【备考】(新课标)高考数学 考点汇总 考点50 几何证明选讲(含解析)

高三数学几何证明知识点数学几何是高中数学中的一大重要内容，对于高三学生来说，掌握好数学几何证明知识点不仅可以提高解题能力，还可以帮助他们更好地理解数学的本质和思维方式。

本文将介绍一些高三数学几何证明的重要知识点。

一、线段延长线在线段AB上取一点C，在延长线AC上取一点D，若有AD=BC，则可得证明：线段AB平分线段CD。

证明：根据题意可得AD=BC，要证明线段AB平分线段CD，即证明CD=2BD。

连接线段AB，并且作线段BE║AC，交延长线AD于E点。

根据平行线性质可得：∠AEB=∠ACB（对应角）因为∠AEB和∠ACB都是与切线AB相对应的所以他们之间也相等。

同理可得∠BED=∠ACB根据等角性质可得∠AEB=∠BED所以ΔABE与ΔBDE全等。

根据全等三角形的性质可知：AE=BE=BD根据延长线分割线段的性质可得：BD=CD-BD所以 CD=2BD。

因此，线段AB平分线段CD。

二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两边相等、两底角相等的三角形，对于高三数学几何证明来说，等腰三角形的性质是常见的知识点。

定理1：等腰三角形的底角（两边非等边所对应的角）相等。

证明：设三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠B=∠C=x，∠A=y因为∠A+∠B+∠C=180°所以 y+x+x=180°化简可得：y=180°-2x又因为∠B=∠C=x所以∠BAC=180°-2x根据等差定理可知∠BAC=y所以∠BAC=∠BAC，即底角相等。

定理2：等腰三角形中，等腰边所对角相等。

证明：设三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠B=∠C=x，∠A=y又因为∠B=∠C=x根据等差定理可知∠ABC=∠ACB所以∠ABC=y所以∠ABC=∠ACB，即等腰边所对角相等。

三、勾股定理勾股定理是几何证明中使用频率非常高的一个知识点，该定理表明在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边所对应的两个锐角的正弦和余弦乘积的和。

高考几何证明知识点几何学是数学中的一个重要分支，而在数学的高考中，几何证明是考生们需要掌握的重要知识点之一。

几何证明要求考生运用几何知识和推理能力，通过一系列推导和论证，建立正确的数学结论。

掌握几何证明知识点不仅可以帮助考生在考试中取得好成绩，还可以培养思维能力和逻辑推理能力。

首先，我们来谈谈几何证明中的基本概念。

在几何证明过程中，我们经常会用到一些基本概念，比如线段、角、三角形等。

线段是由两个不同点确定的一段直线，它是几何证明中最基本的要素之一。

在证明过程中，我们常常需要使用线段的性质，比如线段的垂直平分线平分线段，线段的等分等等。

角是由两条射线共同确定的一个点，也是几何证明中经常使用的一个概念。

在几何证明中，我们经常需要利用角的性质来进行推导，比如相等角的性质、互补角的性质等。

其次，我们来探讨一些重要的几何证明定理。

高考中常常会考察一些几何证明定理，比如勾股定理、余弦定理、正弦定理等。

勾股定理是几何证明中最重要的定理之一，它给出了直角三角形三边关系的一个准确表达。

在几何证明中，我们可以利用勾股定理来推导一些重要的结论，比如等腰直角三角形的性质等。

余弦定理和正弦定理是几何证明中另外两个重要的定理，它们描述了任意三角形的边与角之间的关系。

在几何证明中，我们可以运用余弦定理和正弦定理来推导一些重要的结论，比如正多边形的内角和等于180°等。

此外，还有一些几何证明的方法和技巧值得我们掌握。

在几何证明中，有一种重要的方法叫做几何的反证法。

几何的反证法是利用逻辑推理，通过假设结论不成立，从而推导出矛盾的结果，进而证明结论的方法。

在几何证明中，我们经常需要通过几何的反证法来论证某些结论的正确性。

此外，还有一种常用的几何证明方法叫做几何的类比法。

几何的类比法是通过对比两个或多个几何图形的相似之处，从而推导出结论的方法。

在几何证明中，我们可以利用几何的类比法来证明一些关于比例等性质的结论。

最后，几何证明的过程需要遵循一定的步骤和规则。

第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理若是一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项12．在解决相似三角形的判定或应历时易显现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 别离交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，那么BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD 的长为________．解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案：41．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)假设只能找到一对对应角相等，那么判定相等的角的两夹边是不是对应成比例；(3)假设找不到角相等，就判定三边是不是对应成比例，不然考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判定三角形相似的方式(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观看其特点，找出相等的角或成比例的对应边．[练一练]1．如图，D ，E 别离是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45. 答案：45 2．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，那么∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ，因此△ABC ∽△CBD .那么∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案：90°对应学生用书P172考点一 平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD于F ，那么BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，∴BE ∶AD ＝2∶5.∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25. 答案：252.(2021·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC＝3∶5，DE＝6，那么BF＝________.解析：由DE∥BC得DE BC＝AEAC＝35，∵DE＝6，又因为DF ∥AC ， 因此BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25， 即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，那么EF BC ＋FG AD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EFBC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EFBC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.答案：1[备课札记][类题通法]比例线段经常使用平行线产生，利用平行线转移比例是经常使用的证题技术，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二 相似三角形的判定及性质[典例] (2021·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，那么PD PE ＝PE PA ，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，因此PE ＝ 6.[答案] 6 [备课札记]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特点灵活选择判定定理，专门要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．[针对训练](2021·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，因此△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AE AC ， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：42考点三 射影定理的应用 [典例] 如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC. [证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ， ②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC， ④ 由②④得：DF AF ＝AEEC .[备课札记]1．在利用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时经常使用的方式．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，假设BD ∶AD ＝1∶9，那么tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，那么AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，那么BC 的长为________ cm. 解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .那么BE EC ＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，那么FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，假设△AEF 的面积为6 cm 2，那么△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，那么12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，假设S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，那么S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3. 答案：35．(2021·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，因此∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：21 2[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG别离交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥DC，AD∥BC.因此△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.因此△ABF∽△GDA.从而有AFAG＝BFAD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D在BC上且CD＝1，假设∠CAD＝∠B，求BD的长．解：作出图形(如图)，依题意，有tan∠CAD＝tan∠B，即12＝21＋BD.故BD＝3.3.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP . 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .若是AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HFHE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE ＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC 的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，因此BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，因此S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ， 因此S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .假设AE AD ＝14，求AF AC的值． 解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AFAC ＝17. 7.如下图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S△DEFS △ABF ＝(DE AB )2.又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝(DECE )2＝19，S △DEFS △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD .即AD 3＝BC ·CF ·BE .第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：若是一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个极点共圆．推论：若是四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个极点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径．推论1：通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点．推论2：通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心．(2)判定定理：通过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在利历时注意结合图形作出判定．2．在利用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易显现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，那么PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，若是∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的经常使用方式(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各类性质都能够取得应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应历时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，因此应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2021·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，假设∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，那么∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，因此∠MPB ＝∠MCP ，因此30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，因此∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2021·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 别离作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，那么AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，因此PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35. 答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2021·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD与BC 交于点F .假设AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，那么线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，因此AE ∥BC .又AC ∥BD ，因此四边形AEBC 是平行四边形，因此AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，因此CACB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2021·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设AB ＝6，ED ＝2，那么BC ＝________.解析：连结OC ，那么OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，那么∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：233.(2021·岳阳模拟)如下图，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，假设∠P＝70°，那么∠ACB ＝________.解析：如下图，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两头作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定[典例] (2021·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)假设GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某必然点距离相等；如两点在一条线段异侧，那么证明它们与线段两头点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如下图，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)假设AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，因此∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，因此∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，因此△DPC ∽△DBA ，因此PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，因此PC AC ＝PD BD .(2)因为AB ＝AC ，因此∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，因此∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，因此∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，因此△APC ∽△ACD ，因此AP AC ＝ACAD，因此AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段 [典例] 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．[解] (1)证明：连结DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，因此∠BDE＝∠BCA，又∠DBE ＝∠CBA ，因此△BDE ∽△BCA ，因此BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ，因此BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，因此AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，依照割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，因此(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理要紧用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2021·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 别离交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GFAG ＝EF 2CE 2.对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2021·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°取得OD ，那么PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：7 2．(2021·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，那么BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，因此AC 为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD ＝30°，因此AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝2.答案：2 3．(2021·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，假设AP ＝4，PB ＝2，那么PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，因此P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：224．(2021·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，那么∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，因此BG ＝32.设DE 的中点为O ，连结BO ，那么∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．(2021·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，因此BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，因此EF2＝AD·BC.2．(2021·江苏高考)如图，AB和BC别离与圆O相切于点D，C，AC通过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC别离与圆O相切于点D，C，因此∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，因此Rt△ADO∽Rt△ACB.因此BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．(2021·哈师大模拟)如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.(1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝3，求MA及CE的长．解：(1)证明：连结OD，∵∠CEO＋∠ECO＝90°，∠MDE＋∠EDO＝90°，又∠EDO＝∠ECO，∴∠CEO＝∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA＝1.∵在Rt△MDO中，MO＝2，MD＝3，∴∠MOD＝60°，∴∠COD＝150°，∴∠ECO＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.4．(2021·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 别离交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB . 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PEPB .5．如下图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，因此∠ACB ＝90°，因此∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，因此∠GCA ＝∠ABC ，因此∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，因此∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，因此△ACF ∽△AEC ，因此AC AE ＝AF AC ，因此AC 2＝AE ·AF .6．(2021·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，因此CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。

新课标人教版高中数学全册考点及题型归纳总结新课标人教版高中数学全册的考点及题型如下：一、函数与方程1.函数的基本概念和性质：定义域、值域、图像、增减性、奇偶性等。

2.一次函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、函数的图像性质与参数关系。

3.二次函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、函数的图像性质与参数关系。

4.指数函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、指数函数的性质与指数关系。

5.对数函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、对数函数的性质与底数关系。

6.三角函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、三角函数的性质与周期关系。

二、数列与数学归纳法1.数列的基本概念与表示：公式、通项、前n项和、数列的性质等。

2.等差数列：公差、前n项和、等差数列的性质及应用。

3.等比数列：公比、前n项和、等比数列的性质及应用。

4.通项公式及求和公式的推导与应用。

5.数学归纳法的基本概念和使用。

三、三角函数基本关系式与证明1.正弦函数与余弦函数的关系。

2.正切函数与余切函数的关系。

3.正割函数与余割函数的关系。

4.辅助角公式及证明。

5.万能角公式及证明。

6.统一化问题的求解及应用。

四、解析几何基本定理与推理1.重矢量的定义与性质。

2.数量积的基本性质与运算规则。

3.向量的线性相关性与线性独立性。

4.解析几何定理的证明与推理。

五、概率与统计1.基本概念与方法：样本空间、随机事件、概率、频率、统计量等。

2.概率的基本性质：加法原理、乘法原理、条件概率等。

3.随机变量和概率分布的基本概念与性质。

4.离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。

5.正态分布的基本性质和应用。

以上是新课标人教版高中数学全册的考点及题型的总结，希望对你有帮助。

新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分，其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。

以下是对新高考数学必考知识点的归纳：一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。

通过不断的练习和总结，考生可以提高解题速度和准确率，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。

⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。

平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。

推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。

相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。

相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。

所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。

判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。

判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。

判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。

简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。

定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。

高考数学证明复习重点整理高考数学证明重点整理在高考数学中，证明题是相对较难的题型，但是在分值上较为重要。

相信很多同学都有这样的经验，明明能够灵活运用公式计算出答案，但是面对一道证明题，却感觉无从下手。

其实，掌握了证明题的解法和方法，不仅可以提高分数，还能培养自己的逻辑思维和数学能力。

下面，本文将为大家整理高考数学证明的重点内容，希望对大家有所帮助。

一、三角函数证明在高考数学中，三角函数证明题居多，需要掌握的基本方法有：根据题目中给出的条件、常用公式、三角函数定义及其相关性质，结合逻辑推理和数学运算，推导出要证明的结论。

例如：证明 $\frac{1-\sin A}{\cos A}+\frac{1-\cos A}{\sinA}=\frac{(1-\sin A)(1-\cos A)}{\sin A\cos A}$解法：将左边的式子进行通分，得到$$\frac{\sin A(1-\sin A)+\cos A(1-\cos A)}{\sin A\cos A}$$再利用$\sin^2A+\cos^2A=1$的恒等式，得到$$\frac{\sin A\cos A-(\sin^2A-\cos^2A)}{\sin A\cos A}=\frac{\sin A\cos A-(\sin A-\cos A)(\sin A+\cos A)}{\sin A\cos A}$$继续化简，得到$$\frac{\sin A\cos A-\sin A\cos A-(\sin^2 A-\cos^2 A)}{\sin A\cos A}=\frac{(1-\sin A)(1-\cos A)}{\sin A\cos A}$$即左边等于右边，证毕。

二、向量证明向量证明题需要掌握向量的基本定义和性质，运用向量运算的基本法则，解法相对较为灵活。

例如：已知$\vec{AB}=\vec{a},\vec{AC}=\vec{b},\vec{AD}=\vec{c}$，证明$\vec{BD}=\vec{a}-\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times\vec{a}}{(\vec{a}+\vec{b}+\ve c{c})^2}\times (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$解法：将向量$\vec{BD}$用向量$\vec{a}$表示，得到$$\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{c}-\vec{a}$$将向量叉乘公式$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$代入，得到$$\vec{a}\times[(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times(\vec{c}-\vec{a})]=((\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{a}))\vec{a}-((\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{a})\vec{c}$$化简得到$$\vec{BD}=\vec{a}-\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times\vec{a}}{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2}\times (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$证毕。