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3-5非线性方程组解的结构

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5-非线性方程组的数值解法及最优化方法

5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
然后通过各种下降法或优化算法求出模函数的极小值点，此 极小值点即为非线性方程组的一组解。
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：

线性方程组解的结构(重要知识)

线性方程组解的结构(重要知识)

3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
-13-
例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解

非线性方程组的解法

非线性方程组的解法

非线性方程组的解法
基本思路：
分段线性化方法，将荷载划分成很多小步，逐 步施加
具体操作方法：
显式求解法（增量法） 隐式求解法（迭代法）
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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显式求解法
将荷载分成若干小步，逐步施加 认为在每个小步中，结构是线性的，同 一荷载步的刚度矩阵相同 不同荷载步的刚度矩阵可以不同 用一系列的折线去近似曲线
某次迭代位移改变量 同级荷载节点总位移 < 误差容限
能量收敛标准
一般以某次迭代的应变能增量为分析对 象，以同级荷载作用下总应变能为参考 标准
某次迭代应变能改变量 同级荷载总应变能 < 误差容限
一般使用无穷范数
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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注意事项
修正的欧拉折线法(Mid-point Method)
P K2 K1 Pn Pn-1
单元刚度矩阵
已知应力，应变，应变增量
[K n−1 ]
根据当前应力应变求切线刚度矩阵 求中点应力 {σ n '} = {σ n−1 } + [K n−1 ] {dε n }
2
根据中点应力和应变 {σ n '}， {ε n−1 } + n 求此时 2 的切线刚度矩阵 [K n−1 ']
判断对象
力收敛标准 位移收敛标准 能量收敛标准
范数
无穷范数 一范数 二范数
V
V
V
∞
= max Vi
= ∑ Vi
=
判断标准
相对误差 绝对误差
1
范数
无穷范数 一范数 二范数

非线性方程组的求解

非线性方程组的求解

非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。

求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。

传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。

另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。

进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。

关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。

n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。

若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。

3-6 非齐次线性方程组解的结构

3-6 非齐次线性方程组解的结构
T T
(1, b , c ) ， 试 问 ： 当 a , b , c 满 足 什 么 条 件 时 ，
T
(1) 可 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 且 表 示 唯 一 ? (2 ) 不 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ? (3 ) 可 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 , 但 表 示 不 唯 一 ?
2
x x
1
1 1 及 , 0 2 3
1 1 , 0 0 1 0 , 2 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系

1

2
于是所求通解为

x x x x
1
1 1 1 2 1 0 0 2 , k1 k 2 0 2 1 2 3 0 1 0 4
1
3
A ( 1 2 ) A 1 A 2 O
故 1 2 也 是 A X o的 解 .
性质2
若 0方程组（ 3.16）的解， 是其导出组（ 3.17） 的任意一个解，则 0 仍是方程组（ 3.16）的解。
证 因为 A 0 ,
1
5
由性质1 1 0 一定是导出组（3.17）的解 因此必定可由导出组（3.17）的基础解系线性表出 即存在常数
k1 , k 2 , , k n r
，使得
1 0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
于是
1 k 1 1 k 2 2 k n r n r＋ 0
由 R A R B ,知 方 程 组 有 解 . 又 R

非齐次线性方程组有解的条件

非齐次线性方程组有解的条件

r1
M M
0
0
cii0 i 1 , r.
其相应的同解的阶梯形方程组为
c 1 x 1 1 c 1 x 2 2 c 1 r x r c 1 n x n d 1
c 2 x 2 2 a 2 r x r c 2 n x n d 2
c rx rr c rx n n d r （2）
二、非齐次线性方程组解的结构
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L a2nxn LLLL
b2
(1)
am1x1 am2x2 L amnxn bm
矩阵形式
Axb
取b = 0，得到的齐次线性方程组
A x 0
(2 )
称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组..
方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：
这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b b 0 .
定理3.17 若 x1是Axb 的一个解, x 2 是Ax 0 的解.
则 x1 x2 是Ax b 的解.
. 这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b 0 b .
进一步地有: 定理3.17-2 若 Ax b 有解, 则其一般解为
2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替
自由未知量，求出一个特解 x 0
3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个
基础解系: x1,x2L ,xnr
4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：
x0c1x1c2x2Lcnrxnr
其 中c1,c2,Lcnr任 意 常 数..
例1 设非齐次线性方程组 Ax b.的增广矩阵
1、r(当 A )r(A)时 ,方程 (3.1)无 组解 ( d； r1 0),

线性方程组解的结构


xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.

非线性方程组的解法

评述
! 概念简单，对于比例加载的全量模型尤 其适用
! 当出现卸载或往复荷载时可能不适合
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
等刚度法
[δ1] = [K0 ]−1[P]
[ ] [ ] δ → Pinternal11源自[ ] [ ] [ ] ∆P1
=
P
−
P internal 1
[∆δ 2 ] = [K0 ]−1[∆P1]
σy σt
dσt1
εt dεt εt3
εt2
ε εt1
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应力更新隐式算法
! Backward Euler 算法
(输入
σ
n−1 ij
,
ε
p ij
n−1
,
∆ε
n ij
)
首先计算弹性应力增量:σ
t ij
=
σ
n−1 ij
+
De,ijkl
∆ε
n kl
判断是否屈服:
f
p A
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割线刚度法
[δ1] = [K0 ]−1[P] [δ1] → [K1] [δ 2 ] = [K1]−1[P]
……
[δ n ] = [Kn−1]−1[P]
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评述
! 理论上收敛速度最快 ! 每次迭代都要形成刚度矩阵 ! 当接近屈服时，或者出现软化时，切线
整体刚度矩阵
! 已知 t F , tδ , ∆F
{ } { } ! 求
δ t+∆t = tδ + [K]−1{∆F}
[K] = ∑[Ke ]

03非线性分析要点

第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。

如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。

2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。

C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。

1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。

2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。

结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。

A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。

B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。

C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。

D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。

应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。

3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。

非线性有限元解法

于是方程的解为 u ( KT ( un ,n ))1( R ( un ,n )) ( KT ( un ,n ))1( n1R P( un ))
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
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T
是 Ax 的 任 一 解 ，则 必 有 ：
n 1 。
信息系 刘康泽
证 明 ： 1 ） 于 2 , 3 , n 线 性 无 关 ，故 2 , 3 , n 1 （ 由 也 线 性 无 关 ， 又 1 , 2 , n 1 线 性 相 关 ， 从 而 1 可 由
0 。
信息系 刘康泽
【 推 论 】 设 非 齐 次 方 程 组 Ax b ， 其 中 A 为 m n 矩 阵 ， r ( A ) r ( A b ) r n ，且 0 是 A x b 的 某 个 固 定 特 解 ， 1 , 2 , , n r 是 导 出 组 A x 0 的 基 础 解 系 ， 则 A x b 的任意一个解 必可表示为：
信息系 刘康泽
信息系 刘康泽
第3-5节 非齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
一、非齐次线性方程组解的性质
【性质 1】设 1 , 2 是非齐次线性方程组 A x （ 0 ）的解，则 1 2 是对应齐次线性方程组（常称 为导出组） Ax 0 的解。
证明： A 1 , A 2 ,
信息系 刘康泽
由 于 0 , 1 , 2 , , n r 线 性 无 关 ， 故 ：
1 2 n r 0
所 以 1 0 , 2 0 , , n r 0 是 A x 0 的 线 性 无 关 的 解向量，又 r 基础解系。
T
是 Ax 0 的 两 个 线性 无 关的 解 ，所 以 ：
n r A 4 r A 厔2 r A
因此： r
2，
A 2 ，
故 A x 0 的 基 础 解 系 中 含 有 两 个 解 向 量 ， 1， 2 构 成
Ax 0 的 基 础 解 系， 由 此： Ax d 的 通 解 为 ：
T T T
3 7, 9, 24, 11 是 下 述 方 程 组 的 三 个 解 ，
a1 x1 a 2 x 2 a 3 x 3 a 4 x4 d 1 3 x 1 b 2 x 2 2 x 3 b4 x 4 d 2 9x 4x x c x d 1 2 3 4 4 3
证明：
A , A 0 ,
A A A 0 ,
故 是导出组 A x ห้องสมุดไป่ตู้的解。
【性质 3】 设 1 , 2 , , s 是 A x 的解，则：
k 1 1 k 2 2 k s s
1 , 2 , 3 , 4 ，且 对 向
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4
又 r
A
2 ， 则 Ax 的 通 解 是
。
解 ： 由 题 设易 知 Ax
A
3 ，又
T T
1 1 , 2 , 3 , 4 ， 5 2 2 3 0 , 1 , 2 , 3
则 Ax b 的 通 解 是 。
解：因为 r
A 3 ， n 4 ， n r A 1 ，
T
故 Ax 0 的 基 础 解系 中 含 有 1 个线 性 无关 的 解 。
【 注 】 特 别 的 当 ： r ( A) r ( A b ) n 时 ， 则 Ax b 有 唯一解 0 。
信息系 刘康泽
例 、 0 , 1 , 2 , , n r 是 A x b (b 0 ) 的 n r 1 设 个线性无关的解， r
A
有 解 ， 从 而 Ax 必 定 有无 穷 多 解；
（ 2 ） 由 于 1 , 2 , n 1 线 性 相 关 ， 故 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1 , k 2 , , k n 1 使 得 ：
信息系 刘康泽
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 0
1 0 1 1 1 0 k k 。 x 1 k 1 1 k 2 2 1 2 1 2 1 1 0 2
信息系 刘康泽
例 、 设 1 , 2 , 3 是 四 元 线 性 方 程 组 A x b 的 三 个 解 ， 且 r
信息系 刘康泽
令
1 2 1 0 , 1, 2 , 0 ,
T
2 3 1 1, 0 , 1 , 2
T
则 1 , 2 是 Ax 0 的 解 ， 且 不 成比 例 ，所 以 1 , 2 构 成 Ax 0 的 基 础 解系 ， 由此 Ax 的 通 解 为 ：
当且仅当： k1 k 2 k s 1 。
信息系 刘康泽
二、非齐次线性方程组解的结构
【 定 理 】 设 非 齐 次 方 程 组 Ax b ， 其 中 A 为 m n 矩 阵，
r ( A) r ( A b ) r n ， 则 Ax b 的 任 意 一 个 解 必 定
是 A x 的解的充要条件是： k1 k 2 k s 1 。
信息系 刘康泽
证：由假设知 A j ( j 1, 2, , s )
A ( k 1 1 k 2 2 k s s ) k 1 A 1 k 2 A 2 k s A s k1 k 2 k s ( k1 k 2 k s )
T
有三个解：
T T
1 1 , 1 , 1 , 1 ， 2 1 , 2 , 3 , 1 ， 3 0 , 1 , 2 , 3
而 r
A 2 ， n 4 ， n r A 2 ，
故 Ax 0 的 基 础 解系 中 含 有 2 个线 性 无关 的 解 ，
于是：
k 1 1 k 2 2 k n 1 n 1 0 n 0
k1 A k n 1 0 0，
T
即：
也 即 ： k 1 , k 2 , , k n 1 , 0 是 A x 0 的 一 个 非 零 解 。
0 k 1 1 k 2 2 k n r n r 。
上 式 常 称 为 A x b 的 解 的 结 构 ，也 叫 做 A x b 的 通 解 。 由 此 可 见 ： 求 Ax b 的 通 解 只 需 先 求 出 导 出 组 的 基 础 解 系 ， 写 出 导 出 组 的 通 解 ， 然 后 寻 找 一 个 Ax b 的 特 解 ， 将 两 者 相加即可
证 明 ： 首 先 ： 1 0 , 2 0 , , n r 0 显 然 都 是
Ax 0 的 解 ，
其次：设
1 ( 1 0 ) 2 ( 2 0 ) n r ( n r 0 ) 0 ，
即
1 1 2 2 n r n r ( 1 2 n r ) 0 0
又 r ( A) n 1 ， n r ( A) 1 ， 故
r n ，则：
1 0 , 2 0 , , n r 0
构 成 Ax 0 的 基 础 解 系 ，进 而 Ax b 的 通 解 为 ：
x 0 k 1 ( 1 0 ) k 2 ( 2 0 ) k n r ( n r 0 ) 。
可 以 表 示 成 Ax b 的 某 个 固 定 特 解 与 导 出 组 Ax 0 的 某 个 解之和。
证 明 ： 设 0 是 Ax b 的 某 个 固 定 特 解 ， 是 Ax b 的 任意一个解。则：
0 ( 0 )
令：
于是：
0 ， 则 是 导 出 组 Ax 0 的 解 。
求此方程组的通解。
信息系 刘康泽
解 ： 记 方 程组 为 Ax d ， A 是 3 4 矩 阵 ， n 4 ，
3
因为 A 中有一个 2 阶子式
而
2 1
9
0 ，故 r A …2 ，
T
1 1 2 1 0 , 6 , 1 1, 1 1 , 2 2 3 8 , 4 , 1 1, 1 1
令
7 1 5 2 2 3 7 , 13 , 19 , 25
则 A 7 A 1 5 A 2 2 A 3
7b 5b 2b 0
所以
是 Ax 0 的 非 零 解 ，它 构 成 Ax 0 的 基 础 解系 ，
信息系 刘康泽
9 10 8 1 6 4 k k 。 x 1 k 1 1 k 2 2 1 2 2 11 11 11 11 11
2 , 3 , n 1 线 性 表 示 。
所 以 ： r 1 , 2 , n n 1 n ， 即 r ( A ) n
又
1 1 2 n ， 即 A ， 1
这 说 明 Ax
A
r ， 则 这 n r 个 解 向量 构 成 Ax 0 的
进 而 Ax b 的 通 解 为 ：
x 0 k 1 ( 1 0 ) k 2 ( 2 0 ) k n r ( n r 0 ) 。
信息系 刘康泽
例 、设 A 是 4 阶 方 阵 ， A 量 有：
A 1 2 A 1 A 2 0 ,