实际问题与二次函数优质课教学设计一等奖及点评

人教版义务教育课程标准教科书九年级上册22.3实际问题与二次函数(3)一、教材分析1、地位和作用：本节课的内容是人教版九年级下册第二十二章第三节第三课时，本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值。

2、目标及目标分析：【目标】：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题。

【目标分析】：在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维。

通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。

3、教学重、难点教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题。

教学难点：建立二次函数数学模型。

突破难点的方法：自主探究，小组讨论、师生交流，多媒体展示二、学情分析从学生的认知水平和能力状况来看，初三学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。

受认知结构、能力水平的限制，对事物的认识还停留在表面上，一部分学生还存在学习目的不明确，学习动力不足等问题。

但是他们已具备了一定的小组合作学习的能力，能开展小组合作学习。

且学生在这节课之前，已学习了二次函数的图像和性质，且已经学过了用二次函数的图像和性质解决面积最大和利润最大的实际问题，已有一定的解决实际问题的基础，所以本节课的知识不难。

但是学生可能难以把实际问题与二次函数问题联系起来，不会建立二次函数模型，所以建模的过程需教师引导进行。

三、教学准备：多媒体课件四、教学过程一、 创设情境 引入课题师出示一组图片，要求学生观赏，并提出问题： 这组图片都有什么共同特征？师：在我们日常生活中，许多物体的形状或运动轨迹都具有二次函数的图像抛物线的特征，由此相关的实际问题，我们就可用二次函数的知识解决。

22.3实际问题与二次函数（2）教学设计关知识解答销售问题中的最大利润。

首先我们来看三个简单的图像问题。

师多媒体呈现观察与思考观察与思考----研究从这里开始 1、如图（1）x 表示每件商品的售价，y 表示销售该商品获得的总利润，观察图像，当x=_____时，总利润最大，最大利润为______元 2、某书包专卖店经营一种新款书包，经过市场调查，得到了销售书包的日利润w 元与销售数量x 个之间的函数关系,如图（2），观察图像，当x=_____时，日利润最大，最大利润为______元。

3、如图（2），x 表示月份为整数，且2≤x ≤10，w 表示销售每件商品获得的利润，观察图像，当x=_______时，每件获利最大，最大利润为_______元。

操作说明：1、 学生首先独立完成，将答案填在学案上；2、 由几名学生分别就各小题的思路、结果做出解释说明；3、 学生观察图像，思考上面三个问题有什么区别与联系？通过解答这些题目你感悟到了什么？4、 学生1至2名进行回答，5、 教师多媒体呈现：22.3实际问题与二次函数（2）销售问题中的最大利润 函数图像上有意义的最高点师引入、多媒体呈现操作与实践某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-=应用二次函数的性质解答销售问题中的最大利润，最容易出现的错误是盲目使用抛物线顶点坐标，给出错误解答观察与思考给出三个图像问题能使学生从直观上认识到，生活中的最大值，应为图像上有意义的最高点。

它可以是抛物线的顶点，也可以不是顶点，从而为后面问题的解决做好铺垫。

学生进行思考、表述，有助于培养学生的思维能力，概括能力及表达能力。

人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》是本节课的教学内容。

这部分教材主要让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。

教材通过引入实际问题，让学生探讨问题背后的二次函数模型，进而掌握二次函数的性质和图象特征。

教材内容安排合理，由浅入深，有利于学生掌握二次函数在实际问题中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但学生在应用二次函数解决实际问题方面可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际问题解决能力。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。

2.使学生掌握二次函数的性质和图象特征，提高学生的数学素养。

3.培养学生的合作交流能力，提高学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，二次函数的性质和图象特征。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及如何利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。

2.案例教学法：分析典型实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。

3.小组讨论法：培养学生合作交流的能力，提高学生的逻辑思维能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现二次函数的性质和图象特征，培养学生自主学习的能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引入和巩固教学内容。

2.准备二次函数的图象和性质资料，用于讲解和展示。

3.准备小组讨论的任务，引导学生进行合作交流。

4.准备课堂练习题，检验学生对教学内容的掌握程度。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。

第2课时 实际问题中二次函数的最值问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点一：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．探究点二：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)．(2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计实际问题中二次函数的最值问题：（1）几何图形最大面积问题；（2）商品利润最大问题.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况，培养学生将实际问题转化为函数问题并利用函数的性质进行决策的能力.。

3、《二次函数》教学设计一等奖教学目标:1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.教学重点：1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.教学难点：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.教学过程：一、学前准备我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.二、探究活动(一)、作函数y=x2的图象.回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.(1)列表：x -3 -2 -1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.(二)、议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的'对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.下面我们系统地总结：(三)y=x2的图象的性质.二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.y=-x2的图象如右图，并让学生总结：形状是___________，只是它的开口方向____________，它与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可以看成是__________对称.试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.不同点：相同点：联系：(四)课堂练习：随堂练习(P47)三.学习体会1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?3.预习时的疑问解决了吗?四.自我测试1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.2.下列函数中是二次函数的是( )A. y=2+5x2B.y=C.y=3x(x+5)2D. y=3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标4、已知函数y=mxm2+m.(1)m取何值时，它的图象开口向上.(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.(4)x取何值时，函数有最小值.4、《二次函数》教学设计一等奖教学目标：1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想。

22.3 实际问题与二次函数（第3课时）一、内容与内容解析1. 内容构建二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决抛物线形问题.2. 内容解析二次函数是描述现实世界变量关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中的抛物线形问题.本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助二次函数图象和性质研究抛物线形的实际问题.通过探究抛物线形拱桥问题，引导学生分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，体会建立函数模型的过程和方法.基于以上分析，确定本节课的重点是：从实际问题中抽象出抛物线并通过建立平面直角坐标系解决实际问题.二、目标和目标解析1. 目标（1）能够从抛物线形问题中建立二次函数模型.（2）能够利用二次函数模型解决抛物线形问题，体会二次函数在解决实际问题中的作用.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生会借助平面直角坐标系得到二次函数模型，并体会适当建系可以优化解题.达成目标（2）的标志是：学生通过经历探索抛物线形问题，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合二次函数已有知识综合运用来解决解决实际问题.三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的平面直角坐标系的二次函数模型分析问题和解决问题，对于学生来说，完成这一过程难度较大.基于以上分析，本节课的难点：将实际问题转化成二次函数问题.四、教学过程设计1. 创设情境引出问题情境：展示蕴含抛物线的建筑南宁大桥、南宁永和大桥、凌铁大桥、柳州官塘大桥等，引出课题.设计意图：结合生活背景，让学生体会抛物线与实际生活的联系，激发学生的学习兴趣.2. 复习旧知，做好铺垫设计意图：学生体会解析式与图象的对应关系，感受抛物线与坐标系相对位置不一样，它们所对应的解析式也不一样，体会抛物线（形）与函数解析式（数）的对应关系，为解决探究3中的问题做好铺垫.3. 从形入手，探究问题探究3：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？问题1：同学们通过审题，你发现了哪些重要信息？教师结合希沃白板，将重要信息涉及的图形，从原图中分离出来.问题2：求水面宽度增加多少，需要进行计算，这些计算与抛物线形密切相关，我们应该如何处理？设计意图：引导学生通过建立直角坐标系，构建数学模型（二次函数模型）,并体会直角坐标系是数形结合的重要数学工具.活动：小组合作：运用所学知识，解决这道实际问题.（要求每组有2种不同的建立直角坐标系方法）师生活动：小组汇报，教师点评（结合课本进行点评，注意书写过程中建系是否有文字说明，建系文字说明是否严谨，待定系数法书写是否规范，结论书写是否规范）设计意图：展示学生学生的解题思路，并对学生书写中的易错点进行点评分析.4. 适当建系，优化解题问题3：以上5种不同的建系方法，你觉得哪种简单？为什么？师生活动：学生回答，老师总结.①5种建系方法不同，但结果是相同的，建立不同坐标系，所得到的解析式复杂程度也不一样，由此可见，建立适当的坐标系，可以使抛物线的解析式简单，从而减少运算量；②建立直角坐标系的基本原则：关注图形的对称性，以对称轴为坐标轴；关注特殊点，以特殊点为坐标原点.设计意图：引导学生总结归纳，对解决问题的基本策略进行反思，让学生积累和总结经验，培养学生概括和归纳的能力，养成良好的数学思维习惯.5. 总结提升，提炼方法问题4：你能总结解决抛物线形问题的一般方法和解决步骤吗？抛物线形问题二次函数模型线段长实际问题的解设计意图：使学生对解决此类问题有一个系统化的步骤，强化数学与实际生活的紧密联系，加深“数形结合思想”和“数学建模思想”在解决问题中的重要作用.6. 巩固训练，拓展思维某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了牢固起见，每段护栏中需要间距4dm 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A、50mB、100mC、160mD、200m设计意图：巩固本节课所学内容，再次体会通过建立二次函数模型解决实际问题的重要性，加深对二次函数的认识，体会数学与实践的联系.7. 小结（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？（2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？转译数学方法回译实际问题数学问题数学模型数学模型的解实际问题的解设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.8. 作业布置某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽100m的河流，河面距所要架设的公路桥的高度是50m，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线是最好的选择，按照专家的建议，设计一座横跨峡谷的公路桥.设计意图：考察学生对本节课所学内容的理解和掌握程度，体会二次函数模型的应用价值.建立直角坐标系线段与坐标相互转化待定系数法抽象人教版《实际问题与二次函数（第3课时）》课例点评南宁市天桃实验学校吴立志本节课教学有六个环节：创设情境，引出问题环节结合生活背景，让学生体会抛物线与实际生活的联系；复习旧知，做好铺垫环节学生体会解析式与图象的对应关系；从形入手，探究问题环节引导学生通过建立直角坐标系，构建数学模型（二次函数模型）；适当建系，优化解题环节引导学生总结归纳，让学生积累和总结经验；总结提升，提炼方法环节使学生对解决此类问题有一个系统化的步骤；巩固训练，拓展思维环节巩固本节课所学内容，加深对二次函数的认识，体会数学与实践的联系；教学过程设计合理，课堂结构完整，教学思路清晰，过程循序渐进，为“抛物线形”的产生提供自然合理的背景，激发学生深入思考，获得解决问题的方案。

人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。

教材通过引入实际问题，让学生了解二次函数在现实生活中的应用，培养学生的应用意识。

教材内容由浅入深，先介绍了一元二次方程的解法，再引入二次函数的图像和性质，最后运用二次函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的理论知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但将二次函数应用于实际问题，可能对学生来说较为抽象。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，将二次函数知识应用于实际问题。

同时，运用案例分析法、讨论法等教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生思考和讨论。

2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数图像和性质。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣。

例如：抛物线在实际生活中有哪些应用？让学生思考和讨论，引导学生进入本节课的学习。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示二次函数的图像和性质，让学生直观地了解二次函数。

同时，教师简要回顾二次函数的一般形式和性质，为解决实际问题打下基础。

3.操练（10分钟）教师提出一个实际问题，让学生尝试运用二次函数解决。

例如：一个抛物线形的长椅，其长度为10米，宽度为4米，求长椅上任意一点到端点的距离。

学生分组讨论，尝试找出解决问题的关键。

人教版义务教育课程标准教科书九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》教学设计一、教材分析1、地位作用：本节的问题涉及求函数的最大值，要先求出函数的解析式，再求出使用函数值最大的自变量值，在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当时，二次函数有最小（大）值，得出此结论后，就可以直接运用此结论求二次函数的最大值或最小值。

2、目标及目标分析：【目标】：1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，2、能利用二次函数求出实际问题中的最值，发展学生解决问题的能力。

【目标分析】：智能与能力（1）、能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的知识解决实际问题。

（2）、与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。

（3）、通过数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想的综合运用，提高学生的数学能力。

过程与方法（1）、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，并进一步体验如何从实际问题中抽象出数学模型。

(2)、注意二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，及其在实际问题中的综合运用，重视对知识综合应用能力的培养。

(3)、经历观察、推理、交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法与经验。

(4)、经历解决实际问题、再回到实际问题中去的过程，能够对问题的变化趋势进行预测。

情感、态度与价值观(1)、结合实际问题研究二次函数，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣，让学生在实际应用中逐步深化对二次函数的理解和认识。

(2)、设置丰富的实践机会，引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生形成良好的教学思维习惯。

(3)、通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验。

3、教学重、难点重点：(1)、理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。

(2)、回顾并掌握二次函数最值的求法，在应用基本结论的同时掌握配方法。

实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数〔2〕． 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小〔大〕值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小〔大〕值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式． 教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小〔大〕值． 教学难点将实际问题转化成二次函数问题． 教学过程 一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学． 二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页． 2．稳固练习重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济开展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P ＝－150 (x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济开展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该工程投资的专项资金每年最多50万元，假设开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q ＝－4950(50－x )2＋1945(50－x )＋308万元．〔1〕假设不进行开发，求10年所获利润最大值是多少? 〔2〕假设按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少? 〔3〕根据〔1〕〔2〕计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法． 教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的根本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：〔1〕假设不开发此产品，按原来的投资方式，由P ＝－150 (x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，那么10年的最大利润为 M 1＝10×10＝100万元．〔2〕假设对该产品开发，在前5年中，当x ＝25时，每年最大利润是：P ＝－150(25－30)2＋10＝〔万元〕．那么前5年的最大利润为 M 2＝9.5×5＝万元．设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资，那么由Q ＝－4950 (50－x )＋1945(50－x )＋308知，将余下的(50－x )万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．那么后5年的利润是M 3＝[－150(x －30)2＋10]×5＋(－4950x 2＋1945x ＋308)×5 ＝－5(x －20)2＋3500．故当x ＝20时，M 3取得最大值为3500万元． ∴10年的最大利润为M ＝M 2＋M 3＝万元．〔3〕因为＞100，所以该工程有极大的开发价值． 三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？ 四、布置作业习题22.3 第8题．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为D CA B,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CABDC A BD CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题．〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ．EDCABPD C A B∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。