三角、向量解几易漏易错点整理(黄晓蓉)

ʏ江苏省高邮市第一中学 袁达飞解三角形问题是高考中的常见题型,主要利用正弦定理㊁余弦定理来求解未知边角的关系或具体值,由于解三角形需要综合应用正余弦定理和有关角的一些变换,所以经常会出现一些顾此失彼的错误,现归纳如下,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁忽视解的讨论致误例1 在әA B C中,已知a =2,b =2,A =45ʎ,求B ㊂错解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或150ʎ㊂剖析:上述解法中忽现了A +B +C =180ʎ这一隐含条件,当B =150ʎ时,A +B =195ʎ,与三角形的内角和为180ʎ矛盾㊂正解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或B =150ʎ㊂若B =150ʎ,则A +B >180ʎ,应舍去㊂故B =30ʎ㊂易错点二㊁忽视三角形中角的范围致误例2 在әA B C 中,已知(a 2+b 2)㊃s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,判断әA B C 的形状㊂错解:原式可化为(a 2+b 2)(s i n A c o s B-c o s A c o s B )=(a 2-b 2)(s i n A c o s B +c o s A s i n B ),即a 2s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ㊂由正弦定理得b 2s i n 2As i n 2B㊃s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ,化简得s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以A =B ㊂所以әA B C 是等腰三角形㊂剖析:上述解法忽略了角的范围,s i n 2A=s i n 2B 是2A =2B 的必要但不充分条件,另外,有些同学也可能由于逻辑关系不清而出现以下错误的判断:由s i n 2A =s i n 2B ,得2A =2B ,又2A +2B =π,且A =B ,A +B =π2,所以әA B C 是等腰直角三角形㊂正解:将条件都化为有关角的关系形式,前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂因为A ,B 是三角形的内角,所以2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2㊂故әA B C 是等腰三角形或直角三角形㊂易错点三㊁忽视隐含条件致误例3 在不等边әA B C中,a 为最大边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是㊂错解:因为a 2<b 2+c 2,所以b 2+c 2-a2>0,则c o s A =b 2+c 2-a22b c>0㊂又因为A 为әA B C 的内角,故A 为锐角,所以0<A <90ʎ㊂剖析:上述解法忽视了隐含条件:三角形的内角和为180ʎ,所以最大边所对的角应该大于60ʎ㊂正解:前面同错解,得0ʎ<A <90ʎ㊂又因为a 为最大边,所以A >60ʎ㊂所以60ʎ<A <90ʎ㊂故A 的取值范围是(60ʎ,90ʎ)㊂易错点四㊁忽视角之间的关系致误例4 在әA B C 中,若s i n 2A s i n 2B =t a n Ata n B ,则әA B C 的形状为㊂错解:已知s i n 2A s i n 2B =t a n A ta n B =s i n A c o s Bc o s A s i n B ㊂因为s i n A >0,s i n B >0,所以s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以2A =2B ,即A =B ㊂故әA B C 为等腰三角形㊂剖析:上述解法忽视了 在әA B C 中,由72解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 2A =s i n 2B ,可以得到2A +2B =π这种情况,导致漏解,结果错误㊂正解:前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂所以2A =2B 或2A +2B =π,则A =B 或A +B =π2,故әA B C 为等腰三角形或直角三角形㊂易错点五㊁忽视三角形中三边的基本关系致误例5 已知钝角三角形的三边长分别是2a +1,a ,2a -1,求实数a 的取值范围㊂错解:因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,所以2a +1>0,a >0,2a -1>0,解得a >12㊂又2a +1是三边长的最大值,设该边所对的角为θ,则c o s θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)<0,解得12<a <8㊂剖析:不是任意的三个正数都能作为三角形的三条边长,还需要满足三角形三边的基本关系,即两边之和大于第三边㊂上述解法中少了这个约束条件㊂正解:前面同错解,得12<a <8㊂又a +(2a -1)>2a +1,解得a >2㊂综上可得,实数a 的取值范围是(2,8)㊂易错点六㊁实际问题中题意不明致误图1例6 如图1,在海岛A 上有一座海拔1k m的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛北30ʎ东㊁俯角为60ʎ的B 处,到11时10分,又测得该船在岛北60ʎ西㊁俯角为30ʎ的C 处㊂(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,试问:此时船距海岛A 有多远?易错分析:有的同学对题意没有理解透彻,方位确定不了,不能观察出әB A C 是直角三角形;有的同学在求A D 的长时不能放在әA C D 中利用正弦定理求解㊂剖析:实际应用问题中的有关名词㊁术语不能混淆㊂①仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角㊂②方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角㊂③方位角:从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角㊂④坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数㊂正解:(1)在R tәP A B 中,øA P B =60ʎ,P A =1,所以A B =3(k m )㊂在R t әP A C 中,øA P C =30ʎ,所以A C=P A ㊃t a n 30ʎ=33(k m )㊂在әA C B 中,øC A B =30ʎ+60ʎ=90ʎ,所以B C =A C 2+A B 2=332+32=303(k m )㊂所以该船的航行速度为303ː16=230(k m /h)㊂(2)øD A C =90ʎ-60ʎ=30ʎ㊂s i n øD C A =s i n (180ʎ-øA C B )=s i n øA C B =A B B C =3303=31010㊂s i n øC D A =s i n (øA C B -30ʎ)=s i n øA C B ㊃c o s 30ʎ-c o s øA C B ㊃s i n 30ʎ=31010㊃32-1-310102㊃12=33-11020㊂在әA C D 中,由正弦定理得A Ds i n øD C A=A C s i n øC D A ,所以A D =A C ㊃s i n øD C As i n øC D A=33㊃3101033-11020=9+313(k m )㊂故当船到达海岛的正西方向的D 处时,船与海岛A 的距离为9+313k m ㊂(责任编辑 王福华)82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。

三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

平面向量重要考点一、平面向量的线性运算（包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘） (1)向量的加法①向量加法的三角形法则: 注意首尾相接．．．． ②向量加法的平行四边形法则: 注意起点相同．．．．(2)向量的减法: 注意a b →→-的方向为指向被减向量．．．．或指向正向量．．．③向量加法的规律:（拆成．．两个已知．．的向量） ④向量减法的规律: （通过相反向量．．．．变成加法．．） →→→→→→→→→→++++=++=+=XBCM DC AD OBCO AC OB AO AB ΛΛ →→→→→=+=-ABOB AO BOAO(3)向量的数乘: 实数λ与向量→a 的积仍然是一个向量，记做→λa ，二、平面向量的共线定理：向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→→→0a a 与→b 共线⇔存在唯一实数λ，得到→→λ=a b .应用向量的共线定理，证明向量共线．．．．的方法： ① 要证明向量→a 与→b 共线，只要证明→→λ=a b ；② 要证明三点C B A 、、共线，只要证明()⎪⎩⎪⎨⎧λ=λ=λ=→→→→→→有公共点；；或或)(ii BC AB AC BC AC AB i三、平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标表示已知→→j i 、是与．x 轴．、．y 轴方向相同．．．．．的两个单位．．向量，则由平面向量基本定理可知，任意向量→→→+=j y i x a ， 向量→a 可以用一对坐标．．来表示: ()y x a j y i x a ，=⇔+=→→→→ (2) （★★★★★）平面向量坐标的线性．．运算．．已知()()2211y x b y x a ，，，==→→，则()a b x x y y →→±=±±1212，，()a x x λλλ→=12，. （3）平面向量共线与垂直的坐标表示AOBabrba + BCAO +①已知()()2211y x b y x a ，，，==→→,→a 与→b 共线(平行)②已知()()2211y x b y x a ，，，==→→,→a 与→b 垂直，则四、平面向量的数量积（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量→a 与→b ，θ为向量→a 与→b 的夹角()οο1800≤θ≤，θ→→cos ||||b a 称为向量→a 与→b 的数量积，记作a b →→•，（2）平面向量数量积的重要性质：（3）（★★★★★）平面向量数量积的坐标．．表示、模、夹角已知()()2211y x b y x a ，，，==→→，θ为向量→a 与→b 的夹角()οο1800≤θ≤，则（4）（★★★★★）两点之间的距离公式 设()()1122A x y B x y ，，，解三角形复习重要考点一、正弦定理：1.正弦定理：已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则()2sin sin sin a b cR R ABC A B C===∆为的外接圆半径 2.正弦定理的变形：①边化角：=2sin a R A ，=2sin b R B ，=2sin c R C ；②角化边：sin =2a A R ，sin 2b B R =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c A B C =；④sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++ 3.正弦定理可以解决两类解三角形问题 ①已知两角及任意一条边，用正弦定理可．．．．．解出此三角形的其余两边及一角；②已知两边及其中一边的对角，用正弦定理可．．．．．解出此三角形的其余两角及一边. 二、余弦定理及其推论：1.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C2.①已知两边及其夹角，可以用余弦定理．．．．解出这个三角形的其余两角及一边； ②已知三边，可以用余弦定理．．．．解出这个三角形的三个角. 三、在ABC ∆中，常见的公式： 1. A B C π++=；2.sin()sin A B C +=， sin(+)sin B C A =， sin(+)sin A C B =； cos()cos A B C +=-，cos()cos B C A +=-，cos()cos A C B +=-.3.三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===.数列复习重要考点一、等差数列：1.等差数列的定义：1+-=n n a a d2.等差数列的通项公式：()11=+-n a a n d ；3.等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.2+=a bA 4.等差数列的性质：①推广的通项公式：()=+-n m a a n m d ；②若n ,m ,p ,q N *∈,且+n m p q =+，则+n m p q a a a a =+；③下标构成等差数列的项：k a ，+k m a ，+2k m a ，+3k m a ，L 组成的数列是等差数列. 5.判定等差数列的常用方法：①定义法：(){}12n n n a a d n a --=≥⇐⇒是等差数列. ②中项法：{}+122=++⇐⇒n n n n a a a a 是等差数列.③通项公式法：数列的通项公式(){}=,n n a pn q p q a +⇐⇒为常数是等差数列.二、等差数列前n 项和：1.(★★★)等差数列的前n 项和公式 ①1()2n n n a a S +=； ②1(1)2n n n dS na -=+.(结合梯形面积公式记忆) 2. n S 与n a 之间的关系: 11(1)(2)-=⎧=⎨-≥⎩n nn S n a S S n .3.等差数列{}n a 的前n 项和的性质：等差数列{}n a 中连续n 项的和n S ，2-n n S S ，32-n n S S ，L ，仍为等差数列.三、等比数列：1.等比数列的定义：1+=n na q a 2.等比数列的通项公式：11-=n n a a q ；3.等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.2=G ab4.等比数列的性质：①推广的通项公式：=-n m n m a a q ；②若n ,m ,p ,*∈r N ,且+=+n m p r ，则•=•n m p r a a a a ；③下标构成等差数列的项：k a ，+k m a ，+2k m a ，+3k m a ，L 组成的数列是等比数列. 5.判定等比数列的常用方法： ①定义法：(){}12-=≥⇐⇒nn n a q n a a 是等比数列. ②中项法：{}+122=+•⇐⇒n n n n a a a a 是等比数列.四、等比数列前n 项和：1.等比数列的前n 项和公式①()()111111⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩n n a a q q S q na q ;②()()11111-⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩n n a a qq q S na q .2.等比数列{}n a 的前n 项和的性质：等比数列{}n a 中连续n 项的和n S ，2-n n S S ，32-n n S S ，L ，仍为等比数列.。

向量三角形的知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是用来表示带有大小和方向的量的，并且可以在空间中移动。

在平面直角坐标系中，一个向量通常表示为一个有序对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。

一个向量也可以表示为从一个点到另一个点的箭头，箭头的起点代表向量的起点，箭头的终点代表向量的终点。

2. 向量的零向量零向量是长度为0的向量，零向量的方向是任意的，因为它没有方向。

在向量平面内，零向量通常表示为0。

3. 平行向量如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。

平行向量的特点是它们的长度可能不同，但是它们的方向是相同或者相反的。

4. 共线向量如果两个向量共线，那么它们可以用一个非零标量k使得一个向量等于另一个向量的k倍。

也就是说，一个向量是另一个向量的倍数。

5. 方向向量和位移向量在向量平面内，我们常常用方向向量来表示向量的方向，用位移向量来表示向量的位移。

方向向量通常用单位向量表示，即其长度为1。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即两个向量的和是由这两个向量的首尾相连得到的。

向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法向量的减法等价于向量的加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中-b是b的反向向量。

向量的减法也满足交换律和结合律。

3. 向量的数乘向量的数乘就是一个向量与一个标量的相乘，得到的结果是一个新的向量，它的方向可能改变，但是长度会发生变化。

数乘满足结合律和分配律，即k(a+b)=ka+kb，(k+m)a=ka+ma。

4. 向量的点积向量的点积（或内积）是两个向量相乘得到的标量，结果是一个数量。

点积的定义为a•b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。

点积的性质包括交换律、结合律和分配律，即a•b=b•a，a•(b+c)=a•b+a•c，(ka)•b=k(a•b)。

高中数学知识易错点梳理四三角与向量一、三角19、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 20、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 21、在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=====⋅=0cos 2sin4tancot tan ππx x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限） 22、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）23、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 24、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2 25、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？（41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒） 26、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,==扇形α) 27、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a,b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 28、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。

高考数学(三角与平面向量)知识点总结1高考数学中，三角与平面向量是必考的内容，这部分知识点的考察重点主要集中在以下一些方面：一、三角函数1.定义和基本性质：重点掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义，及其基本性质，如周期性、振幅、相位等。

2.三角恒等变换：需要掌握三角函数的和差倍角公式，例如两角和与差的三角函数公式，二倍角公式等。

这些公式在解决三角问题时极为重要。

3.三角函数的图像和性质：重点掌握正弦、余弦、正切等函数的图像，理解它们的性质，如单调性、最值等。

4.三角函数的应用：需要理解如何将实际问题转化为三角函数问题，例如利用三角函数解决最值问题、周期问题等。

二、平面向量1.向量的基本概念：需要理解向量的定义，掌握向量的表示方法，如坐标表示法、几何表示法等。

2.向量的基本运算：需要掌握向量的加法、减法、数乘等基本运算，理解它们的几何意义。

3.向量的数量积：重点掌握向量的数量积的定义和性质，理解其几何意义和应用。

4.向量的应用：需要理解如何将实际问题转化为向量问题，例如利用向量解决平面几何问题、立体几何问题等。

三、总结在高考数学中，对于三角与平面向量的考察通常会结合其他知识点一起出现，例如与函数、不等式、数列等知识点结合，形成综合性题目。

因此，在学习这部分内容时，需要注重以下几点：1.掌握基础：对于任何知识点来说，掌握基础是至关重要的。

对于三角和平面向量，需要理解并熟练运用各种基本概念和性质。

2.培养分析能力：学会分析问题是解决问题的关键。

对于三角和平面向量问题，需要学会从题目条件中分析出有用的信息，并进行合适的转化。

3.重视应用：理论知识只有在实践中才能发挥出其价值。

因此，需要重视将所学的三角和平面向量的理论知识应用到实际问题中。

4.温故知新：对于任何学过的知识点，都需要不断复习巩固，才能真正掌握。

因此，在平时的学习和练习中，要经常回顾和巩固三角与平面向量的知识点。

5.系统总结：在学习过程中，要时常进行系统总结，将学过的知识点形成系统化的知识网络，以便于在解题时能快速准确地调用相关知识。

查补易混易错点02 三角函数、平面向量与解三角形 1．三角函数（1）角与弧度：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。

（2）三角函数概念和性质①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。

借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ±2π，α ±π的正弦、余弦、正切）。

②借助图象理解正弦函数在、余弦函数[0,2]π上、正切函数在(,)22ππ-上的性质。

③结合具体实例，了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

（3）同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==。

（4）三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。

2．平面向量及应用 （1）向量概念①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。

②理解平面向量的几何表示和基本要素。

（2）向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。

理解两个平面向量共线的含义。

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

STEP01 课标解读⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。

高中数学解向量题的常用技巧和注意事项在高中数学中，向量是一个重要的概念，涉及到向量的运算、性质以及应用等方面。

解向量题需要掌握一些常用的技巧和注意事项，本文将通过具体的题目举例，分析解题的关键点，并给出一些解题技巧和注意事项。

一、向量的基本概念和性质在解向量题之前，首先需要了解向量的基本概念和性质。

向量由大小和方向两个要素组成，用有向线段表示，记作AB→。

向量的加法、减法、数乘等运算都遵循一定的规律。

同时，向量还有重要的性质，如共线、共面、平行、垂直等。

掌握这些基本概念和性质，对于解向量题具有重要的指导意义。

二、解决向量的运算问题1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是解向量题中最常见的运算问题。

在解决这类问题时，可以利用向量的平行四边形法则或三角形法则进行计算。

具体来说，对于两个向量A→和B→，其和向量C→可以通过将A→和B→的起点相连得到，C→的起点为A→的起点，终点为B→的终点，即C→=A→+B→。

同样，向量的减法也可以通过向量的加法来进行计算。

举例：已知向量A→=2i+3j，向量B→=4i-2j，求向量C→=A→-B→的模长。

解析：根据向量的减法定义，C→=A→-B→=2i+3j-(4i-2j)=2i+3j-4i+2j=-2i+5j。

所以，向量C→的模长为√((-2)^2+5^2)=√29。

2. 向量的数量积与向量积向量的数量积和向量积是解向量题中常见的运算问题。

数量积（又称点积）是两个向量的乘积的数量，可以用来求解向量的夹角、判断两个向量的关系等。

向量积（又称叉积）是两个向量的乘积的向量，可以用来求解平行四边形的面积、判断两个向量的关系等。

举例：已知向量A→=2i+3j，向量B→=4i-2j，求向量A→与向量B→的夹角。

解析：根据向量的数量积公式，A→·B→=2×4+3×(-2)=8-6=2。

又因为A→的模长为√(2^2+3^2)=√13，B→的模长为√(4^2+(-2)^2)=√20，所以|A→·B→|=|A→||B→|cosθ，代入已知数据，可得cosθ=2/(√13×√20)。

解三角形： 1、正弦定理变形：A R a sin 2= R aA 2sin =C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理 变形： 3、△ABC 中,sin A>sin B ⇔ A>B4、△ABC 中，C B A -=+π，求取值范围时转化为函数用消元法（注意变量的取值范围）()()()C B A C B A C B A tan tan ,cos cos ,sin sin -=+-=+=+例：在ABC ∆中，已知C B A <<，B a cos =，A b cos =，C c sin =．（1）求ABC ∆的外接圆半径R 和角C 的值；（2）求c b a ++的取值范围5、判断三角形形状：（1）转化为边（2）转化为角 例：（1）已知B b A a cos cos =,判断三角形形状(等腰或直角三角形) （2）已知A b B a cos cos =,判断三角形形状（等腰三角形）6、△ABC 面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===例：ABC ∆的三边分别为c b a ,,，面积22)(c b a S --=，则=2tanA____7、构成锐角三角形：构成三角形且最大角为锐角 构成钝角三角形：构成三角形且最大角为钝角 例：（1）锐角ABC ∆中，若1=a ，2=b ，则c 的取值范围是_________（2）已知1+k 、2+k 、3+k 为钝角三角形的三条边，且此三角形的最大角不超过 120，则实数k 的取值范围是8、△ABC 中，若A 为最大角，则018060<≤A ，若A 为最小角，则0600≤<A 9、已知锐角b a A ,,，三角形无解：A b a sin 0<<，一解：A b a sin =或b a ≥ 两解：b a A b <<sin已知钝角b a A ,,，三角形无解：b a ≤<0 一解：b a > 10、A 为锐角222c b a +<，A 为钝角222c b a +>R CB A cb a C B Ac b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin =----=++++===C ab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=2ab c b a cosC 2ac b c a cosB 2bcac b cosA222222222-+=-+=-+=11、在ABC ∆中，21sin =A 则030=A 或0150（一般求A cos ） 12、bc c b c b ,,-+与正余弦定理的结合例：ABC ∆中，15,8,2==+=+ac c a B C A ，求b向量知识点：1、a ∥b ⇔a ＝λb (0≠b )⇔x 1y 2－x 2y 1＝02、()()2211,,,y x B y x A 中点公式()y x M ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x xx ()()212212y y x x -+-=()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 的重心坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x G3、a ⊥b ⇔b a ⋅＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O （注意反过来时a 与b 为非零向量） 4、θb a =⋅（θ为a 与b 的夹角要共起点，001800≤≤θ）b a =θcos =222221212121y x y x y y x x +⋅++5、A 、B 、C 三点构成三角形：AB 与AC 不共线6、重视共线向量（夹角为0或32π） 例：同一平面上的向量c b a,,321====++b7、a 与b 夹角为锐角：0>⋅b a 且a 与b 不共线。