南京理工大学2005高等数学II试题

一、填空题：(18分)1． 曲线2,3,4234t z t y t x ===在相应于1=t 点处的法平面方徎为。

2． 点(1,1,1)到平面014263=+-+z y x 的距离为。

3．过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为。

4． 已知)(sin 2y x z +=,则_______=∂∂xz,y x z ∂∂∂2。

5． 交换积分⎰⎰101),(x dy y x f dx 的积分次序为。

6．设∑：)10(22≤≤+=z y x z ．则dS z ⎰⎰∑。

7．设向量场xy z zx y yz x )()()(222-+-+-=, 则 。

8．设函数f (x )是以π2为周期，f (x )=x(-ππ≤<x )，f (x)的级数为)sin cos (210∑+∞=++n n n nx b nx a a ，则b 2= 。

9．设函数f (x )是以π2为周期的偶函数，它的级数为)sin cos (210∑+∞=++n n n nx b nx a a ，则级数∑∞=0n n b = 。

二. （7分）求函数1),(22--+++=y x y xy x y x f 的极值，并指出是极大值，还是极小值。

三. （8分）求级数∑∞=+0)1(n n x n 的收敛域和它的和函数。

四. （7分）计算⎰Lds x ，其中L 是抛物线2x y =上自点（1，1）到（2，4）的一段弧。

五. （8分）计算曲面积分⎰⎰∑-+-+-=dxdy y x dzdx x z dydz z y x I )()()(,其中∑是由柱面122=+y x ，平面0=z 及3=z 所围立体的表面外侧。

六．（10分）求下列方程的通解。

1.x e y y +='2''; 2. x e y y y 234=+'+''七. （8分）一均匀物体Ω是由抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成1）求Ω的体积;2）求Ω的质心。

考研真题 2005数学二2005年的数学二考研真题是一道经典的题目，它涉及到了高等数学中的微分方程和空间解析几何的知识。

这道题目既考察了考生对基础知识的理解和应用能力，又考察了考生的思维逻辑和解题技巧。

首先，让我们来看看这道题目的具体内容。

题目给出了一个微分方程组，并要求求出其通解。

这个微分方程组可以用矩阵的形式表示，即dX/dt = AX，其中X是一个列向量，A是一个已知的矩阵。

我们的任务就是找到一个可逆矩阵P，使得P-1AP是一个对角矩阵。

然后，我们可以通过变量代换的方法，将原方程组化为一组简单的一阶线性微分方程，从而求出其通解。

接下来，让我们来分析一下这道题目的解题思路。

首先，我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量。

特征值可以通过求解方程det(A-λI)=0来得到，其中I是单位矩阵。

求解这个方程可以得到矩阵A的特征值。

然后，我们可以通过带入特征值，求解方程组(A-λI)X=0来得到矩阵A的特征向量。

特征向量是方程组的非零解，可以通过高斯消元法或其他方法求解。

接下来，我们将特征向量组成一个矩阵P，然后求出其逆矩阵P-1。

最后，我们可以通过变量代换的方法，将原方程组化为一组简单的一阶线性微分方程，从而求出其通解。

在解题过程中，我们需要注意一些细节。

首先，我们需要判断矩阵A是否可对角化。

如果矩阵A的特征值都是不相等的，那么矩阵A是可对角化的。

如果矩阵A的特征值有重根，那么矩阵A是不可对角化的。

在这种情况下，我们需要通过广义特征向量的方法来求解。

其次，我们需要注意到特征向量的选择是不唯一的。

在求解特征向量时，我们可以通过高斯消元法或其他方法得到一个特解，然后通过线性组合的方法得到其他的特解。

通过解题过程，我们可以看到，这道题目涉及到了微分方程和矩阵的知识。

在解题过程中，我们需要灵活运用这些知识，同时还需要注意一些细节。

通过解题过程，我们可以提高我们的思维逻辑和解题技巧，从而更好地应对考试。

总结起来，2005年的数学二考研真题是一道经典的题目，它涉及到了微分方程和矩阵的知识。

2005级《高等数学A-2》期末试卷一、 单项选择题（将答案写在括号内,每题4分，共 48分）1．微分方程20y y y '''-+=的一个解是( ).(A) 2y x = (B) x y e = (C) sin y x = (D) x y e -=2．微分方程 x e x y y y 228644+=+'-'' 的一个特解应具形式 ( ).（a,b,c,d 为常数）(A) x ce bx ax 22++ (B) x e dx c bx ax 222+++(C) x x c x e be ax 222++ (D) x e cx bx ax 222)(++3． 若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则在点),(00y x 处，函数),(y x f ( ).)A (连续. )B (取得极值. )C (可能取得极值. )D (全微分0d =z .4．设()f u 可微,⎰⎰≤++=222x 22d )()(t y y x f t F σ,则()F t '=( ).(A) ()tf t π (B) 22()tf t π (C) 22()tf t (D) 2()tf t π5．设曲面06333=-+++xyz z y x ，则在点)1,2,1(-处的切平面方程为( ).)A ( 018511=-++z y x )B ( 018511=-+-z y x)C ( 018511=--+z y x )D ( 018511=+++z y x6．)(d d 12222==⎰⎰≤++y x e I y x y x . (A))1(-e π (B)e π (C)1-e π (D)e π27. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续，且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x存在是),(y x f 在该点可微的( ).)A ( 充分条件，但不是必要条件. )B (必要条件，但不是充分条件.)C ( 充分必要条件. )D (既不是充分条件，又不是必要条件.8. 已知)0,0(，)1,1(为函数22442),(y xy x y x y x f ---+=的两个驻点，则(). )A ()0,0(f 是极大值. )B ()0,0(f 是极小值.)C ()1,1(f 是极小值. )D ()1,1(f 是极大值.9. 周期为2的函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为x x f =)(11 <≤-x ，设它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=)23(S ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 21 (D) 21- 10．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑S y d ( ). (A)34 (B)π34 (C)0 (D) π11．下列级数收敛的是( ).∑∞=1!)(n n n n n e A ∑∞=1!2)(n n n n n B ∑∞=1!2)(n n n n n C ∑∞=1!)(n nn n D . 12. 设幂级数∑∞=-1)2(n n n x a 在2-=x 时收敛，则该级数在5=x 处( ).)(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 不能判定其敛散性.二、 填空题（将答案填在横线上，每题4分，共24分）1.=-+=)1,(,arcsin )1(),(x f yx y x y x f x 则设 2． ⎰⎰=∑S x I d 2＝ .(其中∑是2222R z y x =++) 3．分表达式为化为球坐标下的三次积z z y x y x y x x d d d 22222221010⎰⎰⎰--+-4．=+⎰⎰≤+y x x y y x y x d d )sin sin (1225．设z yx z y x f 1)(),,(=，则=)1,1,1(df 6．=++⎰⎰⎰≤++1222222d d d )(z y x z y x z y x三、（6分）求幂级数∑∞=--111)1(n n n x n的收敛半径、收敛域及和函数. 四、（5分）计算I=y x z x x z z y z y y x ⎰⎰∑-+-+-d d )33(d d )3(d d )2(,其中:0,0,0x y z ∑===及1=++z y x 所围立体表面的外侧.五、（5分） 设,)(22ba z y e u ax ++=而b a x b z x a y ,,cos ,sin ==为常数，求.d d x u 六、（6分）设L 为x y x =+22从点)0,1(A 到点)0,0(O 的上半圆弧，求曲线积分⎰-++-L x x y y e x y y e d )1cos (d )1sin ( .七、（6分）设)(x f 有连续的二阶导数且满足[]0d )(d )(ln ='+'-⎰y x f x xy x f x c 其中c 为xoy 面上第一象限内任一简单闭曲线，且,0)1()1(='=f f 求)(x f。

2005 年考研数学二真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）设y(1sin x) x，则 dy |x=______ .3（ 2）曲线 y (1x) 2的斜渐近线方程为 ______ .x（ 3）1xdx______ .0 (2x 2 )1x2（ 4）微分方程 xy12 y x ln x 满足 y(1)9的解为 ______ .（ 5）当x0 时，( x) kx2与(x) 1 x arcsin x cosx 是等价无穷小，则k= ______ .（6）设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，B (123,1 22 43,1 32 93)，如果 A1，那么 B.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）设函数f (x)lim n 1x3n，则 f(x) 在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（ 8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" M N " 表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B）F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C)F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[]（ 9）设函数y=y(x)由参数方程x t 22t,确定，则曲线 y=y(x) 在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是y ln(1 t)(A)1ln 23.(B)1ln 2 3 . 88(C)8ln 23.(D)8ln 2 3 .[]（ 10）设区域D {(,)x2y24,x0,y0}， f(x) 为 D上的正值连续函数，a,b 为常数，则x ya f ( x)b f ( y)f ( x)dD f ( y)(A)ab .ab.(C)( a b).a b.[] (B)2(D)2（ 11）设函数 u( x, y)( x y)(xx y (t )dt , 其中函数y) 具有二阶导数， 具有一阶导数，x y则必有2u2u2u2u(A)x2y 2 .（B ）x2y 2 .2u2u2u2 u(C)x yy 2 .(D)x yx 2 .[]（ 12）设函数 f ( x)x1,则e x 1 1(A)x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点 .（ B ） x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点 .(C) x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点 .(D)x=0 是 f(x) 的第二类间断点， x=1 是 f(x) 的第一类间断点 .[ ]（ 13）设1 ,2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1 ,2 ，则 1，A( 12) 线性无关的充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C) 10 .(D)20 .[ ]（ 14）设 A 为 n （ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A *,B * 分别为 A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换 A * 的第 1 列与第 2列得 B *.(B) 交换 A * 的第 1 行与第 2行得 B *.(C)交换 A * 的第 1 列与第2列得 B * .(D) 交换 A *的第 1 行与第2 行得B * .[] 三 、解答题（本题共 9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分 11 分）x (x t) f (t )dt0 ，求极限 lim设函数 f(x) 连续，且 f (0)x.x 0xf (x t)dt（ 16）（本题满分 11 分）如图， C 1 和 C 2 分别是 y1(1 e x ) 和 ye x 的图象， 过点 (0,1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 . 过2C 2 上任一点 M(x,y) 分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C 1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 ( x) ；C 2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S 1 ( x) S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y).（ 17）（本题满分 11 分）l 与 l 分别是曲线(2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分3 2x) f ( x)dx.的切线，其交点为 ( x（ 18）（本题满分 12 分）用变量代换x cost(0 t) 化 简 微 分 方 程 (1 x 2 ) yxyy 0 ， 并 求 其 满 足y1, yx2的特解 .x 0（ 19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（ I ）存在(0,1), 使得 f ( )1 ；（ II ）存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f () f ( )1.（ 20）（本题满分 10 分）已知函数z=f(x,y)的 全 微 分 dz 2xdx 2 ydy， 并 且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y) 在椭圆域D{( x, y) x 2y 2 1} 上的最大值和最小值 .4（ 21）（本题满分 9 分）计算二重积分x 2y 2d ，其中 D {( x, y) 0 x 1,0y 1} .1D（ 22）（本题满分 9 分）确 定 常 数a, 使 向 量 组1 (1,1, a)T, 2 (1, a,1) T ,3(a,1,1)T 可 由 向 量 组1 (1,1,a)T,2( 2,a,4)T ,3( 2, a, a)T 线性表示， 但向量组 1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3线性表示 .（ 23）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B 2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求 3 6 k线性方程组 Ax=0 的通解 .2005 年考研数学二真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）设y(1sin x) x，则 dy=dx.x【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 .【详解】方法一：y(1sin x) x=e x ln(1sin x) ，于是y e x ln(1sin x) [ln( 1sin x)x cos x] ，1sin x从而dy= y ()dx dx.x方法二：两边取对数， ln y x ln(1 sin x) ，对x求导，得1 y ln(1sin x)x cos x，y1sin x于是 y(1 sin x) x[ln( 1sin x) x cos x] ，故1sin xdyx= y ( ) dx dx.3（ 2）曲线y (1x) 2y3 x的斜渐近线方程为x.2【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.3【详解】因为 a= lim f (x)(1x)2xlim1,x x x x33b lim f ( x) ax(1 x) 2x 23，lim x2x x 于是所求斜渐近线方程为y x3.21xdx.（ 3）x 2 ) 1x20 (24【分析】作三角代换求积分即可 .【详解】令 x sin t ，则1xdx2sin t costdt0 ( 2x2 ) 1x 20 (2sin2 t ) cost=2 d cost arctan(cos ) 2 1cos2 t. 4（ 4） 微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1 的解为 y 1x ln x1x. .939【分析 】直接套用一阶线性微分方程y P( x) y Q ( x) 的通解公式：ye P ( x) dxP ( x)dxdx C] ，[ Q( x)e再由初始条件确定任意常数即可 .【详解 】 原方程等价为y2 y ln x ，x2dx2dx12于是通解为xxy e[ln x edx C ] x2[ xln xdxC]= 1x ln x1 x C 1 ，39 x 2由 y(1)1 得 C=0 ，故所求解为 y 1x ln x 1x.93 9（ 5）当 x0 时， ( x) kx 2 与(x)1 x arcsin xcosx 是等价无穷小，则 k=3 .4【分析 】 题设相当于已知 lim( x) 1，由此确定 k 即可 .( x)x 0【详解】由题设， lim( x) lim 1 x arcsin xcosx( x)kx 2x 0x 0x arcsin x 1 cos x = limxkx 2 ( 1 x arcsinxcos x )= 1 lim x arcsin x 1 cos x3 1，得 k3 .2kx 0x 24k4（6）设1, 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵A ( 1, 2, 3)，B( 123,12243,13293 ) ，如果 A 1，那么 B2 .【分析 】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 .【详解 】 由题设，有B ( 123 ,12 2 43,1 32 93)111=(1,2,3)123，149111于是有 B A 12 3 12 2.149二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）设函数f (x)lim n 1x3 n，则 f(x) 在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出 f(x) 的表达式，再讨论其可导情形 .当 x 1 时，n3n【详解】f( )lim1x1；x n当 x 1 时， f ( x)lim n 111；n3113当 x 1 时， f ( x)lim x1) n(3n x .n xx3 ,x1,即 f ( x)1,1x1,可见 f(x) 仅在 x= 1 时不可导，故应选(C).x 3 ,x 1.（ 8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" M N " 表示“M的充分必要条件是N ”，则必有(B)F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C)F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.F ( x)x C ，且F ( x) f ( x).【详解】方法一：任一原函数可表示为 f (t) dt当 F(x) 为偶函数时，有F (x) F ( x)，于是F(x)(1) F ( x) ，即 f (x) f ( x) ，也即f ( x) f ( x) ，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)xf (t) dt 为偶函数，从而为奇函数，则xf (t )dt C 为偶函数，可见(A)为正确选项.F (x)方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除 (B)、 (C);令 f(x)=x,则取 F(x)= 1 x2, 排除 (D); 故应选 (A).2（ 9）设函数y=y(x)由参数方程x t 22t ,确定，则曲线y=y(x) 在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)1ln 23.(B)1ln 23 .88(C) 8ln 2 3.(D) 8ln 2 3 .[ A ]【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值， 进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标 .【详解 】 当 x=3 时，有 t 22t3 ，得 t 1, t 3 （舍去，此时 y 无意义），于是dy 1 1，可见过点 x=3( 此时 y=ln2) 的法线方程为：1 tdxt12t 2t 18y ln 2 8( x 3) ，令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：1ln 2 3, 故应 (A).8（ 10）设区域 D{( x, y) x 2y 2 4, x0, y0} ， f(x) 为 D 上的正值连续函数， a,b 为常数，则a f ( x)b f ( y)f ( x) f ( y) dD(A)ab . (B)ab (C)( a b) .ab[ D ]2 .(D).2【分析 】 由于未知 f(x) 的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的 . 本题可考虑用轮换对称性 .【详解 】 由轮换对称性，有a f ( x)b f ( y)d a f ( y) b f ( x)f (x)f ( y)f ( y)d DDf (x)1a f ( x)b f ( y)a f ( y)b f ( x)=[f (x)f ( y)f ( y) f (x) ]d2 D=a2b da b 1 22ab . 应选 (D).D2 42（ 11）设函数 u( x, y)( xy)( x y)x y (t) dt ,x y其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有2u2u2u2u(A)x2y 2 .（B ）x2y 2 .2u2u2u 2 u(C)x yy 2 .(D)x yx 2 .[ B ]【分析】先分别求出2u 、 2u 、2u，再比较答案即可 .x 2y 2x yu(x y)(x y)(x y)( x y) ，【详解】因为xu(x y)(x y)(x y)( x y) ，y于是2 u(x y)(x y)(x y)(x y) ，x22u( x y)( x y)( x y)( x y) ，x y2 u( x y)(x y)(x y)(x y) ，y 2可见有2u 2 u，应选 (B).x2y 2（ 12）设函数 f ( x)1, 则xe x 11(B)x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点 .（ B ）x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点.(C)x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点.(E) x=0 是 f(x) 的第二类间断点，x=1 是 f(x) 的第一类间断点.[ D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x) 在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且lim f (x)，所以x=0为第二类间断点；x 0l i mf ( x) x 10， limf()1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).x 1x（ 13）设 1 ,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1, 2 ，则 1 ，A(1 2 )线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20. (C)10 .(D)2 0 .[ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令k11k2 A( 1 2 )0 ，则k1 1k2 1 1k2 2 20 ， ( k1k2 1)1k2 2 20 .由于1 , 2 线性无关，于是有k1k2 10,k0.当20时，显然有 k10, k2 0 ，此时1，A(12 )线性无关；反过来，若1，A( 12)线性无关，则必然有2 0(,否则，1与A( 12)=11线性相关 )，故应选 (B).由于 [1,A(12)] [1,11 22][1,21方法二：]012，1可见1，A( 12 ) 线性无关的充要条件是010. 故应选(B).22（ 14）设A为n（n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B,A*, B*分别为A,B的伴随矩阵，则(B)交换 A*的第1列与第2列得 B*.(B) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.(C)交换 A*的第1列与第2列得B*.(D) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 .【详解】由题设，存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第 2 行所得），使得E12A B，于是B*(E12 A)*A* E*12A*E12E121A* E12，即A* E12B*,可见应选(C).三、解答题（本题共9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分11 分）x(x t) f (t )dt设函数 f(x) 连续，且f (0)0，求极限lim xf (x .x0x0t)dt【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.xf ( x t )dt x t u 0du)x【详解】由于 f (u)( f (u)du ,于是0x0xt) f (t)dt x f (t) dt x( x x tf (t )dt lim 0x lim0x0x 0 x f ( x t )dt x 0x0f (u)duxf (t)dt xf ( x)xf (x)x f (t )dt= lim0x= lim x0x0 f (u)du xf ( x)x0 f (u)du xf ( x) 00xf (t)dtxf (0) 1= limx=.xf (u)duf (0)f (0) 2f (x)x（ 16）（本题满分 11 分）如图， C 1 和 C 2 分别是 y1(1 e x ) 和 ye x 的图象， 过点 (0,1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 . 过2C 2 上任一点M(x,y) 分别作垂直于 x轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C 1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 ( x) ；C 2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S 1 ( x)S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y).【分析 】 利用定积分的几何意义可确定面积 S 1 (x), S 2 ( y) ，再根据 S 1 (x) S 2 ( y) 建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解 】 如图，有x1(1 e t)] dt 1 (e xS 1 (x)[e tx 1) ，0 22S 2 ( y)y(t))dt ，(ln t1由题设，得1 (e x x 1) y(ln t (t)) dt ， 121 ( y而 y e x ，于是 ln y 1) y (ln t (t ))dt12两边对 y 求导得1(1 1 ) ln y ( y) ，2 y故所求的函数关系为：x( y) ln yy 1.2 y（ 17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它的一个拐点，直线l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处3 2x) f ( x)dx.的切线，其交点为 (2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分( x【分析】 题设图形相当于已知 f(x) 在 x=0 的函数值与导数值， 在 x=3 处的函数值及一阶、 二阶导数值 .【详解 】 由题设图形知， f(0)=0, f (0)2 ; f(3)=2, f (3)2, f (3) 0.由分部积分，知3 x) f(x)dx3x)df ( x) ( x2x) f 3 3( x)( 2x 1)dx (x2( x2(x)f31)df ( x)(2 x 1) f 3 3( x)dx= ( 2x( x)2 f= 162[ f (3) f (0)]20.（ 18）（本题满分12 分）用变量代换 x cost(0t)化简微分方程 (1 x2 ) y xy y0，并求其满足y1, yx 02的特解.x 0【分析】先将 y , y转化为 dy , d 2 y，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.dt dt 2【详解】dy dt1dyydt dx sin t，dtydy dt cost dy1 d 2 y1dt dx[2t dt sin t dt2 ] () ，sin sin t代入原方程，得d 2yy0 . dt2解此微分方程，得y C1 c o ts C2 si nt C1 x C2 1 x 2，将初始条件 yx 01, yx2代入，有 C12,C21.故满足条件的特解为y2x 1 x 2 .（ 19）（本题满分12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（ I）存在(0,1),使得 f ()1；（ II ）存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f ( ) f() 1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（ I）令F (x) f ( x) 1 x ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0, 于是由介值定理知，存在(0,1), 使得 F ( ) 0，即 f ( ) 1.（II）在[ 0,]和 [,1] 上对使得 f ( ) f () f (0) ，f0f(x) 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0, ),( ,1) ，f (1) f ( )( )1于是f ( ) f () f () 1 f ( ) 1 1.11（ 20）（本题满分10 分）已知函数z=f(x,y)的全微分 dz2xdx 2 ydy ，并且f(1,1,)=2.求f(x,y) 在椭圆域D {( x, y) x2y 21} 上的最大值和最小值.4【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y) 的表达式 . 而 f(x,y) 在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】由题设，知f2x ，f2 y ，x y于是 f (x, y)x 2 C ( y) ，且 C ( y) 2 y ，从而C( y)y 2 C ，再由 f(1,1)=2 ，得 C=2, 故 f (x, y) x2y2 2.令f0,f0 得可能极值点为x=0,y=0.且A 2 f 2 ，B 2 f(0,0)0 ，x y x2(0,0)x y2fCy2(0,0)2 ，B 2AC40 ，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点 .再考虑其在边界曲线x2y 2 1 上的情形：令拉格朗日函数为4F (x, y, ) f ( x, y)( x2y 21) ，4F x f2x2(1) x0, x解F y f y 2 y1y0,y2y 22F x210,4得可能极值点x0, y2, 4 ；x0, y2, 4 ；x 1, y0,1；x1, y0, 1. 代入 f(x,y) 得f (0,2)2, f (1,0) 3 ，可见z=f(x,y)在区域 D{( x, y) x 2y 21}内的最大值为3，最4小值为 -2.（ 21）（本题满分 9 分）计算二重积分x2y2d，其中D{( x, y) 0 x1,0y 1}.1D【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记D1{( ,)x2y21,( ,)}x y x y D ，D 2{( x, y) x 2y 2 于是x2y 2 1d =( x2yDD 12d1 21)rdr= (r1, (x, y)D} ，2 1)dxdy( x 2 y 2 1)dxdyD 2( x 2y 2 1) dxdy(x 2y 2 1)dxdyDD 11dx 1y21)dy2 d1 1) rdr =1 . = +0 ( x 2 (r284 3（ 22）（本题满分 9 分）确定常数a, 使向量组1(1,1, a)T ,2(1, a,1) T , 3(a,1,1)T可由向量组1 (1,1,a)T, 2 ( 2,a,4)T,3( 2, a, a)T线性表示， 但向量组1 ,2 ,3 不能由向量组1, 2, 3线性表示 .【分析 】向量组1 ,2 ,3 可由向量组1 ,2 ,3 线性表示，相当与方程组：ix 11x 22x 3 3 ,i 1,2,3.均有解，问题转化为r (1,2 ,3 ) = r (1 ,2 ,3i ), i 1,2,3 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可 . 而向量组1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3 线性表示，相当于至少有一个向量 j ( j1,2,3) 不能由1 ,2 ,3 表示，即至少有一方程组jx1 1x2 2x 3 3 , j 1,2,3，无解 .【详解】 对矩阵 A(1 ,2 ,31 ,2 ,3 ) 作初等行变换，有12 2 1 1 a A(1,2,31, 2, 3)= 1a a 1 a 1a4 a a1 1122 11a 0 a 2 a 2 0 a 10 4 2a3a0 1 a 1 a122 1 1 a0 a 2 a2 0 a1，a43(1 a) 1 a12 2 1 1 2当 a=-2 时，A00 0 0 3 0 ,显然2 不能由1 ,2 ,3 线性表示，因此 a2 ；633当 a=4 时，1 2 2 1 1 4A06 6 0 3 0 ，然 2, 3均不能由1 ,2 ,3 线性表示，因此 a4 .93而当 a2 且 a4 时，秩 r (1, 2, 3 )3 ，此时向量组1, 2 , 3 可由向量组 1, 2, 3线性表示 .11 a 1 22又B (1,2,31, 2, 3)1 a 1 1 a aa1 1 a4a1 1 a1 220 a 1 1 a 0a 2 a 20 1 a 1 a 2 0 4 2a3a1 1 a 12 20 a 1 1 a 0a 2a 2 ，2 a a 20 6 3a 4a2由题设向量组1 ,2 ,3 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，必有 a 1 0 或 2 a a 2 0 ，即 a=1 或a 2 .综上所述，满足题设条件的 a 只能是： a=1.（ 23）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B 2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求 3 6 k线性方程组 Ax=0 的通解 .【分析 】 AB=O, 相当于告之 B 的每一列均为 Ax=0 的解，关键问题是 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解 】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r ( A)r ( B) 3.（ 1）若 k9 , 则 r(B)=2, 于是 r(A) 1, 显然 r(A) 1, 故 r(A)=1.可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：13x k 1 2k 2 6 , k 1 , k 2 为任意常数 .3k(2) 若 k=9 ，则 r(B)=1, 从而 1 r ( A) 2.11）若 r(A)=2,则Ax=0的通解为：x k1 2 ,k1为任意常数.32）若r(A)=1, 则Ax=0的同解方程组为：ax1bx2cx30 ,不妨设a0 ,则其通解为b ca ax k11k 20, k1 , k2为任意常数.01。

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= ________________ .(2) 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.(3)=--⎰1221)2(xxxdx______________(4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为________________. (5) 当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k =________________ .(6) 设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则()f x 在),(+∞-∞内 ( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.(8) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”， 则必有 ( )(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. (C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.(9) 设函数()y y x =由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x轴交点的横坐标是 ( )(A) 1ln 238+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.(10) 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( ( )(A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + .(11) 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有 ( )(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. (B) 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂.(12) 设函数,11)(1-=-x xex f 则 ( ) (A) 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. (B) 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点.(C) 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. (D) 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点.(13) 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.(14) 设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,B A 分别为,A B的伴随矩阵，则 ( )(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分11分)设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x(16)(本题满分11分)如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴 的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=(17)(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C在点(0,0))与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数()f x 具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.(19)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==. 证明：)(I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；(II)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f(20)(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =. 求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D(22)(本题满分9分)确定常数a ,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数)，且0AB =, 求线性方程组0AX =的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分. 方法1：利用恒等变形得x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e+，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法2：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得 1cos ln(1sin )1sin x xy x y x'=+++ ， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故 π=x dy =.)(dx dx y ππ-='(2)曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.【详解】由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=，lim[()]x b f x ax →∞=-)，得：32()limlim 1,x x f x a x →+∞=== []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y(3)【详解】通过还原变换求定积分 方法1：令t x sin = (0)2t π<<,则=--⎰10221)2(x x xdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t t t 220sin 2sin t dt t π=-⎰22200cos arctan(cos )1cos 4d t t t πππ=-=-=+⎰方法2t =，有221,x t =-所以有xdx tdt =-，其中01t <<.112001arctan 014dtt t π-===+⎰⎰(4)【答案】.91ln 31x x x y -=【详解】求方程()()dyP x y Q x dx+=的解，有公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ (其中C 是常数). 将原方程等价化为 x y xy ln 2=+'，于是利用公式得方程的通解 22[ln ]dx dxx x y e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰221[ln ]x xdx C x =⋅+⎰=211ln 39C x x x x -+, (其中C 是常数) 由91)1(-=y 得0C =，故所求解为.91ln 31x x x y -=(5)【详解】由题设，00()lim()x x x x βα→→=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 20x x x kx x x x x ++-+→ 201arcsin 1cos lim 2x x x x k x →+-=2001arcsin 1cos lim lim 2x x x x k x x →→-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 又因为 201c o s 1l i m 2x x x →-=，00arcsin lim arcsin lim 1sin x u x ux u xu →→ = = 所以 0()11lim(1)()22x x x k βα→=+34k =由题设0→x 时()~()x x αβ，所以314k =，得.43=k(6)【答案】2 【详解】方法1：因为1231231()(,,)11αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(24)(,,)24αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(39)(,,)39αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故 12312312(,24,39)B ααααααααα=++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，记123(,,)A ααα=，两边取行列式，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)123123123,24,39B ααααααααα=++++++[2][1]1232323[3][1],3,28ααααααα--====++++[3]2[2]123233====,3,2αααααα-+++123233=2,3,αααααα+++[1][3]1223[2]3[3]====2,,αααα--+[1][2]123====2,,ααα-又因为123,,1A ααα==，故B 2A =2=.二、选择题 (7)【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当||1x <时，≤≤，命n →∞取极限，得1n =，lim 1n →∞=，由夹逼准则得()1n f x ==；当||1x =时，()1n n f x ===；当||1x >时，33||||x x =<≤，命n →∞取极限，得3||n x =，由夹逼准则得13331()lim ||(1)||.||n n n f x x x x →∞=+= 所以 31,||1(),||1x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩再讨论()f x 的不可导点. 按导数定义，易知1x =±处()f x 不可导，故应选(C).(8)【答案】A 【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数()f x 的任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当()F x 为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，亦即)()(x f x f -=-，可见()f x 为奇函数；反过来，若()f x 为奇函数，则0()()xF x f t dt C --=+⎰，令t k =-，则有dt dk =-，所以 0()()()()()xxxF x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=+=--+=+=⎰⎰⎰，从而 ⎰+=x C dt t f x F 0)()( 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =， 则取21()2F x x =, 排除(D);(9)【答案】A【详解】当3x =时，有322=+t t ，得121,3t t ==-(舍去，此时y 无意义)，曲线()y y x =的导数为 2111222(1)dy dy dt t dx t t dt+===++， 所以曲线()y y x =在3x =(即1t =)处的切线斜率为18于是在该处的法线的斜率为8-, 所以过点(3,ln 2)的法线方程为)3(82ln --=-x y ，令y =0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).(10)【答案】D【详解】由于积分区域D 是关于y x =对称的, 所以x 与y 互换后积分值不变, 所以有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=12D d σ⎰⎰ =212.2242Da b a b a b d σππ+++=⋅⋅⋅=⎰⎰ 应选(D).(11)【答案】B 【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x xu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， )()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ，)()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B).(12)【答案】D【详解】由于函数()f x 在0x =，1x =点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以0x =为第二类间断点；0)(l i m 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D).(13)【答案】B 【详解】方法1：利用线性无关的定义12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.设有数12,k k ，使得0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k 1211222()0k k k λαλα⇒++=.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，则⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当122100λλλ=≠时，方程只有零解，则0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由于()()()1112111221221,(),,0A λααααλαλαααλ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知21,αα线性无关. 若1α，)(21αα+A 线性无关，则()112,()2r A ααα+=，则()()11112122221112,min ,,2000r r r r λλλααααλλλ⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≤≤≤ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，故121220r λλ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，从而12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而122100λλλ=≠ 若122100λλλ=≠，则12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又21,αα线性无关，则 ()11122211,200r r λλααλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()11121221,(),20r A r λαααααλ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).方法3：利用矩阵的秩12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，又121122()A ααλαλα+=+，故1α，)(21αα+A 线性无关112(,())2r A ααα⇔+=又因为()()211122122,,αλαλαλααλα+=11将的-倍加到第列则111221222(,)(,)20r r αλαλααλαλ+==⇔≠(若20λ=，与122(,)2r αλα=矛盾) 方法4：利用线性齐次方程组12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，112,()A ααα+线性无关11122,αλαλα⇔+线性无关⇔11122,0αλαλα+≠，⇔()11122,0X αλαλα+=只有零解，又()()1111221221,,0λαλαλαααλ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⇔()1112221,00x x λααλ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有零解⇔12,αα线性无关时()12,0Y αα=只有零解，故1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，只有零解，⇔1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的系数矩阵是个可逆矩阵，⇔122100λλλ=≠，故应选(B) 方法5：由12λλ≠，21,αα线性无关12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.向量组()12I :,αα和向量组()1121122II :,()A αααλαλα+=+. 显然向量组()II 可以由向量组()I 线性表出；当20λ≠时，不论1λ的取值如何，向量组()I 可以由向量组()II 线性表出11αα=，112111*********11()()()A λλααλαλααααλλλλ=-++=-⋅++， 从而()I ，()II 是等价向量组⇒当20λ≠时，()()1211122,,2r r αααλαλα=+=(14)【答案】(C) 【详解】方法1：由题设，存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得B A E =12，(A 进行行变换，故A 左乘初等矩阵)，于是 ****1212()B E A A E ==，又初等矩阵都是可逆的，故 *1121212E E E -=， 又121E E =-=-(行列式的两行互换，行列式反号)，11212E E -=，故****1*1*1212121212B A E A E E A E A E --==⋅=-=-，即*12*B E A -=,可见应选(C).方法2：交换A 的第一行与第二行得B ，即12B E A =.又因为A 是可逆阵，121E E =-=-，故12120B E A E A A ===-≠， 所以B 可逆，且1111212()B E A A E ---==.又11,A B A B A B **--==，故12B A E B A**=，又因B A =-，故*12*B E A -=.三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换，命x t u -=，则00()()()()xxxf x t dt f u du f u du -=-=⎰⎰⎰,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xx xx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=洛必达法则⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=整理⎰⎰+→xxx x xf du u f dt t f 000)()()(lim0001()lim 1()()xx xx f t dt x f x f t dtx →=+⎰⎰上下同除而 00000(())1l i m ()l i m l i m ()(0)xxx x x f t d tf t dt f x f x x →→→'==='⎰⎰所以由极限的四则运算法则得，原式0001()lim1()()xx x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰00001lim ()1lim ()lim ()x x x x f t dt x f x f t dtx →→=+⎰⎰(0)(0)(0)f f f =+(0)012f ≠=.(16) 【详解】由题设图形知，3C 在1C 的左侧，根据平面图形的面积公式得，⎰--=+-=x x t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由)()(21y S x S =，得⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，注意到(,)M x y 是xe y =的点， 于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 整理上面关系式得函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ(17)【详解】由直线1l 过(0,0)和(2,4)两点知直线1l 的斜率为2. 由直线1l 是曲线C 在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知(0)2f '=. 同理可得(3)2f '=-. 另外由点(3,2)是曲线C 的)一个拐点知(3)0.f ''=由分部积分公式，33220()()()()x x f x dx x x df x '''''+=+⎰⎰3320()()()(21)x x f x f x x dx ''''=+-+⎰ 3220(33)(3)(00)(0)()(21)f f f x x dx ''''''=+-+-+⎰=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(3(231)(3)(201)(0)2()f f f x dx '''=-⨯++⨯++⎰=.20)]0()3([216=-+f f(18)【详解】 由题设)0(cos π<<=t t x ，有sin dxt dt=-，由复合函数求导的链式法则得 dt dy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，)sin 1(]sin 1sin cos [222tdt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，2222cos 111(1cos )[]()cos ()0sin sin sin sin t dy d y dyt t y t dt t dt t t dt--⋅---+=， 化简得022=+y dty d ，其特征方程为210r +=，特征根1,2r i =±, 通解为12cos sin y C t C t =+所以 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件01,x y==代入得，1210C C C =⨯+=，即21C =.而121)y C x C C '''=+=将2x y ='=代入得112C C =+=，即12C =.将122,1C C ==代入通解公式得满足条件的特解为21 1.y x x =+-<<(19)【详解】(I) 令x x f x F +-=1)()(，则()F x 在[0，1]上连续，且(0)10F =-<, (1)10F =>,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .(II) 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f(20)【详解】由y d y x d x dz 22-=知2,2z zx y x y∂∂==-∂∂.对2z x x ∂=∂两边积分得2(,)()z f x y x c y ==+. 将2(,)()z x y x c y =+代入2zy y∂=-∂得()2c y y '=. 所以2()c y y c =+. 所以22z x y c =-+.再由1,1x y ==时2z =知， 2c =. 于是所讨论的函数为222z x y =-+.求z 在2214y x +<中的驻点. 由2,2z z x y x y∂∂==-∂∂得驻点(0,0)，对应的(0,0)2z f ==. 讨论222z x y =-+在D 的边界22=14y x +上的最值，有两个方法. 方法1：把224(1)y x =-代入z 的表达式，有2222=52z x y x =-+-，11x -≤≤10x z x '=命0x z '=解得0x =，对应的2y =±，0,22x y z ==±=-还要考虑11x -≤≤的端点1x =±，对应的0y =，1,03x y z =±==由2,2,3z z z ==-=比较大小，故min 2z =-(对应于0x =，2y =±)，max 3z =(对应于0x =，2y =±)方法2：用拉格朗日乘数法，作函数2222(,,)2(1)4y F x y x y x λλ=-+++-解方程组 2222(1)0,12022104xy f F x x x f y F y y y y F x λλλλλ⎧∂'=+=+=⎪∂⎪∂⎪'=+=-+=⎨∂⎪⎪'=+-=⎪⎩由上面的第一个方程解得0x =或1λ=-：当0x =时由最后一个方程解得2y =±；当1λ=-是由第二个方程解得0y =，这时由最后一个方程解得1x =±. 故解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0)--.计算对应z 的值：(0,2)(0,2)(1,0)(1,0)2,2,3,3zzzz--=-=-==再与(0,0)2z=比较大小，结论同方法1.(21) 【详解】D ：2210x y +-=为以O 为中心半径为1 的圆周，划分D 如下图为1D 与2D .这时可以去掉绝对值符号222222211,(,)11,(,)x y x y D x y x y x y D ⎧+-∈⎪+-=⎨--∈⎪⎩方法1：221Dx y d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x后一个积分用直角坐标做，21122220(1)1)D x y dxdy dx x y dy +-=+-⎰⎰⎰312222011[(1)((1-)]33x x x dx =----⎰ 33221111222200002222[()(1)](1)3333x x dx x dx dx x dx =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰ 42012cos 33tdt π=-+⎰220121cos 2()332t dt π+=-+⎰2+y 2=1220121(12cos 2cos 2)334t t dt π=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)3342t t dt π+=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)33422tt dt π=-+⨯+++⎰20121321cos 4(2cos 2)33422342tt dt ππ=-+⨯⨯⨯+⨯+⎰12103834π=-++⨯⨯138π=-+.前一个积分用极坐标做，112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=8π+138π-+=.314-π方法2：由于区域2D 的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将2D 内的函数“扩充”到整个区域D =12D D ，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即222(1)d D x y σ+-=⎰⎰22(1)D x y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 因此221D xy d σ+-⎰⎰=122(1)D x y d σ--⎰⎰222(1)D x y d σ++-⎰⎰122(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 1222(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰由极坐标112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 而 3111222220001(1)(1)[(1)]03Dx x y d dy x y dx y x dy σ+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰311220011221[1]()[]033333y y dy y dy y =+-=-=-=-⎰⎰ 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=28π⨯13-=.314-π(22)【详解】方法1：记123123(,,),(,,)A B αααβββ==. 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a aaa+++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子11121(2)01031100a a a - +---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=(其中13(1)+-指数中的1和3分别是1所在的行数和列数)从而得1a =或2a =-.当1a =时，1231[1,1,1]Tαααβ====，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，故123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出(因为方程组2123211111114111k k k β-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123123123214k k k k k k k k k ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解)，故1a =符合题意.当2a =-时,由于122112[]122121242211B A ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 12211221000033312006000---⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥+⨯⎢⎥-⎣⎦行行，行行因2()2()3r B r B α=≠= ，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组2BX α=无解，故2α不能由123,,βββ线性表出，这和题设矛盾，故2a =-不合题意.因此1a =.方法2：对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a 1221121022010310423011a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥++-⎢⎥-⨯⎢⎥+--⎣⎦ 行行，行行1221132202201000403(1)1a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥-⨯++-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行行， 当2a =-时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 不存在非零常数123,,k k k ，使得123112230003006k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ； 当4a =时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，3α不能由321,,βββ线性表示，不存在非零常数123,,k k k ，使得123412200663000k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα21112221011022310110423a a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，则方程组()1231x αααβ =或()1232x αααβ =或()1233x αααβ =无解，故系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，故()123()r B r ααα≠ .又当2-≠a 且4≠a 时，()3r B =，则必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：1a =.方法3：记()()123123,,,,,A B αααβββ==，对矩阵()A B 作初等行变换，得()12312311122(,,,,)111114a A B a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦21112221011022310110423a a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦ 行行，行行2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行，由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111aA a a =2222311111a a aaa +++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子11121(2)01031100a a a -+---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=从而得1a =或2a =-.当1a =时，()111122000033000096A B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则12312300αααβββ===+⋅+⋅，123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但由于()()212r A r A β=≠ = ，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组2Ax β=无解，2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出. 或由于()()312r A r A β=≠= ，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组3Ax β=无解，3β不能由123,,ααα线性表出，即123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故1a =符合题意.当2a =-时，()112122033000000006A B --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， 因()()323r A r A β=≠ = ，，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，但()()223r B r B α=≠ = (或()33r B α = )，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，即2BX α=(或3BX α=)无解，即123,,ααα不能由123,,βββ线性表出，与题设矛盾，故2a =-不合题意.故1a =.(23)【详解】 由0AB =知，B 的每一列均为0Ax =的解，且.3)()(≤+B r A r (3是A 的列数或B 的行数)(1) 若9k ≠, 13,ββ不成比例，12,ββ成比例，则()2r B =, 方程组0Ax =的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数2≥，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数()r A -3()r A =-，于是()1r A ≤.又矩阵A 的第一行元素(),,a b c 不全为零，显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系由3()2r A -= 个线性无关解向量组成，13,ββ是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故0Ax = 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若9k =，则123,,βββ均成比例，故()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r 故()1r A =或()2r A =.①若()2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，1β是方程组0Ax =的基础解系， 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.②若()1r A =, 则A 的三个行向量成比例，因第1行元素(),,a b c 不全为零，不妨设0a ≠，则0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax , 系数矩阵的秩为1，故基础解系由312-=个线性无关解向量组成，选23,x x 为自由未知量，分别取231,0x x ==或230,1x x ==，方程组的基础解系为121,001b c a a ξξ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其通解为121210,,01b c a a x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2理科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）(1）函数f （x)=｜sinx+cosx ｜的最小正周期是（A ）4π （B ）2π （C ）π (D)2π 【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想。

【正确解答】()|sin cos ||)|f x x x x ϕ=+=+，f （x ）的最小正周期为π。

选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断,但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半。

如tan y x =的最小正周期为π，但是，|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题。

（2）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么,正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形(C ）五边形 (D ）六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P 、Q 在面内作直线,根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段。

【正确解答】画图分析.作直线PQ 交CB的延长线于E,交CD 的延长F ，作直线ER 交1CC 的延长线于G,交1BB 于S ，作直线GF 交1DD 于H ，交11C D H ，连结PS,RT ，HQ ，则过P 、Q 、R 的截面图形为六边形PQHTRS ，故选D 。

【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义,但不必深入研究.。

（3）函数y=32x －1（x ≤0）的反函数CC 1G是 (A)y=3)1(+x （x ≥－1） （B ）y=－3)1(+x （x ≥－1）（C)y=3)1(+x （x ≥0） (D)y=－3)1(+x （x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲（一是反解、二是x 、y 对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行,或用互为反函数的性质处理。

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（广西）第Ⅰ卷一选择题（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是(A). 4π (B)2π （C ）π （D ）2π 解答；| sin x +cos x |=|)45sin(2︒+x |显然π是f (x)的周期，但|)245sin(2π+︒+x |=|)45cos(2︒+x |，所以2π不是f (x)的周期。

选C(2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。

那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形（C ）五边形 （D ）六边形解答：设C 1 D 1的中点是S ，PQ ∥RS ， 所以S 在平面PQR 上，容易看出平面PQR 与 BB 1、CC 1都有交点(由对称性可知这两个交点分别是BB 1、CC 1的中点)，所以P 、Q 、R 的截面图形是六边形，选D 。

（3）函数Y=32x -1（X ≤0）的反函数是（A ）Y=3)1(+x （X ≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X ≥-1） (C) Y=3)1(+x (X ≥0) (D)Y= -3)1(+x (X ≥0)解答：由原式可得Y+1=32x ，由于X ≤0，所以x = -3)1(+Y (Y ≥-1)反函数是Y= -3)1(+x （X ≥-1） 选B(4)已知函数Y=tan x ω在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1解答：首先tan x ω在（-2π，2π）有定义，所以|ω|≤1， tan x ω在（-2π，2π）内是减函数，所以ω< 0，选B （5）设a 、b 、c 、d ∈R,若di c bi a ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0(C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0 解答：di c bi a ++为实数，所以)(为一个实数k k db c a == 选C(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为（A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65 解答：双曲线 62x - 32y = 1的焦点为(-3,0)、(3,0)，M 点的坐标是(-3，26)，由于△MF 1F 2是直角△，F 1到直线F 2 M 的距离=562652662121=⨯=⨯MF MF F F ，选D （7）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - A2sin 1 = tan B,则有 （A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0解答：tan A - A 2sin 1 =A A Sin A AA A A A A A 2cot 22cos cos sin 21sin 2cos sin 21cos sin 2-=-=-=- ，选A(8)已知点A （3,1）,B(0,0),C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λ= ，其中 λ 等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ） - 31 解答: 由于AE 是∠BAC 32=+=⇒==AC AC AB EC BC AC AB EC BE3-=⇒CE BC，选C（9）已知集合M={x ∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M ∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x ≤7} （B ）{x|- 4<x ≤ -2或 3≤x<7 }（C ）{x|x ≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x ≥3}解答：M={x ∣2x -3x -28 ≤0}= {x ∣-4≤ x ≤7}N = {x|2x -x-6>0}= {x|x>3 或者 x<-2}所以M ∩N={x|- 4≤x< -2或3<x ≤7}，选A B A B A B A cos 2sin 902tan 2cot =⇒︒+=⇒=-（10）点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P 的坐标为（A ）（- 2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） 解答：（- 10，10）+ 5 （4，- 3） =（- 10，10）+（20，-15）=（ 10，-5）选C（11）如果21,a a … , 8a 为各项都大于零的等差数列,则（A ）81a a ⋅ >54a a ⋅ (B) 81a a ⋅ < 54a a(C) 5481a a a a +>+ (D) 81a a += 54a a +解答：D 显然是对的B 当公差等于0时不成立(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（A ）3623+ （B ）2+362 （C ）4+362 （D ）36234+ 解答：首先我们容易猜测正四面体的高的最小值的图形，如图外面一个大的正四面体ABCD ，内部有一个小正四面体A 1B 1C 1D 1(四个球的球心为顶点)， O 和O 1分别为ABC 和A 1B 1C 1的中心，边长为2，小正四面体的各顶点到大正四面体邻近面的距离为1。

2005年高等数学竞赛试题所有解答必须做在答题纸上，做在试卷上无效一．（每小题7分，共28 分）1．求 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→x x x x e x x x csc 22023sin 1sin lim ； 2．已知612ln 2π=-⎰x te dt ，求 x ；3．判定级数∑∞=-+-+-11)23)(23()12ln()1(n n n n n 是否收敛, 是绝对收敛还是条件收敛；4.试构造三个满足0lim =∞→n n x 的数列}{n x ，使其中二个满足211sinlim =∞→n n x ， 另一个满足01sinlim =∞→n n x . 问:是否还有满足0lim =∞→n n x 的数列, 使211sin lim =∞→n n x .二．(10分) 对1≥x , 讨论函数 ][)(x x e x f x x= 的单调性. (=][x 小于等于x 的最大整数)三. （8分）计算⎰⎰-+--+-ax a a x dxdy y x a 022222)(41, )0(>a .四. （8分）求函数xy y x y x f -+=22),(在区域1≤+y x 上的.五． (10分)设函数)(x y 的二阶导函数连续, 且0)0(='y , 求由方程⎰''--+=-x tdt t y t y e x y 0)]()(26[311)( 确定的函数)(x y .六. (10分)一个瓷质容器, 内壁和外壁的形状分别为抛物线1102+=x y 和102x y =绕y 轴的旋转面, 容器的外高为10厘米,密度为1925, 把它口向上地浮在水中, 再注入密度为3的重溶液. 问要保持容器不沉没,注入的溶液最大深度是多少厘米?七.(8分)试证: 半径为R 的球面, 被距离为)2(R h ≤的两个平行平面所截得的球带面积与截的位置无关.八. (8分) 设)(x f 在],[b a 上连续, 且)()(b f a f =, 证明: 存在长为)(21a b -的区间],[],[b a ⊂βα, 使)()(βαf f =.九.(10分)设函数)(x f 在),(+∞-∞上无限次可微,对任意正整数n ,0)1(=nf ,证明:1. 对任意正整数n ,0)0()(=n f ;2. 若存在常数0>M ,使对任意正整数n ,有M x f n ≤)()(,则0)(≡x f ,),(+∞-∞∈x .解答一．1．解：0011sin sin lim sin 1sinlim20220=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→x x x x x x x x x ， （3’）ex x e e x e x x e x x x x x xx x 1cos 213lim exp 23ln csc exp lim 23lim 00csc 0=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→→→∴原式=e1. (4’) 2.解: 由于⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-⎰=⎰-=-1arctan 321213ln 1212ln 2xe ue xt e du u e dt x t π, (5’)61arctan 32ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴x e ,解得 2ln =x . (2’)3.解: 级数为交错级数, 记为∑∞=--11)1(n n n a ,112ln 112ln 4)1(949221<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅-+-=+n n n n a a nn,n n a a <∴+1, }{n a 为单调序列; (2’)012ln 491lim lim 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=∞→∞→n n a n n n ,∴原级数收敛. (2’)又对 ∑∞=1n n a , 有 32ln 4912ln lim lim 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→n n n na n n n ,∴ ∑∞=1n na 发散.(2’)∴原级数条件收敛.4.解: 取πn x n 1=, 则01sin lim =∞→nn x , (2’)取621ππ+=n x n ,则211sinlim =∞→n n x , (2’) 取6212ππ+=n x n ,则211sinlim =∞→n n x , (2’)是. 二.解: 间断点: ,,,3,2n x =, (2’)函数在)1,[+n n 上连续, 在)1,(+n n 上可微, 且x x x e n x f ln 1)(-=, )1,[+∈n n x , ,2,1=n , 0ln 1)(ln <-='-x e n x f x x x , )1,(+∈n n x ,)(x f ∴在)1,[+n n 上单调减, (4’)又 111111)1(11)(lim )1(1)(lim +++→+++→+⋅+=>+⋅=+-n n n x n n n x n e n x f n e n x f , )(x f ∴在),1[∞上单调减. (4’)三.解:在极坐标下,积分区域为: θsin 20a r -≤≤, 04≤≤-θπ,(2’)原式=⎰⎰---04sin 2022)4(πθθa d ra rdr (2’)=θθπd ra a sin 204224--⎰--=⎰--04)cos 22(πθθd a a=)224(2-πa (2’) 四.解:x y f y x f y x -='-='2,2得唯一驻点)0,0(, 0)0,0(=f ,(2’)由对称性,只考虑101,1≤≤=-=+x y x y x 上函数的最大、最小值。

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得x xx x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='， 于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得 Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。