湖南省郴州市2016届高三数学第一次教学质量监测试题 文

高三上学期第一次教学质量监测数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤≤，则A B =I （ ）A ．{1,0,1}-B ．{|11}x x -≤≤C ．{1,0}-D ．{0,1} 【答案】A 【解析】试题分析：{1,0,1}{|11}A B x x =--≤≤=I I {1,0,1}-，选A. 考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.复数1(1)z i i=-在复平面上对应的点Z 位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.设x R ∈，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：|2|113x x -<⇒<<，所以“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件，选A. 考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4.从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ ） A ．310 B ．25 C.12 D ．35【答案】B考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.ABCD Y 中，(1,2)AB =uu u r ，(1,4)AD =-uuu r ，则AC =uuu r（ ） A ．(3,3)- B ．(2,2)- C. (2,2)- D ．(0,6) 【答案】D【解析】试题分析：(0,6)AC AB BC AB AD =+=+=uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r,选D. 考点：向量加减6.已知双曲线22221x y a b -=的离心率2e =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．22y x =± C. 3y x =± D ．2y x =± 【答案】C考点：双曲线渐近线7.某几何体的三视图如图1所示（图中网格的边长为1个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C. 143π D ．169π 【答案】B 【解析】试题分析：几何体的高为3，底面为扇形，面积为1244233ππ⨯⨯=，所以体积为1443333ππ⨯⨯=，选B. 考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．8.执行如图2所示的程序框图（其中||x表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A． 7 B．6 C. 5 D．4【答案】A考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.已知不等式组11x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D.若目标函数2z ax y=--在区域D上的最大值为2，则实数a的值为（）A．-2 B．4 C.-2或4 D．-4或4 【答案】D考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，2CA CB ==，16AA =，120ACB ∠= .若三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．42π C. 52π D ．56π 【答案】C 【解析】试题分析：设三角形ABC 的外接圆圆心为D ，则外接圆半径为2，因此22222(62)13,452R S R ππ=+÷===，选C. 考点：外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1λ< B ．12λ< C. 13λ< D ．14λ< 【答案】C 【解析】试题分析：11112121(2)22(2)2(2)n n n n n n n n n S a S a n a a a n a a n ----=-⇒=-≥⇒=-≥⇒=≥，又111211S a a =-⇒=，所以数列{}n a 为等比数列，122112nn n S -==--，111211102122(21)n n n n n S S λλ+++--<⇒<=---的最小值，而121111122(21)22(21)3n +-≥-=--，所以13λ<，选C.考点：由和项求数列通项，不等式恒成立【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

郴州市2021届高三第一次教学质量监测试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答尤效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.4.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-<，集合{}sin ,N y R y x x R =∈=∈，则MN =（ ） A. (]0,1B. ()0,1C. ()1,0-D. ∅ 【答案】B【解析】【分析】求出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】{}()200,1M x R x x =∈-<=，{}[]sin ,1,1N y R y x x R =∈=∈=-, 因此，()0,1MN =. 故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及正弦函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)12z i i -=+，则复数z 在复平面上所对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】 整理出12i 1iz +=-，再分母实数化即可.【详解】由(1)12z i i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i +++===-+--+， 复数在复平面上对应点13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第二象限. 故选:B 【点睛】此题考查复数的运算及几何意义，属于基础题.3. 下列函数中，在()0,∞+上是减函数且是偶函数的是（ ）A. 2()1f x x =+B. 3()f x x =-C. 1()lg ||f x x =D. ||()2x f x = 【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2()1f x x =+，是偶函数，在区间(0,)+∞上是增函数，不符合题意；对于B ，3()f x x =-，是奇函数，不符合题意；对于C ，1()lg ||f x x =，是偶函数，在区间(0,)+∞上是减函数，符合题意； 对于D ，||()2x f x =，是偶函数，但在区间(0,)+∞上是增函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握幂指对函数的性质，属于基础题．4. 已知角α的终边经过点()2,4，则cos2=α（ ） A. 35 B. 35 C. 35± D. 45【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义可得sin α的值，再根据二倍角的余弦即可得结果.【详解】角α的终边经过点()2,4，所以sin5α==，所以243cos 212sin 1255αα=-=-⨯=-， 故选：A .【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角公式，熟记定义和公式即可，属于常考题型.5. “02a <<”是“x R ∀∈，210x ax ++>”成立的（ ）A . 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 由不等式210x ax ++>在R 上恒成立，结合二次函数的图象可得∆<0，可解得a 的范围，根据“小充分，大必要”即可得到结果.【详解】解：由不等式210x ax ++>在R 上恒成立，可得△2410a =-⨯<，解得，22a -<<，由02a <<能推出22a -<<；由22a -<<不能推出02a <<．故“02a <<”是“x R ∀∈，210x ax ++>”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题为充要条件的判断，正确解出a 的范围是解决问题的关键，属基础题．6. 《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（ ）A. 114B. 17C. 314D. 328【答案】C【解析】【分析】求出从八卦中任取两卦的基本事件总数，利用列举法求出这两卦的阳线数目相同的基本事件，由此能求出这两卦的阳线数目相同的概率．【详解】从八卦中任取两卦，基本事件总数2828n C ==，这两卦的阳线数目相同的基本事件有6种，分别为：（兑，巽），（兑，离），（巽，离），（坎，艮），（艮、震），（坎、震），∴这两卦的阳线数目相同的概率为632814p ==．故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 已知P 是边长为3的正方形ABCD 内（包含边界）的一点，则AP AB ⋅的最大值是（ ）A. 6B. 3C. 9D. 8【答案】C【解析】【分析】在正方形中建立如图的直角坐标系，设(),P x y ，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，()03,03x y ≤≤≤≤，可得()0,0A ，()3,0B ，所以(),AP x y =，()3,0AB =，故()(),3,03AP AB x y x ⋅=⋅=，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的最值问题，利用坐标法是解题的关键，属于基础题.8. 若实数x ，y 满足||||1x x y y +=，则点(),x y 到直线1x y +=-的距离的取值范围是（ ）A. (0,1]B. 1,2⎡⎤⎣⎦C. 22,122⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D. (1,2⎤⎦ 【答案】C【解析】【分析】 先作出方程||||1x x y y +=对应的曲线，再利用数形结合求解.【详解】由题得点(1,0)和点(0,1)都在曲线上；当0,0x y >>时，221x y +=，它表示单位圆在第一象限的曲线；当0x <，0y >时，221y x -=，它表示双曲线在第二象限的曲线；当0x >，0y <时，221x y -=，它表示双曲线在第四象限的曲线；当0x <，0y <时，无意义；故方程||||1x x y y +=表示的曲线如图所示，直线0x y +=为双曲线221y x -=±的一条渐近线，平行线0x y +=与1x y +=-间距离为2，最大值为21+. 故选：C【点睛】本题主要考查圆锥曲线的方程及性质，考查数形结合的思想的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 定义：若函数()f x 图象经过变换r 后所得图象对应的函数的值域与()f x 的值域相同，则称变换Γ是()f x 的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于()f x 的“同值变换”的是（ ）A. 2()2f x x x =-，Γ：将函数()f x 的图象关于y 轴对称B. ()21x f x =-，Γ：将函数()f x 的图象关于x 轴对称C. 2()log f x x =，Γ：将函数()f x 的图象关于y x =直线对称D. ()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，Γ：将函数()f x 的图象关于点()2,0-对称 【答案】AD【解析】【分析】逐一判断变换后函数的值域是否与原函数相同.【详解】2()2f x x x =-关于y 轴对称后的函数22y x x =+，值域与原函数值域相同，A 正确； ()21x f x =-关于x 轴对称后的函数21x y =-+，值域与原函数值域不同，B 不正确；2()log f x x =关于y x =直线对称后函数2x y =，值域与原函数不同，C 不正确；()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于点()2,0-对称后的函数cos 43y x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，值域与原函数相同，D 正确. 故选:AD.【点睛】本题为新定义型题，注意审题，依次判断.10. 若将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. ()g x 的最小周期为πB. ()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 512x π=-是函数()g x 图象的一条对称轴D. ()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12 【答案】AC【解析】【分析】根据题意得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据函数性质依次讨论即可得答案.【详解】解：由题知()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选项B 错误； 故函数的最小正周期为22T ππ==，故A 选项正确； 对于C 选项，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 所以函数的对称轴方程为,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =-时，512x π=-，故C 选项正确； 对于D 选项，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]sin 20,13x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、正弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，是中档题.11. 已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. 1ab ≤B. 112a b +≤C. lg lg 0a b +≤D. 2a b +≤【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【详解】∵2212a b ab +≤=，()22222()2242a b a b ab a b a b +=++≤+=⇒+≤， ∴A ，D 都成立.又∵当12a =，b =112a b +>.此时B 不成立. 又∵lg lg lg 0a b ab +=≤，即1ab ≤∴C 成立.故选：ACD【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了基本不等式的应用，考查了运算能力与逻辑推理能力，难度中档．12. 已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()x f x g x e=，下列结论正确的是（ ） A. 函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B. 1x =-是函数()g x 的极小值点C. 函数()g x 必有2个零点D. 2()(2)e e f e e f > 【答案】BD【解析】【分析】对函数()g x 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A ，B ；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C ；利用()g x 在()1,-+∞上为增函数，比较()2g 与()g e 的大小关系，判断出选项D ． 【详解】函数()()x f x g x e =，则()()()x f x f x g x e'-'=， 当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确；若()10g -<，则()y g x =有两个零点，若()10g -=，则()y g x =有一个零点，若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22e f f e e e<，化简得2()(2)e e f e e f >，D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知(2)n x y +展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含42x y 项的系数是__________. 【答案】60【解析】【分析】根据二项式系数和公式得6n =，再根据二项式定理展开式公式求解即可.【详解】解：由于()n a b +的展开式的二项式系数之和为0122n n n n n n C C C C +++=，所以264n =，解得6n =，所以()6616622kk k k k k k k T C x y C x y --+==，故令2k =，即可得22424242216241560T C x y x y x y +==⨯=. 故答案为：60.【点睛】本题考查二项式系数和求参数，二项式展开式的通项公式，考查运算能力，是基础题.14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则n a =__________.【答案】12n -【解析】【分析】计算11a =，根据公式1n n n a S S -=-得到12n n a a -=，计算得到答案.【详解】12n n S a +=，当1n =时，1112S a +=，解得11a =；当2n ≥时，()()1111122n n n n n n n S S S S a a a ---+--=-==-，即12n n a a -=，故12n n a ，验证1n =时成立，故12n n a .故答案为：12n -.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.15. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.【解析】【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF am a ⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案.【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =， ∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m a QF a m aQF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩，此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯ 2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =， 所以213c e a ==． 故答案为：21. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16. 四棱锥 P ABCD -各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，4=AD ，则球O 的体积是__________；设E 、F 分别是PB 、BC 中点，则平面AEF 被球O 所截得的截面面积为__________.【答案】 (1). 86π (2).143π 【解析】【分析】利用题意知6R =，利用球的体积公式可得结果；设球心O 到平面AEF 得距离为d ，截面圆半径为r ，由等体积法即可得23d =，利用勾股定理即可得到2r ，即可得出结果. 【详解】由题设知球心O 为PC 中点，AE AF EF ===则222AE EF AF +=，∴球O 直径2R R ==⇒=，∴V =球，设球心O 到平面AEF 得距离为d ，截面圆半径为r ，由题设球心O 到平面AEF 的距离等于点B 到平面AEF 的距离， 由等体积法得，O AEF E ABF V V --=，11112213232d ⨯=⨯⨯⨯⨯，求得d =， ∴222414633r R d =-=-=， 故截面面积为143π.故答案为：，143π. 【点睛】本题主要考查了球的表面积和体积公式，属于较易题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①6AB AC ⋅=-，②||b ci +=i 为虚数单位，③ABC 的面积为在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，__________.（1）求a ； （2）求sin 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）8a =；（2【解析】【分析】（1）通过方案①，②，③都是求出b c ，的值，进一步利用余弦定理求出答案; （2）根据（1）求出sin C ，利用正弦和差公式化简sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求出答案. 【详解】方案一：选择条件①：（1）∵cos 6AB AC bc A ⋅==-，1cos 4A =-；∴24bc = 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =.（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴7sin sin cos cos sin 66616C C C πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 方案二：选择条件②：（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ∴8a =. （2）同方案一 方案三：选择条件③：（1）∵1cos 4A =-，∴sin A =又∵1sin 2ABC S bc A ===△，∴24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ∴8a =. （2）同方案一注意：方案二、方案三评分标准参照方案一.【点睛】本题考查三角函数的余弦定理和三角形的面积，涉及到向量的数量积和复数的模，属于基础题型. 18. 已知公差不等于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足416S =，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2218n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）2244(21)n n nT n +=+. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式与等比中项即可得出； （2）22221811(21)(21)n n n a a n n +=-⋅-+，利用“裂项求和”即可得出． 【详解】（1）设公差d 由题得()()141122152********162381224a d S a d a a a a d a d a a d a d ⎧+=⎧=⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨===+=+⎩⎪⎩⎪⎩⎩， 所以21n a n =-. （2）由（1）得到22222218811(21)(21)(21)(21)n n n n a a n n n n +==-⋅-⋅+-+， 所以2222221111111335(21)(21)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221441(21)(21)n nn n +=-=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与等比中项、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 为PD 上一点，满足12PE ED =.（1）证明：AB PC ⊥；（2）求二面角 P AC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）25. 【解析】 【分析】（1）设O 为AB 中点，连接OP ，根据AB PO ⊥，AB OC ⊥证明AB ⊥平面POC 得到答案. （2）以O 为原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面ACE 和平面ACP 的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.【详解】（1）设O 为AB 中点，连接OP ，OC ，∵PA PB =，∴AB PO ⊥， 又∵底面四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC 为等边三角形， ∴AB OC ⊥， 又∴OCPO O =，OC ，PO ⊂平面POC ，∴AB ⊥平面POC ，而PC ⊂平面POC ，∴AB PC ⊥.（2）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO AB ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD以O 为原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则3)P ，(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，3,0)C ，(3,0)D -，(3,3)PD =--， 由(1112,,3(3,3)2333E E E E PE ED PE PD x y z x =⇒=⇒=--⇒=-，33E y =，233E z =，即2323,,333E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴1323,,3AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3,0)AC =，(1,0,3)AP =， 设()1111,,n x y z =为平面ACE 的法向量，则由111111132300030x y z n AE n AC x y ⎧⎧++=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令13x =，得11y =-，10z =，∴1(3,1,0)n =-，设()2222,,n x y z =为平面ACP 的法向量，则由222222300030x z n AP n AC x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令23x =，得21y =-，21z =-，∴2(3,1,1)n =--， 设二面角P AC E --的平面角为θ，则1212|325cos 25n n n n θ⋅+===⨯⋅，∴二面角P AC E --的的余弦值为25.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.20. 某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为a 万元.问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.【答案】（1）分布列见解析；期望为1.63万元；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.【详解】（1）基地收益X 的可能值为2，1，0.75，因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为10.80.2-=， 则(2)080.80.64P X ==⨯=，(1)0.80.2+0.20.80.32P X ==⨯⨯=， (0.75)0.20.20.04P X ==⨯=，故X 的分布列为则()20.6410.320.750.04 1.63E X =⨯+⨯+⨯=.（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()20.810.2 1.8E Y a a =⨯+⨯-=-， ()()0.17E Y E X a -=-，当()()0.170E Y E X a -=-<时，即0.17a >时，不外聘工人； 当()()0.170E Y E X a -=->时，即0.17a <时，外聘工人；当()()0.170E Y E X a -=-=时，即0.17a =时，是否外聘工人均可以， 综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人， 当成本低于0.17万元时，外聘工人， 当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，巳知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，且右焦点()(),00F c c>到直线2 :al xc=-的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，当PAC∠取得最小值时，求直线AB的方程.【答案】（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组2223caacc⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得出,a c即可得出b，椭圆方程即可得解；（2）联立直线AB方程与椭圆方程，根据韦达定理得出点C坐标，联立直线PC与2x=-得出点P坐标，根据弦长公式得出,PC AB，利用||tan1||2PCPACAB∠=得出表达式，利用均值不等式即可得出最值.【详解】（1）由题意有2223caacc⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222111ab ac bc⎧=⎪=-=∴=⎨=⎪⎩，2212xy+=.（2）设直线AB方程为1x my=+，与椭圆联立得()22221221022x mym y myx y=+⎧⇒++-=⎨+=⎩，222212A BA Bmy ymy ym⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则22Cmym-=+，2212C Cx mym=+=+，即点222,22mCm m-⎛⎫⎪++⎝⎭，则PC 方程为22222my m x m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令2x =-得32252m my m +=+，即32252,2m m P m ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，则(2223||2m PC m +==+，又)221||2A B m AB y m +=-=+，则23||tan 41||2m PC PAC AB +⎫∠===≥， 当且仅当1m =±时取等号.则当PAC ∠取得最小值时，直线AB 方程为10x y ±-=.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用韦达定理和弦长公式，结合均值不等式即可得出最值. 22. 已知函数()e (1)xf x a x .（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明∶11ln(1)nkk en n =>++∑.【答案】（1）[1,0]a ∈-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题得()xf x e a '=+，再对a 分类讨论得解；（2）首先证明ln(1)1xex ，得到11ln(1)ln ke k k >++-，即得证.【详解】（1）()xf x e a '=+，1°当0a >时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，由于11111111110a a f ea e a a ----⎛⎫⎛⎫--=+--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0f x ≥不成立， 2°当0a =时，()0x f x e =>，成立，3°当0a <时，令()0xf x e a ='+=，则ln()x a =-，则()f x 在,ln()a 单调递减，ln(),a 单调递增，于是ln()()(ln())(ln()1)ln()0a f x f a e a a a a -≥-=+-+=-≥，即10a -≤<， 综上所述[1,0]a ∈-.（2）由（1）可知，当1a =-时，()(1)0x f x e x =-+≥，即1x e x ≥+①， 由于待证目标式中含有ln(1)x +的形式， 用ln(1)x +代①式的x 得ln(1)x x ≥+②， 结合①②可得：ln(1)1xe x ，0x =时取等号，则111ln 11ln(1)ln ke k k k ⎛⎫>++=++-⎪⎝⎭， 于是111ln 2ln11ln(1)ln ln(1)nkk en n n n =>+-+⋅⋅⋅+++-=++∑.故得证.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

郴州市2016届高三第一次质量检测数学试题（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知z 是纯虚数，21iz ＋－是实数, 那么z 等于（ D ） A. 2i B. i C. －i D. －2i 2．已知命题p,q ，则“p ⌝为假命题”是“p q ∧是真命题”的（B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ C ）A.2B. 3C.32 D. 924、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30，则输入的n 为（ C ）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,－1),则该函数的一个单调递增区间为（ A ）6. 一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b 且c ＞b 时称为“凹数”。

若a ，b ，c ∈ {4,5,6,7,8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是( D )A 、23 B. 、25 C. 、16 D. 、137．要得到函数f (x)=sin2x 的导函数 f ′ (x)的图象，只需将f (x)的图象（ D ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8. 对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( D )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.459．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10, 点P(－2,1）在C 的一条渐近线上，则双曲线C 的方程为 ( A )A.221205x y -= B. 221520x y -= C. 2218020x y -= D. 2212080x y -= 10．已知e 是自然对数的底数，函数f (x)＝e x+ x －2的零点为a ，函数 g(x)＝lnx ＋x －2的零点为，则下列不等式成立的是（ C ）A ．f （1）＜f （a ）＜f （b ）B ．f （a ）＜f （b ）＜f （1）C ． f （a ）＜f （1）＜f （b ）D ．f （b ）＜f （1）＜f （a ）11. 若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)5＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2·(1－x)2＋…＋a 5(1－x)5，则a 1＋a 2+a 3＋a 4 +a 5等于( C )A. 5B. 62C. －57D. －5612.已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (x ＋4)＝f (x)＋f (2)，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0； ②()y f x =在［8,10］单调递增；③ x=4为函数()y f x =图象的一条对称轴； ④若方程()f x m =在［－6，－2］上的两根为12,x x ，则128x x +=-以上命题中不正确命题的序号为 ( B )A. ①B. ②C. ③D. ④第II 卷（非选择题 共90分）二、填空題:本大题共4小题,每小题5分，共20分.13. 设,x y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则z =y x 的最大值为 .14. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率 为15. 已知⊙M ：224410x y x y +---=及圆外一点P(5,5)，过P 点作⊙M 的切线PA ，PB ，切点分别为A, B ，则弦AB 的长为16. 对于两个实数a,b ，min{a,b}表示a,b 中的较小数. 设f (x)= min{x ，1x}（x ＞0），则不等式f (x)≥4log 2的解集是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分10分) 在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ≤。

郴州市届高三语文第一次教学质量监测试卷及答案（高三语文试卷）姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________湖南省郴州市2016届高三第一次教学质量监测语文试卷本试卷共六道大道，18道小题，共8页。

时量150分钟，满分150分。

第Ⅰ卷阅读题甲必做题一、现代文阅读（9分，毎小题3分〉阅读下面的文字，完成1-3题境外消费热的冷思考据报道，虽然春节长假是不少中国人与家人团聚的好机会，但也有不少人趁这个假期出国旅行。

春节长假期间，中国游客“席卷”日本、新加坡、西班牙、美国洛杉矶等地，不仅带来“购物潮”，使一些商场销售额创下纪录，也使得不少宾馆和机场达到饱和状态。

刚刚过去的羊年春节消费火爆，特别是关于我国内地居民到国外疯狂“扫货”的新闻屡见报端。

其实不仅是今年，近年来国人对境外消费的热衷就持续升温，出手也越来越大方。

市场经济条件下，境外消费纯属自由的个人消费行为，国人愿意选择到国外购物消费也无可厚非。

但对境外消费的热度高，势必会影响到在境内的消费，这对于新常态下我们要激发人民群众的巨大消费潜力无疑是一个严峻考验。

应该肯定的是，境外消费热是伴随着我国改革开放和经济社会的持续快速发展所出现的，境外购物渠道的畅通便捷以及居民消费能力的提升，都为境外消费创造了有利条件。

同时，我国居民境外消费逐年迅速增长，也在很大程度上促进了目的地国家或地区经济的发展，对世界旅游产业发展也有不小的推动作用。

因此，不仅境外商家纷纷抓住这一商机，千方百计为中国消费者提供舒适的购物环境，一些国家或地区的相关部门也给予了高度关注。

但在分析境外消费热的客观因素时，我们也不能忽视自身的问题，剔除个别人出于“炫富”等畸形消费心理，绝大多数人热衷于境外消费则是出于价格和质量等综合考虑，即商品的性价比。

不容置疑的是，在境外更容易购买到物美价廉的商品。

如何不让我国消费者再舍近求远，以良好的消费环境把部分消费者的境外消费吸引到国内消费，这是我们目前面对境外消费热必须尽快破解的一道难题。

2016届高三年级教学质量统一检测数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题。

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上． 1. 已知集合{1,0,1,2}M =-，2{|log 1}N x x =<，则=N M ( ) A ．{1} B ．}0,1{- C ．{0,1} D ． }1,0,1{- 2. 命题“20,||x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ）220000000 0.,||.,||A x R x x B x R x x ∃∈+≥∃∈+<220 0.,||.,||C x R x x D x R x x ∀∈+<∀∈+≤3. 已知复数21z i=-+，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的共轭复数为1+i B ． z 的实部为1 C ． |z|=2 D ． z 的虚部为﹣14. 设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）ABC．D ．105. 已知变量x 、y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86．若函数f(x)＝x 2log ＋x －k( k ∈N )在区间(2，3)上有且只有一个零点，则k ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．67． 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12016a =，且)(02*21N n a a a n n n ∈=++++，则2016S = ( )A ． 0B ． 2015C ．2016D ．20178. 如图是一个机器零件的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该机器零件的体积为（ ）A ．2+3π+．2π+ C ．4π+ D ．42π+9. 已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，则y=f （x ）的图象可由y=sin2x 图象( )A ．向左平移6π个长度单位得到 B ．向右平移6π个长度单位得到 C ．向右平移12π个长度单位得到D ．向左平移12π个长度单位得到10. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(6，12]B ．(12，20]C ．(20，30]D ．(12，20)11. 已知抛物线y 2＝4x ，椭圆2219x y b +=，它们有共同的焦点F 2，若P 是两曲线的一个公共点，且F 1是椭圆的另一个焦点，则△PF 1F 2的面积为 （ ）AB ．CD ． 212．已知函数ln(1)02()1220xx x f x x +<≤⎧=⎨--≤≤⎩，若()|()|g x f x kx k =-- 有3个零点，则实数k 的取值范围是( )A ． 1(0,)eB ． 1(0,)2eC ．ln 31[,)32e D ．ln 31[,)3e第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上． 13.某学校从A 、B 两个班级中各选出7名学生参加市级比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中A 班学生成绩的众数是85，B 班学生成绩的中位数是83．则x+y 的值为__________．14.在棱长为2的正方体中随机取一点，该点落在这个正方体的内切球内的概率是___________.15. 已知 F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂直，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，F 在线段AB 上，O 为坐标原点，若||2||OB OA =，则双曲线C 的离心率是_________________.16. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x m =+与圆22(1)1x y +-=的两个交点关于直线20x y d +-=对称，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前100 项和=____________________.三．解答题：本大题满分70分。

2016年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i2．（5分）已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2D．34．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2B．3C．4D．55．（5分）已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]6．（5分）一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）要得到函数f（x）＝sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09B．0.20C．0.25D．0.459．（5分）若双曲线﹣＝1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝110．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）11．（5分）若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5＝a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5B．62C．﹣57D．﹣56 12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y＝f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）＝0；②y＝f（x）在[8，10]单调递增；③x＝4为函数y＝f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）＝m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝的最大值为．14．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M 的切线P A，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为．16．（5分）对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f（x）＝min{x，}（x＞0），则不等式f（x）≥log42的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．18．（12分）已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b＝2，求S的最大值．△ABC19．（12分）若f（x）＝cos2ax﹣sin ax cos ax（a＞0）的图象与直线y＝m（m ＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f （x）图象的一个对称中心，且a＝4，求△ABC周长的取值范围．20．（12分）如图，在△ABC中，记，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．21．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，且当x＝时，函数f（x）＝a n•x2+（2﹣n﹣a）•x取得极值．n+1（1）若b n＝2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n＝，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n 对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）若x＝3是函数f（x）的极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．2016年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【解答】解：由题意得z＝ai．（a∈R且a≠0）．∴＝＝，则a+2＝0，∴a＝﹣2．有z＝﹣2i，故选：D．2．（5分）已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即必要性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即充分性不成立，故“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2D．3【解答】解：该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S＝×（1+2）×2＝3，则该几何体的体积V＝•3•x＝，故x＝．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：模拟执行程序，可得k＝1，S＝0，满足条件k≤n，S＝2，k＝2满足条件k≤n，S＝6，k＝3满足条件k≤n，S＝14，k＝4满足条件k≤n，S＝30，k＝5由题意，此时应该不满足条件5≤n，退出循环，输出S的值为30，则输入的n为4．故选：C．5．（5分）已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]【解答】解：∵函数的图象经过点（0，﹣1），∴2sinφ＝﹣1，求得sinφ＝﹣，可得φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．6．（5分）一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A53＝60种取法，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A42＝12种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32＝6种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A22＝2种情况，根据分类计数原理可得12+6+2＝20种，故它为“凹数”的概率是＝．故选：D．7．（5分）要得到函数f（x）＝sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【解答】解：∵f（x）＝sin2x，f′（x）＝2cos2x＝2sin（2x+）＝2sin[2（x+）]，∴将f（x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到导函数f′（x）的图象．故选：D．8．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]＝0.45．故选：D．9．（5分）若双曲线﹣＝1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：∵双曲线C：﹣＝1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，∴a2+b2＝25，a＝2b，∴b＝，a＝2∴双曲线的方程为﹣＝1．故选：C．10．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【解答】解：易知函数f（x）＝e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）＝lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）＝0，f（1）＝e+1﹣2＞0，g（b）＝0，g（1）＝0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选：C．11．（5分）若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5＝a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5B．62C．﹣57D．﹣56【解答】解：∵（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5＝a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，令x＝1，可得a0＝2+22+23+24+25＝62，再令x＝0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 ＝5，∴a1+a2+a3+a4+a5 ＝﹣57，故选：C．12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y＝f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）＝0；②y＝f（x）在[8，10]单调递增；③x＝4为函数y＝f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）＝m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：f（x）为R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x）+f（2），令x＝﹣2得：f（2）＝2f（2）；∴f（2）＝0，∴①正确；∴f（x+4）＝f（x）；∴f（x）为周期为4的周期函数；f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）在[0+4×2，2+4×2]＝[8，10]上单调递减，∴②错误；f（x）关于y轴对称，即x＝0是f（x）的一条对称轴；∴x＝4为函数f（x）图象的一条对称轴，∴③正确；x＝﹣4为f（x）的一条对称轴，∴；∴x1+x2＝﹣8，∴④正确；∴不正确的命题序号为②．故选：B．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝的最大值为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），，∴z＝的最大值为2．故答案为：2．14．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【解答】解：由题意，y＝lnx与y＝e x关于y＝x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx＝2（ex﹣e x）＝2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．15．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M 的切线P A，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为3．【解答】解：如图所示，⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，∴圆心为M（2，2），半径为r＝3；则圆心M到点P的距离为d＝MP＝＝3，∴切线长P A＝＝＝3，∴弦AB的长为2×＝2×＝3．故答案为：3．16．（5分）对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f（x）＝min{x，}（x＞0），则不等式f（x）≥log42的解集是[，2]．【解答】解：根据，min{a，b}表示a，b中的较小数，得到函数f（x）＝min{x，}（x＞0）的图象，如图所示：当x＝或2时，y＝，由图象可知，f（x）≥log42的解集是[，2]，故答案为：[，2]三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（I）∵，∴n＝1时，a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣＝﹣＝n．n＝1时也成立．1∴a n＝n．（II）＝，∴数列{b n}的前项和T n＝++…+，＝+…++，∴＝+…+﹣＝﹣＝，∴T n＝2﹣．18．（12分）已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；的最大值．（Ⅱ）如果b＝2，求S△ABC【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∥，⇒2sin B•（2cos2﹣1）+cos2B＝0，…（2分）⇒sin2B+cos2B＝0⇒2sin（2B+）＝0（B为锐角）⇒2B＝⇒B＝，…（4分）∴R＝[1，2]…（6分）（Ⅱ）由cos B＝＝，可得：ac＝a2+c2﹣4，…（8分）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4，…（10分）＝ac sin B≤＝，∴S△ABC即S的最大值为．…（12分）△ABC19．（12分）若f（x）＝cos2ax﹣sin ax cos ax（a＞0）的图象与直线y＝m（m ＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f （x）图象的一个对称中心，且a＝4，求△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）＝，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a＝1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．20．（12分）如图，在△ABC中，记，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意不妨设，则；∴；；又；∴；∴＝＝，；∴＝；解得；∴；（Ⅱ）由题意知；∴；∴＝；又P（x，y），∴；∴；∴；∵点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点P处于点A（）位置时m﹣n最大，且最大值为1．21．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，且当x＝时，函数f（x）＝a n•x2+（2﹣n﹣a）•x取得极值．n+1（1）若b n＝2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n＝，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n 对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵f（x）＝a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x，∴f′（x）＝，∴，即a n+﹣a n+1＝0，∴2n a n+1＝2n﹣1a n+1，即b n+1＝b n+1，又∵＝1，∴数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n＝n，∴c n＝＝＝﹣，∴S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，∵不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n恒成立，∴m＜＝1+n+对任意的正整数n恒成立，记f（n）＝1+n+，则f（1）＝﹣6，f（2）＝9，f（3）＝﹣，f（4）＝10，…，显然当n＝1时f（n）取最小值，∴m＜f（1）＝﹣6，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣6）．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）若x＝3是函数f（x）的极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）＝﹣＝，由题意可得f′（3）＝0，代入可得a＝，检验成立．可得切线的斜率为f′（1）＝﹣，切点为（1，0），可得切线的方程为x+3y﹣1＝0；（Ⅱ）f′（x）＝，由函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f′（x）≥0在x＞0恒成立，即有x2+（2﹣2a）x+1≥0，当x＞0时，2a﹣2≤x+，由x+≥2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2，即有2a﹣2≤2，可得a≤2，可得a的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）证明：要证，只需证＜，即证ln＞，即证ln﹣＞0，设h（x）＝lnx﹣，由（Ⅱ）知，h（x）在（1，+∞）递增，又＞1，可得h（）＞h（1）＝0，即ln﹣＞0，故．。

2016届郴州市高三第一次质检考试政治试卷第Ⅰ卷选择题一、最佳选择题（请选出题中最符合题意的一个答案，并将答案填写在答题卡上。

本大题共25小题，每小题2分，共50分）1．在当前资源环境问题的极大挑战下，电动汽车越来越受人们的欢迎，在郴州市的街头电动汽车也越来越多。

截止到2015年，我国已出台许多政策，扶持和引导电动汽车行业的快速发展。

要想实现快速发展，作为电动汽车企业就必须①不断提高生产率，减低企业生产成本②不断提高生产率，提高电动汽车的价值③降低产品价格，用价格优势垄断市场④根据市场的发展方向，不断调整产品结构A．①②B．③④C．①④D．②③2．2015年7月，新西兰乳业巨头恒天然集团宣布，由于全球乳品价格跌势加剧，将裁员523人，这相当于员工总数的3%。

公司将把更多人员力量调配到销售和生产岗位，以创造更多的经济效益。

这表明①价格变动调节生产要素的投入②企业生产经营的直接目的是利润③供求关系影响商品的价格④缩小生产规模有助于降低企业生产成本A．①② B．①④ C．②③D．③④3．2014年1件A 商品可以兑换9件B商品，1件B商品可以兑换4件C商品。

假如2015生产A商品的社会劳动生产率提高了50%，1件B商品可以兑换5件C商品，若生产B商品的条件不变，不考虑其他因素，则下列判断正确的有①2015年1件A商品可以兑换30件C商品②2015年1件A商品可以兑换25件C商品③生产C商品的社会劳动生产率提高了20%④生产C商品的社会劳动生产率提高了25%A．①③B．①④C．②③D．②④4．假定其他条件不变，在一般情况下，下列选项中与右图曲线反映的变动关系相一致的是①P甲为人民币汇率Q乙为商品进口量②P甲为个别劳动时间Q乙为商品价值总量③P甲为某种商品价格Q乙为其替代品需求量④P甲为恩格尔系数Q乙为居民生活水平A.①②B.①③C.②④D. ③④5．2014年10月29日，国务院常务会议指出，消费是经济增长重要“引擎”，是我国发展巨大潜力所在。

湖南省郴州市数学高三理数第一次质量调研普查考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·中山模拟) 如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A . {x|﹣1＜x≤0}B . {x|﹣1≤x≤1}C . {x|﹣1＜x≤1}D . {x|﹣1＜x≤2}2. （2分）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·双鸭山期末) 已知实数满足，则函数的零点个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分） (2018高一上·黑龙江期末) 已知，是关于的方程的两个实根，且，则（）A .B .C .D .5. （2分）已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2016高二下·海南期中) 某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5，57，则判断框内应为（）A . k≤6？B . k≤5？C . k＞5？D . k＞4？7. （2分）(2017·广州模拟) 如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A .B .C .D . 28. （2分）(2016·安徽) 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A . 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B . 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C . 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D . 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差9. （2分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A .B . πC . 2πD . 4π10. （2分）已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D ﹣ABC的体积为（）A .B .C .D .11. （2分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=， c﹣a=2，b=3，则a=（）A . 2B .C . 3D .12. （2分） (2019高三上·海淀月考) 已知函数的图像如图所示,则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设 f(x)，则f(x)dx=________ ．14. （1分） (2018高二下·惠东月考) 的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）15. （1分）(2013·福建理) 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=3 ，AD=3，则BD的长为________．16. （1分）(2017·包头模拟) 已知A，B，C三人中，一个是油漆工，一个是木工，一个是泥瓦工，但不知A，B，C三人具体谁是什么工种，三人合作一件工程，由于其中的某一个人而做糟了，为了弄清楚责任，分别询问三人，得到的回答如下：A说：“C做坏了，B做好了”；B说：“我做坏了，C做好了”；C说：“我做坏了，A做好了”．现在又了解到，油漆工从来不说假话，泥瓦工从来不说真话，而木工说的话总是时真时假，则该负责任的是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2016高三上·连城期中) 已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当时，试证明；（Ⅲ）设函数．f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），使对n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．18. （10分）(2017·大理模拟) 2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节．第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰．第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X，求X的分布列和期望．19. （15分） (2019高二下·上海月考) 在三棱柱中，是正三角形，，点在底面上的射影恰好是中点，侧棱和底面成角.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的大小.20. （10分）(2018高二上·黑龙江期末) 已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.21. （10分） (2018高二下·聊城期中) 已知函数 .（1）讨论的单调性并求极值；（2）证明：当时， .22. （10分）(2018·山东模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数的值．23. （5分） (2015高二下·郑州期中) 已知a，b是正实数，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一上·上海期中) 满足条件的所有集合 的个数是（ ）A . 4个 B . 8个 C . 16 个 D . 32 个 2. （2 分） 已知 i 为虚数单位，若（1+i）z=2i，则复数 z=（ ） A . 1﹣i B . 1+i C . 2﹣2i D . 2+2i3. （2 分） 己知命题 “使”是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A.B . (−1,3)C.D . (−3,1)4. （2 分） (2019·浦东模拟) 下列命题正确的是（ ）A . 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B . 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面第 1 页 共 15 页C . 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 D . 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行5. （2 分） 如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是（ ）A.y=0,y=2xB.y=2x, y=0,C . y=0,y=2x,D . y=0,y=2x6. （2 分） (2020·连城模拟) 已知向量，，且 与 的夹角为 ，则 x=（ ）A . -2B.2C.1D . -17. （2 分） (2019·唐山模拟) 中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。

问积几何？”（注：一丈等于十尺）。

若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正第 2 页 共 15 页方形），则方锥的体积为（ ）（单位：立方尺）A . 7047 B . 21141 C . 7569 D . 22707 8. （2 分） (2016 高二下·六安开学考) 已知数列{an}为等比数列，且 a4•a6=2a5 ， 设等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn ， 若 b5=2a5 ， 则 S9=（ ） A . 36 B . 32 C . 24 D . 22 9. （2 分） 由一组样本数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），得到回归直线方程 =bx+a，那么 下面说法不正确的是（ ） A . 直线 =bx+a 至少经过（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）中的一个点 B . 直线 =bx+a 必经过（ ）第 3 页 共 15 页C . 直线 =bx+a 的斜率为 D . 直线 =bx+a 的纵截距为 ﹣b10. （2 分） 已知点 N（x，y）为圆 x2+y2=1 上任意一点，则的取值范围（ ）A.[ ， ] B . [﹣ ， ]C . （﹣∞，]∪[ ，+∞）D . （﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）11. （2 分） (2017 高二下·深圳月考) 已知 ， 是双曲线的左、右焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.12. （2 分） 设函数 A. B. C. D.， 则满足的 的取值范围是 （ ）第 4 页 共 15 页二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 已知 n=9dx，在二项式的展开式中，x2 的系数是________．14. （1 分） 已知变量 满足约束条件，则的最大值为________15. （1 分） (2020 高一下·应城期中) 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有________.个点，相应的图案中总的点数记为，则16. （1 分） 将边长为 2，有一内角为 60°的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD，点 E、F 分别为 AC、 BD 的中点，则下列命题中正确的是________ （将正确的命题序号全填上）①EF∥AB； ②EF 与异面直线 AC、BD 都垂直；③当四面体 ABCD 的体积最大时，AC= ； ④AC 垂直于截面 BDE．三、 解答题： (共 7 题；共 60 分)17. （5 分） (2017 高一下·台州期末) 已知函数 f（x）=4sinxcos（x+ 值为 2．）+m（x∈R，m 为常数），其最大（Ⅰ）求实数 m 的值；第 5 页 共 15 页（Ⅱ）若 f（α）=﹣（﹣ ＜α＜0），求 cos2α 的值．18. （5 分） 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机 抽取了 30 名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在 75 分以上（包括 75 分）的学生定义为甲组，成 绩在 75 分以下（不包括 75 分）定义为乙组．（Ⅰ）在这 30 名学生中，甲组学生中有男生 7 人，乙组学生中有女生 12 人，试问有没有 90%的把握认为成绩 分在甲组或乙组与性别有关；（Ⅱ）记甲组学生的成绩分别为 x1 ， x2 ， …，x12 ， 执行如图所示的程序框图，求输出的 S 的值；（Ⅲ）竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为 ，小李答对每道题的概率均 为 ，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为 a，小李答对题的道数为 b，X=|a﹣b|，写出 X 的概率分布列，并求出 X 的数学期望．附：K2=独立性检验临界表：P（K2＞k0） k00.100 2.706；其中 n=a+b+c+d0.050 3.8410.010 6.635第 6 页 共 15 页19. （5 分） (2017·运城模拟) 如图 1，菱形 ABCD 的边长为 12，∠BAD=60°，AC 与 BD 交于 O 点．将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 B﹣ACD，点 M 是棱 BC 的中点，DM=6 ．（I）求证：平面 ODM⊥平面 ABC； （II）求二面角 M﹣AD﹣C 的余弦值．20. （5 分） 已知中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为的椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与 轴的非负半轴交于点 ，过点 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点 ， 两点，连接，求的面积的最大值．21. （15 分） 已知函数（ 为自然对数的底数）（1） 求的单调区间；（2） 是否存在正实数 使得，若存在求出 ，否则说明理由；（3） 若存在不等实数，使得，证明：.22. （10 分） (2018 高二下·临汾期末) 直角坐标系中，直线 的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1） 求圆 的直角坐标方程；（2） 设圆 与直线 交于点 ， ，若点 的坐标为第 7 页 共 15 页，求的最小值.23. （15 分） 设满足以下两个条件的有穷数列 ， ， ， 为①；②.（1） 分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”. （2） 若某 2017 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.（3） 记 阶“期待数列”的前 项和为，试证：阶“期待数列”： .第 8 页 共 15 页一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案15-1、第 9 页 共 15 页16-1、三、 解答题： (共 7 题；共 60 分)17-1、第 10 页 共 15 页18-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,2]- C ．(,2](3,)-∞+∞ D ．[2,1)--2.设复数z 满足(12)2z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（ ）A ．1BC ．33.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．cos y x =B ．||1y x =-+C ．||2x y = D ． 12log y x =4.已知某三角函数的部分图象如图1所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4y x π=+C. cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4y x π=+5.某程序框图如图2所示，若3n =，01a =，12a =，32a =-，2x =.则该程序运行后输出的值为（ ）A ．1B ．0 C.-1 D ．26.在等差数列{}n a 中，45a =，711a =.设(1)n n n b a =-，则数列{}n b 的前100项之和100S 为（ ）A ．-200B ．-100 C.200 D ．1007.已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．7 C.233 D ．2238.已知约束条件400x kx y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（ ）A ．0B ．1 C.1或3 D ．39.如图4，ABC ∆中的阴影部分是由曲线2y x =与直线20x y -+=所围成，向ABC ∆内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．732 B ．932 C. 716 D ．91610.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -关于直线0bx cy +=的对称点M在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A ．BC. D11.已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点.MN 是圆O 的一条直径，则CM CN 的取值范围是（ ）A ．3[,0)4-B ．[1,1)- C. 1[,1)2- D ．[1,0)- 12.若函数()f x 在区间A 上，对a b c A ∀∈，，，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21[,]e e上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．212(,)e e e +B ．2(,)e +∞ C. 1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的a 值是____________.14.已知(2nx 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是___________.15.已知1sin()3απ+=-，则sin(2)2πα+=___________. 16.设()S n ，()T n 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且()32()45S n n T n n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且143a a AP AB ACb λ+=+，则实数λ的值为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤，集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，且命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数22()2sin cos f x x x x x =-. （I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （II ）求函数()f x 在区间[0,]2π的最大值及所对应的x 值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，且*14()2nn n a a n N a +=∈+. （I ）证明：数列11{}2n a -是等比数列. （II ）设2n n n nb a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20. （本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC ∆的面积，且222)S a b c =--． （I ）求角A 的大小；（II）若a =b c >，D 为BC的中点，且AD =sin C 的值．21. （本小题满分12分）已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈． （I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； （II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围. 22.（本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++，其中0a >. （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若1a >，证明：对任意12,(1,)x x ∈+∞12()x x ≠，总有122212|()()|1||2f x f x ax ax -<-.郴州市2017届高三第一次教学质量监测试卷数学（理科）参考答案及评分细则一、选择题1-5:CABCA 6-10:DBBDC 11、12：AD 二、填空题13.-4或2 14. 60 15.79 16.325- 三、解答题17.解：由已知得{|04}A y y =≤≤，………………2分{|1}B x m x m =-≤≤.………………4分∵p 是q 的必要不充分条件， ∴A B ⊂≠.………………6分则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.………………8分∴14m -≤≤，故m 的取值范围为[1,4].………………10分18.解：（I）由已知得()2sin 2f x x x =-………………2分2sin(2)3x π=--.………………3分∴函数()f x 的最小正周期T π=.………………4分 由3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，………………5分 得511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴函数()f x 的单调增区间为511[,]()1212k k k Z ππππ++∈.………………6分（II ）当[0,]2x π∈，则22[,]333x πππ-∈-，………………7分∴sin(2)[3x π-∈.………………9分∴111111()222n n a a +-=-.………………4分 又11a =，∴111122a -=，………………5分 所以数列11{}2n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.………………6分（II ）解：由（I ）知，111111()2222n n n a --==， 即11122n n a =+.………………8分 ∴22n n n n n nb a =-=.………………9分于是231232222n n nS =++++，① 231112122222n n n n nS +-=++++，② 由①-②得，211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---，………………11分 即11222222n n n n n n S -+=--=-，∴数列{}n b 的前n 项和222n n nS +=-.………………12分20.解：（I ）由已知得2221sin )2bc Aa b c =--，…………………1分 ∴sin A =………………2分即sin A A =.………………3分 ∴tan A =.………………4分 又∵(0,)A π∈，23A π=，………………6分 （II ）由cos cos ADB ADC∠=-∠得：22222222AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-=-，又∵D 为BC 的中点，∴BD DC ==，AD =∴2220AB AC +=，即2220b c +=.………………8分又∵222821cos 232b c bc π+-==-， ∴8bc =.………………9分又∵b c >，∴4b =，2c =，………………10分∴32sin 21sin c A C a ===.………………12分21.解：（I ）∵4t =，∴24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x+=-=+-=1log 4(2)a x x=++，………………2分 易证1()4(2)h x x x =++在1[,1]4上单调递减，在[1,2]上单调递增，且1()(2)4h h >，∴min ()(1)16h x h ==，max 1()()254h x h ==，………………3分∴当1a >时，min ()log 16a F x =，由log 162a =-，解得14a =（舍去） (4)分当01a <<时，min ()log 25a F x =，由log 252a =-，解得15a =.………………5分 综上知实数a 的值是15.………………6分 （II ）∵()()f x g x ≥恒成立，即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立，∴1log log (22)2a a x x t ≥+-.………………7分又∵01a <<，1[,2]4x ∈22x t ≤+-，………………8分22t x ≥-+∴恒成立，………………9分∴max (22)t x ≥-+.………………10分令2117122)([,2])484y x x =-+=--+∈，∴max 2y =.………………11分故实数t 的取值范围为[2,)+∞.…………………12分 22.解：（I ）∵(0,)x ∈+∞，1(1)(1)'()(1)ax x f x ax a x x--=-++=，………………2分 令'()0f x =，得1x a=或1x =.………………3分 ①若01a <<，则(0,1)x ∈时，'()0f x >；1(1,)x a ∈时，'()0f x <；1(,)x a∈+∞时，'()0f x >，故函数()f x 在(0,1)，1(,)a +∞上单调递增，在1(1,)a上单调递减.………………4分 ②若1a =时，则()f x 在(0,)+∞上单调递增.………………5分③若1a >时，则()f x 在1(0,)a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)a上单调递减.………………6分（II ）由（I ）可知，当1a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增，不妨设121x x >>，则有12()()f x f x >，2212ax ax >，于是要证122212|()()|1||2f x f x ax ax -<-，即证22121211()()22f x f x ax ax -<-， 即证22112211()()22f x ax f x ax -<-，………………8分令21()()ln ()(1)2h x f x ax x a x x =-=-+>，∵11(1)'()(1)a xh x a x x-+=-+=，………………10分∵(1)2a x +>，1(1)0a x -+<，∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，即有12()()h x h x <. 故122212|()()|1||2f x f x ax ax -<>.………………12分。