9．求值：2525sin(-)cos 36ππ+= 。

10．如图，单摆的摆线离开平稳位置的位移S (厘米)和 时刻t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，那么摆球往复摆动一次所需要的时刻是______秒11．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，那么它的中心角的弧度数为 。

福州八中2019学年第二学期期末考试高一数学 必修Ⅳ考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．化简AC -BD +CD -AB 得A ．ABB ．C ．D ．2．设sin α=-53,cos α=54，那么下列的点在角α的终边上的是 A ．(-3,4) B ．(-4,3) C ．(4,-3) D ．(3,-4)3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是A．B ．12 CD ．12- 4．函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y5．在边长为2的正三角形ABC 中，∙为A ．32B ．32-C ．2D ．2-6．如图，ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 A ．=+B ．BA OB OA =+C ．AB OB AO =-D ．CD OB OA =-7．若()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值是 A ．1813B ．223C ．1213 D ．61x8．函数f (x)是以π为周期的奇函数且1)4(-=-πf ,则)49(πf 的值为A ．4πB ．－4πC ．1D ．－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．求值：2525sin(-)cos 36ππ+= 。

10．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和 时间t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是______秒11．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 。

2021-2022学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知全集，集台和的关系U =R {|112}M x Z x =∈-≤-≤{}|21,N x x k k N *==+∈如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无穷多个B由韦恩图可得影部分表示的集合为，由交集、补集的概念即可得解.()U N M【详解】由题意，集台，{}{}{|112}|030,1,2,3M x Z x x Z x =∈-≤-≤=∈≤≤={}|21,N x x k k N *==+∈所以阴影部分表示的集合为，有3个元素.(){}U 0,1,2N M = 故选：B.2．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且，则（ ）52AB AM=CB =A ．B ．3522CA CM--3522CA CM - C ．D ．3522CA CM+3522CA CM -+ D【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以52AB AM = ()52CB CA CM CA-=-.3522CB CA CM=-+故选：D.3．某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，[]5,25[)5,9[)9,13[)13,17，，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）[)17,21[]21,25A ．频率分布直方图中a 的值为0.07B ．估计全部销售员工销售额的众数与中位数均为15C ．估计全部销售员工中销售额在17百万元以上的有12人D ．估计全部销售员工销售额的第20百分位数约为10.5D【分析】由各组的频率和为1，求出，然后再逐个分析判断即可a 【详解】由频率分布直方图可知，4(0.020.090.030.03)1a ⨯++++=解得，所以A 错误，0.08a =由频率分布直方图可知众数为15，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为40.0240.080.40.5⨯+⨯=<，所以中位数在第3组，设中位数为，则40.0240.0840.090.760.5⨯+⨯+⨯=>x ，解得，所以B 错误，0.40.09(13)0.5x +-=14.1x ≈由频率分布直方图可知销售额在17百万元以上的频率为，所以4(0.030.03)0.24⨯+=全部销售员工中销售额在17百万元以上的约有人，所以C 错误，0.2420048⨯=因为第1组的频率为，前2组的频率和为，所以第20百分位数在第2组，设0.080.4第20百分位数为，则，解得，所以全部销售员工y 40.020.08(9)0.2y ⨯+-=10.5y =销售额的第20百分位数约为10.5，所以D 正确，故选：D 4．如图，为正方体，下列错误的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．平面B ．//BD 11CB D 11AC A D⊥C ．平面平面D ．异面直线与所成的角为60°1ADC ⊥11CB D 1A D 1AC D【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理证明即可.【详解】解：在正方体中，，平面，平1111ABCD A B C D -11//BD B D BD ⊄11CB D 11B D ⊂面，所以平面，故A 正确；11CB D //BD 11CB D 由，平面，平面，所以，11AD DA ⊥AB ⊥11ADD A 1DA ⊂11ADD A 1AB DA ⊥又，平面，所以平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂11ABC D 1DA ⊥11ABC D 又平面，所以，故异面直线与所成的角为，即B1AC ⊂11ABC D 11DA AC ⊥1A D 1AC 90︒正确，D 错误；又由，平面，平面，所以，11DC D C ⊥AD ⊥11DD C C 1D C ⊂11DD C C 1AD D C ⊥又，平面，所以平面，1AD DC D = 1,AD DC ⊂1ADC 1D C ⊥1ADC 又平面，所以平面平面，故C 正确；1D C ⊂11B D C 11B D C ⊥1ADC故选：D5．已知，且，成立的充分而不必要条件是（ ）0a >1a ≠3log 14a<A ．B ．C ．D ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭1,14⎛⎫⎪⎝⎭30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ A【分析】分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，可得a 的范围，根1a >10a >>据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.【详解】当时，在为单调递增函数，则恒成立，1a >log a y x =(0,)+∞3log 014a<<当时，在为单调递减函数，10a >>log a y x =(0,)+∞由，可得，解得，3log 14a<3log log 4a a a<304a <<综上使成立a 的范围是，3log 14a<30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，3log 14a<所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 分析选项可得，只有A 符合题意，故选：A6．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，1485m ．21400km ．1575m ．相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水21800km ．库水位从海拔上升到）（ ）1485m ．1575m ． 2.65≈A ．B ．C ．D ．931.010m⨯931.210m⨯931.410m⨯931.610m⨯C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台157.5148.59MN =-=的体积．V 棱台上底面积，下底面积，262140.014010S ==⨯km m 262180.018010S '==⨯km m∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'．(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯故选：C ．7．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出A =的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有B =C =一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列D =E =判断中正确的是（ ）A ．B ．()()()P A B P A P B +=+()()1P C P D +=C ．D ．()1P C E = ()()P B P C =C【分析】根据给定条件，计算判断A ，B ，D ；分析事件与(),(),(),()P A P B P C P D C 所含事件判断C 作答.E 【详解】依题意，，，而2222332266C C C 44(),()1C 15C 5P A P B +===-=16()()115P A P B +=>，A 不正确；()1P A B +≤，，B 不正确；2426C 311()1,()1()C 515P C P D P A =-==-=()()1P C P D +>事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与C E 没有白球的两个互斥事件和，事件是必然事件，因此，C 正确；C E ⋃()1P C E = 因，，则，即D 不正确.4()5P B =3()5P C =()()P B P C ≠故选：C8．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是A ．B ．4534C ．D18B【分析】设的最大角为，最小角为，可得出，，由题意得ABC ∆B C 1b a =+1c a =-出，由二倍角公式，利用正弦定理边角互化思想以2B C =sin sin 22sin cos B C C C ==及余弦定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值.a a cos C 【详解】设的最大角为，最小角为，可得出，，ABC ∆B C 1b a =+1c a =-由题意得出，，所以，，2B C =sin sin 22sin cos B C C C ∴==2cos b c C =即，即，2cos bCc =222b a b c c ab +-=将，代入得，解得，，，1b a =+1c a =-222b a b c c ab +-=1411a a a a ++=-+5a =6b ∴=4c =则，故选B.63cos 284b C c ===本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.二、多选题9．复数，，下列结论正确的是（ ）()21(1)iz m m =-+-R m ∈A ．若z 对应复平面上的点在第四象限，则1m <-B ．若z 是纯虚数，则1m =±C ．当时，z 是虚数1m ≠D ．当时，2m =10z =AC【分析】根据给定复数，利用复数的概念及几何意义，逐项分析、计算判断作答.【详解】复数，，()21(1)iz m m =-+-R m ∈对于A ，z 对应复平面上的点在第四象限，则，解得，A 正确；21010m m ⎧->⎨-<⎩1m <-对于B ，z 是纯虚数，则，解得，B 不正确；21010m m ⎧-=⎨-≠⎩1m =-对于C ，当时，复数z 的虚部，z 是虚数，C 正确；1m ≠10m -≠对于D ，当时，，则，D 不正确.2m =3i z =+||z ==故选：AC10．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）0a >0b >21a b +=A ．的最小值为B ．的最大值为22a b +15ab 18C ．的最大值为D ．的最小值为1a b +4311a b +AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A ：由，，，则，0a >0b >21a b +=12a b =-所以，解得，1200b b ->⎧⎨>⎩102b <<所以，22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，有最小值，故A 正确．25b =22a b +15对于B ：由，，，当且仅当，即，0a >0b >12a b =+≥18ab ≤2a b =12a =时等号成立，14b =所以的最大值是，故B 正确；ab 18对于C ：由，，，则，所以，解得，0a >0b >21a b +=12a b =-1200b b ->⎧⎨>⎩102b <<所以，因为，所以，111121a b b b b -==+-+-102b <<1112b -<-<-所以，所以，即，故C 错误；1211b -<<--1121b -<<-112a b <<+对于D ：112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+当且仅当，即，时取等号，故D 错误；2b aa b =b =1a =故选：AB11．函数（常数，）的部分图象如图所示，下列结论正()sin()f x A x ωϕ=+0A >0>ω确的是（ ）A ．(0)1f =B ．在区间上单调递增5π[,0]12-C ．将的图象向左平移个单位，所得函数是偶函数()f x π10D ．2π()()3f x f x =--BD【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.()f x 【详解】观察函数的图象知，，最小正周期满足，即()f x 2A =T 37ππ3π(41264T =--=，则，πT =2π2T ω==由得，，即，而，因此π()06f -=π2()π,Z 6k k ϕ⨯-+=∈ππ+,Z 3k k ϕ=∈(0)2sin 0f ϕ=>，π2π,Z3k k ϕ=+∈于是得，A 不正确；π()2sin(2)3f x x =+π(0)2sin 3f ==当时，，因此函数在上单调递增，B 正确；5012x π-≤≤πππ2233x -≤+≤()f x 5π[,0]12-因，则将的图象向左平移个单位，πππ8π()2sin[2()]2sin(2)1010315f x x x +=++=+()f x π10所得函数不是偶函数，C 不正确；，D 正确.2π2ππππ()2sin[2()]2sin[2π(22sin(2)()33333f x x x x f x -=-+=-+=-+=-故选：BD12．设函数的定义域为，且满足，，当()y f x =R ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=--时，，则下列说法正确的是（ ）(1,1]x ∈-2()1f x x =-+A ．B ．当时，的取值范围为(2022)1f =[]4,6x ∈()f x []1,0-C ．为奇函数D ．方程仅有5个不同实(3)y f x =+()lg(1)f x x =+数解BCD【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A ，B ，C ；作出函数()f x 、的部分图象判断D 作答.()y f x =lg(1)y x =+【详解】依题意，当时，，当时，，函数10x -<<()01f x <<01x ≤≤()01f x ≤≤的定义域为，有，()y f x =R ()(2)f x f x =-又，即，因此有，即()(2)f x f x -=--()(2)f x f x =---(2)(2)x x f f =----，(4)()f x f x +=-于是有，从而得函数的周期，(8)(4)()f x f x f x +=-+=()f x 8T =对于A ，，A 不正确；()()()()()2022252866201f f f f f =⨯+==-=-=-对于B ，当时，，有，则，45x ≤≤041x ≤-≤0(4)1f x ≤-≤()(4)[1,0]f x f x =--∈-当时，，，有，56x ≤≤423x -≤-≤-0(2)41x ≤-+≤0[(2)4]1f x ≤-+≤，当时，的取值范围为，B ()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+∈-[]4,6x ∈()f x []1,0-正确；对于C ，，函数(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+为奇函数，C 正确；(3)y f x =+对于D ，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：()y f x =lg(1)y x =+方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，()lg(1)f x x =+()y f x =lg(1)y x =+观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程()y f x =lg(1)y x =+仅有5个不同实数解，D 正确.()lg(1)f x x =+故选：BCD方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题13．若，则___________.log 86x =2log x =120.5【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解：因为，所以，即，即，log 86x =22log 86log x =223log 26log x =236log x =所以；21log 2x =故1214．若，，，则与的夹角大小为___________.1a = 12a b ⋅=()()12a b a b -⋅+= a b 4π45︒【分析】根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；b【详解】解：因为，，1a =()()12a b a b -⋅+= 所以()()222212a b a b a b a b -⋅+=-=-=又，设与的夹角为，所以，12a b ⋅=a b θcos θ=因为，所以.[]0,θπ∈4πθ=故4π15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，14，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则13p 56的值为________.p 23【分析】由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解【详解】该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：，解得．1151(1)436p ----=23p =故2316．集合有10个元素，设M 的所有非空子集{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---为每一个中所有元素乘积为，则iM ()1,2,,1023i = i M i m ()1,2,,1023i = ___________.1231023m m m m ++++=-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有i M 元素乘积，综合即可得答案.i m 【详解】集合M 的所有非空子集为可以分成以下几种情况iM ()1,2,,1023i = ①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；92512=0im =②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个821255-=③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个821255-=其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，i m ④只含元素-1的子集1个，满足，1i m =-综上：所有子集中元素乘积.12310231m m m m ++++=- 故-1四、解答题17．已知是关于x 的实系数方程的一个复数根.11z =+20x mx n ++=(1)求实数，的值：m n (2)设方程的另一根为，复数，对应的向量分别是，，若向量与2z 1z 2z a bta b - 垂直，求实数的值.ta b +t (1)，；2m =-3n =(2)1t =±【分析】（1）由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求解与的值；m n （2）求出的坐标，进一步求得与的坐标，再由向量垂直与数量积的关,a b ta b - + ta b 系列式求得实数的值．t【详解】(1)解：（1）是关于的实系数方程的一个复数根，11z = x 20x mx n ++=是关于的实系数方程的另一个复数根，21z ∴=x 20x mx n ++=由根与系数的关系可得，即；112m -=+=2m =-．2(11123n ==-=+=，；2m ∴=-3n =(2)解：由（1）知，，，a =(1,b =则，，(ta b t -=- (1,)ta b t +=+由与垂直，可得，ta b - + ta b ()()221220ta b ta b t t -⋅+=--+= 解得．1t =±18．已知函数，其中，且．()2cos sin f x x x xωωω=+06ω<<1122f π⎛⎫=⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若，且，求的值．(),126ππθ∈()56f θ=cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)递增区间为且；[,]63k k ππππ-+Z k ∈【分析】（1）由二倍角正余弦及辅助角公式可得，根据已知条1()sin(262f x x πω=-+件可得，，进而有，再应用正弦函数性质求单调增区间.66k ππωπ-=Z k ∈1ω=（2）根据已知求得，结合角的范围求得1sin(2)63πθ-=cos(26πθ-=及和角余弦公式求值即可.(22412)6ππθπθ-++=【详解】(1)由题设，，1cos 21()2sin(2262x f x x x ωπωω-=+=-+又，即，，故，11sin(661222f ππωπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-66k ππωπ-=Z k ∈61(0,6)k ω=+∈所以时，则，0k =1ω=1()sin(262f x x π=-+令，，可得，.222262k x k πππππ-≤-≤+Z k ∈63k x k ππππ-££+Z k ∈所以的单调递增区间为且.()f x [,63k k ππππ-+Z k ∈(2)由（1）知：，可得，15sin(2626πθ-+=1sin(263πθ-=又，则，故(),126ππθ∈2(0,66ππθ-∈cos(2)6πθ-=而cos 2cos[c (2)(2)cos sin(2os 12)sin 646464ππππππθθπθθ-⎛⎫+== ⎪-⎝-⎭+-=.13=19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD ∥BC ，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD ．E 为棱∠∠12AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .13【详解】【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M （M ∈平面PAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC=ED.所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而CM ∥EB.又EB 平面PBE ，CM 平面PBE ，⊂⊄所以CM ∥平面PBE.（说明：延长AP 至点N ，使得AP=PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA AD=A ，所以CD ⊥平面PAD.从而CD ⊥PD.所以PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.∠所以PDA=45°.∠设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH.易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE.于是CE ⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE.所以APH 是PA 与平面PCE 所成的角.∠在Rt △AEH 中，AEH=45°，AE=1，∠所以.在Rt △PAH 中，，所以sin APH= =.∠AH PH 13方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD.于是CD ⊥PD.从而PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.∠所以PDA=45°.∠由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以 ,的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所AD AP示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）PEEC AP 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).0,{0,n PE n EC ⋅=⋅= 20,{0,x z x y -=+=设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sinα==.||n AP n AP⋅⋅13=所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 .13线线平行、线面平行、向量法.20．在对某中学高一年级学生身高的调查中，根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：）如下：cm 男生172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0女生163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5(1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5[]173.0,176.0的概率：cm (2)利用题目中所给数据和参考数据，计算出总样本的方差，并对该中学高一年级全体学生的身高方差作出估计（精确到0.1）.参考数据：，，，，1821129083.318i i y =≈∑170.5y =2221125799.422i i z =≈∑160.5z =，，其中男生样本记为，女生样本记为2170.529070.3≈2160.525760.3≈1218,,,y y y 2122,,,z z z (1)；710(2)，该中学高一年级全体学生的身高方差大约为52.1.52.1【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，再利用古典概率公式计算作答.（2）求出男生样本、女生样本方差，总样本平均数，再利用方差计算公式列式求解作答.【详解】(1)由给定数表知，身高在的男生共5人，记内的3[]173.0,176.0[]173.0,174.5名男生为，身高大于174.5的两名男生记为，123,,A A A cm 12,B B 从身高在的男生中随机抽取2人的样本空间：[]173.0,176.0，12131112232122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=共10个，至少有1人的身高大于174.5的事件为M ，则M 含有基本事件：cm ，共7个，11122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B B B 所以至少有1人的身高大于174.5的概率.cm 7()10P M =(2)男生样本方差，181822221111()170.529083.329070.313.01818yi i i i s y y y ===-=-=-=∑∑女生样本方差，222222221111()160.525799.425760.339.12222zi i i i s z z z ===-=-=-=∑∑设总样本的平均数为，方差为，则，x 2s 182218170.522160.51654040y z x +⨯+⨯===，1822182222222111111[()()][()()]4040i i i i i i i i s y x z x y y y x z z z x =====-+-=-+-+-+-∑∑∑∑181818222111()()2()()18()iii i i i y x y y y x y y y x ===-=-+--+-∑∑∑18182211()2()(18)18()i i i i y y y x y y y x ===-+--+-∑∑，22218018()1813.018(170.5165)778.5y s y x =++-=⨯+⨯-=222222222111()()2()()22()iii i i i z x z z z x z z z x ===-=-+--+-∑∑∑22222211()2()(22)22()i i i i z z z x z z z x ===-+--+-∑∑，22222022()2239.122(160.5165)1305.7z s z x =++-=⨯+⨯-=因此，，2778.51305.752.140s +==所以该中学高一年级全体学生的身高方差大约为.52.121．已知函数是偶函数.()3()log 91x f x kx=++(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；0x ≥()y f x x a =-+a (2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数()3()log 32x h x m m=⋅-()f x ()h x 的取值范围.m (1)(),0∞-(2)()1,+∞ 【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到()()f x f x -=k 的解析式；令，得，构造函数，将问题转()f x ()0f x x a -+=()a f x x -=-()()g x f x x =-化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；y a =-()y g x =a （2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，x ()33log (32)log 33x x x m m -⋅-=+3x t =讨论的正根即可．2(1)210m t mt ---=【详解】(1)解：是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴-=即对任意恒成立，33log (91)log (91)x xkx kx -+-=++R x ∈，23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x---+∴=+-+===-+．1k ∴=-即，()3()log 91x f x x=+-因为函数有零点，即方程有实数根．()y f x x a =-+3log (91)2xx a +-=-令，则函数与直线有交点，3()log (91)2xg x x =+-()y g x =y a =-333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+- ，33911log log (1)99x x x +==+又，，1119x+>31()log (1)09x g x ∴=+>，所以，即的取值范围是．0a ∴->0a <a (),0∞-(2)解：因为，()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx x x f x x -+=⎛ =+-⎫⎪⎝⎭=+-=+又函数与的图象只有一个公共点，()f x ()h x 则关于的方程只有一个解，x ()33log (32)log 33x x x m m -⋅-=+所以，3233x x xm m -⋅-=+令，得，3(0)x t t =>2(1)210m t mt ---=①当，即时，此方程的解为，不满足题意，10m -=1m =12t =-②当，即时，此时，又，10m ->1m >()2244(1)410m m m m ∆=+-=+->12201mt t m +=>-，12101t t m -=<-所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当，即时，由方程只有一正根，则需10m -<1m <2(1)210m t mt ---=，244(1)(1)0202(1)m m mm ⎧--⨯-=⎪-⎨->⎪-⎩解得m =综合①②③得，实数的取值范围为：．m ()1,+∞ 22．如图，要测量河对岸的塔高．请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的AB 数据（用字母表示，并在图中标出）：（2）用文字和公式写出计算的长的步骤．AB 答案见解析.【分析】先在地面取两点，，保持，，在同一直线上，再测量的长度，C D B C D CD ，两点关于塔顶的仰角大小，而后利用正弦定理求出的长.C D AB 【详解】(1)如图，在地面取一点，测得塔顶的仰角，往远离河岸且保持C ACB α∠=与在同一直线上的方向移动的距离到达点，测得塔顶的仰角.BC m D ADB β∠=(2)在中，由正弦定理得，，ACD △sin sin AC CDADC DAC =∠∠即，.()sin sin AC mβαβ=-()sin sin m AC βαβ=-在中，因为，所以.ACB △AB BC ⊥()sin sin sin sin m AB AC αβααβ==-。

2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z 满足z +4i ＝6+3i ，i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a →=（2，1），b →=（x ，1），且a →+b →与2a →−b →平行，则x 等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．2D ．﹣23．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则DF →=（ ）A ．13AB →−23AD →B ．23AB →−13AD →C ．−13AB →+23AD →D ．−23AB →+13AD →4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.55．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“2x ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．127．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝2km ，CD ＝6km ，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°（B 、D 、E 在同一水平面上），山顶C 的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A ，C 之间的距离为（ ）A ．4√3kmB ．4√7kmC ．4√2kmD ．4√5km8．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（ ） A ．π2B ．√22π C ．π D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A ．A 与B 为互斥事件 B ．A 与B 为相互独立事件C ．P （A ∪B ）=12D ．P （AB ）=1410．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βC ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β11．已知2a ＝3b ＝6，则正确的有（ ） A ．a ＞bB ．a +b ＞4C ．ab ＞4D ．1a +1b＜112．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB →⋅OC →的可能值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为3，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为 ． 14．已知函数f(x)={1+log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （f （﹣2））＝ ．15．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．若BD 、AC 所成的角为45°，且BD ＝2，AC ＝4，则EF 2的长为 ．16．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 为AA 1的中点，点F 在CC 1上（不与C 、C 1重合），三棱锥A ﹣D 1EF 的体积为 ，当F 为CC 1的中点，几何体AED 1FCD 的体积为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知非零向量a →，b →夹角为θ，且a →=(1，0)． （1）当b →=(−1，√3)时，求θ；（2）若θ＝60°，且(a →+b →)⊥(a →−b →)，求|a →−2b →|．18．（12分）如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且平面P AC ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：BD ⊥PC ．19．（12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足条件：___．在 ①acosB +√3asinB −c =0；②√3acosC =(2b −√3c)cosA ；③b ＝2a •sin （C +π6）．这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．问题： （1）求角A 的大小；（2）求cos(π2−B)−2sin 2C2的取值范围．20．（12分）如图，一块正方体形木料ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上底面有一点M ．（1）问：经过点M 在上底面面上能否画一条直线，使得与CM 垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由．（2）若正方体棱长为2，F 为线段BC 的中点，求AF 与面A 1BC 所成角的正弦值．21．（12分）近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示． （1）求a 的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）； （2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．22．（12分）已知函数f （x ）＝log a （√2x 2+1−√2x ），a ＞1． （1）判断并证明函数f （x ）的奇偶性；（2）指出函数f （x ）的单调性（只需用复合函数理由说明，不要求定义证明）；（3）设对任意x ∈R ，都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0成立；请问是否存在a 的值，使g （t ）＝a 4t ﹣2t +1最小值为−23，若存在求出a 的值．2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z 满足z +4i ＝6+3i ，i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解：∵z +4i ＝6+3i ， ∴z ＝6+3i ﹣4i ＝6﹣i∴z 在复平面内对应的点为（6，﹣1），在第四象限． 故选：D ．2．已知a →=（2，1），b →=（x ，1），且a →+b →与2a →−b →平行，则x 等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．2D ．﹣2解：a →+b →=（2+x ，2），2a →−b →=（4﹣x ，1）． ∵a →+b →与2a →−b →平行，∴2（4﹣x ）﹣（2+x ）＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则DF →=（ ）A ．13AB →−23AD →B ．23AB →−13AD →C ．−13AB →+23AD →D ．−23AB →+13AD →解：设DF →=λDE →=λ(DC →+CE →)=λAB →+λCE →=λAB →−λ2BC →=λAB →−λ2AD →，∵A ，F ，C 三点共线，∴DF →=μDA →+(1−μ)DC →=(1−μ)AB →−μAD →，由平面向量基本定理得：{λ=1−μ−λ2=−μ，解得：{λ=23μ=13， ∴DF →=23AB →−13AD →． 故选：B ．4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5解：随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数：569，684，989表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：310=0.3．故选：B ．5．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“2x ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2＜1，解得﹣1＜x ＜1，若2x ＜1＝20，注意到y ＝2x 在定义域内单调递增，解得x ＜0， 故“﹣1＜x ＜1”是“x ＜0”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．6．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12解：有三件正品（用1，2，3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间Ω＝{（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）}， 恰有一件次品A ＝{（0，1），（0，2），（0，3）}， 由古典概型得P(A)=m n =36=12． 故选：D ．7．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝2km ，CD ＝6km ，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°（B 、D 、E 在同一水平面上），山顶C 的仰角为60°，∠AEC ＝150°，则两山顶A ，C 之间的距离为（ ）A ．4√3kmB ．4√7kmC ．4√2kmD ．4√5km解：因为AB ＝2，∠BEA ＝30°，所以AE ＝4； 因为CD ＝6，∠CED ＝60°，所以CE =4√3；在△AEC ，AC 2=42+(4√3)2−2×4×4√3⋅cos150°=112 所以AC =4√7．故选：B ．8．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（ ） A ．π2B ．√22π C ．π D ．2解：如图所示：由已知，连接BD 、B 1D 1，则BD ＝B 1D 1＝2， 因为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，所以△B 1C 1D 1为等边三角形．且BB 1⊥平面B 1C 1D 1，取B 1C 1的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥B 1C 1， 又D 1O ⊂平面B 1C 1D 1，所以BB 1⊥D 1O ， 又B 1C 1∩BB 1＝B 1，所以D 1O ⊥平面BCC 1B 1，故平面BCC 1B 1截球面的截面圆的圆心是点O ，取BB 1、CC 1的中点E 、F ， 连接EF ，D 1E 、D 1F ，则D 1E =D 1F =√5， 故E 、F 在球面上，OE ＝OF =√2，EF ＝2，所以△OEF 为直角三角形，∠EOF ＝90° 球面与侧面BCC 1B 1 的交线是侧面上以O 为圆心，√2为半径的圆弧EF ̂=14×2√2π=√22π． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A ．A 与B 为互斥事件 B ．A 与B 为相互独立事件C ．P （A ∪B ）=12D ．P （AB ）=14解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”， 则P （A ）=12，P （B ）=12，A 与B 的发生互不影响，故A 与B 为相互独立事件，故A 错误，B 正确； 则P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12×12=14，故D 正确； 又P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝1−14=34，故C 错误． 故选：BD ．10．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βC ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β解：若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，故A 正确； 若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故B 错误；若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n 或m 与n 异面，故C 错误；若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，又n ⊂β，则α⊥β，故D 正确． 故选：AD ．11．已知2a ＝3b ＝6，则正确的有（ ） A ．a ＞bB ．a +b ＞4C ．ab ＞4D ．1a +1b＜1解：已知2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36， 因为log 26＞log 36，所以a ＞b ，故选项A 正确， 因为1a +1b =1log 26+1log 36=log 62+log 63＝log 6（2×3）＝log 66＝1，故选项D 错误；因为1a +1b =1＞2√1a ⋅1b ，所以ab ＞4，故选项B 正确； 因为1a +1b=a+b ab=1，整理得a +b ＝ab ，又ab ＞4，所以a +b ＞4，故选项C 正确．故选：ABC ．12．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB →⋅OC →的可能值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2解：如图令∠OAD ＝θ，θ∈（0，π2），由于AD ＝1，故OA ＝cos θ，OD ＝sin θ，如图∠BAx =π2−θ，AB ＝1，故x B ＝cos θ+cos （π2−θ）＝cos θ+sin θ，y B ＝sin （π2−θ）＝cos θ，故OB →=（cos θ+sin θ，cos θ），同理可求得C （sin θ，cos θ+sin θ），即OC →=（sin θ，cos θ+sin θ）， ∴OB →⋅OC →=（cos θ+sin θ，cos θ）•（sin θ，cos θ+sin θ）＝1+sin2θ， OB →⋅OC →=1+sin2θ∈（1，2]． 故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为3，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为 12 ．解：∵样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为3，∴数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为：22×3＝12． 故答案为：12．14．已知函数f(x)={1+log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （f （﹣2））＝ 4 ．解：因为f(x)={1+log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，所以f （﹣2）＝1+log 2（2﹣（﹣2））＝1+log 24＝3， 所以f （f （﹣2））＝f （3）＝23﹣1＝22＝4．故答案为：4．15．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．若BD 、AC 所成的角为45°，且BD ＝2，AC ＝4，则EF 2的长为 5±2√2． ． 解：取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，因为E 、F 分别是AB ，CD 的中点，所以FG =12BD =1，EG =12AC =2， 因为BD ，AC 所成的角为45°，所以∠EGF ＝135°或45°， 如图1，∠EGF ＝135°，则EF 2=FG 2+EG 2−2FG ⋅EGcos135°=1+4+2×2×√22=5+2√2； 如图2，∠EGF ＝45°，则EF 2=FG 2+EG 2−2FG ⋅EGcos45°=1+4−2×2×√22=5−2√2．故答案为：5±2√2．16．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 为AA 1的中点，点F 在CC 1上（不与C 、C 1重合），三棱锥A ﹣D 1EF 的体积为23，当F 为CC 1的中点，几何体AED 1FCD 的体积为83．解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1长为2，E 为AA 1的中点， 则S △AD 1D E =12A 1D 1⋅A 1E =12×2×1=1， F 为CC 1上一点，而CC 1∥平面ADD 1A 1，C 1D 1⊥平面ADD 1A 1， 则点F 到平面ADD 1A 1的距离为C 1D 1长，所以三棱锥A 1﹣D 1EF 的体积V A 1−D 1EF =V F−A 1D 1E =13S △A 1D 1E ⋅C 1D =13×12×1×2×2=23， 取DD 1的中点为O ，连接OE ，OF ，由于O ，E ，F 均为棱的中点，由正方体的结构特征可知OEF ﹣ADC 为直三棱柱， 故几何体ACFEDD 1可以分割为三棱柱OEF ﹣ADC 和三棱锥D 1﹣OEF ， 故几何体ACFEDD 1体积为V OEF ﹣ADC +V D 1−EOF =S △OEF •OD +13S △OEF •D 1O =43S △OEF •OD =43×12OE •OF •OD =43×12×2×2×1=83． 故答案为：23；83．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知非零向量a →，b →夹角为θ，且a →=(1，0)． （1）当b →=(−1，√3)时，求θ；（2）若θ＝60°，且(a →+b →)⊥(a →−b →)，求|a →−2b →|． 解：（1）当b →=(−1，3)时，a →⋅b →=(−1)×1+0×√3=−1，|b →|=√(−1)2+√32=2，cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=(−1)1×2=−12， ∵0≤θ≤π， ∴θ=2π3．（2）∵(a →+b →)⊥(a →−b →)， ∴(a →+b →)⋅(a →−b →)=0， ∴|a →|=|b →|，∴|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√|a →|2+4|b →|2−4a →⋅b →=√1+4−4×1×1×12=√3．18．（12分）如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且平面P AC ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：BD ⊥PC ．证明：（1）法一：取PD 中点G ，连接FG ，AG ，在△PDC 中，因为F 、G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，FG =12CD ；因为E 是正方形ABCD 边AB 的中点， 所以AE ∥CD ，AE =12CD ，所以AE ＝GF ，AE ＝GF ；即四边形AEFG 是平行四边形，所以EF∥AG，又因为AG⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD；法二：取CD的中点M，连接EM，FM，因为E，F都是中点，由题意可得EM∥AD，FM∥PD，又AD⊂平面P AD，EM⊄平面P AD，所以EM∥平面P AD，同理可证得FM∥平面P AD，EM∩FM＝M，所以平面EFM∥平面P AD，而EF⊂平面EFM，所以可证得EF∥平面P AD；（2）因为正方形ABCD中，BD⊥AC，又平面ABCD⊥平面P AC，平面P AC∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC．19．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足条件：___．在①acosB+√3asinB−c=0；②√3acosC=(2b−√3c)cosA；③b＝2a•sin（C+π6）．这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．问题：（1）求角A的大小；（2）求cos(π2−B)−2sin2C2的取值范围．解：（1）选择条件①：由正弦定理及acosB+√3asinB−c=0，得sin A cos B+√3sin A sin B﹣sin C＝0，因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以√3sin A sin B＝cos A sin B，因为sin B＞0，所以√3sin A＝cos A，即tan A=√33，又A∈（0，π），所以A=π6．选择条件②：由正弦定理及√3acosC=(2b−√3c)cosA，得√3sin A cos C＝（2sin B−√3sin C）cos A，所以√3（sin A cos C+cos A sin C）＝2sin B cos A，即√3sin（A+C）=√3sin B＝2sin B cos A，因为sin B＞0，所以√3=2cos A，即cos A=√32，因为A∈（0，π），所以A=π6．选择条件③：由正弦定理及b＝2a•sin（C+π6），知sin B＝2sin A•sin（C+π6），所以sin B＝2sin A•（√32sin C+12cos C）＝sin A•（√3sin C+cos C），因为sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以cos A sin C=√3sin A sin C，又sin C＞0，所以cos A=√3sin A，即tan A=√33，因为A∈（0，π），所以A=π6．（2）由（1）知，A=π6，所以B+C=5π6，所以cos(π2−B)−2sin2C2=sin B﹣（1﹣cos C）＝sin B+cos（5π6−B）﹣1＝sin B−√32cos B+12sin B﹣1=√3sin（B−π6）﹣1，因为0＜B＜5π6，所以−π6＜B−π6＜2π3，所以sin（B−π6）∈（−12，1]，所以cos(π2−B)−2sin2C2=√3sin（B−π6）﹣1∈（−√32−1，√3−1]，故cos(π2−B)−2sin2C2的取值范围为（−√32−1，√3−1]．20．（12分）如图，一块正方体形木料ABCD﹣A1B1C1D1的上底面有一点M．（1）问：经过点M在上底面面上能否画一条直线，使得与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由．（2）若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值．解：（1）连接MC1，在上底面过M与C1M垂直即可，设为MP，即MP⊥C1M，证明如下：在正方体中，因为CC1⊥面A1B1C1D1，MP⊂A1B1C1D1，所以CC1⊥MP，而CC1∩MC1＝C1，所以MP⊥面MCC1，而MC⊂面MCC1，可得MP⊥MC；（2）作AE⊥A1B交于E，由正方体可知，E为A1B的中点，因为正方体的棱长为2，所以AE＝BE=12A1B=12•2√2=√2，由正方体可知BC⊥面AB1，AE⊂面AB1，所以AE⊥BC，而BC∩A1B＝B，所以AE⊥面A1BC，则EF为AF在面A1BC内的投影，即∠AFE为AF与面A1BC所成的角，在Rt△BEF中，F为BC的中点，则EF=√BE2+EF2=√2+1=√3，所以tan ∠AFE =AE EF =√2√3=√63． 21．（12分）近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示． （1）求a 的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）； （2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．解：由题意，0.07+0.18+10a +0.25+0.2＝1，解得a ＝0.030， 因为前3组的频率和为10×（0.007+0.018+0.030）＝0.55＜0.75， 前4组的频率和为10×（0.007+0.018+0.030+0.025）＝0.80＞0.75， 所以所求上四分位数（第75百分位数）为50+10×0.75−0.550.25=58．（2）由频率分布直方图可知年龄在[40，50）和[60，70]的频率分别为0.3，0.2，所以年龄在[40，50）的投资者应抽取3人，记为A ，B ，C ，年龄在[60，70]的投资者应抽取2人．记为a ，b ，则任取2人，所有的情况为：（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），（a ，b ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，a ），（C ，b ），共10种，满足条件的为（A ，a ），（A ，b ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，a ），（C ，b ），（a ，b ）共7种， 故至少有1人年龄在[60，70]的概率为P =710．22．（12分）已知函数f （x ）＝log a （√2x 2+1−√2x ），a ＞1． （1）判断并证明函数f （x ）的奇偶性；（2）指出函数f （x ）的单调性（只需用复合函数理由说明，不要求定义证明）；（3）设对任意x ∈R ，都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0成立；请问是否存在a 的值，使g （t ）＝a 4t ﹣2t +1最小值为−23，若存在求出a 的值．解：（1）函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为奇函数，证明：因为√2x 2+1＞√2x 2=√2|x|≥√2x ，∴√2x 2+1−√2x ＞0恒成立． 所以函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)的定义域为R ，关于原点中心对称． f(−x)=log a (√2x 2+1+√2x)=log a (√2x 2+1−√2x)−1 =−log a (√2x 2+1−√2x)=−f （x ），所以函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为奇函数．（2）由（1）知f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)=log a (√2x 2+1+√2x)−1=−log a (√2x 2+1+√2x)， 因为t =√2x 2+1+√2x 在R 是增函数， 又a ＞1，y ＝﹣log a t （t ≥1）为减函数，所以f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为减函数．（3）因为对任意x ∈R 都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0，所以对任意x ∈R 都有f(√2cosx +2t +5)≤−f(√2sinx −t 2)=f(t 2−√2sinx)， 由f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为减函数； 所以对任意x ∈R 都有√2cosx +2t +5≥t 2−√2sinx ， 所以对任意x ∈R 都有t 2−2t −5≤√2sinx +√2cosx ， 因为√2sinx +√2cosx =2sin(x +π4)≥−2，所以t 2﹣2t ﹣5≤﹣2即t 2﹣2t ﹣3≤0，解得﹣1≤t ≤3， 因为g （t ）＝a 4t ﹣2t +1＝a （2t ）2﹣2×2t ， 令n ＝2t ，则12≤n ≤8，令h （n ）＝an 2﹣2n ，它的对称轴为n =1a∈(0，1)， 当0＜1a ＜12，即a ＞2时，h （n ）＝an 2﹣2n 在[12，8]上是增函数，ℎ(n)min =ℎ(12)=a 4−1=−23，解得a =43∉(2，+∞)舍去， 当12≤1a ＜1即1＜a ≤2时，此时ℎ(n)min =ℎ(1a )=−1a =−23，解得a =32∈(1，2]， 所以a =32．。

2021-2022学年福建省福州市八县（市、区）一中高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．设集合，集合，则（ ）{}|24x A x =≥{}|lg(1)B x y x ==-A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[1,2)(1,2](1,)+∞[2,)+∞C【分析】先分别求出集合和，利用并集定义直接求解．A B 【详解】集合，{|24}{|2}xA x x x == 集合．{|lg(1)}{|1}B x y x x x ==-=>．{|1}(1,)A B x x =>=+∞ 故选：．C 2．设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的O OA OB 23i -32i -+AB复数是（ ）A ．B ．C ．D ．55i --55i -+55i +55i-B【分析】根据向量的运算，结合复数的几何意义求解即可【详解】由题意()()32i 23i 55iAB OB OA =-=-+--=-+故选：B3．树人中学高一年级10位女生的身高数据为148，155，157，159，162，163，164，165，170，172，则数据的第50，75百分位数分别为（ ）A ．162，165B ．162.5，164.5C ．162，164.5D ．162.5，165D【分析】根据百分位数的定义和运算规则计算即可.【详解】由题意，该数据已经从小到大排列， ，1050%5,1075%7.5⨯=⨯=∴第50百分位数= ，第75百分位数=165；162163162.52+==故选：D.4．下列命题中正确的是（ ）A ．事件发生的概率等于事件发生的频率A ()P A A ()n f A B ．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现16一次3点C ．若事件满足，则事件与是对立事件A B ，()()1P A P B +=A B D ．若两个事件满足，则事件与相互独立A B ，[](()1()P AB P A P B =-A B D【分析】对于A ，B,根据频率与概率的定义即可求解；对于C ，根对立事件的定义即可求解；对于D ，根据相互独立事件的定义即可求解.【详解】对于A ，频率与试验次数，总在概率附近摆动，故A 不正确；对于B ，概率是指这件事发生的可能性，故B 不正确；对于C ，不是，还要保证事件是互斥事件，故C 不正确；A B ，对于D ，由,得，所以事件与相互[]()()()1()()P AB P A P B P A P B=-=()()()P AB P A P B =A B独立，故D 正确.故选：D.5．在正方体中，分别为，的中点，则直线与所1111ABCD A B C D -E F 、AB BC EF 1A D 成角的余弦值为（ ）A ．B ．CD 012B【分析】根据求解直线与所成角即可11//,//EF AC A D B C EF 1A D 【详解】由题意，如图，因为且，故平行四边形，故11//A B DC 11A B DC =11A B CD ，根据中位线的性质有，故直线与所成角为.易得正11//A D B C //EF AC EF 1A D 1ACB ∠，直线与所成角为，故余弦值为1AB CEF 1A D 160ACB ∠=12故选：B6．设“掷2枚质地均匀的硬币一次，出现1枚正面”的概率为，“掷4枚质地均匀的硬1p 币一次，出现2枚正面”的概率为，则（ ）2p A ．B ．C ．D ．无法比较12p p <12p p =12p p >C【分析】根据独立重复实验的特征，利用二项分布的概率公式直接求出，即可得12,p p 到答案.【详解】掷n 枚质地均匀的硬币属于独立重复实验，所以“掷2枚质地均匀的硬币一次，出现1枚正面”的概率为，112111C 222p ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭“掷4枚质地均匀的硬币一次，出现2枚正面”的概率为，22224113C 228p ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.12p p >故选：C7．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”，平面，P ABCD -PA ⊥ABCD ，分别为棱的中点，则下列选项错误的是（ ）PA AB AD ==E F 、PB PD 、A ．平面B ．平面//EF ABCD EF ⊥PAC C ．平面 平面D ．平面平面PBD ⊥AEF AEF ⊥PBCC【分析】对于A ，利用三角形的中位线定理结合线面平行的判定进行判断，对于B ，通过证明平面进行判断，对于C ，通过计算平面与平面的夹角进BD ⊥PAC AEF PBD 行判断，对于D ，利用面面垂直的的判定理进行判断【详解】对于A ，因为分别为棱的中点，E F 、PB PD 、所以∥，EF BD 因为平面,平面，EF ⊄ABCD BD ⊂ABCD 所以∥平面，所以A 正确，EF ABCD 对于B ，因为为矩形，，所以四边形为正方形，ABCD AB AD =ABCD 所以，AC BD ⊥因为平面，平面，PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，PA BD ⊥因为，所以平面，PA AC A = BD ⊥PAC 因为∥，所以平面，所以B 正确，EF BD EF ⊥PAC 对于C ，设，连接交于，连接，因为平面，AC BD O = AO EF M AM PA ⊥ABCD 平面，所以，因为，所以≌,AB AD ⊂ABCD ,PA AB PA AD ⊥⊥PA AB AD ==PAB △，所以，，因为∥，为的中点，所以为的PAD △AE AF =PB PD =EF BD O BD M EF 中点，所以，，所以为平面与平面的夹角，不AM EF ⊥OM EF ⊥AMO ∠AEF PBD 妨设，则，所以2PB PD BD ====1,1AE AF AO ===中，12AM MO PO ==AMO ，所以，所以平面与2221cos 23AM MO AO AMO AM MO +-∠==⋅2AMO π∠≠PBD 平面不垂直，所以C 错误，AEF 对于D ，因为平面，平面，所以，PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为四边形为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥因为，所以平面，PA AB A = BC ⊥PAB 因为平面，所以，AE ⊂PAB BC AE ⊥因为，为的中点，所以，PA AB =E PB AE PB ⊥因为，所以平面，PB BC B ⋂=AE ⊥PBC 因为平面，所以平面平面，所以D 正确，AE ⊂AEF AEF ⊥PBC 故选：C8．已知函数，若存在实数，满足且11,02()2,23xx x f x x -⎧-≤<=⎨≤≤⎩123,,x x x 21303x x x ≤<<≤，则的取值范围是（ ）123()()()f x f x f x ==1213()()x x x f x +A ．B ．1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3182⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5382⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到，得，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合122x x +=31111()2x x --=3x 函数求值域的方法求出值域即可．【详解】分别画出与的图象，如图所示|1|y x =-112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，得，122x x +=31121112x x x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭311112x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，3311121311()()2122x x x x x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，，得，3112x t -⎛⎫= ⎪⎝⎭[]32,3x ∈1142t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又，对称轴为，所以在上单调递增，由22(1)22y t t t t =-=-+12t =222y t t =-+1142t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于则的取值范围为；y 3182⎡⎤⎢⎣⎦，故选：B二、多选题9．下列不等式中成立的是（ ）A ．B ．πsin1sin3<2πcoscos 23>C ．D ．cos(70)sin18->15π4πsinsin 75>AC【分析】根据正弦在单调递增可判断A,根据在单调递sin y x =0π2⎛⎫⎪⎝⎭，cos y x =ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭减可判断B,根据诱导公式以及正余弦的单调性可判断C,D.【详解】对A,因为，在单调递增，所以,故Aππ0132<<<sin y x =0π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，πsin1sin 3<正确；对B ，因为，在单调递减，所以,故B 错π2π2π23<<<cos y x =ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2πcos cos 23<误；对于C,，故C 正确；cos(70)cos70sin 20sin18-==>对于D ，，故D 错误；15ππ4πππsin=sin sin =sin sin 77557>，故选：AC 10．设是虚数，是实数，且，则下列选项正确的是（ ）1z 2112z z z =+211z -≤≤A ．11z z ⋅=B ．112z z ⋅=C ．的取值范围是11z z +[]11-，D ．的取值范围是11z z +1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，BC【分析】设出，利用复数的四则运算法则结合题干信息得到，1i z a b =+222a b +=，1122a -≤≤进而求出，的取值范围是.112z z ⋅=11z z +[]11-，【详解】设，为实数，1i 0z a b b =+≠，,a b 则，2222222222i 22i i i i a b a b z a b a b a b a b a b a b a b -⎛⎫=++=++=++- ⎪++++⎝⎭因为是实数，且，2112z z z =+211z -≤≤所以，解得：，，222221120a a a b b b a b ⎧-≤+≤⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩222a b +=1122a -≤≤则，A 错误，B 正确；22112z z a b ⋅=+=，C 正确，D 错误.[]1121,1z z a +=∈-故选：BC11．在棱长为的正方体中，为上任意一点，为上任a 1111ABCD A B C D -P 11A B E F 、CD 意两点，且的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（ ）EF A ．点到平面的距离1D PEF B ．三棱锥的体积1D PEF -C ．直线与平面所成的角1D P 1EFD D ．二面角的大小1P EF D --ABD【分析】结合已知，分别分析点到平面的距离、直线与平面所成的角、棱锥的体积、二面角的大小，观察它们的值可得到答案.【详解】解：A 选项中，∵平面PEF 也就是平面，又到平面的距离11A B CD 1D 11A B CD 是定值，∴点到平面PEF 的距离为定值，故A 正确；1D B 选项中，因为EF 定长， D 1到EF 的距离就是D 1到CD 的距离也为定长，即三角形的底和高都是定值，所以的面积是定值，1D EF又P 到平面的距离是定值，所以P 到平面D 1EF 的距离也是定值，即三棱锥11CDD C的高也是定值，1P D EF -又∵，三棱锥的体积是定值，故B 正确；11D PEF P D EFV V --=1D PEF -C 选项中，因为平面就是平面，∵P 是动点，∴直线P D 1与平面所1EFD 11CDD C 11CDD C 成的角不是定值，如点P 在点A 1时，直线P D 1与平面所成的角为，点P 在点B 1时，直线P 11CDD C 90D 1与平面所成的角为，11CDD C 45所以直线与平面所成的角不是定值，故C 不正确；1D P 1EFD D 选项中，因为平面PEF 也就是平面，平面就是平面，∴二面角11A B CD 1EFD 11CDD C 的大小为定值，故D 正确．1P EF D --故选：ABD ．12．是的重心，，是所在平面内的一点，G ABC 24120，，==∠= AB AC CAB P ABC 则下列结论正确的是（ ）A ．0GA GB GC ++=B ．在方向上的投影向量等于AC AB AB C ．43GA GB ⋅=D ．的最小值为()AP BP CP ⋅+ 32-ACD【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断CD.【详解】对于A ，当点为的重心时，G ABC 如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.BDCG 2AG GO =则，∴A 正确；20GA GB GC GA GD GA GO ++=+=+=对于B ，∵在方向上的投影为，AC AB 1cos120422AC ⎛⎫︒=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴在方向上的投影向量为，∴B 错误；AC ABAB - 对于C ，∵是的重心，G ABC ∴，，()()()1112333GB BA BC BA BA AC AB AC =-+=-++=- ()13A A ACG B =+∴()()()22112299GB AG AB AC AB AC AB AB AC AC⋅=-⋅+=+⋅- ，所以，∴C 正确；11482416923⎡⎤⎛⎫=+⨯⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43⋅= GB GA 对于D ，如下图，取的中点，连接，取中点，连接，则，BC D ,PD PA AD M AM 2PA PD PM +=，()12AD AB AC=+ ，则()()2221124816344AD AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ()()221()()224AP BP CP PA PB PC PA PD PA PDPA PD ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，显然当重合时，，取最小值222132222PM DA PM =-=-,P M 20PM = ()AP BP CP ⋅+ ，∴D 正确.32-故选：ACD ．三、填空题13．设非零向量是满足，，，则,,a b c 0a b c ++= a b ⊥(2)a b c -⊥ __．b =2【分析】由题意得到，结合，()c a b =-+ a b ⊥ (2)a b c -⊥ 可求解.【详解】因为，可得，0a b c ++=()c a b =-+又因为，，a b ⊥ (2)a b c -⊥可得，()()()2222222200a b c a b a b a a b b b ⎡⎤-⋅=-⋅-+=--⋅+=-⨯-+=⎣⎦解得，所以.24b = 2b = 故答案为.214．如图，边长为2的正方形中，点，分别是，的中点，将，ABCD E F BC CD ABE △，分别沿，，折起，使得，，三点重合于点，若四CEF △ADF AE EF AF B C D P 面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___．P AEF -6π【分析】根据四面体的结构特征，把四面体补形为长方体，求出长P AEF -P AEF -方体的外接球的表面积即可.【详解】由题意知△PEF 是等腰直角三角形,且AP ⊥平面PEF ，即在点P 处三条直线PA ,PE ,PF 两两垂直.可以以PA ,PE ,PF 为长方体一个顶点处的三边把四面体补P AEF -形为长方体，则四面体的外接球即为长方体的外接球.P AEF -设其半径为R ，则所以，该球的表面积为.2R =R =246S R ππ==故答案为: .6π15．如图，在平面四边形中，，，，ABCD 6ADC π∠=34ABC π∠=BAC DAC ∠=∠，则___．24CD AB ==AC =【分析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可DCA △sin 2AC DAC ∠=BCA，因为，可求出sin AC CAB BC ∠=BAC DAC ∠=∠BC =出的值.AC 【详解】在中，由正弦定理可得：DCA △，4sin sin sin 30sin AC DC AC ADC DAC DAC =⇒=∠∠︒∠所以①，sin 2AC DAC ∠=在中，由正弦定理可得：，BCA sin sin sin sin135BC AC AC ACCAB ABCCAB =⇒=∠∠∠︒所以②，sin AC CAB BC ∠=又因为，所以由①②可得：，BAC DAC ∠=∠2BC =解得：BC =所以在中，由余弦定理得：BCA，(22222220AC ⎛=+-⨯⨯= ⎝解得.AC=故答案为:四、双空题16．有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题：（1）求经过一次试验后，手上没有小球的概率为___；（2）求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为___．120.59400.225【分析】根据相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；【详解】解：经过一次试验后，手上没有小球，即掷硬币出现反面，显然掷一次硬币出现反面或正面的概率均为，12故经过一次试验后，手上没有小球的概率为；12经过三次试验后，取到两个白球、一个红球且有一个白球被放回的概率为，22131323235C C A 113C 1A 2220⎛⎫⎛⎫⋅⨯⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭经过三次试验后，取到两个红球、一个白球且有一个红球被放回的概率为21231323235C C A 113C 1A 2240⎛⎫⎛⎫⋅⨯⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为.339+204040=故；.12940五、解答题17．已知数据的平均数为，方差为；数据的平均数为，方12,,,m x x x ⋅⋅⋅x 21s 12,,,⋅⋅⋅n y y y y 差为．22s (1)求的值；1(mi i x x =-∑(2)若将这两组数据合并成一组新数据，其平均数为，证明：12,,,,m x x x ⋅⋅⋅12,,,⋅⋅⋅n y y y ω，并写出的表达式，不需要证明．()22211()mi i x m s x ωω=⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦∑21()nii y ω=-∑(1)0(2)证明见解析，()22221(ni i y n s y ωω=⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦∑【分析】（1）可得答案；111()nn niii i i x x x x===-=-∑∑∑（2），由计算可得答22111(==-∑mi i s x x m2211()()mmi ii i x x x x ωω==-=-+-∑∑()221ms m x ω=+-案.【详解】(1)111()n n niii i i x x x x===-=-∑∑∑.0nx nx =-=(2)，22111()mi i s x x m==-∑ 则，2211()()mm i ii i x x x x ωω==-=-+-∑∑()()()()2212mi i i x x x x x x ωω=⎡⎤=-+--+-⎢⎥⎣⎦∑()()()()221112mmmiii i i x x x x x x ωω====-+--+-∑∑∑()()2211mmi i i x x x ω===-+-∑∑，()221ms m x ω=+-，()22211()mi i x m s x ωω=⎡⎤∴-=+-⎢⎥⎣⎦∑ 同理.()22221()n ii y n s y ωω=⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦∑18．如图，在平行四边形中，，，，与ABCD 32AB CB ==，1ABe AB=2AD e AD=AB 的夹角为．ADπ3(1)若，求的值；AC = 12xe ye+x y +(2)求与的夹角的余弦值．AC 12e e- (1)5【分析】（1）根据数乘运算以及向量加法的平行四边形法则即可求解；（2）根据模长公式求解模长，根据数量积中的夹角公式即可求解.【详解】(1)依题意，，；113AB AB e e ==2222AD AD e BC e e == =由平行四边形法则可得，，AC AB AD =+则 ，且，1232AC e e =+12AC xe ye =+ 即 ，32x y ==，5x y ∴+=(2)依题意，， ，1=1e21e = 12π3e e AB AD == ，，则()12AC e e ⋅-=()()121232e e e e +⋅- 2211221322ee e e =-⋅-=13AC e =+11e =即()121212cos ,AC e e AC e e ACe e ⋅--===-所以，与AC 12e e -19．在中，内角所对的边分别为ABC A B C ，，,,,a b c ．22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的值；sin B (2)若，，求的面积．2a =2b ac =ABC(1)sin B =【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式展开，以及同角平方和关系即可求解；（2）根据（1）的结果可分两种情况讨论或，结合余弦定理即可判断1cos 2B =1cos 2B =-为等边三角形，根据面积公式即可求解.ABC 【详解】(1)由得22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222ππππ31sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin =cos sin 666644B A A A A A A A⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则，且，222333sin cos sin 444B A A =+=()0,πB ∈sin B ∴=(2)方法一：由（1）得，可得，或sin B =()0,πB ∈1cos 2B =1cos 2B =-由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-当时，；由可得，，即，此时1cos 2B =222b a c ac =+-2b ac =2220+-=a c ac a c =为等边三角形，故ABC 1sin 2ABC S ac B == 当时，，由可得，即，不符合要1cos 2B =-222b a c ac =++2b ac =220a c +=0a c ==求，所以，ABC 方法二：2b ac= 由余弦定理可得，，当且仅当时，2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=a c =等号成立即，，1cos 2B ≥()0πB ∈，∴π03B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，由（1）且，sin B =π3B =2a c ==即1sin 2ABC S ac B == 方法三：2b ac= 由正弦定理可得，，由（1）可得，，2sin sin sin B A C =3sin sin 4A C =则，，3sin sin()4A A B +=()3sin sin cos cos sin 4A A B A B +=当，即时，，即 ，进1cos 2B =π3B =13sin sin 24A A A ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭213sin cos 24A A A =一步得，1cos23244A A -+=，，即，故πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ7π2666A -<-<ππ2=62A -π3A =于是为等边三角形，ABC 1sin 2ABC S ac B ∆==当，即时，，1cos 2B =-2π3B =13sin sin 24A A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭即 ， ， 即 ，推出矛213sin cos 24A A A -+=cos 213244A A -+=sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭盾；综上所述，∴ABC 20．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录学生的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.[)2030，[)3040， []8090，(1)根据频率分布直方图，判断样本中的平均数与中位数的大小，并简述理由；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间上的人数；[)4050，(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.(1)平均数中位数，理由见解析<(2)20人(3)3:2【分析】（1）根据直方图的特征可判断中位数和平均数的大小；（2）算出上的频率，从而可求总体在上的人数；[)4050，[)4050，（3）可算出样本中男生和女生人数的比例为，从而可得总体中男生和女生人数的3:2比例.【详解】(1)平均数中位数.因为直方图在左边“拖尾”，和中位数相比，平均数总是在<“长尾巴”那边.(2)依题意，，两个组的频率之和为[)2030，[)3040，50.05100=，，，四个组的频率之和为[)5060，[)6070， []8090，0.10.20.40.20.9+++=则对应的频率为,故总体中分数在区间上的人数大约为[)4050，10.050.90.05--=[)4050，人.4000.0520⨯=(3)依题意，样本中分数不小于70的频率为，则样本中分数不小于70的0.40.20.6+=人数为，其中男女生人数都为30人，即样本中男生人数为60人，女生1000.660⨯=人数为40人，故男生和女生人数的比例为.所以，由样本估计总体可得，60:403:2=总体中男生和女生人数的比例大约为.3:221．如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，A B C D E F 、、、、、ABEF ，，且二面角与二面角都是.2AF FD =90AFD ∠=︒D AF E --C BE F --60︒(1)证明：平面EFDC ；BE ⊥(2)求直线与平面所成角的正切值.AC EFDC (1)证明见解析【分析】（1）由题意可得，，由线面垂直的判定定理可证平面BE EF ⊥BE FD ⊥BE ⊥.EFDC （2）由题易得直线与平面所成的角，再分别求出，由ACF ∠AC EFDC ,AF CF ，代入即可求出答案.tan AFACF CF ∠=【详解】(1)证明：由正方形可得，因为，所以，ABEF AF EF ⊥//AF BE BE EF ⊥由正方形可得，因为，所以，90AFD ∠=︒AF FD ⊥//AF BE BE FD ⊥，所以，平面.EF FD F = BE ⊥EFDC (2)连接，,,,CF AF EF ⊥AF FD ⊥EF FD F = 由平面.可得，直线在平面上的射影为AF ⊥EFDC AC EFDC CF所以直线与平面所成的角，ACF ∠AC EFDC 由正方形可得，，平面，ABEF //AB EF //AB EF AB ⊄EFDC 则平面，//AB EFDC 又平面，平面平面 ，AB ⊂ ABCD ABCD EFDC CD =，即，//AB CD ∴//EF CD 由（1）可得，，则是二面角的平面角AF EF ⊥AF FD ⊥DFE ∠D AF E --同理是二面角的平面角，CEF ∠C BE F --即平面四边形为等腰梯形，且，EFDC DFE ∠=60CEF ∠=︒不妨设，则，，，1FD =2AF =2EF =1CE =在中，，即CEF △2222cos 3CF CE EF CE EF CEF =+-⋅⋅∠=CF =在中，Rt ACF tan AF ACF CF ∠==所以，直线与平面AC EFDC 22．已知是定义在上的偶函数，当时，．()f x R 0x ≤2()22f x x x =++(1)求函数的解析式；()f x (2)定义在上的一个函数，用分法：将区间任[],p q ()m x T 012n p xx x x q =<<<⋅⋅⋅<=[],p q意划分为个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成n 0M >11()()nii i m x m xM-=-≤∑立，则称函数为在上的有界变差函数. 试判断函数是否为在上的()m x [],p q ()f x []1,3有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由M (1)2222,0()22,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩(2)是，4【分析】（1）已知函数的解析式结合是定义在上的偶函数，可求出在0x ≤()f x R ()f x 的解析式，即可求出答案.0x >（2）结合已知中有界变差函数的定义，结合在的单调性，可得[]1,311()()ni i i f x f x -=-=∑，进而求得的最小值.0()()(3)(1)4n f x f x f f =-=-=M 【详解】(1)是上的偶函数()f x R 当时，()()f x f x ∴=-0x ≤2()22f x x x =++当，即时，0x >0x -<2()()22f x f x x x =-=-+()2222,022,0x x x f x x x x ⎧-+>∴=⎨++≤⎩(2)函数为在上的有界变差函数()f x []1,3用分法：将区间任意划分为个小区间T 01213n x x x x =<<<⋅⋅⋅<=[]1,3n 在上单调递增()f x []1,3则012(1)()()()()(3)n f f x f x f x f x f =<<<⋅⋅⋅<=即110213211()()()()()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑[][][][]1021321()()()()()()()()n n f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-0()()(3)(1)4n f x f x f f =-=-=即存在一个常数，使得成立0M >4M ≤所以，函数为在上的有界变差函数，且的最小值为4.()f x []1,3M。

福建省福州第八中学2023-2024学年高一下学期7月期末考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列命题正确的是（）
A．一个棱柱至少有六个面
B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形C．棱台的各侧棱延长后交于一点
四、解答题
15．随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50~100分内，满分100分），并将评分按照[)[)[)[)[]
50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
(1)求这200户居民本次问卷评分的中位数；
(2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
(3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[)[]
50,60,90,100内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
16．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系e kx b
y+
=
由球的几何性质可知1OO ^平面因为11O A O B =，160AO B Ð=°因为H 为AB 的中点，则1O H 同理可知2
3O H =，
因为平面1
O AB ^平面2O AB ，平面H Ì平面O AB ，所以O H
答案第151页，共22页。

2018-2019学年福建省福州八中高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．若集合{}314A x x =-≥， 2111x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合A B ⋂=（ ）A. (]21--，B. ΦC. [)11-，D. ()2,1--2．已知向量()()2,1,1,a b m ==-，且()()//a b a b +-，则m 的值为（ ） A. 2 B. 2- C.12 D. 12- 3．已知角.C 的终边上一点的坐标为()sin25,cos25︒︒,则角.D 的最小正值为（ ）A. 25︒B. 45︒C. 65︒D. 115︒4．已知等比数列 ，且 ，则 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 165．变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=y-2x 的最小值为（ ）A ．-7B ．-4C ． 1D ．26．函数2cos cos y x x x =+在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 12⎡-⎢⎣⎦C. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎡⎢⎣⎦ 7．已知3OA =， 1OB =， 0OA OB ⋅=，若3OP OA OB =+，则A O P ∠=（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π8．已知()2f x ax bx =+，且满足： ()113f ≤≤， ()111f -≤-≤，则()2f 的取值范围是（ ）A. []0,12B. []2,10C. []0,10D. []2,129．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈ 都有11n n a a n +=++，则122017111a a a +++= ( )A.20162017 B. 40322017 C. 40342018 D. 20172018 10．刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。

福建省福州八中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知α为第二象限角，sinα=，则sin（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．D．﹣2．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中正确的是（）A．•=2 B．||=|| C．⊥D．∥4．=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2D．105．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．6．函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．7．在△ABC中，若tan A•tan B＜1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．9．如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA，DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．﹣C．﹣D．不确定10．设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递减B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递增D．g（x）在（，π）上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11．tan600°=．12．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．13．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，则a边的长为．14．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．三、解答题：（本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）15．已知向量=（1，0），=（1，4）．（Ⅰ）若向量k+与平行，求k的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．16．已知函数R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为9，求实数m的值．17．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2﹣c2=ab，且．求sinB．一、选择题（5分&#215;4=20分，请将答案填写在答卷上）18．设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0D．﹣119．=（）A．﹣B．﹣C．D．20．设是两个非零向量，则有（）A．若|+|=||﹣||，则有⊥B．若•=0，则有|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在λ使得=λ成立D．若存在λ使得=λ成立，则|+|=||﹣||成立21．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分．）22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．23．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：（本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）24．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且．（Ⅰ）求ac的值及△ABC的面积；（Ⅱ）若a=7，求角C的大小．25．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．福建省福州八中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知α为第二象限角，sinα=，则sin（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知可先求cosα，利用诱导公式及二倍角公式化简后即可得解．解答：解：∵α为第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin（π﹣2α）=sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角的正弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．2．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的值域，可得结论．解答：解：根据函数f（x）=|sinx|的最大值为1，可得B不正确，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的值域，属于基础题．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中正确的是（）A．•=2 B．||=|| C．⊥D．∥考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积以及向量的模，向量是否共线判断即可．解答：解：向量=（2，0），=（1，1），•=2×1+0×1=2．∴A正确，C不正确．||=2，||=，∴B不正确，∥，显然不正确．故选：A．点评：本题考查向量的数量积，向量的平行以及向量的模的求法，基本知识的考查．4．=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2D．10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．5．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．解答：解：∵tanα=2＞0，∴α∈（﹣π，﹣），∴cosα=﹣=﹣，sinα=﹣=﹣，则sinα﹣cosα=﹣+=﹣点评：此题考查了同角三角基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．6．函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．分析：先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．解答：解：由可得最小正周期为T==2π，故选A．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法．属基础题．7．在△ABC中，若tan A•tan B＜1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：两角和与差的余弦函数；三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：将已知条件tanA•tanB＜1中的切化弦，逆用两角和的余弦判断即可．解答：解：∵tanA•tanB＜1，∴1﹣＞0，即==﹣＞0，∴＜0．∴A、B、C中必有一角为钝角，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．点评：本题考查三角形的形状判断，考查转化与分析、运算能力，属于中档题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合函数的图象，由函数的最值求出A，由周期求出ω，再由求出φ的值．解答：解：由图可知A=2，，故ω=2，又，所以，故，又，所以．故选：B．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．9．如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA，DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．﹣C．﹣D．不确定考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据=，=，把要求的式子化为+•（）+．再由题意可得=0，=﹣1，||=||=，从而得到要求式子的值．解答：解：∵=，=，∴=（）•（）=+++=+•（）+．∵由题意可得=0，=﹣1，||=||=，∴=+0﹣1=﹣，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，向量在几何中的应用，属于中档题．10．设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递减B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递增D．g（x）在（，π）上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由周期可求ω，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：A．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的单调性，周期性，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11．tan600°=．考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：用诱导公式将较大的角转化成锐角三角函数进行化简．解答：解：∵tan600°）=tan60°=．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的诱导公式，诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数12．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：通过向量的垂直，其数量积为0，建立关于x的等式，得出x求出向量，推出，然后求出模．解答：解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），则==，故答案为：．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．13．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，则a边的长为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，c，sinA的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出a的值即可．解答：解：∵△ABC中，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，∴bcsinA=，即b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3，则a=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的奇偶性求出结果．解答：解：f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2（）=当（k∈Z）即：由于：所以：当k=0时，θ=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数奇偶性的应用．属于基础题型．三、解答题：（本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）15．已知向量=（1，0），=（1，4）．（Ⅰ）若向量k+与平行，求k的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）首先得到k+与的坐标，然后根据平行的坐标关系得到关于k的等式，解之；（Ⅱ）利用（Ⅰ）k+与坐标，结合数量积公式写出表示向量的夹角为锐角的等价条件．解答：解：（Ⅰ）依题意得k+=（k，0）+（1，4）=（k+1，4），=（3，8）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵向量k+与平行∴8（k+1）﹣3×4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）得k+=（k+1，4），=（3，8），∵向量k+与平行的夹角为锐角∴（k+）（）=3（k+1）+4×8＞0，且8（k+1）≠3×4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k＞﹣且k﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了平面向量的平行的性质以及向量夹角问题；关键是利用坐标等价表示向量的位置关系．16．已知函数R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为9，求实数m的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+）+m+2，利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，≤2x+≤，≤sin（2x+）≤1，从而可求得f（x）∈[3+m，4+m]，利用f（x）的最大值为9，可求实数m的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+m=+sin2x+3×+m=sin2x+cos2x+m+2=2sin（2x+）+m+2，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．由2x+=+kπ（k∈Z）得，x=+，k∈Z，∴函数f（x）的对称轴方程是x=+，k∈Z．（Ⅱ）∵当x∈[0，]时，≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1，∴3+m≤2sin（2x+）+m+2≤4+m∴4+m=9，解得m=5．∴实数m的值为5．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．17．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2﹣c2=ab，且．求sinB．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点，结合0＜φ＜π求出φ的值．（2）利用余弦定理求出C的正弦函数与余弦函数值，通过求出A的正弦函数与余弦函数值，即可求解sinB．解答：（本小题满分12分）解：（1）由题意可得，即．…∵0＜φ＜π，∴，∴，∴．…（2）∵a2+b2﹣c2=ab，∴，…∴．…由（1）知，∴．∵A∈（0，π），∴，…又∵sinB=sin（π﹣（A+C））=sin（A+C），∴sinB=sinAcosC+cosAsinC==．…点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力．一、选择题（5分&#215;4=20分，请将答案填写在答卷上）18．设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0D．﹣1考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos2θ﹣1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cos2θ﹣1的值代入即可求出值．解答：解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，∴•=0，即﹣1+2cos2θ=0，则cos2θ=2cos2θ﹣1=0．故选C点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．19．=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．20．设是两个非零向量，则有（）A．若|+|=||﹣||，则有⊥B．若•=0，则有|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在λ使得=λ成立D．若存在λ使得=λ成立，则|+|=||﹣||成立考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据|+|=||﹣||，则有与反向，且||≥||；•=0，则有⊥；及向量共线的充要条件逐一判断四个答案的正误，可得结论．解答：解：若|+|=||﹣||，则与反向，且||≥||，故A错误；若•=0，则有⊥，进而有|+|=|﹣|，但|+|=||﹣||不一定成立，故B错误；若|+|=||﹣||，则有与反向，则存在λ使得=λ成立，故C正确；存在λ＞0得=λ成立，则与同向，此时|+|=||﹣||不成立，故D错误．故选：C点评：本题考查的知识点是向量共线的充要条件，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．21．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解答：解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分．）22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．解答：解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，可得a2=3b2，所以cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基本知识的考查．23．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=150m．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结果．解答：解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，∴AC==100．△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，即，解得AM=100．Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150（m），故答案为：150．点评：本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．三、解答题：（本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）24．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且．（Ⅰ）求ac的值及△ABC的面积；（Ⅱ）若a=7，求角C的大小．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积运算和平方关系、三角形的面积即可得出；（Ⅱ）利用余弦定理即可得出．解答：解：（Ⅰ）因为，所以cacosB=21，所以ac=35．又，所以．所以．即△ABC的面积为14．（Ⅱ）因为a=7，且ac=35，所以c=5．又，由b2=a2+c2﹣2accosB=32，解得所以．因为0＜C＜π，所以．点评：熟练掌握向量的数量积运算和平方关系、三角形的面积、利用余弦定理是解题的关键．25．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；（2）令由=1求解x，从而求景观路GO的长；（3）作图求S平行四边形OMPQ=OM•PP1====，从而求最值．解答：解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．点评：本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属于中档题．。