福建省福州市2018届高三3月质量检测数学理试题(PDF版)

2017-2018学年高中三年级第三次统一考试**数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ． 8C ． 16D ．32 2.已知复数534iz i=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“lg lg m n >”是“11()()22m n<”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设随机变量(1,1)XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587 C.7028 D ．75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A ．133升 B ．176升 C.199 升 D ．2512升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．1()62g π=B ．()g x 在区间57(,)88ππ上是增函数 C.2x π=是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8π-是()g x 图像的一个对称中心7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2OA OB OF =+，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 28.在ABC △中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4 C.83 D ．1039.若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++的值为（ ）A ．20172018B ．1 C. 0 D ．1-10.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57π C. 63π D ．84π11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．1(,2)2 C. 1(0,)2D ．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 ．14.设x ，y 满足约束条件1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则||3y z x =+的最大值为 ． 15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c，其中40cos c xdx π=，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，1260F PF ∠=︒，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a . 18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望. 20. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值.21. 已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15.1123π+ 16.221159x y+=三、解答题17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. （2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=， 所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A==又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =. 18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥.∵四边形ABCD 是矩形，∴A B B C ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴B C A D ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，sin DE AD DAB =⋅∠=，∴3(0,)2D a，∴1(0,)2AD a =-，(,2,0)AC a a =-. 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102220ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩， 不妨取1z =，则y =x =(23,m =. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， ∴cos ,m n ||||m nm n ⋅==14=.故二面角D AC B --的余弦值为14.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()()33135C C C +⋅=. （2）m 的所有取值有1，2，3.1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，34361(3)5C P m C ===，故131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=.由题意可知2(3,)3n B ，故2()323E n =⨯=.而1510X m n =+，所以()15()10()50E X E m E n =+=.20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716.21.（1）由于'()()x xf x xe tx x e t =-=-.1）当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立，即证明23()(1)2xg x x e x x =--+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310x xe x -+≥即可.令()1x h x e x =--，则'()1xh x e =-，当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，∴min ()(0)0h x h ==，即x R ∀∈，1x e x ≥+，那么，当0x ≥时，2x xe x x ≥+，所以31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>，∴310xxe x -+≥恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos θρθ= 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=.（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆. ∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅.又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞.所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞2.若复数1ai+，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．1± D．3.下列函数为偶函数的是（ ）A ．tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2xy x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．725-5.已知圆锥的高为3上，则这个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．14B ．10+．212++9.已知圆()221:582C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，抛物线()2 :20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（ ）A ．12x =-B ．1y =-C ．12y =- D ．1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题：()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥()32:,,23p x y D x y ∀∈-≥()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤-其中真命题的是（ ）A ．23,p pB ．14,p pC ．12,p pD ．13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a b b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =，则E 的离心率为（ ）A B ． D 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ）A ．51B ．52C ．53D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b 满足()22a a b ⋅-=，则,a b 的夹角为 ．14.设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为 ．16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设()2412nn nb c n=-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .（1）若CDE ∆，求DE 的长；（24DF =，求sin DFC ∠.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,22A B C D A B C C D A B C E∠=︒===，120,BCE DE ∠=︒=.（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.（1）求MF 的取值范围；（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l t的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R=-∈.（1）求不等式()()31f x f x≤--的解集；（2）已知关于x的不等式()()1f x f x x a≤+--的解集为M，若31,2M⎛⎫⊆⎪⎝⎭，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题13. 120︒ 14. 112 15.45三、解答题17.解：（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-， 所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-， 又因为121211b a a =-=-=，所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知11122n n n b --=⨯=， 因为()2412nn nb c n =-，所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以12111111143352121n n S c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111421n⎛⎫=- ⎪+⎝⎭42nn =+. 18.解：解法一：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=︒， 因为CDE ∆的面积S =， 所以1sin 2CD CE BCD ⋅⋅∠=，所以12sin 602CE ⨯⋅︒=解得1CE =，根据余弦定理，得DE ==（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ=所以()1sin sin 302DFC θ∠=︒+==. 解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDF ∆中，设4CF x =4DF =，则DF ， 由余弦定理，得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-⋅∠，得227416x x =+-，解得x =，或x =.又因为12CF AC ≤x ≤，所以x =，所以DF =在CDF ∆中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠，得sin CFD ∠==19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=︒， 所以CD BC ⊥.因为42,CD CE DE ===,222C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥， 因为BC CE C ⋂=， 所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ⊂平面CDE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .（2）由（1）知，CD ⊥平面BCE ，故以点C 为坐标原点，分别以CB CD 、的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.所以()()()()4,0,2,400,,0,0,4A B E D -，，，所以()()4,0,2,2AD AE =-=--， 设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，则0AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 所以420520x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取1x =，则()1,33,2n =，又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n m ==，所以二面角E AD B --. 20.解：解法一：（1）依题意得2,a b =1c ， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 则22143M M x y +=， 所以()()2222231134M M M M MF x y x x =-+=-+-()221124444M M M x x x =-+=-， 又因为22M x -≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-， 由方程组()2211,43P P x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y ，得 ()()2222211111348484120P P P P P P k xk k x y x k x k x y y +--+-+-=，由根与系数关系可得()1121834P P M P k k x y x x k -+=+，故()21111221184833434P P P P PM P k k x y k x k y x x x k k ---=-=++，同理可得()2222834P P N P k k x y x x k -+=+，又1234k k ⋅=-，故()22112221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫+- ⎪⎝⎭1216843P P x k y k ++， 则1216843P P N P x k y x x k +=-+2112148334P P PM k x k y x x k --=-=-+， 从而0N M x x +=.即M N 、两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得2,a b ==1c ， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 设C 上的任意一点M的坐标为()2cos αα， 则())()22222cos 1cos 2MF ααα=-+=-，又因为1cos 1α-≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、， 由方程组22221,431,43P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--， 所以34PM P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+， 所以2324P M E P M E y y y x x x -⋅=--，所以1334k k ⋅=-，又因为1234k k ⋅=-，所以23k k =，所以//PN OE ，所以MN 的中点在OE 上，同理可证：MN 的中点在OF 上，所以点O 为线段MN 的中点.根据椭圆的对称性，所以M N 、两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==， ①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1x a =时，()0f x '=； 当1x a <时，()0f x '<； 当 1x a>时，()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増； ③若0a <时，当12x a =-时，()0f x '=； 当12x a <-时，()0f x '<；当12x a>-时，()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x +-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=.设函数()31()x h x x x e =+-，则()23()23x h x x x x e '=+--. 设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减. 当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-<⋅ 故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x < 从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减. 因为()()01,1h h e ==，故当()0,1x ∈时，()()01h x h >=所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈，即()()211,0,1x f x x x e x+-<∈. 解法二：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈，因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->，又1x e e <<，所以()1h x >，所以()()1h g x x <<，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明211ln 1x x x -+-<， 只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈， 则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<， 则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=， 所以201ln x x x-+>成立， 即原不等式成立.22.解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l 的距离d =，故d=解得t =又因为0t >，所以t .23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2018届福建省福州市⾼三3⽉质量检测数学（理）试题（解析版）2018届福建省福州市⾼三3⽉质量检测数学（理）试题⼀、单选题1．已知复数满⾜，则在复平⾯内，对应的点位于( )A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】由题易得：∴对应的点为，，在第⼆象限，故选：B2．为了解某地区的“微信健步⾛”活动情况，拟从该地区的⼈群中抽取部分⼈员进⾏调查，事先已了解到该地区⽼、中、青三个年龄段⼈员的“微信健步⾛”活动情况有较⼤差异，⽽男⼥“微信健步⾛”活动情况差异不⼤.在下⾯的抽样⽅法中，最合理的抽样⽅法是( )A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按年龄段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】我们常⽤的抽样⽅法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先已了解到该地区⽼、中、青三个年龄段⼈员的“微信健步⾛”活动情况有较⼤差异，⽽男⼥“微信健步⾛”活动情况差异不⼤.了解某地区的“微信健步⾛”活动情况，，按年龄分层抽样，这种⽅式具有代表性，⽐较合理．故选：C．3．已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线⽅程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线的⽅程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B4．若⾓的顶点与原点重合，始边与轴的⾮负半轴重合，终边在直线上，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意易得：，，故选：B5．已知三棱锥的四个顶点都在球的表⾯上，平⾯，，且，若平⾯截球所得截⾯的⾯积为，则球的表⾯积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵AB⊥BC，平⾯截球所得截⾯的⾯积为，∴AC为截⾯ABC的直径，AC=6，∴PC=，∵PA⊥平⾯ABC，∴PC的中点为球O的球⼼，∴球O的半径r==5，∴球O的⾯积S=4πr2=．故选：D．6．函数的图象⼤致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】的定义域为，，为偶函数，排除C；当x时，，排除B，D故选：A点睛：识图常⽤的⽅法(1)定性分析法：通过对问题进⾏定性的分析，从⽽得出图象的上升(或下降)的趋势，利⽤这⼀特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利⽤这⼀函数模型来分析解决问题．7．下⾯程序框图是为了求出满⾜的最⼤正整数的值，那么在和两个空⽩框中，可以分别填⼊( )A. “”和“输出”B. “”和“输出”C. “”和“输出”D. “”和“输出”【答案】D【解析】执⾏程序框图：，，得到，，判断不符合，∴“”排除A，B选项；，，判断不符合，，，判断不符合，，，，判断符合，则“输出”故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时⼀定注意以下⼏点：(1) 不要混淆处理框和输⼊框；(2) 注意区分程序框图是条件分⽀结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时⼀定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算⽅法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、⼄两个展区各安排⼀个⼈，剩下两个展区各安排两个⼈，不同的安排⽅案共有( )A. 90种B. 180种C. 270种D. 360种【答案】B【解析】第⼀步，为甲地选⼀名志愿者，有=6种选法；第⼆步，为⼄地选⼀名志愿者，有=5种选法；第三步，为剩下两个展区各安排两个⼈，有种选法．故不同的安排⽅案共有6×5×6=180种．故选：B．9．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实线画出的是某⼏何体的三视图，则该⼏何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该⼏何体为组合体：上⽅为半个圆锥，下⽅为放倒的直四棱柱，∴该⼏何体的体积为：故选：C点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考⽅法：1、⾸先看俯视图，根据俯视图画出⼏何体地⾯的直观图；2、观察正视图和侧视图找到⼏何体前、后、左、右的⾼度；3、画出整体，然后再根据三视图进⾏调整.10．设函数，则满⾜的的取值范围是( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象，如图：等价于：或解得：或故选：C11．在平⾯直⾓坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线交于两点，交于点，直线交于点.若，且.则( )A. 1B. 3C. 3或9D. 1或9【答案】D【解析】连接BD，易知：BD轴，G为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BD|，|AF|=|AH|=3，∵，∴|BE|=2|BD|，∴∠BED=30°，故|AE|=2|AH|=6，∴,∴，交换A与B的位置，同理可得：故选：D12．已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从⼩到⼤分别为，则( )A. B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】直线,即，直线过定点，，函数的图象与直线恰有三个公共点即直线与的图象相切于B，C两点，,,，且∴∴∴.故答案为：B点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决⽅法，⼀个是利⽤⼆分法求解，另⼀个是化原函数为两个函数，利⽤两个函数的交点来求解.本题采⽤第⼆种⽅法，充分利⽤函数的中⼼对称性及相切的关系布列⽅程即可.⼆、填空题13．已知集合，，则集合中元素的个数为____________.【答案】6【解析】∵，，∴，，，，∴，，，，，∴集合中元素的个数为6.故答案为：614．在钝⾓三⾓形中，，，，则⾯积为____________.【答案】或【解析】当∠B为钝⾓时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=3，∴BD=，由勾股定理可得：AD==，∵BC=，∴由勾股定理得：CD==，∴AC=CD+AD=2，∴S ABC= ? =×2×=；当∠C为钝⾓时，如图2，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=3，∴BD=，∵BC=，∴由勾股定理得：CD==，AD==，∴AC=AD﹣DC=，∴S ABC= ? =××=．故答案为：或．15．设变量满⾜约束条件，则的取值范围为____________.【答案】【解析】作出可⾏域，如图所⽰：当直线经过B，时取到最⼩值，没有最⼤值。

福建省福州市高级中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出下列四个命题：①如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C2. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 或7参考答案：C3. 已知，(0，π)，则=(A) 1 (B) (C)(D) 1参考答案：A故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

4. 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A．B． C．D．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m参考答案：C5. 在△ABC中,A=60，若a,b,c成等比数列，则A. B． C.D．参考答案：B6. 设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．7. 的值等于（）A． B．0 C．8 D．10参考答案：【知识点】指数运算性质对数运算性质B6 B7A因为所以选A.【思路点拨】熟记指数的运算性质及对数的运算性质是解题的关键.8. 已知，则曲线和有（）A．相同的准线 B.相同的焦点 C.相同的离心率 D.相同的长轴参考答案：B略9. 在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（▲ ）。