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2020年湖北省高考数学模拟试卷1（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x <1或x >3}，则A ∩B =( )A. (0,1)B. (0,2)∪(3,+∞)C. ⌀D. (0,+∞) 2. 已知复数z =i(1+2i)，则|z|=( )A. √5B. √3C. √2D. 33. 已知角α的终边上有一点P(sin2π3,cos2π3)，则tanα=( )A. −√33B. √33C. −√3D. √34. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，那么b 等于( )A. 1B. 2C. √5D.2√55. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC ，CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成角的大小为( )A. π6B. π3C. π2D. 2π36. 已知定义在R 上的函数f(x)在(−∞,−3]上单调递增，且f(x −3)为偶函数，则不等式f(x −2)<f(1)的解集为( )A. (−7,1)B.C. (−5,3)D.7. 已知向量a ⃗ =(−1,2),b ⃗ =(1,−1)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =( )A. 4B. −4C. 8D. 58. 若函数f (x )=sin (ωx −π4)(ω>0)，在(−π4,π2)上是增函数，则ω的范围是( )A. (0,12]B. (0,1]C. (0,32]D. (0,2]9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2.若球O 的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是( )A. 16B. 15C. 8√2D. 8310. 在△ABC 中，A >B ，则下列结论一定正确的是( )A. sinA >sinBB. sinA <cosBC. sinA >cosBD. cosA >cosB 11. 书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为( )A. 13B. 14C. 15D. 1612.设函数f(x)={x2e x,x≥0x2e x,x<0，则使得f(2x+1)>f(x−1)成立的x的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(0,+∞)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f(x)=√−1+lnx的定义域是____________．14.已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200，现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n的样本，进行质量检查，已知丙车间抽取了24件产品，则n=____________15.已知实数x，y满足约束条件{x+y≤4,5x+2y≥11,y≥12x+1,则z=2x−y的最大值为________．16.过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为_____________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．18.已知四棱锥P−ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC上一点，且BP⊥平面ADM．(1)求PM的长度；(2)求MD与平面ABP所成角的余弦值．19. 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，且焦距为2√2，动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1⋅k 2是定值．20. 总体(x,y)的一组样本数据为：x 1 2 3 4 y3354x y (2)当x =6时，估计y 的值．附：回归直线方程y =bx +a ，其中a =y −bx ，b =∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2．21. 已知函数f(x)=ax 2−x −2lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)的一个极值点为x =1，求函数f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性．22.在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin(β+π4)=√22a，曲线C2的参数方程为{x=−1+cosθy=−1+sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)．(Ⅰ)求C1，C2的直角坐标方程；(Ⅱ)当C1与C2有两个公共交点时，求实数a的取值范围．23.选修4—5不等式选讲已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R．(1)当m=4时，解不等式|f(x)|≤2；(2)若不等式f(x+2)≥0的解集为[−2,2]，若正数a，b满足ab+a+2b=2m，求a+b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}；∴A∩B=(0,1)．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的运算和复数的模，属于基础题．先根据运算法则计算化简给定复数，再用模的公式计算．【解答】解：z=i(1+2i)=i+2i2=−2+i，∴|z|=√(−2)2+12=√5，故选A．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P(sin2π3,cos2π3)，∴x=sin2π3=√32，y=cos2π3=−12，∴tanα=yx =−√33，故选：A．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 由双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，可得a =2，c =√5，即可求出b 的值．【解答】解：∵双曲线双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，∴a =2，c =√5， ∴b =√5−4=1， 故选A ．5.答案：B解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A(2,0，0)，C(0,2，0)，M(1,2，0)，N(0,2，1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设异面直线AC 和MN 所成角为θ， cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√8⋅√2=12，∴θ=π3． ∴异面直线AC 和MN 所成角为π3． 故选：B ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出异面直线AC 和MN 所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的单调性与对称性的综合应用，涉及关于x 的不等式的解法，属于基础题． 根据题意，由函数f(x −3)为偶函数分析可得函数f(x)的图象关于直线x =−3对称，结合函数的单调性可得f(x −2)<f(1)，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x −3)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x =−3对称， 又由函数f(x)在[−3,+∞)单调递减，且f(x −2)<f(1)，所以|x−2+3|>|1+3|，解可得：x<−5或x>3，即不等式的解集为．故选D．7.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,3)⋅(−1,2)=2+6=8．故选：C．通过向量的坐标运算，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质，注意数形结合的思想运用，属于中档题．根据正弦函数的单调性，求得ω的范围即可．【解答】解：∵f(x)在区间(−π4,π2)上是增函数，∴−π4ω−π4⩾−π2+2kπ,且π2ω−π4⩽π2+2kπ,k∈Z，求得ω≤1−8k且ω≤32+4k，k∈Z，∵ω>0，∴−38<k<18，k∈Z，∴k=0，ω∈(0,1]．故选B．9.答案：A解析：【分析】本题考查了三棱柱与外接球的关系，三棱柱的体积，球的表面积，属于中档题．棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，故而球心位于侧面BCC1B1的中心，根据球的表面积可得半径，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．【解答】解：∵AB=AC=2，BC=2√2，∴AB⊥AC，又∵CC1⊥平面ABC，三棱柱ABC−A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，∴O为矩形BCC1B1的中心，设球O半径为r，则4πr2=72π，∴r=3√2．即OC=r=3√2，∴三棱柱的高ℎ=2√r2−(12BC)2=8．∴三棱柱的体积V=S△ABC⋅ℎ=12×2×2×8=16．故选A．10.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦定理及余弦函数的性质，属于基础题．结合正弦定理，余弦函数的单调性及特殊值逐项分析即可．【解答】解：在△ABC中，由大边对大角可知，当A>B时，a>b，再根据正弦定理asinA =bsinB，可得sinA>sinB，故A对；在△ABC中，当时，sinA>cosB，故B错；当，，故C错；∵A，B∈(0,π)，而y=cosx在(0,π)上单调递减，由A>B，得cosA<cosB，故D错．11.答案：C解析：【分析】书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的恰好都是数学书的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解答】解：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，∴取出的恰好都是数学书的概率p=mn =315=15．故选：C．12.答案：A解析：解：当x<0时，f(−x)=(−x)2⋅e−x=x2e x=f(x)，当x>0时，f(−x)=(−x)2e−x=x2⋅e x=f(x)，当x=0时，f(x)=0，∴f(x)是偶函数，又当x≥0时，f′(x)=2xe x+x2e x=e x(x2+2x)≥0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．∵f(2x+1)>f(x−1)，∴|2x+1|>|x−1|，解得x<−2或x>0．故选：A．判断函数奇偶性和单调性，利用函数的对称性和单调性列出不等式得出x的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．13.答案：[e,+∞)解析：本题考查函数的定义域，属于基础题． 【解答】解：因为f (x )=√−1+lnx ， 所以−1+lnx ≥0， 即lnx ≥1， 所以x ≥e所以定义域是[e,+∞)， 故答案为[e,+∞).14.答案：80解析： 【分析】本题主要考查分层抽样的知识，解答本题的关键是知道每个个体被抽取的概率：P =241200=150，然后再求n 的值． 【解答】解：每个个体被抽取的概率：P =241200=150， n =(1500+1300+1200)×150=80， 故答案为80．15.答案：2解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 【解答】解：实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,5x +2y ≥11,y ≥12x +1的可行域如图：z =2x −y 经过点A 时，z 取得最大值， 由{x +y =4y =12x +1可得A(2,2) z =2x −y 的最大值为：4−2=2，故答案为：2．16.答案：32解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及多边形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．设直线AB 的方程为y =k(x −1)，将直线AB 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出|AB|，同理得出|CD|，由面积公式S =12|AB|⋅|CD|结合基本不等式可得出四边形ACBD 面积的最小值． 【解答】 解：如下图所示，显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以，可设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 将直线l 的方程代入抛物线的方程并整理得 k 2x 2−2(k 2+4)x +k 2=0，所以，x 1+x 2=2+4k 2，所以，|AB|=x 1+x 2+2=4+4k 2，同理可得|CD|=4+4k 2，由基本不等式可知，四边形ACBD 的面积为S =12|AB|⋅|CD|=12×4(1+k 2)k2⋅4(1+k 2) =8(k 2+1k 2+2)≥32． 当且仅当k =±1时，等号成立，因此，四边形ACBD 的面积的最小值为32． 故答案为：32．17.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 17=33，S 7=49， 则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a 1=1，d =2， 所以：a n =2n −1．则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即：a 52=a 1·a 41．所以：a 1，a 5，a 41成等比数列． (2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①， 则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1② ①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3．解析：本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． (1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．18.答案：解：(1)如图所示建立空间直角坐标系，由已知A(0,0，0)，B(2,0，0)，P(0,0，1)，D(0,1，0)，C(2,1，0)． 令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)，所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,λ,−λ)， 则M(2λ,λ,−λ)，因为BP ⊥平面ADM 且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)． 所以−5λ+1=0，则λ=15.即PM 的长为√65.(6分)(2)因为M(0,4，0.2，0.8)，则MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−0.4,0.2,0.8)， 因为面ABP 的一个法向量n⃗ =(0,1，0)，令MD 与平面ABP 所成角为θ， 则sinθ=√0.16+0.04+0.64=23，故cosθ=√53.(12分)解析：(1)建立空间直角坐标系，令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用BP ⊥平面ADM 且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，求出λ，即可求PM 的长度；(2)利用向量的夹角公式求MD 与平面ABP 所成角的余弦值．本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)∵焦距2√2，∴2c =2√2，得c =√2，由椭圆的对称性及已知得|F 1A|=|F 2B|，又∵|F 1A|+|F 1B|=4， ∴|F 1B|+|F 2B|=4，因此2a =4，a =2，于是b =√2， 因此椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)设B(x 0,y 0)，P(x 1,y 1)，则A(−x 0,y 0)，直线PA 的方程为y −y 1=y 1−yx 1+x 0(x −x 1)，令x =0，得y =x 1y 0+x 0y 1x 1+x 0，故M(0,x 1y 0+x 0y 1x 1+x 0)，直线PB 的方程为y −y 1=y 1−yx 1−x 0(x −x 1)，令x =0，得y =x 1y 0−x 0y 1x 1−x 0，故N(0,x 1y 0−x 0y 1x 1−x 0)，∴k 1=−1001√2(x +x )，k 2=−x 1y 0−x 0y1√2(x −x )， 因此k 1⋅k 2=12·x 12y 02−x 02y 12x 12−x 02，∵A ，B 在椭圆C 上，∴y 12=2−x 122,y 02=2−x 022，∴k 1k 2=12⋅x 12(2−12x 02)−x 02(2−12x 12)x 12−x 02=1．故k 1·k 2为定值1．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由题意求得c ，由对称性结合|F 1A|+|F 1B|=4可得2a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)设B(x 0,y 0)，P(x 1,y 1)，则A(−x 0,y 0)，分别写出PA 、PB 所在直线方程，求出M 、N 的坐标，进一步求出MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，结合A 、B 在椭圆上可得k 1⋅k 2是定值．20.答案：解：(1)∵x =52,y =154，∑x i 4i=1y i =40,∑x i 24i=1=30；∴b =40−4×52×15430−4×254=12， a =y −bx =154−12×52=52， ∴回归直线方程为y =12x +52; (2)当x =6时，代入回归方程，可得y =112．解析：本题考查回归方程的求法，利用最小二乘法求回归方程的系数是解答此类问题的关键． (1)根据所给的数据求x 和y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法的系数公式求出线性回归方程的系数，进而写出线性回归方程； (2)当x =6时，代入回归方程，即可估计y 的值．21.答案：解：(1)f(x)=ax 2−x −2lnx ，f ′(x)=2ax −1−2x (x >0)，∵x =1是函数f(x)的一个极值点， ∴f′(1)=2a −1−2=0，∴a =32，，f ′(x)=3x −1−2x=3x 2−x−2x=(3x+2)(x−1)x．∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，∴x =1时，f(x)极小值为f (1)=32−1=12，无极大值；(2)由f(x)=ax 2−x −2lnx(x >0)，可得：f ′(x)=2ax −1−2x=2ax 2−x−2x(x >0)．①当a ≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数； ②当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=1−√1+16a4a，x 2=1+√1+16a4a，显然，x 1<0，x 2>0，且当0<x <x 2时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x >x 2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；综上，a ≤0时，f(x)的单调减区间为(0,+∞)，没有增区间； a >0时，f(x)的单调减区间为(0,1+√1+16a4a)；单调增区间为．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，函数的极值，考查分类讨论以及计算能力． (1)求导，由f′(1)=0求出a 的值，再利用导数得到函数的极值点，从而求出极值；(2)通过求解函数的导函数，分a ≤0与a >0两种情况，通过判断导数符号，然后求函数f(x)的单调区间．22.答案：解：(Ⅰ)由ρsin(β+π4)=√22a ，得ρ(sinβcos π4+cosβsin π4)=√22a ， 即√22ρ(sinβ+cosβ)=√22a ，∴C 1的直角坐标方程为x +y =a ．由{x =−1+cosθy =−1+sinθ，得(x +1)2+(y +1)2=1． ∴C 2的普通方程为(x +1)2+(y +1)2=1；(Ⅱ)圆(x +1)2+(y +1)2=1的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，要使C 1与C 2有两个公共交点，则圆心(−1,−1)到直线x +y −a =0的距离小于圆的半径1． 即√2<1，解得：−2−√2<a <−2+√2．∴实数a 的取值范围是(−2−√2,−2+√2).解析：(Ⅰ)展开两角和的正弦，结合x =ρcosβ，y =ρsinβ求得C 1的直角坐标方程，利用平方关系消去θ求得C 2的普通方程；(Ⅱ)由曲线C 2的圆心到直线C 1的距离小于圆的半径列式求得实数a 的取值范围．本题考查极坐标方程化直角坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆的位置关系，是基础题．23.答案：【解答】(1)由于m =4，所以|f(x)|≤2等价变形为−2≤|x −2|−4≤2， 即2≤|x −2|≤6，所以−6≤x −2≤−2或2≤x −2≤6，所以不等式的解集为{x|−4≤x≤0或4≤x≤8}；(2)不等式f(x+2)≥0等价于|x|≤m，由于该不等式的解集为[−2,2]，所以m=2，故ab+a+2b=4，即(a+2)(b+1)=6，所以a+b=(a+2)+(b+1)−3⩾2√(a+2)(b+1)−3=2√6−3(当且仅当a+2=b+1=√6即a=√6−2，b=√6−1时，等号成立)，所以a+b的最小值为2√6−3．解析：本题考查解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．(1)将|f(x)|≤2等价变形为−2≤|x−2|−4≤2，求出不等式的解集即可；(2)求出m的值，根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．。
2020年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合{1A =，0，1}-，{|21B y y x ==-，}x A ∈，则(A B =I ) A ．{1，0，1}-B ．{1，1}-C ．{0}D ．∅2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数221z i i =-+的虚部是( ) A ．3iB ．iC ．3D ．13．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．454．（5分）已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（5分）若||a =r ||2b =r 且()a b a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 6．（5分）计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为( ) A ．12 B ．12-CD． 7．（5分）已知抛物线24y x =的焦点到双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为( ) A ．221x y -=B ．2212x y -=C ．2213x y -=D ．2214x y -=8．（5分）若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪+⎩……„，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．39．（5分）定义在R 上的奇函数()224sin x x f x a x -=--g 的一个零点所在区间为( )A ．(,0)a -B ．(0,)aC ．(,3)aD ．(3,3)a +10．（5分）若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为() A ．1528B ．2815C ．1528或1 D ．2815或1 11．（5分）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为( ) A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π12．（5分）关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是( ) A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13．（5分）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为 ．14．（5分）已知正实数a ，b 满足123a b+=，则(1)(2)a b ++的最小值是 ． 15．（5分）设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为 ．16．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足()()2(x f x f x e e '-<为自然对数的底数），其中()f x '为()f x 的导函数，若f （2）24e =，则()2x f x xe >的解集为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．18．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数14 26 40 合计423880参考数据：2()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．20()P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A 组，使用手机且成绩优秀的同学记为B 组，计划从A 组推选的4人和B 组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A 组、另一人来自B 组的概率．20．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作斜率为1-的直线1l 交。
湖北省武汉市第一中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取名学生，并编号；（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A. B. C. D.参考答案：B略2. 若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是( )A.0B. 1C.D. 9参考答案：B作出不等式组表示的可行域（如下图），令，可知当直线经过点时，取得最小值0，故此时取得最小值1.3.在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，则以B，C为焦点，且过D，E 的双曲线的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：答案:D4. 设函数，，若实数a、b满足，，则（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】确定函数单调递增，且，计算得到，再代入计算比较大小关系.【详解】，，故，函数单调递增.，，即.，故或（舍去），故，，故.故选：D.【点睛】本题考查了根据导数判断单调性，零点存在定理，意在考查学生的综合应用能力.5. 已知角的终边经过,则等于( )A．B．C．D．参考答案：A6. 已知双曲线C：的离心率是，F是双曲线C的左焦点，A（，1），P 是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为A． B． C．＋4 D．＋8参考答案：C7. 已知曲线(a＞0，b＞0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为A B C D参考答案：C8. 若对正数，不等式都成立，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：D略9. 函数，已知在时取得极值，则=（）A．2 B．3C．4 D．5参考答案：B10. 设集合M ={x|x2+x-6<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =A [1,2) B[1,2] C( 2,3] D[2,3]参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列为等比数列，若，则公比____________.参考答案：2略12. 在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则____ _参考答案：13. 函数的值域是____________参考答案：略14. 的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为．若点是图象的一个对称中心，且，则▲．参考答案：略15. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，则P（0≤ξ≤1）=．参考答案：0.35【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性计算．【解答】解：∵变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴P（ξ＞1）=0.5，∴P（1≤ξ≤2）=P（ξ＞1）﹣P（ξ＞2）=0.35，∴P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.35．故答案为：0.35．16. 已知实数x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[0,3]17. ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
武昌区2020 届高三年级四月调研测试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U = R ，集合A = {x | 0 <x ≤ 2}，B = {x | x - 1 < 0} ，则A B =A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (-∞,2]D. (-∞,1]2．已知复数z =534i+，则复数z 的虚部为A.45B.45- C.45i D.45-i3．已知双曲线C :2222x ya b-= 1(a > 0, b > 0) 的焦距为8，一条渐近线方程为y 3x ，则CA.221412x y-= B.221124x y-= C.2211648x y-= D.2214816x y-=4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100].若低于60 分的人数是18 人，则该班的学生人数是A.45B.48C.54D.605．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“ l // α”是“ l ⊥m ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量a = (1,-2) ，b = (3,-1) ，则A. a // bB. a ⊥bC. a // ( a-b )D. a ⊥( a -b )高三文科数学第1 页（共5 页）高三文科数学 第 2 页（共 5 页）2 3 23 7．已知点(m ,8) 在幂函数 f ( x ) = (m - 1)x n 的图像上，设a = f () ，b = f (ln π) ，c = f ( n) ， 则A. b < a < cB. a < b < c C .b < c < a D.a < c < b8．函数48ln ||()e ex xx x f x --=+的图像大致为A. B.C. D.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海 轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°， 那么B ，C 两点间的距离是 A. 6 海里B. 6 海里C. 8 海里D. 8 海里10．已知三棱锥 P - ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA = ，PB = ， AB = 4 ， CA = CB = ，面 PAB ⊥ 面 ABC ，则球O 的表面积为A. 10π3. B. 256π C. 409π D.503π2 14 10高三文科数学 第 3 页（共 5 页）3 11．已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ϕ )( A > 0,ω > 0,0 < ϕ <2π) 的部分图像如图所示，则 f (34π) =A. 2 - 6 4B. 2 + 6 4C. 6 - 2 4D.6 + 2212．已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x ) = f (2 - x ) ，当 x ∈[0, 1] 时，f ( x ) = x ，则函数 F ( x ) = f ( x ) +x + 4在区间[-10, 9] 上零点的个数为 1 - 2xA ．9B ．10C ．18D ．20 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x>l}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A. ⌀B. (1,+∞)C. (−1,3)D. (1,3)2.已知x，y∈R，i为虚数单位，若x1−i=1+yi，则复数x+yi在复平面上对应点的坐标是A. (0,1)B. (2,1)C. (1,0)D. (1,2)3.已知0<a<1，log a x<log a y<0，则()A. 1<y<xB. 1<x<yC. x<y<1D. y<x<14.已知单位向量e1⃗⃗⃗ 与单位向量e2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ ，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A. 5B. 6C. √37D. √395.设正实数x，y满足x>23，y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，则m的最大值为()A. 2√2B. 4√2C. 8D. 166.关于频率分布直方图，下列说法不正确的是()A. 纵轴表示频率与组距的比值B. 各长方形的面积等于相应各组的频率C. 长方形的个数与所分组数相等D. 各长方形的面积之和等于样本容量7.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.8.函数f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)的一个单调递减区间是()A. [−23,13]B. [56,116]C. [13,43]D. [−16,56]9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=4，则直线AF 的倾斜角等于( )A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. 5π610. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]11. 在平面四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠BAD =60°，∠DBC =30°，则点D 到边BC 的距离为( )A. 2B. 4C. √72D. √712. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(b >0,a >0)的左焦点为F ，点B 的坐标为(0,b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 23B. 32C. √3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．14. 已知θ∈(π2,π)，则1sinθ+1cosθ=2√2，则sin(θ+π4)________，sin(2θ−π3)=________． 15. 已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB =6，BC =8，AC =10，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为______ ．16. 设x,y 满足约束条件{x ⩾0x +2y ⩾42x +y ⩽5，则z =2x −y 的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n (n ∈N ∗)(1)求a 1的值及数列{an}的通项公式；(2)记数列{1a n3}的前n 项和为T n ，求证：T n <732(n ∈N ∗)18. 某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．x 4 5 7 8 y2356(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ； (2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． 相关公式：，b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2,a =y −−bx −19. 如图，设四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB =SC =2，SA =SB =√2．(Ⅰ)求证：平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)设P 为SD 的中点，求三棱锥P −SAC 的体积．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值．21.已知函数f(x)=ax+cosx，x=π6是f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)求f(x)在x∈[0,2π]上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.若a>b>0，求证：a+1(a−b)b≥3．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B ={x|−1<x <3}； ∴A ∩B =(1,3)． 故选：D ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x ，y 的值得答案． 解：由x1−i =1+yi ，得x =(1−i )(1+yi )=(1+y )+(y −1)i ，{x =1+yy −1=0, {x =2y =1,则x +yi =2+i =(2,1)， 故选B ．3.答案：A解析：本题考查了对数函数的性质，是基础题． 由0<a <1结合对数函数的性质即可判断． 解：0<a <1，y =log a x 为减函数， log a x <log a y <0=log a 1，∴x >y >1， 故选：A4.答案：C解析：解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与单位向量e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12， 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9e 1⃗⃗⃗ 2+24e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +16e 2⃗⃗⃗ 2=9×1+24×12+16×1=37，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37． 故选：C ．根据平面向量的数量积与单位向量的概念，求出模长即可． 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．5.答案：D解析：令y −2=a ，3x −2=b ，则y =a +2，x =b+23，将原式转化为关于a ，b 的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题． 解：设y −2=a ，3x −2=b ，(a >0,b >0)，9x 2y−2+y 23x−2=(b+2)2a+(a+2)2b≥(2√2b)2a+(2√2a)2b=8(b a+ab)≥16，当且仅当a =b =2，即x =43，y =4时取等号， 故选：D ．6.答案：D解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．根据频数直方图的定义可以判断各个选项中的结论是否正确，由此可解．解：频率分布直方图中纵轴表示频率与组距的比值，A正确；频率分布直方图中各个长方形的面积表示该组的频率，故面积之和等于1，B正确，D错误．长方形的个数与所分组数相等，C正确．故选D．7.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．8.答案：D解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查正弦函数的单调性，考查转化的数学思想，属于中档题．利用两角和的三角函数公式化简f(x)的解析式为f(x)=−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y=2sin(πx−π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得x的范围，可得f(x)的减区间．解：f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)=sinπxcos 2π3+cosπxsin2π3+cosπxcosπ6−sinπxsinπ6=−sinπx+√3cosπx =−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y =2sin(πx −π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得2k −16≤x ≤2k +56(k ∈Z)． 结合所给的选项， 故选D ．9.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得点P 的坐标，从而可求得|AF′|，可求得点A 的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线AF 的倾斜角． 解：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴|PF|=|PA|，F(1,0)，准线l 的方程为：x =−1； 设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ，设P(m,n)，依|PF|=|PA|得，m +1=4，m =3，∴n =2√3， ∵PA//x 轴，∴点A 的纵坐标为2√3，点A 的坐标为(−1,2√3) 则直线AF 的斜率2√3−0−1−1=−√3，直线AF 的倾斜角等于2π3． 故选A ．10.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．11.答案：C解析：解：如图，在△ADB 中，由余弦定理可得DB 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos60°=7． ∴DB =√7．过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC =√7×12=√72．故选：C ．由余弦定理可得BD ，过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC ，即可． 本题考查了余弦定理及解直角三角形，属于基础题．12.答案：B解析：解：∵左焦点为F(−c,0)，点B 的坐标为(0,b)， ∴直线PQ 为：y =bc (x +c)，与y =ba x.联立得：P(acc−a ,bcc−a ). 与y =−ba x.联立得：Q(−acc+a ,bcc+a ).∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0−acc−a=5(−acc+a )⇒2c =3a ⇒e =32．故选：B ．求出P ，Q 的坐标，利用PB⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出双曲线C 的离心率． 本题考查双曲线C 的离心率，考查学生的计算能力，确定P ，Q 的坐标是关键．13.答案：(1,1)解析：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及两直线垂直时斜率之间的关系，属于基础题． 利用导数的几何意义求解即可． 解：设P (x 0,1x 0)(x 0>0)因为y =e x ,y′=e x ,k =1，所以y =e x 在点(0,1)处的切线为y −1=1×(x −0),即y =x +1 又y =1x ,y′=−1x 2 由题意得−1x 02=−1,x 0=1所以P (1,1) 故答案为(1,1)．14.答案：−12;−1解析：本题考查两角和与差的三角函数运算、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属中档题． 由sinθ+cosθ=−√22可求得sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)的值；由已知条件易得sin2θ，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得cos2θ，由两角差的正弦公式可得．解：∵1sinθ+1cosθ=2√2，∴sinθ+cosθsinθcosθ=2√2，∴sinθ+cosθ=2√2sinθcosθ，平方可得8(sinθcosθ)2−2sinθcosθ−1=0 解得sinθcosθ=−14，或12， ∵θ∈(π2,π)，∴sinθcosθ<0， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−12，∴sinθ+cosθ=−√22， ∴(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=32∴sinθ−cosθ=√62， ∴(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)=−√32=sin 2θ−cos 2θ=−cos2θ ∴cos2θ=√32， 所以sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)=−12∴sin(2θ−π3)=12sin2θ−√32cos2θ=−14−34=−1；故答案为−12;−115.答案：4003π解析：求出三角形ABC 的外心，利用球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，是中档题，找出球的半径满足的条件是解题的关键．解：由题意AB =6，BC =8，AC =10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是AC 的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R ，球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半， 所以R 2=(12R)2+52， 解得R 2=1003，∴球的表面积为4πR2=4003π.故答案为4003π.16.答案：3解析：本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．解：x，y满足约束条件{x⩾0x+2y⩾42x+y⩽5,z=2x−y得到y=2x−z，所以当直线经过图中A(2,1)时，直线在y轴上的截距最小，所以z的最大值为2×2−1=3；故答案为3．17.答案：(1)解：当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，(0舍去)，∵4S n=a n2+2a n，当n>1时，4S n−1=a n−12+2a n−1，∴两式相减可得4a n=a n2−a n−12+2a n−2a n−1，(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵数列{a n}各项均正，∴a n−a n−1=2，∴{a n}是以2为公差，2为首项的等差数列，∴a n=2+2(n−1)=2n；(2)证明：由于1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1)．则T n =18+18⋅23+18⋅133+⋯+18⋅1n 3 <18+116(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1)=18+116(1+12−1n−1n+1)<18+116×(1+12)=732， 即有T n <732．解析：(1)令n =1，a 1=S 1=，即可得到首项，再由当n >1时，a n =S n −S n−1，化简整理，即可得到a n −a n−1=2，再由等差数列通项公式，即可得到通项；(2)运用放缩法，即有1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1).再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵x −=4+5+7+84=6，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =106，∑x i 24i=1=154，∴b =∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4(x −)2=1，a =y −−bx −=−2，故线性回归方程为：y =x −2； (2)在y =x −2中，取x =9，得y =7．故由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．解析：(1)由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中的回归方程中，取x =9求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：(Ⅰ)证明：连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，∵SA =SB =√2，∴SE ⊥AB ，AB =2，∴SE =1， 又四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB =2， ∴CE =√3，又SC =2，∴SC 2=CE 2+SE 2， ∴SE ⊥EC ，又∵SE ⊥AB ，且AB ∩EC =E ，AB ，EC ⊂面ABCD ， ∴SE ⊥面ABCD ， ∵SE ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)解：V P−SAC =V S−PAC =V S−DAC −V P−DAC =12V S−DAC =12×13×√34×22×1=√36．解析：(Ⅰ)连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，证明SE ⊥面ABCD ，即可证明平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)利用转换底面的方法，即可求三棱锥P −SAC 的体积．本题在四棱锥中证明面面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了平面与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．20.答案：解：(1)∵点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，∴c =1，将P 点坐标代入椭圆方程可得1a 2+94b 2=1， 又a 2−b 2=1，联立可解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，则l ：y −y 0=2y 0(x −y 024)．整理，得l ：y =2y 0x +y 02．∴M(−y 024,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =2y 0x +y2x 24+y 23=1，可得(3+16y 02)x 2+8x +y 02−12=0， △=64−4(3+16y 02)(y 02−12)=−12y 04+144y 02+768y 02>0．x 1+x 2=−8y 023y 02+16,x 1x 2=y 04−12y 023y 02+16． ∴AB 的中点坐标为(−4y 023y 02+16,32y 033y 02+16)，∴AB 的垂直平分线方程为y −32y 033y 02+16=−y 02(x +4y 023y 02+16)，令x =0，得y =−12y 033y 02+16，即N(0,−12y 033y 02+16)，∴k MN =−2y3y 02+16．∵y 0>0，∴k MN =−2y 03y 02+16=−23y0+16y≥−√312，当且仅当y 0=4√33时取得等号． ∴直线MN 的斜率的最小值为−√312．解析：(1)由题意求得c ，把P 的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出AB 的中点坐标，得到AB 的垂直平分线方程，求出N 的坐标，进一步得到MN 的斜率，然后利用基本不等式求直线MN 斜率的最小值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了整体运算思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0得a =12． 经检验，符合题意． 所以a =12(2)由f(x)=12x +cosx 知f′(x)=12−sinx ，令f′(x)=0得x =π6或x =5π6，f(0)=0+cos0=1，f(5π6)=12×5π6+cos5π6=5π12−√32<1，所以f(x)的最小值为5π12−√32．解析：本题考查利用导数研究函数的极值和闭区间上的最值问题，属于中档题．(1)本小题考查利用导数研究函数的极值，f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0，即可求出a 的值，注意检验．(2)本小题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，求导之后判断函数的单调性，求出闭区间上的极值，再和区间端点的函数值比较即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：见解析解析：a+1(a−b)b =(a−b)+b+1(a−b)b，∵a>b>0，∴a−b>0，b>0，1(a−b)b>0，∴(a−b)+b+1(a−b)b ≥3√(a−b)⋅b⋅1(a−b)b3=3，∴a+1(a−b)b≥3，当且仅当a−b=b=1(a−b)b，即a=2，b=1时等号成立．。
2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．13．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．454．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1 8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．39．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或111．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对二、填空题（共4小题）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C 上一点．（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，﹣1，﹣3}；∴A∩B＝{1，﹣1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．1【分析】利用已知条件转化方程通过复数的乘除运算求解即可．解：i为虚数单位，则复数z＝2i﹣＝2i﹣＝2i﹣1+i＝﹣1+3i，则其虚部是3，故选：C．3．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．45【分析】根据题意，由等差数列的性质可得S9＝＝＝9a5，即可得答案．解：根据题意，数列{a n}为等差数列，则S9＝＝＝9a5＝45，故选：D．4．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．解：设向量的夹角为θ，∵，∴，∴，即2﹣2cosθ＝0，∴，∵0≤θ≤π，∴，故选：B．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a＝，即可得到双曲线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的一条渐近线y＝x的距离为，由题意可得d＝＝，即有a＝，双曲线方程为：．故选：C．8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：x，y满足约束条件所表示的可行域为下图中的△ABC，当目标函数对应的直线z＝4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3．故选：D．9．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（3）＜0，即可求出答案．解：∵定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（1）＝1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）＝8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或1【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得d＝＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（﹣2，2），半径r＝2；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d＝＝2，解可得a＝；故选：A．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π【分析】设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为，求出PO'＝4、OO'＝4﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对【分析】将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．【解答】解：由原方程得sin x＝kx（x≠0），设函数f（x）＝sin x，g（x）＝kx，它们的图象如图所示：方程得sin x＝kx在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，α必是函数g（x）＝kx与f（x）＝sin x在（2π，3π）内相切时切点的横坐标，即切点为（α，sinα），故g（x）＝kx是f（x）＝sin x的切线，k＝cosα，再由sinα＝kα＝αcosα，故α＝tanα，故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【分析】正实数a，b满足＝3，可得，b+2a＝3ab．展开（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足＝3，∴，化为，当且仅当b＝2a＝时取等号．b+2a＝3ab．∴（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2．故答案为：．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|＝，则，∴p＝2．∵点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为（﹣∞，2）．【分析】由f'（x）﹣f（x）＜2e x知，可构造函数g（x）＝﹣2x，g′（x）＜0⇒g （x）在R上为减函数；于是＞xe x⇔g（x）＞0，由g（2）＝与f（2）＝4e2可得：g（2）＝0，于是可得答案．解：解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x，∴构造函数g（x）＝﹣2x，则g′（x）＝﹣2＝﹣2＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在R上为减函数．∵＞xe x⇔＞2x⇔g（x）＞0，又f（2）＝4e2，∴g（2）＝﹣4＝﹣4＝0，∴g（x）＞g（2），∴x＜2，∴＞xe x的解集的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6，可得8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0解出利用通项公式即可得出．（2），利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6所以8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0则．所以．（2），当n＝3或4时，T n取得最大值，且（T n）max＝64．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD＝∠C1B1F．∴∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意计算观测值为K2＝＝9.825＞7.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；（2）记A组推选的4人为a、b、c、d，B组推选的2人为E、F，则从这6人中任取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；其中1人来于A组，1人来于B组的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围【分析】（1）由题意可得AF1＝AF2＝a，即a2＝2c2，根据三角形的面积可得a2＝8，c2＝4，即可求出椭圆的方程，（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y＝﹣x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据﹣＜m＜2，可得|CD|的范围，由S ACBD＝|AB|•|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围解：（1）由已知可得∠AF2F1＝45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1＝AF2＝a，并且2a2＝4c2，即a2＝2c2，又，可得a2＝8，c2＝4，故b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为+＝1．（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，代入到+＝1，可得3x2﹣8x＝0，从而得A（0，2），B（，﹣），∴|AB|＝，又设直线l2的方程为y＝﹣x+m，由条件可得﹣＜m＜2，将y＝﹣x+m代入到+＝1，可得3x2+4mx+2m2﹣8＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，∴|CD|＝•＝•＝•＝•，∵﹣＜m＜2，∴0≤m2＜，∴＜12﹣m2≤12，∴＜|CD|≤．，当且仅当m＝0时取等号，∵S ACBD＝|AB|•|CD|，∴S ACBD＞××＝，S ACBD≤××＝，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是（，]21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用极坐标方程的应用和三角形面积的公式求出结果．解：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得：化简极坐标方程为：曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得：化简极坐标方程为：ρ2（1+3sin2θ）＝7（2）联立，即联立，即故23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。
湖北武汉2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．13．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．454．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1 8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．39．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或111．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对二、填空题（共4小题）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C 上一点．（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{1，0，﹣1}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，0，﹣1}B．{1，﹣1}C．{0}D．∅【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B＝{1，﹣1，﹣3}；∴A∩B＝{1，﹣1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，则复数z＝2i﹣的虚部是（）A．3i B．i C．3D．1【分析】利用已知条件转化方程通过复数的乘除运算求解即可．解：i为虚数单位，则复数z＝2i﹣＝2i﹣＝2i﹣1+i＝﹣1+3i，则其虚部是3，故选：C．3．已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且a5＝5，则S9＝（）A．25B．90C．50D．45【分析】根据题意，由等差数列的性质可得S9＝＝＝9a5，即可得答案．解：根据题意，数列{a n}为等差数列，则S9＝＝＝9a5＝45，故选：D．4．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．5．若||＝，||＝2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．解：设向量的夹角为θ，∵，∴，∴，即2﹣2cosθ＝0，∴，∵0≤θ≤π，∴，故选：B．6．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．7．已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a＝，即可得到双曲线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的一条渐近线y＝x的距离为，由题意可得d＝＝，即有a＝，双曲线方程为：．故选：C．8．若x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最小值为（）A．9B．6.5C．4D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：x，y满足约束条件所表示的可行域为下图中的△ABC，当目标函数对应的直线z＝4x+3y经过点B（0，1）时，z取得最小值3．故选：D．9．定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a）C．（a，3）D．（3，a+3）【分析】根据奇函数的性质求出a的值，再很据f（1）•f（3）＜0，即可求出答案．解：∵定义在R上的奇函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x﹣4sin x，∴f（1）＝1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）＝8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．10．若直线l：4x﹣ay+1＝0与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4相切，则实数a的值为（）A．B．C．或1D．或1【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得d＝＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（﹣2，2），半径r＝2；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d＝＝2，解可得a＝；故选：A．11．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π【分析】设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为，求出PO'＝4、OO'＝4﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．12．关于x的方程kx＝sin x（k∈（0，1））在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tanα的大小关系是（）A．α＞tanαB．α＜tanαC．α＝tanαD．以上都不对【分析】将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．【解答】解：由原方程得sin x＝kx（x≠0），设函数f（x）＝sin x，g（x）＝kx，它们的图象如图所示：方程得sin x＝kx在（﹣3π，3π）内有且仅有5个根，α必是函数g（x）＝kx与f（x）＝sin x在（2π，3π）内相切时切点的横坐标，即切点为（α，sinα），故g（x）＝kx是f（x）＝sin x的切线，k＝cosα，再由sinα＝kα＝αcosα，故α＝tanα，故选：C．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．14．已知正实数a，b满足＝3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【分析】正实数a，b满足＝3，可得，b+2a＝3ab．展开（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2，即可得出．解：∵正实数a，b满足＝3，∴，化为，当且仅当b＝2a＝时取等号．b+2a＝3ab．∴（a+1）（b+2）＝ab+b+2a+2＝4ab+2．故答案为：．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|＝，则，∴p＝2．∵点A（4，m）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25．16．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则＞xe x的解集为（﹣∞，2）．【分析】由f'（x）﹣f（x）＜2e x知，可构造函数g（x）＝﹣2x，g′（x）＜0⇒g （x）在R上为减函数；于是＞xe x⇔g（x）＞0，由g（2）＝与f（2）＝4e2可得：g（2）＝0，于是可得答案．解：解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x，∴构造函数g（x）＝﹣2x，则g′（x）＝﹣2＝﹣2＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在R上为减函数．∵＞xe x⇔＞2x⇔g（x）＞0，又f（2）＝4e2，∴g（2）＝﹣4＝﹣4＝0，∴g（x）＞g（2），∴x＜2，∴＞xe x的解集的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝8，S3＝2（a2+3）．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知T n＝a1a2…a n，求T n的最大值．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6，可得8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0解出利用通项公式即可得出．（2），利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公比为q，由题意得：a1+a3＝a2+6所以8+8q2＝8q+6，即4q2﹣4q+1＝0则．所以．（2），当n＝3或4时，T n取得最大值，且（T n）max＝64．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C（1）当CF＝2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD＝∠C1B1F．∴∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880参考数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率．【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意计算观测值为K2＝＝9.825＞7.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；（2）记A组推选的4人为a、b、c、d，B组推选的2人为E、F，则从这6人中任取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；其中1人来于A组，1人来于B组的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作斜率为﹣1的直线l1交椭圆E于A，B两，且AB⊥AF1，（1）求椭圆E的方程（2）过线段AB上任意一点M（不含端点），作直线l2与l1垂直，交椭圆E于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围【分析】（1）由题意可得AF1＝AF2＝a，即a2＝2c2，根据三角形的面积可得a2＝8，c2＝4，即可求出椭圆的方程，（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，求出点A，B的坐标，即可求出|AB|，再由直线l2的方程为y＝﹣x+m，根据韦达定理和弦长公式即可求出|CD|根据﹣＜m＜2，可得|CD|的范围，由S ACBD＝|AB|•|CD|，即可求出四边形ACBD面积的取值范围解：（1）由已知可得∠AF2F1＝45°，∴由AB⊥AF1和椭圆的定义可得AF1＝AF2＝a，并且2a2＝4c2，即a2＝2c2，又，可得a2＝8，c2＝4，故b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为+＝1．（2）直线l1的方程为y＝﹣x+2，代入到+＝1，可得3x2﹣8x＝0，从而得A（0，2），B（，﹣），∴|AB|＝，又设直线l2的方程为y＝﹣x+m，由条件可得﹣＜m＜2，将y＝﹣x+m代入到+＝1，可得3x2+4mx+2m2﹣8＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，∴|CD|＝•＝•＝•＝•，∵﹣＜m＜2，∴0≤m2＜，∴＜12﹣m2≤12，∴＜|CD|≤．，当且仅当m＝0时取等号，∵S ACBD＝|AB|•|CD|，∴S ACBD＞××＝，S ACBD≤××＝，综上所述，四边形ACBD面积的取值范围是（，]21．已知函数f（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x，g（x）＝x3﹣ax2，a∈R （Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，结合零点判定定理可求．（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）cos x﹣sin x，∴f′（x）＝（﹣x+1）sin x，x∈（0，），sin x＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣sin1＜0，而f（0）＝﹣cos1＜0．f（）＝﹣1＜0，故函数f（x）在区间（0，）上零点的个数为0，（2）函数F（x）＝（x﹣a）cos x﹣sin x x3﹣ax2，∴F′（x）＝（x﹣a）（x﹣sin x），令F′（x）＝0，解得x＝a，或x＝0，①若a＞0时，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（0，a）上单调递减，故有2个极值点，②若a＜0时，当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，F′（x）＜0恒成立，故F（x）在（a，0）上单调递减，故有2个极值点，③当a＝0时，F′（x）＝x（x﹣sin x），当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，F′（x）＞0恒成立，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴F（x）在R上单调递增，无极值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用极坐标方程的应用和三角形面积的公式求出结果．解：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得：化简极坐标方程为：曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得：化简极坐标方程为：ρ2（1+3sin2θ）＝7（2）联立，即联立，即故23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足3a2+b2＝M，证明：3a+b≤4．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可；（Ⅱ）3a2+b2＝4，由柯西不等式可得（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2．解：（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，只需f（x）的最大值f（x）max≥|m﹣1|即可．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，∴|m﹣1|≤3，解得﹣2≤m≤4，∴实数m的最大值M＝4．（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a，b满足3a2+b2＝4，由柯西不等式可知（3a2+b2）（3+1）≥（3a+b）2，∴（3a+b）2≤16，∵a，b均为正实数，∴3a+b≤4（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．。
2020年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.已知，其中i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，，则A. B. C. D.4.已知平面向量均为单位向量，若向量的夹角为，则A. 37B. 25C.D. 55.若不等式对恒成立，则实数m的最大值为A. 7B. 8C. 9D. 106.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是A. 第三组的频数为18人B. 根据频率分布直方图估计众数为75分C. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为A. B.C. D.8.函数的单调增区间为A. B.C. D.9.已知F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，则直线l的斜率为A. B. C. D.10.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.平面四边形ABCD中，，，，，，则四边形ABCD的面积为A. B. C. D.12.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以为直径的圆过点B，且A为的中点，则C的离心率为A. B. 2 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是______．14.已知为锐角，且，则______．15.已知A，B，C是球O球面上的三点，，，且四面体OABC的体积为则球O的表面积为______．16.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的图象经过点和，求；设数列的前n项和为，，求的前n项和．18.2020年春节期间，新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城．共克时艰，为疫区助力．我国S省Q市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省H市．现对100家商家抽取5家，其中2家来自A地，3家来自B地，从选中的这5家中，选出3家进行调研．求选出3家中1家来自A地，2家来自B地的概率．该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入千元与月产增量千件，2，3，，的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且：，，，，，其中，，，根据所给的统计量，求y关于x回归方程，并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为19.如图，在四棱锥中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M 是SA的中点，，，．求证：平面平面SCD；若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为A，B，左、右焦点为，，其中．求栖圆C的方程：设为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，于点N，直线l：，设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点．21.已知函数．求函数的奇偶性．并证明当时函数只有一个极值点；当时，求的最小值；22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的直角坐标为，求的面积．23.已知实数a、b满足．求的取值范围；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，．故选：A．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，得，，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件求解a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：D解析：解：，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.答案：C解析：解：因为平面向量均为单位向量，且向量的夹角为，则；故．故选：C．先根据已知条件求得模长的平方，进而求得结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的模长，考查计算能力．5.答案：C解析：解：根据题意，，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为9，若不等式对恒成立，即式恒成立，必有恒成立，故实数m的最大值为9；故选：C．根据题意，由基本不等式的性质分析可得的最小值为9，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题．6.答案：C解析：解：对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：，所以第三组的频数为人，故正确；对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确；对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：分，故错误；对于D，因为，，所以中位数位于上，所以中位数的估计值为：，故正确；故选：C．对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解．本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，设，有，即函数为偶函数，排除A、D；设，则，在区间上，为减函数，且，，其对称轴为，开口向下，在区间上为增函数，上为减函数，在区间上，为减函数，此时，函数为减函数，故函数为增函数，排除C；故选：B．根据题意，设，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数为增函数，排除C；即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数，令，；解得，；所以的单调增区间为，．故选：A．化函数为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间．本题考查了三角函数的化简和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．通过抛物线的定义与性质求出A的坐标，得到P的坐标，然后求解直线的斜率即可．【解答】解：F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，可得A的坐标所以，所以直线l的斜率为：．故选：C．解析：【分析】本题考查分段函数，函数的单调性的应用，是中档题．当，即时，由二次函数的图象和性质，可知存在，且，使得成立；当，即时，若存在，且，使得成立，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：函数，存在，且，使得成立，当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在，且，使得成立，当，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，，综上所述：实数a的取值范围是．故选：C．11.答案：B解析：解：如图，，，，，，在中，由余弦定理，可得：，整理解得：，可得：，可得：，由于在中，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，或舍去，则四边形ABCD的面积．由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得BD的值，根据三角形的面积公式可求四边形ABCD 的面积的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：如图，因为A为的中点，所以，又因为B在圆上，所以，故，则：，联立，解得，则，整理得：，，即，，．故选：B．由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意得，且切线斜率为1．设切点为，则，所以，．故切点坐标为．故答案为：先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．14.答案：解析：解：，，可得：，为锐角，，解得：，或舍去．故答案为：．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合为锐角，解方程可求的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．15.答案：解析：解：三棱锥，A、B、C三点均在球心O的表面上，且，，，外接圆的半径为：，的外接圆的圆心为G，则，，三棱锥的体积为24，，即，，球的半径为：．球的表面积：．故答案为：．求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：9600解析：解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且，，目标函数，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线经过点时，截距z最小，在可行域的整数点中，点使z取得最小值，即，每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意，，把运输队所花成本z看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．17.答案：解：由题意得，解得，，所以，；由易知数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以前n项和．解析：由代入法解方程可得a，b，进而得到所求通项公式；由等差数列的求和公式，化简，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：设A地2家分为，，B地3家分为，，，由题意得，所有情况为：，，，，，，，，，，共10种，其中A地1家，B地2家的有6个，故所求的概率为；由线性回归方程公式，，且，所以线性回归方程为：，当时，年销售量y的预报值千件，故预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量为千件．解析：设A地2家分为，，B地3家分为，，，由题意得，所有情况为10种，满足条件的有6种，求出即可；由线性回归方程公式，求出a，b，再求出线性回归方程，取代入求出即可．本题考查了古典概型求概率，求线性回归方程，考查了运算能力，中档题．19.答案：证明：取BC中点E，连接DE，则，由题意可得：四边形ABED为正方形，且，，则，又平面平面ABCD ，平面平面，平面SCD，平面MBD，平面平面SCD．解：过点S作，交CD的延长线于点H，连接AH．则为SD与底面ABCD所成的角，即．由可得：，在中，，，点M到平面ABCD的距离三棱锥的体积．解析：取BC中点E，连接DE，则，由题意可得：四边形ABED为正方形，可得，于是，根据面面垂直的性质定理可得：平面SCD，进而得出平面平面SCD．过点S作，交CD的延长线于点H，连接为SD与底面ABCD所成的角，即点M到平面ABCD的距离可得三棱锥的体积．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、空间角、转化方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意知，，则，，，故椭圆的方程为，由知，，过点A且与x轴垂直的直线的方程为，结合方程，得点，直线PB的斜率为，直线PB的方程为，因为于点N，所以，线段MN的中点坐标，令，得，因为，所以，即直线BP经过线段MN的中点．解析：根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为2a，可求出a，已知焦点坐标，可知c，可求方程．根据题意求出ABP的坐标，求PB直线方程，求出点N坐标，求出其中点，可带入判断在直线PB上．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算能力，属于难题．21.答案：解：因为，故函数时偶函数．，，故只需讨论时情况，，由三角函数的性质知，，，，时，是增函数，又是偶函数，所以时，单调递减．故时，函数只有一个极小值点．由知，只需求时的最小值．，设，，因为，由零点存在性定理，存在唯一的，使得．当，，递减；．又因为，所以时，恒成立，在上递减；当时，，为增函数．所以．解析：由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性；要说明函数只有一个极值点，即导函数只有一个零点，结合导函数的单调性即可解决；讨论函数的单调性，求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值．本题考查了利用导数研究函数的极值以及最值问题．要注意二次求导的目的是研究一阶导数的单调性，最终研究的一阶导数的符号，从而确定原函数的单调性．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算以及抽象概括等数学核心素养．属于压轴题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为，代入，解得．代入，得到，由于，所以，故：，解得，，所以，．则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：因为，所以．当时，，解得，即；当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；由知，因为当且仅当时取等号，所以．解析：由已知得．当时，，解得，即；当时，，解得，即，得，即，即；由知，可得即．本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．。
年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题1.已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,1}-C. {0}D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出AB .【详解】因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有{}1,1A B ⋂=-，故本题选B.【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键.2.已知i 为虚数单位，则复数221z i i=-+的虚部是( ) A. 3i B. iC. 3D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的混合运算，对复数z 进行化简，再求其虚部即可. 【详解】因为221z i i =-+()()()2121311i i i i i -=-=-++-，故可得z 的虚部为3. 故选：C.【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及复数虚部的辨析，属基础题. 3.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（ ） A. 25 B. 90 C. 50 D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题. 4.已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥. 其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】①由线面平行的性质定理可知①正确； ②由面面平行的性质定理可知，αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确；③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确. 所以正确的命题有①②④， 故选：C .【点睛】本题主要考查点、线，面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5.若a =，b =2，且（a b -）a ⊥，则a 与b 的夹角是 A.6π B.4π C.3π D.512π【答案】B 【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=,cos 2||2a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅,所以a 与b 的夹角是4π. 6.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.7.已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a -=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（ ） A. x 2﹣y 2＝1 B. 22x -y 2＝1C. 23x -y 2＝1D. 24x -y 2＝1 【答案】C 【解析】 【分析】 12=，解得23a =，即可得到本题答案.【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，2221x y a-=的其中一条渐近线为0x ay -=，由题，得2121()a =+-，解得23a =， 所以双曲线得标准方程为2213x y -=，故选：C【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法，其中涉及抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程.8.若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A. 9B. 6.5C. 4D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行， 故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3. 故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 9.定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（ ）A. (),0a -B. ()0,aC. (),3aD.()3,3a +【答案】C 【解析】∵函数()224sin xxf x a x -=⋅--为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即()224sin 224sin xx x x a x a x --⋅-+=-⋅--,整理得()()1220xx a --+=在R 上恒成立，∴1a =,∴()224sin x xf x x -=--，∵11(1)224sin10,(0)0,(1)224sin10,f f f ---=-+>==--<23(2)424sin20,(3)824sin30f f --=-->=-->,∴函数()f x 的零点在区间()1,3内．选C ．10.若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为( )A.1528B.2815C.1528或1 D.2815或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得2d ==，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:(2)(2)4C x y ++-=，其圆心为(2,2)-，半径2r ；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离2d ==，解可得1528a =； 故选：A ．【点睛】本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题。
