高中数学直线与方程

实用文档直线与方程第三章直线的倾斜角与斜率§3．1倾斜角与斜率3．1．1了．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3【课时目标】1．解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．．倾斜角与斜率的概念1表示或记定义法lxx轴________作为基准，与直线轴________时，我们取倾当直线________与lllxα________________之间所成的角叫做直线与的倾斜角．当直线斜轴平行°角0或重合时，我们规定它的倾斜角为k＝斜lααtan 直线____________的倾斜角)(的≠90°率α．倾斜角与斜率的对应关系2图示倾斜角αααα°＝°____ 900°<°<90°<0<180＝)(范围斜率斜率不0小于0大于0存在(范围)一、选择题1．对于下列命题αlα<180°；0°≤①若是直线的倾斜角，则kk∈R是直线的斜率，则；②若③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4ABa,Cbab的值为( )三点，则() 7)、，(－12．斜率为2的直线经过点、(3,5)、abab＝－，．3 ＝－A．，＝44＝0 B abab＝，3 ＝－4＝，4＝－3 D．C．lαl绕坐标原点按逆时针方向旋转45，如果将3．设直线过坐标原点，它的倾斜角为°，ll的倾斜角为( ，那么得到直线)11α＋45°A．α－135°B．α135°－C．αααα－135°135°≤<180°时，倾斜角为°≤D．当0倾斜角为<135°时，°；＋45当llα的取值范围是( 的倾斜角) 4．直线过原点(0,0)，且不过第三象限，那么A．[0°，90°] B．[90°，180°)实用文档α＝0°D．[90°)或°，135°] C．[90°，180lllkkk，则( 、、的斜率分别为、5．若图中直线)、321321kkkkkk <<< BA．．<223113kkkkkk << DC．．<<213312mxny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( 6．直线) ＋mnmn<0 >0 BA．．mnmn<0 <0<0 DC．．>0，，二、填空题AByAB的倾斜角为____________607．若直线°，则直线与，斜率为轴的夹角为____________．ABCBCxABC三边所在直线的．如图，已知△8与为等腰三角形，且底边轴平行，则△斜率之和为________．lαα的取值范围是________________________．－20．已知直线9°，则的倾斜角为三、解答题ABCDBADABCD各边和两条对角线所在直线°，求菱形＝．如图所示，菱形1060中，∠的倾斜角和斜率．AxxPBP，求射向轴，经过(3,1)轴上的点反射后通过点1,3)．一条光线从点11(－点的坐标．实用文档能力提升yxyxxy时，求的最大值和最小值．≤3＝－2，当＋12．已知实数8，2满足≤xfafbfccxabfx的大小关系是>，>，13．已知函数>0(＝)log(，则＋1)，2abc．________________．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜1 率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．ACCABBA的斜率相同，则三点共线；，若直线，，(1)2．三点共线问题：已知三点，CBCABBACA三点共|＋||＝|，|，也可断定，(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若| 线．．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾3会起到意利用这种特征来处理问题更直观形象，斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，想不到的效果．第三章直线与方程§3．1 直线的倾斜角与斜率3．1．1 倾斜角与斜率答案知识梳理1．相交x轴正向向上方向正切值2．90°作业设计1．C [①②③正确．]5－b??，2＝31－－，2＝k??AC?由题意，得即．2C [?5－72＝k，???AB?2.＝3－a解得a＝4，b＝－3．]实用文档CBA未分类讨论，均不全面，不合题意．通过，<180°，显然，[3．D 因为0°≤α可知：画图(如图所示)°；当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45]45°＋α－180°＝α－135°．°时，倾斜角为当135°≤α<180x0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略4．C [倾斜角的取值范围为]轴和y轴．>0，k>0，，5．D [由图可知，k<0k312]的倾斜角大．∴k<k<k．且l比l23321mm1，>0x＋，则－[由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直线方程化为y＝－．6C nnn1] ．m>0，n<0且<0，即n33 150°7或－8．0 ．30°或33 °9．20°≤α<200 ，°，180°)解析因为直线的倾斜角的范围是[0 20°≤α<200°．°，解之可得所以0°≤α－20°<180 °．＝120＝α10．解α＝α＝60°，α＝0°，α＝30°，αBDDCBCABACAD3 ．＝－，＝3，k＝k＝0k3＝，kk＝k BDBCACABCDAD3303－＝＝－，11．解设P(x,0)，则k PA1x＋－1－x1－01 ，依题意，＝k＝PB x－3－x3 ，由光的反射定律得k＝－k PBPA13 即＝，解得x＝2，即P(2,0)．xx－13＋12．解0y－y y)与原点连线的直线的斜率其意义表示点(x，＝0－xx两点的坐BA、，y)在线段AB上，并且x＝－2x＋8，且2≤≤3，则点(xy(x点，y)满足2 ＝．＝2，kA(2,4)标分别为，B(3,2)，如图所示．则k OBOA32y ．的最大值为2，最小值为所以得3xabffcf >13．>acb xf 可视为过原点直线的斜率．解析画出函数的草图如图，x实用文档两条直线平行与垂直的判定1．2 3．能根据两．1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2【课时目标】条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．1．两条直线平行与斜率的关系lklkll，有________(1)对于两条不重合的直线∥，，其斜率分别为．、?212211llll垂直，并且那么它们都与与(2)如果直线________、不重合，的斜率都不存在，2121ll 故．________21 2．两条直线垂直与斜率的关系lklllk如果直线．、⊥的斜率都存在，并且分别为?、__________，那么(1)211221llll的位置关与(2)如果两条直线中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么、2211．系是________一、选择题ll)、(不重合1．有以下几种说法：21llll①若直线∥，；都有斜率且斜率相等，则2112ll⊥，则它们的斜率互为负倒数；②若直线21③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．)( 以上说法中正确的个数是．3 D．A．1 B．2 C CAB) 为顶点的三角形是( ，－1)、2．以－(1,1)、(1,4)(2 A．锐角三角形B．钝角三角形A点为直角顶点的直角三角形C．以B点为直角顶点的直角三角形D．以mAByABm,) 0(垂直，则1)，直线( 与直线的值＝3．已知(1,2)，1．－．1 C．0 DA．2 B mDmABCDm,ABmmC平行，则＋1,2)(3)，(1,0)(2，且直线，＋4)，，(与直线4．已知)的值为(10或．0或2 D．．A．1 B0 C llαllα) ．若直线、的倾斜角分别为，则有、( ，且⊥5212211αααα°－＝90．A．－＝90°B1221αααα180＋D90||C．－＝°．＝°2121实用文档DBCA) －3,0)，所构成的图形是(2,5)，( (6,3)，6．顺次连接((－4,3) ．直角梯形A．平行四边形 B ．以上都不对C．等腰梯形 D二、填空题lllal．的斜率为的斜率为，________⊥，则直线7．如果直线21122blkblllkkkk＝－，0的斜率，＝是关于的两根，若的方程2，则－38．直线⊥222111bll；若＝∥________，则．________21BllA23)，－，，则直线(的倾斜角为60°，直线经过点－(12，3)．已知直线921ll的位置关系是____________．，21三、解答题ABCABC(0，6)(6,6)，，求此三角形三边三个顶点坐标分别为(－2，－4)，10．已知△的高所在直线的斜率．ABCABCmABC为直角三角形，，，，若△(1,1)，．已知△11)的顶点坐标为(2(5，－1)m的值．试求能力提升ABCBCHA的坐标为，则其顶点(－，－(6,3)，其垂心为．已知△123,2)的顶点(2,1)________．ABCDAmnBCDmn的值，和(4,2)，(2,2)，求，，－．已知四边形13的顶点(，)，(51)ABCD为直角梯形．使四边形实用文档：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存判定两条直线是平行还是垂直要“三看”，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜0在，则两直线平行，若一条直线的斜率为；两直线斜率相等时，三看两直线是1率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－否重合，若不重合，则两直线平行．答案．2 两条直线平行与垂直的判定3．1知识梳理∥(2)x轴1．(1)k＝k21＝－1 (2)垂直k2．(1)k21作业设计]l或l可能斜率不存在．1．B [①③正确，②④不正确，2132]⊥AC．k·k＝－1，∴ABk2．C [k＝－，＝，ABACACAB23]、B横坐标相同．直线AB应与x轴垂直，A3．B [，此时＝1k＝k时，mCD当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥，当4．D [CDAB]CD．AB∥C．5]，故构成的图形为直角梯形．·k＝－1k．B [k＝k，k≠，k6ABADABADBCDC1 或不存在7．－a9 8．2 －8b ＝2．kk＝－＝－1，∴bl解析若⊥l，则211229 ．＝0，∴b＝－k∥若ll，则k＝，Δ＝9＋8b22118 ．平行或重合9tan，°＝＝解析由题意可知直线l的斜率k3 60113－23－＝＝3，l 直线的斜率k 22－2－1因为k＝k，所以l∥l或l，l重合．21221110．解实用文档由斜率公式可得564 ，k＝＝AB4266－6，＝0k＝BC06－46 ．＝5k＝AC20 轴，∥x＝0知直线BC由kBC轴垂直，其斜率不存在．边上的高线与x∴BC k，、、AC边上高线的斜率分别为k设AB21 1，k·k＝－由k·k＝－1，ACAB215 1，·5＝－k即k·＝－1，21414 ＝－．＝－，k解得k2155 BC边上的高所在直线斜率不存在；∴4 ；边上的高所在直线斜率为－AB 51 ．AC边上的高所在直线斜率为－51＋－mm1－11－1－，＝＝－，k＝＝－k11．解ACAB3－－212551－m ．－1k＝＝m BC12－1m＋1????－，＝－1若AB⊥AC，则有－·??32 7．所以m＝－1 ，1)＝－1⊥BC，则有－·(m－若AB 2 ．＝3所以m1＋m 1，(m·－1)＝－若AC⊥BC，则有－ 3 2．所以m＝±．7，±2,3的值为－综上可知，所求m62)，－－19(12．，AB，⊥CHACA(x解析设，y)，∵⊥BH1 ＝－，k且BH51 ，＝－k CH3实用文档3－y??，5＝6x＋，19x＝－???∴解得?62.y＝－1y－????3.＝2－x ．解13∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB∥CD，AB⊥AD，由图可知：A(2，－1)．(2)AD∥BC，AD⊥AB，3－2n??＝12－m－kk＝??BCAD???1＋－k·k＝－12nn???ABAD?1＝－·52－m－m1616????＝m＝m552＝m????．∴或．综上?818n ＝－??????＝－nn＝－55§3．2 直线的方程3．2．1 直线的点斜式方程【课时目标】1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．．直线的点斜式方程和斜截式方式斜y k和在斜率存在________截b轴上的截距斜率式lykxblykxb，：＝2．对于直线：＝＋＋，221121ll?________________________；(1)∥21ll?________________．⊥(2)21实用文档一、选择题xyk) 表示＝( ( －1．方程2) －2,0)的所有直线A．通过点( ．通过点(2,0)的所有直线B x且不垂直于轴的所有直线C．通过点(2,0)x且除去轴的所有直线D．通过点(2,0)y) ( °，在轴上的截距为－2，则此直线方程为2．已知直线的倾斜角为60xyxy＋2 ＋2 BA．．＝－＝33yxyx－2＝－2 D．C．＝－33ykxb通过第一、三、四象限，则有( ＝) ＋3．直线kbkb<0 >0，，>0BA．．>0kbkb<0<0>0 D．C．，<0，yaxbybxa在同一坐标系中的图形可能是( ＝＝＋＋和) 4．直线BBAA间的关系是}，则集合直线的斜截式方程}，、＝{5．集合一次函数的解析式＝{)(ABBA BA．．＝BA．以上都不对DC．kkkxy) 变化时，所有的直线恒过定点3( ＝06．直线当－＋1－3) ，－－1．A．(1,3) B(1) ，－－3C．(3,1) D．(二、填空题xy个单位长度，所得到的直线为190＝3°，再向右平移7．将直线绕原点逆时针旋转．______________xPy平行，则该直线的点斜式方程是＋＝28．已知一条直线经过点3(1,2)且与直线________．9．下列四个结论：y2－xykk可表示同一直线；(与方程＋－2＝1)①方程＝x1＋xxPxyl＝)，倾斜角为②直线90过点°，则其方程是(；，111yyyxlP，则其方程是；过点(＝，0)，斜率为③直线111④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．．________(填序号)正确的为三、解答题．写出下列直线的点斜式方程．10xAy平行；27＋(1)经过点(2,5)，且与直线＝xC轴平行．1－，－1)，且与经过点(2)(实用文档BCCBABCA边上的高(0,2)，，求(3，－3)11．已知△，的三个顶点坐标分别是－(5,0) 所在的直线方程．能力提升1ll的方程．的斜率为，且和两坐标轴围成三角形的面积为312．已知直线，求 6BACBCAAABCAC及∠3,2)，求直线，的顶点(－1,2)、3的斜率为，点－(13．等腰△的平分线所在直线方程．实用文档l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直1．已知直线xxyxP 直，＝)，线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点斜率不存在的直线方程为(．000bykx＝是点斜式的特例．线的斜截式方程＋．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方2但在再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．程或斜截式方程，求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．．2 直线的方程§3 ．1 直线的点斜式方程3．2 答案知识梳理b＝kx＋k(x－x) y1．y－y＝001 k＝－b且≠b (2)k2．(1)k＝k212121作业设计C] x轴．[易验证直线通过点(2,0)1．，又直线斜率存在，故直线不垂直于D，°，则其斜率为[直线的倾斜角为602．3] 利用斜截式直接写方程．DB 43．．B；≠0)＝kx＋5．b(k [一次函数y] A0，所以．B＝直线的斜截式方程ykx＋b中k可以是C 3)，＝k(x－1－3k＝0变形为y－6．[直线kx－y＋1](3,1)．由直线的点斜式可得直线恒过定点11 x＋．y＝－7331再将该直线向，y＝－x绕原点逆时针旋转直线y＝3x90°所得到的直线方程为解析3111 ．＝－x＋(x－1)，即y1右平移个单位得到的直线方程为y＝－3331) －＝2(x8．y－2 ．②③9 ，由题意知，直线的斜率为210．解(1) ．－2)－5＝2(x所以其点斜式方程为y tan 0＝，0°＝由题意知，直线的斜率(2)k 1．，即y＝－0所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝，⊥，则BCAD11．解设BC边上的高为AD332＋．k＝·k＝－1，解得1∴k·k＝－，∴ADADBCAD5－303 5)，＝(x＋－∴BC边上的高所在的直线方程为y053 ．x＋3即y＝51 ，b＝x＋y 12．解设直线l的方程为 6 ．＝－时，＝；＝时，＝则x0yby0x6b实用文档1 ，|6b|＝3由已知可得·|b|·22．b＝±1即6|b|＝6，∴11 －1．＝故所求直线方程为yx＋1或y＝x66 32．13．解直线AC的方程：y＋＝3x＋°，AC的倾斜角为60AB∵∥x轴，°．30°或120∴BC的倾斜角为3 ，∠3A平分线倾斜角为BC方程为y120＝x＋°，2＋当α＝30°时，32－3x＋3．∴所在直线方程为y＝－当α＝120°时，BC方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线倾斜角为30°，33∴所在直线方程为y＝x＋2＋．333．2．2 直线的两点式方程【课时目标】1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．式yyxx ≠－2112截yx 斜率存在且不为，0轴上的 ，在 距abab 不过原点0 且≠截距分别为， 式2．线段的中点坐标公式PPxyxyPxyPP 的中点，则))，设是线段若点、(的坐标分别为(，，)、(，22121112x ＝ ?? ．?y ＝??一、选择题1．下列说法正确的是( )yy －1kMxyk 的直线方程 ．方程＝)表示过点(且斜率为，A11xx －1xybaxy 1的直线方程为．在B ＋轴、轴上的截距分别为＝， babybkxy C ．直线＝＋与轴的交点到原点的距离为 ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式D实用文档) ．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( 2 ．可以写成两点式或截距式A ．可以写成两点式或斜截式或点斜式B ．可以写成点斜式或截距式C ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式D yxy ) 在 轴上的截距是( 3．直线－＝122ba 22bbbb C ．．±A ．|| B ．－ D yx ) 、4的直线方程是4．在( 、轴上的截距分别是－3yxxy1 ＝A．＋＝1 B．＋4343－－yxxy1 ．－＝1 D．＋＝C3－4－43yxxy)( 1在同一坐标系中的图象可能是－．直线－＝1与＝5mnmnyxx2是在(直线与轴上的截距的轴交点的横坐标6．过点(5,2)，且在)轴上的截距)倍的直线方程是(yx0122＋＝－A．yyxx0 ＝－5＋或－12＝02B．2yx012＝C．－－yxxy0 －5＝0或2D．＝＋2－9二、填空题ABBA ______________．(3,1)，则线段．已知点7的垂直平分线的点斜式方式为(1,2)，yPx的直线方程是轴上的截距大轴上的截距比在18．过点，－(62)，且在．________________lABBPlP A的中点，则直线两点，若、9．过点的直线(1,3)为分别与两坐标轴交于______________．的截距式是三、解答题ll的方程．，求直线的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37．已知直线10 实用文档ABCABC(－8,0)，－11．三角形2,6)的三个顶点分别为．(0,4)，(ACAB所在直线的方程；和(1)求边ACBD所在直线的方程；边上的中线(2)求AC边上的中垂线所在直线的方程．求(3)能力提升ABPyP APBP的值最小，则点|轴上，若|．已知点|(2,5)与点，－(47)，点|在＋12的坐标是________．ll的方程．且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线．已知直线经过点(7,1)131．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时Pxy)且斜率不存在的情况．(2)点斜式应注意过要全面考虑．(1)斜截式，要注意斜率(，00xx轴的情况．(4)截距式要注意截两点式要考虑直线平行于不存在的情况．(3)轴和垂直于距都存在的条件．实用文档2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表ykxyx没有横截距，＝＝表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线示，而应用1＝2没有纵截距．yyyyxx－－－1121yyxxxxxxyyyyx)(以及，((－≠)(－≠)与＝((2)方程)－≠＝2111122121xyyxxx－－－122211xxxyy)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)()－－．)＝( －1112 3．2．2 直线的两点式方程答案知识梳理xy1．＋＝1 abx＋xy＋y21122．22作业设计1．A 2．B23．B [令x＝0得，y＝－b．]4．An5．B [两直线的方程分别化为斜截式：y＝x－n，mm B选项的两直线的斜率符号易知两直线的斜率的符号相同，，四个选项中仅有＝x－my n相同．]6．D [当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，2将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；5xy9D．，∴选]，求得b＝b≠0时，方程设为＋＝1当2bb237．y－＝2(x－2)21解析k＝－，由k·k＝－1得ABAB23????，2，2，AB的中点坐标为k＝??23点斜式方程为y－＝2(x－2)．2xyx8．＋＝1或＋y＝1 322xy6－2解析设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直1aaaa＋＋1xyxyxyx线的方程是＋＝1或＋＝1，即＋＝1或＋y＝1．1132＋2121＋2xy9．＋＝1 26解析设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，实用文档即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．xy则l的方程为＋＝1．2610．解方法一设所求直线l的方程为y＝kx＋b．∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；bb????0－，．，∴x＝－，与x轴的交点为令y＝0??66b??22??－＋b＝37根据勾股定理得，??6∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．xy方法二设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．ab22由勾股定理知a＋b＝37．22，＝37a ＋b ??b ? k ＝－＝6，∴又b a6.－＝? ?a，1a ＝－a ＝1，???? 或解此方程组可得??6.6b ＝b ＝－????yy ＝1或－x ＋＝1． 因此所求直线l 的方程为x ＋ 66－yx 1，11．解 (1)由截距式得＋＝48－ 0，所在直线方程为x －2y ＋8＝∴ACx4y － ，由两点式得＝24－6－ ．＋y －4＝0∴AB 所在直线方程为x 4y －2x (－4,2)，由两点式得＝．(2)D 点坐标为4－226－ ＋10＝0．∴BD 所在直线方程为2x －y1，AC 边上的中垂线的斜率为－2(3)由k ＝，∴ AC2 ，＋4)D(－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x 又 0．边上的中垂线所在直线方程为∴AC2x ＋y ＋6＝(0,1)12．，A －2,5)，连接′B 轴的对称点|PA|解析 要使＋|PB|的值最小，先求点A 关于yA ′( B 与y 轴的交点P 即为所求点．直线A ′的斜率为l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线 13．解当直线l 经过原点时，直线l1 ， 71 x ，∴所求直线方程为y ＝ 7 ．即x －7y ＝0yx 不过原点时，设其方程＋，＝1当直线l ba ①，＋由题意可得ab ＝017 ，＝，有经过点又l(7,1)＋1 ② ba实用文档yx ．－6＝0＋＝，则由①②得a ＝6，b ＝－6l1，即x －的方程为y6－6 ．6＝007y ＝或x －y －故所求直线l 的方程为x －直线的一般式方程2．3 3．根．．掌握直线方程的一般式．3【课时目标】 1．了解二元一次方程与直线的对应关系．2 据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系．BAxy 叫做直，，________________)的二元一次方程________________(其中1．关于 线的一般式方程，简称一般式．)填空2．比较直线方程的五种形式( 各常数的 局限方程形式 几何意义k xy k 是斜率()点斜式 ，不能表示是直线上一定点，不存在的直线00k kby 轴上的截距不能表示是斜率，不存在的直线 斜截式是 xxyy xyxy )是直线上两个定点，≠，， ≠)、(两点式(22121211axby 轴上的非零不能表示与坐标轴平行及过原轴上的非零截距，是是 截距式 截距 点的直线ACyB 轴上的截是斜率，－是当0≠时，－BB 无一般式距一、选择题BACAxBy) 、1．若方程应满足的条件为＋＋( ＝0表示直线，则BA0≠≠0 BA．．22BABA0C．＋·≠≠0 D．22mmmmmxy) 0的倾斜角为45(22．直线°，则－5( ＋2)－(的值为－4) ＋5＝3．－2 B．2 C3 D．．－A aayayxax) 3．直线2＋的值为－1＝0与(－1)( ＋＝＋10平行，则330 ．或A．B220或C．0 D．－2llyx) ( ＝40垂直，则．直线且与直线过点(－1,2)23－的方程是＋4yxxy0 ＝＋1－＝0 B．37＋2A．3＋2yxxy083－＝＋．C．2－3＋5＝0 D2bybxlylaxbabaa在同一坐标系中的图≠0≠，，＋＝0，：－＋0(＝≠0)：5．直线－21)形大致是(caabbaxbyc) ，＋满足＋＝0 (≠0)在两坐标轴上的截距相等，则，( 6．直线cbaba0且＝．A．＝B||||≠实用文档cbcaab0 ．或C．＝＝＝且0 D≠二、填空题yx．，化为截距式为________＝07．直线化为斜截式为＋2________＋622mymmxmmm 的取值范围是表示直线，则＋－1)＝(28．已知方程－＋4－3)0＋( ______________．AByABABlx 的一般在直线0：上运动，当线段＋最短时，直线9．已知＝(0,1)，点1 ________．式方程为三、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：A(5,3)；斜率为3(1)，且经过点Bx轴；－3,0)(2)过点，且垂直于(y轴上的截距为－2，在；(3)斜率为4yx轴；轴上的截距为3(4)在，且平行于CD(2，－1)两点；(－1,5)，(5)经过xy轴上截距分别是－3，－在1轴，．(6)lmxymlxmym为何值时，，问当8－＋(5－3)＋＝＋)－34＋＝0，0：711．已知直线：(21ll平行．直线与21能力提升mn)，(7,3)与点(重合，(4,0)12．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点重合，且点mn的值为( ＋) 则34A．8 B．C．4 D．115laxya＋3＝0．13．已知直线：5－5 －al总经过第一象限；为何值，直线求证：不论(1)a的取值范围．(2)为使直线不经过第二象限，求实用文档1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现AxByC＝0＋形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式化为截＋xyyBxA；和在0，求得直线在二距式有两种方法：一是令轴上的截距＝0，轴上的截距＝AxByCCC≠0)(＝－，再整理即可．，两边除以－是移常项，得＋3．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：kk①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则21＝－1．lAxByC＝0＋，②一般地，设：＋1111lAxByC＝0＋，：＋2222llAABB＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误．＋⊥?2111223．2．3 直线的一般式方程答案知识梳理1．Ax＋By＋C＝0 不同时为0y－yx－x11＝＝kx＋b ) 2．y－y＝k(x－xy00xx－y－y1221yx0 By＝＋C＋＝1 Ax＋ba 作业设计D1．22＋2m－5m2＝1，≠由已知得[m－40，且2．D 24－m] ．m＝2(舍去)或解得：m＝3A3．33 ，＝－的方程为的斜率为－，因此直线ly－2(x＋1)l．4A [由题意知，直线22]3x＋2y．＝0－1即与将ll的方程化为斜截式得：C 5．[21 ayaxy＝＋b，＝bx＋，C]根据斜率和截距的符号可得．D [直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：．6 即可；，此时只要(1)截距等于0c＝0cc．若相等，则0c0(2)截距不等于，此时≠，直线在两坐标轴上的截距分别为－、－bacc b．＝，即有－＝－a baa≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则(ab0 ＝＋by＋可知，若(1)(2)综合axc]＝＝c或b．0实用文档yx11＝x－3 ＋7．y＝－3－62－m1≠R且8．m∈22mmmm不能同时为＋0－3与，－解析由题意知，232mmmm≠－且3≠0得；由2≠＋1－22mmmmm≠0且1≠1由，故－0≠，得．≠yx0＋9．1－＝klABABAB时，＝最短，所以1斜率为解析，⊥1yyxx＝，即0－．方程为＋－1＝1xy －5)－3＝3(，10．解(1)由点斜式方程得yx53＝0－．＋3－即3xx＋3＝0(2)．＝－3，即yxxy－2＝0，即4．(3)－＝4 －2yy－3＝0．＝3，即(4)yx1－5(5)由两点式方程得＝，15－1－2xy－3＝20＋．即xyyx 0．＋3(6)由截距式方程得＋＝1，即＝＋31－－3xllmxy．－811＝0，＝11．解当时，＝5：：87＋0－21llllm与与也不平行．不平行，同理，当＝－3时，显然21217?m?3＋m5－?lmlm，≠－3时，?∥当≠5且218?m?≠43－m－5m＝－2∴．mll平行．与∴为－2时，直线21yxmn)，也关对称，则点(7,3)关于直线与点－1＝2((－2)(0,2)12．B?????m?2－＝2＝－1 [点与点(4,0)yx－2)对称，1＝2(于直线－mn7＋33＋????252??，解得，则n311－3??n??＝＝－m52－734nm]＝故．＋ 5 ．1331lyaxla，，∴将直线的方程整理为＝－的斜率为(－) (1)证明5513A(，)．且过定点55实用文档31lA，)在第一象限，故而点(过第一象限．55la∴不论总经过第一象限．为何值，直线30－5kOA 3．的斜率为＝＝(2)解直线1－05la≥3∵．不经过第二象限，∴§3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标【课时目标】1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点lAxByClAxByC＝00已知两直线；：：．＋＋＋＋＝22111122xxByCAx＝＝＋＋0????0111，则两直线______若两直线方程组成的方程组，有唯一解??yCyxByA＝＋＝0＋????0222交点坐标为________．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组两直线方程系数特征交点位置关系的解A BAB≠有唯一解相交 1 122 ______个交点ABAB＝两条直线有 1 122有无数个解重合BCBC＝________个交点2121一、选择题lxylxy＝3的位置关系是( ＋1)＝2与直线：) 1．直线＋：(2－1)(＋221A．平行B．相交C．垂直D．重合xyxyxy＝0的交点，且垂直于直线的直线的方－－2＋5＝2．经过直线20－＋4＝0与程是( ) xyxy－8＝－0 －8＝0 B．A．22＋xyxy＋8－＝8＝0 D．2C．20＋＋axyxyxya的值为( －) ＝8＝0,410＋3相交于一点，则＝10和3．直线＋22＋A．1 B．－1 C．2 D．－2lxymlxmyym的值为( 轴上，那么－) ＋124．两条直线：2＝＋30－＝0与的交点在：21A．－24 B．6C．±6 D．以上答案均不对2lxmylmxmymllm的值是( ∥＋3，则＋2，＝05．已知直线：＋) 6＋＝0，：(－2)2211mm＝03 B＝．A．mmmm＝－或13 D．＝0C．＝0或＝lyxyABABM(1，0716．直线与两直线＝和－－＝分别交于，两点，若线段的中点为实用文档l的斜率为( )－1)，则直线3232A．B．C．－D．－2323二、填空题xyxyxyxyyxbb＝________．})|，＝2＝0且3－2则＋4＝＋0}{(7．若集合{(，，)| ＋－llxylxylx：的交点，且平行于1：＝．已知直线＋过直线0：3＋－50－10＝和8321yl 的方程是______________，则直线．2 －5＝0＋aaxaya＝0＋(3－9．当取不同实数时，直线(2＋1))恒过一个定点，这个定点的坐＋标为________．三、解答题xyxyyx轴上截且在轴上的截距为1＝8＝0与0－2的交点，10．求经过两直线2＋＋－l的方程．距的两倍的直线ABCBCCAABDEF(－，1,2)，－－211．已知△3)的三边，，，．先的中点分别是(3,1)(画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升ABCBCxyA的角平分线所在直0，∠＋12．在△1中，边上的高所在直线的方程为＝－2yBAC的坐标．，求点，若点＝0和点的坐标为(1,2)线的方程为OlxyP(－反射后通过点4,3)，258出发，．13一束平行光线从原点(0,0)经过直线：＋6＝l的交点坐标．求反射光线与直线实用文档xy )的直线系方程．过定点( ，100yykxxxyxxAxxBy －＝(＝；()－()是过定点(，＋)的直线系方程，但不含直线－－000000yxy )的一切直线方程．( ，)＝0是过定点000AxByCAxByDDCykxb 平行．与＝＋0(＋＋＝0平行的直线系方程为≠＋＝＋)2．与直线ykxmmb )．＝≠＋ (的直线系方程为lAxByClAxByC ＋：：＋＋＝3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线0＋，22111212AxByC λAxByCλl ；，但此方程中不含R ＋)(＝＋0(＝0交点的直线系方程是)＋＋∈＋212121222mAxByCnAxByCmnll交点的所有直线，是过＋一般形式是＋(与＋＋≠)＋)＋＝(0(0)21121221方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3．1 两条直线的交点坐标 答案知识梳理xy ) ，1．相交 (002．无 1 无数作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]y －6＝－，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程2．A [首先解得交点坐标为(1,6)xxy －8＝0．－1)，即2＋2(]yx 10＋34＝??yax 0＝＋2)，代入方程8＋23．B [首先联立，解得交点坐标为(4，－?yx 10－2＝??a ＝－1．]得m 12xymyxmyy 轴上的截距为在，＋0在12轴上的截距为，直线＝．4C [2－＋30－＝m 3m 12m ＝±6．＝得] 由 m 32llmmm ， 2)3＝(·5．D [∥－，则1·21mmm ＝3．＝－1或解得 ＝0或mll 重合，与3时，又当 ＝21mm ＝－1．] 故或＝0lyAxlxyBx ，(07，的交点为设直线D 6．[与直线＝1(1)直线与直线－－＝的交点为21,实用文档y ＋12yxyyMAB 的中点，所以－1为＝)＝0得 ，因为(1即，－＝－3，代入直线－1)－72222＋1－3kMlxB ]都在直线．上，所以D ＝＝4，因为点＝－，．故选 l 234－12．7xxy 0＝－2＝＋0???? 的解为，解析 首先解得方程组??yyx 24＝0－2＝＋????bbyx ．＝3＝＋2得代入直线yx 0 ＋218．8＋16＝2)－1，－9．(yxyxaxy 与直则该直线系必过直线＝ 解析直线方程可写成＋(0＋＋＋3)＋23－，＝0yx ．的交点，即(－1，－线22)－0＝yxxy 轴上的截距分别是4和10．解 (1)28＋－8＝0在，符合题意．轴、ylx－8＝(2)当的方程不是20＋时，ylxxyλ：(－2，＋1)＋8)设(2＝＋0－λxλyλ＋(0－2)(1＋即(1＋2－)8．)＝λλ据题意，1＋2，≠0．－2≠0λλ818－1－xxyy＝－．；令＝令0＝0，得，得＝－λλ221＋－λλ8－1211－8????xyλ－·∴－．＝解之得＝＝，此时2λ??λ21＋32－82xyxy＝．＝0∴所求直线方程为2＋或－8 3 11．解DEFEFFDDEABC的平行线，作出这些平行线的交点，就是△分别作，如图，过，，，ABC．的三个顶点，，DE的斜率由已知得，直线1＋344kk＝．＝ABDE2553＋ABF AB的方程为过点，所以直线因为直线4yxxy＋14＝04－5．①2－＝( ＋1)，即5ACEDF，，且平行于由于直线(3,1)经过点AC的方程同理可得直线xy－14＝0．②5 －A的坐标是(4,6)联立①，②，解得点．BC的坐标分别是(－6，－2)，(2同样，可以求得点，－，4)．ABCABC(2，－4)．，，－－因此，△的三个顶点是(4,6)，(62)12．解实用文档AABC 应是的角平分线所在直线的交点．如图所示，由已知，边上的高线所在直线与∠yxy 02＝＋1＝0－???? ，得，由??xy 1＝－＝0????A ．(－故1,0)xA 的角平分线为轴，又∠yBkk ．(1，－关于2)故＝＝－0＝－1，(也可得的对称点ABACxyAC ，方程为＋＝－(∴1)k ，＝－又2BCBC ∴的方程为xy ，－－2＝－2(1)xxy1＋＝5???? ，由，得??yxy61－2＝－－2＝－????C ．，－故6)点坐标为(5AOlbOAlAa 的中)，，由直线13．解 设原点关于的对称点垂直和线段的坐标为(与l 上得点在b 4??????－·1＝－??a 3a 4＝??? ，，解得?bba 3＝????258×＋6×＝22A ．的坐标为(4,3)∴A ，(4,3)∵反射光线的反向延长线过yP ．＝(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为又由反射光线过3 7??yx 3＝＝?? 8? ，由方程组，解得?yx 258＝＋6????y 3＝7????l 3，∴反射光线与直线．的交点坐标为 ??8两点间的距离3．2 3．．能熟练应用2 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．【课时目标】 两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．PyPxPyPxPP 两点间的距离，)，则(、，．若平面上两点1)、的坐标分别为(，2121112212公式为PP________________|．|＝21OPyPOx ．|的距离为________|＝与任一点特别地，原点(0,0)(，) 解题的基本步骤可以概括为：解析法．用坐标法2()实用文档 ．第一步：________________________________________________ ．第二步：________________________ ．第三步：____________________________________一、选择题bABABb ) 等于|( |．已知点1＝(－3,4)和5(0，，则)，且8 或－8 B ．0A ．0或6．0或－C ．0或6 D CAB ) 为顶点的三角形是( (－92．以，－(1,5)，9)(5,1)， ．等边三角形 B ．等腰三角形A ．直角三角形 D ．无法确定C AByABP AxB ) 等于( 1)轴上，点，则在|轴上， 的中点是|(23．设点，－在45 B ．2 A ．C ．25 D ．210ABAB 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( (3,1)，则到) 4．已知点，(1,2)，xyxy ＝5 －5 B ．4A ．42＋2＝xyxy ＝5－＝5 DC ．．＋22ABxMMAMBM 的坐标||(2,2)，在＋轴上有一点|，使得|5．已知3,8)(－，最短，则点是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)2222????????，，00 DC ．． ????55ABxPP APBP Ax 的方程为|，且|，若直线6．设|，＝是轴上两点，点|的横坐标为2yPB 的方程为( ，则直线 )＋1＝0－xyxy－1＝0 B．20 A．－＋－5＝yxxy－7＝．22C．0 －＋－4＝0 D 二、填空题Ax,CyBPxy)，(到原点的距离(－2，－7．已知点3)(5)关于点，则点(1，的对称点是)是________．MxNM的坐标为______________，则点．(－4,2)8．点的距离都等于到轴和到点10ABCABCBCD(5,4)边的中点是4|＝9．等腰△的顶点是，(3,0)，底边长|，则此三角形的腰长为________．三、解答题lyxAAllB点，，过点相交于作直线与直线10．已知直线：2＝－和点＋61)(1，－1ABl的方程．＝5|且，求直线|111．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．实用文档能力提升22xyxx＋的最小值．8＋＋12．求函数20＝1－22222222yxyyxxxy≥1－1＋＋13－．求证：＋－＋1－1＋22．．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它1已知两点间的距离也可以根据条件求其中可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，一个点的坐标．．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题2但不同的平面直时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．答案．3．2 两点间的距离3。