全国初中数学竞赛辅导(初2)第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题

含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥ｍ-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠０时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥ｘ2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠０进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠０时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠０时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥ｘ2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以c≥ｂ-1．同理有所以c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不相同的正整数根，则k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．。

初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿x=0＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿x=1＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿x=-1＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿5/4＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿1＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿1＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿9q=2p2＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿一正一负＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ A ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？a=1 b=-1/29. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ C ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿a 不等于 b ＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.M=-1 b=212. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。

一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。

含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。

知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。

含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。

知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。

一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。

1、已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2式方程的两根，且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求m的值。

2、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实根x1、x2，(1)求k的取值、范围。

(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？3、试证：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实根。

4、m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．5、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0,(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．6、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．7、已知方程kx2-(2k-1)x+k-2=0的两根为x1、x2，且x12+x22=3，求k的值。

8、当m为何值时，关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1=0有实根。

9、已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2+2=0有两个相等的实数根，是判断直线y=(2m-3)x-4m+7能否通过A(-2,4)，并说明理由。

10、已知关于x 的方程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.11、已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.12、关于x 的方程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不 存在，说明理由.13、已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若方程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，试判断△ABC 的形状.14、若方程2312x x +=的两个根是x 1，x 2，求1112x x +。

一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。