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线性回归模型的拟合优度检验方法分析

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回归分析的“拟合优度”是啥

回归分析的“拟合优度”是啥

回归分析的“拟合优度”是啥'前⾯我们学习了回归分析的基本理论和⼤致操作，那么分析结果中都会提到⼀个“拟合优度”的指标，那么它到底是怎么来的？代表了什么，⼜怎么来判定拟合度？今天，⼩学僧就和⼤家⼀起来学习⼀下。

01. 拟合优度是什么？说起“拟合优度”，⽹上有这么个⼩段⼦，分享⼀下来乐呵乐呵暖个场吧！⼤学上统计学的课，我和室友去晚了只能坐前排。

前天游戏打得太晚，实在憋不住了他开始打瞌睡，我开始打呼噜。

⽼师听到呼噜声实在不能忍，就厉声叫到，“你起来解释⼀下拟合优度！”梦中惊醒，我镇定⼀下，想着后⾯还有⼥神呢咱可不能丢脸，决定⼀边拖⼀边等待⽀援，于是胳膊肘捅了捅室友说，“额，我和优度啊，额。

”整个教室楞了⼀下，然后笑翻了。

哈哈哈，如有雷同，请⾃⾏对号⼊座⼼中窃喜哈！下⾯⾔归正传，敲⿊板、划重点了啊！所谓“拟合优度”，是回归分析中⽤来检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度，⽤于评价回归⽅程对样本观测值的拟合程度。

02. 拟合优度是怎么来的？先举个统计学上的经典例⼦来说明⼀下哈！英国统计学家F.Galton研究⽗亲⾝⾼和其成年⼉⼦⾝⾼的关系时，从⼤量的样本观测值的散点图中，天才般地发现了⼀条贯穿其中的直线，这条直线能够描述⽗亲和成年⼉⼦⾝⾼之间的关系。

F.Galton把这种现象叫做“回归”，这条贯穿数据点的线称为“回归线”。

当然，F.Galton还发现，即便⽗亲⾝⾼都相同，他们的成年⼉⼦⾝⾼也不尽相同。

这就是说：成年⼉⼦⾝⾼的差异会受到两个因素的影响：⼀个是他⽗亲⾝⾼的影响；另⼀个是其他随机因素的影响。

那么，我们可以这么理解，即“回归⽅程”中的被解释变量y的各观测值之间的差异，也是由两个⽅⾯原因造成的：⼀是由解释变量x的不同取值造成的；⼆是由其他随机因素所造成的。

实际上，回归⽅程所反映的是：解释变量x的不同取值变化对被解释变量y的影响规律，因此其本质上揭⽰的是上述第⼀个原因。

统计学上，我们把这个因素引起的y的变差平⽅和称为“回归平⽅和”（regression sum of squares,SSR）。

回归模型的统计检验

回归模型的统计检验
n 为样本容量。 为样本容量。
分布。 F 统计量服从自由度为 ( k , n − k − 1) 的 F 分布。选定 分布表（见本书附录） 一个显著性水平 α ，查 F 分布表（见本书附录） ， 可以得到一个临界值 Fα ( k , n − k − 1) 。
F检验与R2的关系
根据二者关系，有需注意的几个问题： ⑴F检验实际上也是判定系数的显著性检验。 ⑵如果模型对样本有较高的拟合优度，F检 验一般都能通过。 ⑶实际应用中不必过分苛求R2值的大小， 重要的是考察模型的经济意义是否合理。
∑ x ∑ x − (∑ x x ) ∑ x σˆ ∑ x ∑ x − (∑ x x )
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 x2 σ 2 ∑ ˆ
2
2
然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量： 然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量：
ˆ βi − βi t= ˆ S βi
ˆ ˆ ∑(y − y) = ∑ (y − y) + ∑ (y − y )
2 2 i i i i 2
y
yi
ei
yi − y
ˆ ( yi − y )
SRF
y
xi
x
TSS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ ESS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ RSS = Σ ( y i − y i ) 2
拟合优度检验统计量：可决系数( 2、拟合优度检验统计量：可决系数(判
定系数) 定系数)R2和校正可决系数 R2
（1）可决系数 ）
R 2 进行拟合优度检验，可决系 用可决系数 进行拟合优度检验，
数的计算公式为： 数的计算公式为：
( yi − y )2 ∑ˆ 2 R = ( yi − y )2 ∑

多元线性回归模型的统计检验

多元线性回归模型的统计检验
在总体上存在显著的线性关系； ❖ 若F F (k , n-k-1)，接受H0 ，模型在总体
上的线性关系不显著。
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
❖F检验只是把模型作为一个整体，对总体 线性关系进行检验；
❖方程在总体上存在显著的线性关系 每个解释变量对被解释变量都具有显著影响
❖还应对模型中的各个解释变量进行显著性 检验，以决定它们是否应当作为解释变量 被保留在模型之中。
可决系数R2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
R2越接近于1，模型的拟合效果越好。
2
问题
❖ 如果在模型中增加一个解释变量，R2往往会 增大（Why?）
❖ 容易产生错觉：要使模型拟合得好，只要增 加解释变量即可。
❖ 但实际上，通过增加解释变量引起的R2的增 大与拟合好坏无关。
❖ R2度量模型拟合效果失真，R2需调整 。
9
若H0 成立，则有：
F
ESS / k
RSS /n k
1
~
F (k
,
n
k
1)
由样本数据求出F统计量的值。
（3）给定显著性水平，查表得到临界
值F(k , n-k-1)。
10
F检验的拒绝域
f (F)
1-
F F
11
（4）比较、判断 ❖ 若F F (k , n-k-1)，拒绝H0，接受H1 ，模型
开关
类型，尽量选择平头
键
类的按键，以防按键
下陷。
2.开关按键和塑胶按
F检验的思想来自于TSS的分解： TSS = ESS + RSS
其中，ESS表示X对Y的线性作用结果。
考虑比值：ESS / RSS 如果这个比值较大，则X对Y的解释程 度较高，可认为二者在总体上存在线性 关系；

一元线性回归模型的统计检验

一元线性回归模型的统计检验

3. 怎样进行拟合优度检验 （1）总离差平方和的分解 已知有一组样本观测值( Xi ,Yi )(i 1, 2, , n)，得到 如下样本回归直线：
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
Y的第i个观测值与样本均值的离差yi Yi Y 可分 解为两部分之和：
yi Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y ei yˆi (1)
规则：p值越小，越能拒绝原假设H0.
三、回归系数的置信区间
对参数作出的点估计虽然是无偏估计，但一 次抽样它并不一定等于真实值，所以需要找到包 含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含参 数真实值的可靠程度。
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆi i ~ t(n 2) i=0,1
Sˆi
给出置信度1，查自由度为(n 2)的t分布表，
假设检验的步骤： （1）提出原假设和备择假设； （2）根据已知条件选择检验统计量； （3）根据显著性水平确定拒绝域或临界值； （4）计算出统计量的样本值并作出判断。
（2）变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1，已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xi2 )
由于真实的 2未知，在用它的无偏估计量ˆ 2
在上述收入——消费支出的例子中，如果给定
=0.01，查表得：
t 2 (n 2) t0.005 (8) 3.355
由于
Sˆ1 0.042
Sˆ0 98.41
于是，计算得到1、0的置信区间分别为：
(0.6345,0.9195)
(-433.32,226.98)
则
TSS RSS ESS
Y的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部 分：一部分来自回归线(RSS)，另一部分则来自随 机势力(ESS)。因此，我们可以用回归平方和RSS 占Y的总离差平方和TSS的比例来度量样本回归线 与样本观测值的拟合优度。

第三节 一元线性回归模型的统计检验

第三节 一元线性回归模型的统计检验

ˆ ˆ ˆ y i = Yi − Y = (Yi − Yi ) + (Yi − Y ) = ei + y i
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好 拟合最好。 拟合最好 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。 “离差”
类似, 对多元线性回归方程 : ˆ ˆ ˆ yi = β 0 + β1 ⋅ x1i + L β k ⋅ xki ˆ
F检验与R检验结果一致(P44图2-7):
n − k −1 TSS = F= RSS RSS k (n − k − 1) TSS R n − k − 1 R2 = ⋅ k 1 − R2 kF 2 R = (n − k − 1) + kF
因此,实际应用可选择其一。
ESS
ESS
多元线性回归模型的显著性检验(F检验 多元线性回归模型的显著性检验 检验 模型的显著性检验 检验)
ˆ ) 2 + ∑ (Y − Y ) 2 = RSS + ESS ˆ 所以有： TSS = ∑ (Yi − Yi i
注意： 注意：一个有趣的现象
(Y − Y ) = (Y − Yˆ ) + (Yˆ − Y ) (Y − Y ) ≠ (Y − Yˆ ) + (Yˆ − Y ) ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y − Yˆ ) + ∑ (Yˆ − Y )
总离差平方和分解公式 总离差平方和分解公式: TSS=ESS+RSS 公式 其中: 其中
则
TSS = Σ(Yi − Y ) 2 ˆ ˆ = Σ((Yi − Yi ) + (Yi − Y )) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ = Σ(Yi − Yi ) 2 + 2Σ(Yi − Yi )(Yi − Y ) + Σ(Yi − Y ) 2

线性回归模型的建模与分析方法

线性回归模型的建模与分析方法

线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。

一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。

其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。

二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。

2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。

3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。

4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。

5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。

6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。

三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。

2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。

若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。

3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。

4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。

5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。

线性回归模型的拟合优度检验方法分析


拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标： 判定系数（可决系数）R2
问题一：采用普通最小二乘估计方法，已经 保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还 要检验拟合程度？
2、可决系数R2统计量
称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。
残差平方和（Residual Sum of Squares ）
TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回 归线(ESS)，另一部分则来自随机势力 (RSS)。
在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点 离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重 越大，因此定义拟合优度：回归平方和ESS与 Y的总离差TSS的比值。
可决系数的取值范围：[0，1] R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近 ，拟合优度越高。
在例2.1.1的收入－消费支出例中，
注：可决系数是一个非负的统计量。它也是 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。
判断系数的含义：度量了Y 围绕其均值的变异中能够被回归 方程所解释的比例
一、拟合优度检验
目的：建立度量被解释变量的变动在多大 程度上能够被所估计的回归方程所解释的指 标，直观的想法是比较估计值与实际值。即 使用Y围绕其均值的变异的平方和，作为需要 通过回归来解释其变动的度量。
1、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下样本回归直线
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线” 上，则拟合最好。
可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差 ”无关。

拟合优度检验

拟合优度检验拟合优度检验是统计学中常用的一种方法，用于评估一个统计模型对观测数据的拟合程度。

在实际应用中，拟合优度检验可以帮助我们确定一个模型是否能够较好地解释数据，并且用于比较不同模型之间的优劣。

本文将介绍拟合优度检验的基本原理和常用方法，并结合实例解释其应用。

首先，让我们来了解一下什么是拟合优度。

拟合优度是指统计模型中的参数估计值与实际观测值之间的差异程度。

如果模型能够很好地解释观测数据，那么拟合优度就会很高；反之，如果模型不能很好地解释数据，拟合优度就会较低。

通过拟合优度检验，我们可以用一些统计指标来度量模型的拟合程度，以便进行模型选择和优化。

常见的拟合优度检验方法包括卡方检验、残差平方和检验和相关系数检验等。

其中，卡方检验是指比较观测值与理论值之间的差异程度，从而判断模型的适配性。

残差平方和检验则是比较统计模型中预测值与实际观测值之间的平方差异，通过计算残差平方和的大小来评估模型的拟合程度。

相关系数检验则是通过计算模型预测值与实际观测值之间的相关系数，来评估模型解释数据的能力。

在实际应用中，拟合优度检验通常需要结合统计图形一起进行分析。

常见的统计图形包括散点图、回归曲线图和残差图等。

通过观察统计图形，我们可以直观地了解模型的拟合情况，并根据所得结果进行模型的选择和验证。

举个例子来说明拟合优度检验的应用。

假设我们想要建立一个线性回归模型来预测房价。

首先，我们收集了一些房屋的特征数据，如房间数量、卧室数量和房屋面积等，并且对这些数据进行了建模。

然后，通过拟合优度检验，我们可以评估模型的拟合程度。

如果拟合优度很高，说明我们的模型能够很好地解释房价的变动；如果拟合优度较低，说明模型可能存在问题，需要进行修正或选择其他模型。

在进行拟合优度检验时，我们还需要注意一些统计假设和条件。

首先，拟合优度检验通常基于一定的统计分布假设，如正态分布假设。

如果观测数据不满足这些假设，可能会影响拟合优度检验的结果。

3.3多元线性回归模型的检验

原假设 H0 : 2 = 3 = = k = 0
即所有解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著
备择假设 H1 : j ( j = 1,2,k) 不全为0。
回归方程的显著性检验（F-检验）
建立F统计量:
F = ES S (k −1) = RSS (n − k)
(Yˆi (Yi
− Y )2 − Yˆi )2
（j=1,2,……k）
与备择假设 ： H1 : j 0
构造统计量t为：
t*
=
ˆ j − j
^
SE
(
ˆ
j
)
=
ˆ
ˆ j
c jj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
~ t(n − k)
给定显著性水平α，查t分布表，得临界值 t 2 (n − k)
回归参数的显著性检验（t-检验）
如t的绝对值大于t 临界值，就拒绝H0 而不拒绝H1
即认为解释变量 Xj对被 解释变量Y的影响是显著的
3.3多元线性回归模型的检验
多元线性回归模型的检验
一、拟合优度检验
定义：在一元线性回归模型中，我们用可决系数R2来衡 量估计的模型对观测值的拟合程度。
拟合优度检验
在多元回归中这一比值称为多重可决系数
用 R2 表示
多元线性回归中 Y 的变差分解式为 TSS = RSS + ESS
拟合优度检验
回归平方和 ESS 越大，残差平方和 RSS就越小，被解释 变量观测值总变差中能由解释变量解释的那部分变差就越大， 模型对观测数据的拟合程度就越高。
如果计算的F值小于临界值 ，则不拒绝零假设，说明回归 模型没有显著意义，即所有解释变量联合起来对Y没有显著影 响。
方程显著性检验

01-一元线性回归模型的拟合优度检验

拟合优度检验实质——通过残差平方和构造了拟合优度的度量指标一一 决定系数，其基础是被解释变量的离差分解。
67
一、离差分解
如图2-3所示
图2-3 被解释变量的离差
yi YiY
（Yi
Yˆ）（Yˆ
i
i
Y）
ei（YˆiY）
68
n
n
n
y
2 i
（ Yˆ i Y ）2
e
2 i
i1
i1
i1
（2-37）
4) 学会进行一元线性回归模型被解释变量的总体均 值和个别值预测； 5) 学会利用Eviews软件进行一元线性回归模型的参 数估计、检验和预测。
3
第三节 一元线性回归模型的拟合优度检验
拟合优度——指样本回归线对样本数据拟合的精确程度
拟合优度检验——检验样本回归线对样本数据拟合的精确程度
拟合优度检验方法——通过构造表征拟合优度的统计量，对模型的拟合 效果作出评价
记
n
yi2 = TSS ——总体平方和或总离差平方和
i1
反映样本观察值的总体离差的大小
n
（Yˆi Y）2 = ESS
i1
n
ei2 = RSS
i1
——回归平方和 反映模型中由解释变量解释的那部分离差的大小
——残差平方和 反映模型中解释变量未解释的那部分离差的大小
这样，式（2-37）可表示为
TSS ESS RSS
求关于家庭消费支出与可支配收入关系的一元线性回归模型的拟合优度。
或
模型的拟合效果较好
71
三、决定系数与相关系数的关系
n
n
(Xi X)(Yi Y)
rXY
i1
n
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线性回归模型的拟合优 度检验方法分析
2020年4月19日星期日
§3 线性回归模型的拟合优度 检验
说明
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体 的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归 线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体 的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等 于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与 真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进 行统计检验。主要包括拟合优度检验、变量的显著 性检验及参数的区间估计。
一、拟合优度检验
• 目的：建立度量被解释变量的变动在多大 程度上能够被所估计的回归方程所解释的指 标，直观的想法是比较估计值与实际值。即 使用Y围绕其均值的变异的平方和，作为需要 通过回归来解释其变动的度量。
• 1、总离差平方和的分解
• 已知由一组样本观测值（Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下样本回归直线
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标： 判定系数（可决系数）R2
• 问题一：采用普通最小二乘估计方法，已经
保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还 要检验拟合•称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。 • 可决系数的取值范围：[0，1] • R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近 ，拟合优度越高。
•TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回 归线(ESS)，另一部分则来自随机势力 (RSS)。
在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点 离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重 越大，因此定义拟合优度：回归平方和ESS与 Y的总离差TSS的比值。
• 如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线” 上，则拟合最好。
• 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残 差”无关。
• 对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均
值离差的平方和,可以证明：
•记
•总体平方和（Total
Sum of Squares）
•回归平方和（
Explained Sum of Squares） •残差平方和（Residual Sum of Squares ）
• 在例2.1.1的收入－消费支出例中 ，
• 注：可决系数是一个非负的统计量。它也是 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。
•
判断系数的含义：度量了
Y围绕其均值的变异中能够被回
归方程所解释的比例
•
• 第一，等于1； • 第二，等于0； • 第三，介于0到1之间。
•使用判定系数时必须注意的问题：
• 第一，盲目的崇拜论文中展示或计算机计算出 估计结果； • 第二，过度依赖方程总体拟合度在评价回归模 型不同设定之间优劣时的作用； • 第三，判断系数的大小依赖于解释变量的个数 ，从而造成其在评价方程总体拟合度时出现偏误 。
•相应的处理方法：
• 第一，在承认回归结果以前，要从模型所隐含 的理论到数据的质量，认真考察和评估所估计方程 的每一个方面； • 第二，综合运用各种统计检验和计量检验； • 第二，尽量使用调整判断系数。