2018年北京高三模拟题分类汇编之概率

2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——概率统计1.（昌平）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ，150图1 A 地空气质量指数（AQI ） 0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =分（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 3. （东城）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为 B （A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）364.（东城）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以100a≤．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是45，所以100a≥．所以100a=. …………5分（Ⅱ）从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分5.（房山） 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

2018年全国3卷省份高考模拟文科数学分类汇编---概率统计1.（2018成都树德中学模拟）为对考生的月考成绩进行分析，某地区随机抽查了名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图.（1）求成绩在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析成绩与班级、学校等方面的关系，必须按成绩再从这人中用分层抽样方法抽取出人作出进一步分析，则成绩在的这段应抽多少人？【答案】（1）0.15（2）540分（3）5人.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出成绩在[600，650）的频率即可；（2）利用频率分布直方图，求出样本数据的平均数即可；（3）求出成绩在[550，600）的频率与频数，计算出用分层抽样方法在这段应抽取的人数．试题解析：（1）根据频率分布直方图，得:成绩在[600，650）的频率为0.003×（650﹣600）=0.15；（2），，,（3）成绩在[550，600）的频率为：0.005×（600﹣550）=0.25，所以10000名考生中成绩在[550，600）的人数为：0.25×10000=2500（人），再从10000人用分层抽样方法抽出20人,则成绩在[550，600）的这段应抽取20×=5人．点睛：睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2.（2018雅安市模拟），表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：.若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得函数f(x)的周期为T=2.函数f(x)的图像为如图所示的折线部分，集合对应的区域是如图所示的五个圆，半径都是.由题得事件对应的区域为图中的阴影部分，所以由几何概型的公式得故选D.点睛：本题的难点在于作集合D对应的平面区域，因为其中有个[t].对于这种定义题，不好理解的，大家可以通过列举给t取值，找到它对应的区域，促进自己理解题意.这一点突破了，后面就迎刃而解了.3.（2018雅安市模拟）某校初一年级全年级共有名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.（1）在阅读量为万到万字的同学中有人的成绩优秀，在阅量为万到万字的同学中有人成绩不优秀，请完成下面的列联表，并判断在“犯错误概率不超过”的前提下，能否认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系”；阅读量为万到万人数阅读量为万到万人数合计（2）在抽出的同学中，1）求抽到被污染部分的同学人数；2）从阅读量在万到万字及万到万字的同学中选出人写出阅读的心得体会.求这人中恰有人来自阅读量是万到万的概率.参考公式：，其中.参考数据：【解析】试题分析：（1）第（1）问，先计算出阅读量在3万到5万的人数为50， 9万到11万的人数为125, 11万到13万的人数为75，再填表，最后求出随机变量的值，作出判断.(2)第（2）问，先利用频数公式计算出抽到被污染部分的同学人数，再利用古典概型计算出这人中恰有人来自阅读量是万到万的概率.试题解析：(I)阅读量在3万到5万的小矩形的面积为0.1，阅读量在9万到11万的小矩形的面积为0.25,阅读量在11万到13万的小矩形的面积为0.15.阅读量在3万到5万的人数为50， 9万到11万的人数为125, 11万到13万的人数为75.则.能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系” .(II)(1）由(I)知阅读量在5万到9万的小矩形的面积为1-（01+0.25+0.15）=0.5则被污损部分的同学人数为10人，(2）按分层抽样的方法，抽得阅读量在3万到5万的人数为2人，阅读量在11万字到13万字的为3人，设阅读量在3万字到5万字的2个同学为，阅读量为11万字到13万字的3个同学为则从这8个同学中选出2个同学的情况有：，共10种情况，2人中恰有1人来自阅读量是11万到13万的有：，共6种情况，，这2人中恰有1人来自阅读量是11万到13万的概率为.4.（2018云南省模拟）已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，∀x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）DA. B. C. D.5.（2018云南省模拟）某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x 的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．（Ⅰ）由数据求得，，，由公式求得，所以，所以y 关于x 的线性回归方程为．（Ⅱ）当x =10时，，；同样，当x =6时，，．所以，该协会所得线性回归方程是理想的．6. （2018广西模拟）已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1 张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） CA ． 1B ．12 C ． 14 D ．1167.（2018广西模拟）某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高；(Ⅲ) 若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率．（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08, …2分由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2,所以全班人数为20.08＝25. …4分(Ⅱ) 分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3;频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012. …7分(Ⅲ)将[80,90)之间的3个分数编号为a 1,a 2,a 3,[90,100)之间的2个分数编号为b 1,b 2,在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为： (a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2)共10个, …10分 其中，至少有一个在[90,100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是710. …12分8.（2018贵州模拟）在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面点集中随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )DA. 14B. 13C. 23D. 349.（2018贵州模拟）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：(1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)； (2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；(3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． 解：(1)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．(2)根据题中的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35.(3)设事件A“从题中甲城市和乙城市的统计数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同”，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：(29,43)，(29,41)，(29,55)，(29,58)，(29,78)，(53,43)，(53,41)，(53,55)，(53,58)，(53,78)，(57,43)，(57,41)，(57,55)，(57,58)，(57,78)，(75,43)，(75,41)，(75,55)，(75,58)，(75,78)，(106,43)，(106,41)，(106,55)，(106,58)，(106,78)．其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为：(29,41)，(29,43)，(53,55)，(53,58)，(53,78)，(57,55)，(57,58)，(57,78)，(75,55)，(75,58)，(75,78)，共11个结果．由古典概型可得P(A)＝1125.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125.10.（2018四川模拟）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(Ⅲ)根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．解：（Ⅰ）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为=14%． （Ⅱ）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K 2=9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．11.（2018西藏拉萨市模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护．五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如．现在正五边形A1B1C1D1E1内随机取一点，则此点取自正五边形A2B2C2D2E2内部的概率为（）DA．B．C．D．【解答】解：根据题意知，正五边形A1B1C1D1E1∽正五边形A2B2C2D2E2，又，∴===•=，∴所求的概率为P==．故选：D．12.（2018西藏拉萨市模拟）随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]，由此得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；（2）从使用手机时间在[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？【解答】解：（1）由于小矩形的面积之和为1，则（a+0.075+4a+0.15+5a+0.05+0.025）×2=1，由此可得a=0.02．该地区高中生一周使用手机时间的平均值为（1×0.02+3×0.075+5×0.08+7×0.15+9×0.1+11×0.05+13×0.025）×2=6.94．（2）使用手机时间在[6，8）的学生有0.15×2×100=30人，使用手机时间在[8，10）的学生有0.02×5×2×100=20人，使用手机时间在[10，12）的学生有0.05×2×100=10人，使用手机时间在[12，14]的学生有0.025×2×100=5人，故用分层抽样法从使用手机时间在[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]的四组学生中抽样，抽取人数分别为，，，．13.（2018广西南宁市模拟）右图为某市2017年3月21-27日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为0-50空气质量属于优，51-100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染.在这一周内，下列结论中正确的是（）BA ．空气质量优良的概率为57B ．空气质量不是良好的天数为6 C.这周的平均空气质量为良好 D ．前三天AQI 的方差大于后四天AQI 的方差14.（2018广西南宁市模拟）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题.交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中y 表示“反应距离”，指的是驾驶员从作出反应(刹车)到车辆停止滑行的距离(单位: 米)，x 表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方(单位: 米2/秒2).其中i w =1,2,,7i =，7117i w w =∑.(1) 由散点图判断: y ax b =+和y b = 哪个更适合于模型? (直接写出判断即可，不必说明理由) (2) 根据(1)的判断结果和表中的数据，建立y 关于x 的回归方程;(3) 当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，根据(2)中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸?附：对于一组数据11(,)x x ，22(,)x x ，…，(,)n n x x ，其中回归方程y x αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑，y x αβ=-.解：（I ）y ax b =+更适合于模型 （II ）根据最小二乘法公式71721()()0.0857()iii ii x x y y x x β==--==-∑∑1.3668y x αβ=-=-0.0857 1.3668y x =-（III ）要求不发生车祸，需要满足0.0857 1.366830y x =-<. 故366.007x <即19.1313w <.此时车速满足小于19.1313米/秒才能避免这次车祸.15.（2018贵阳市模拟）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将学生随机地从1~ 160编号，按编号顺序平均分成20组(1-8,9-16...153-160)若第16组得到的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是 ．616.（2018贵阳市模拟）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.(I)请将两家公司各一名推销员的日工资y (单位: 元) 分别表示为日销售件数n 的函数关系式;(II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。

2018年北京高三模拟题分类汇编之概率精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2018北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科i.、填空题（本大题共4小题，共0分）1.（2018北京东城区高三一模数学(文)）某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．【答案解析】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，，
解得. ………5分10(0.0050.010.020.03)1a 0.035a 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●频率组距年龄a 0.0050.030.026050403020100.01。

2018北京高三二模数学理分类汇编--概率与统计二、解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．2、（2018海淀二模）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论）3、（2018东城二模）（本小题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n Xn m m -＃+>求正整数n 的最小值；（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明）4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率; （Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果）5、（2018丰台二模）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；年龄（岁）70605040302010（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．（16）（本小题共13分）6、（2018昌平二模）（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．8、（2018房山二模）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案14-概率一、选择题（共6小题；共30分）1. 从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务，则选中的人都是女同学的概率为A. B. C. D.2. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是A. B. C. D.3. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则A. B. C. D.4. 设，随机变量的分布列是则当在内增大时，A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小5. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为A. B. C. D.6. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则A. B. C. D.二、填空题（共2小题；共10分）7. 某兴趣小组有名男生和名女生，现从中任选名学生去参加活动，则恰好选中名女生的概率为．8. 有编号互不相同的五个砝码，其中克、克、克砝码各一个，克砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是（结果用最简分数表示）．三、解答题（共5小题；共65分）9. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为，，．现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?（2）设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．10. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数好评率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?（只需写出结论）11. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到如表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数好评率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（1）从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢，“”表示第类电影没有得到人们喜欢（）．写出方差，，，，，的大小关系．12. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验?13. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，．现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?（2）若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．（i）用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；（ii）设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．答案第一部分1. D2. C3. A4. D5. B6. B第二部分7.8.第三部分9. （1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取人，人，人．（2）（ⅰ）从抽出的名同学中随机抽取名同学的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种．（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的名同学中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，则从抽出的名同学中随机抽取的名同学来自同一年级的所有可能结果为，，，，，共种．所以，事件发生的概率为．10. （1）设事件为选取的电影是获得好评的第四类电影，基本事件总数为，事件中包含的基本事件个数为，所以．（2）设事件为选取的电影获得好评，则事件包含的基本事件个数为，则，，所以电影未获得好评的概率为．（3）第五类电影好评率增加，第二类电影好评率减少，可使得获得好评的电影总数与样本中电影总部数的比值最大．11. （1）电影公司收集电影有（部），获得好评第四类电影有（部），所以随机选取部电影是获得好评的第四类电影概率为．（2）设事件：第四类获得好评，；事件：第五类获得好评，；事件：恰有部获得好评，（3）．12. （1）件产品中恰有件不合格品的概率为．因此令，得．当时，；当时，．所以的最大值点为．（2）由（）知，．（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即．所以．（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元．由于，故应该对余下的产品作检验．13. （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人．（2）（i）随机变量的所有可能取值为，，，．．所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望．（ii）设事件为“抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人”；事件为“抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人”，则，且与互斥，由（i）知，，，故．所以，事件发生的概率为．。

2018年高考题分章节汇编第十一章 概率一、选择题1． (2018年高考·广东卷8)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为（ C ） A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 2．(2018年高考·湖北卷·理12)以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为（ A ）A ．385367B ．385376C ．385192D ．38518 3．(2018年高考·辽宁卷3)设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ D ）A ．10100610480C C C ⋅B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅D ．10100420680C C C ⋅ 4．(2018年高考·江西卷·理12)将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为 （ A ）A ．561B ．701C ．3361D ．4201 5．(2018年高考·山东卷·理9文10)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是 （ D ）A ．310B ．112C ．12D ．11126．(2018年高考·天津卷·理7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 （ A ）A ．12581B ．12554C ．12536D ．12527 7．(2018年高考·天津卷·文3)某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为 ( B)A ．12581 B ．12554 C ．12536 D ．12527 二、填空题 1. (2018年春考·上海卷6)某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). 2601 2．(2018年高考·上海卷·理8文8)某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）73 3．(2018年高考·重庆卷·理15)某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 12845 4．(2018年高考·重庆卷·文15)若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .4517 5．(2018年高考·天津卷·文16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)以这9个分点为顶点可画出若干个三角形若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为__________(用数字作答)31三、解答题1．（本小题共13分）(2018年高考·北京卷·文18)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为,32求：（Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率；（Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率；（Ⅲ）乙恰好比甲多击中目标2次的概率.解：（I ）甲恰好击中目标2次的概率为.83)21(323=C （II ）乙至少击中目标2次的概率为.2720)32(31)32(333223=+⋅C C （III ）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.P （A ）=P （B 1）+P （B 2）.6191181)21()32()21(31)32(313333303223=+=⋅+⋅⋅=C C C C所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.612．（本小题满分12分）(2018年高考·福建卷·文18)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则 .53)(,21)(,52)(,21)(====B P A P B P A P ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A ⋅+⋅.2152215321)()()(=⨯+⨯=⋅+⋅=⋅+⋅∴B A P B A P B A B A P 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21 （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为100953532121=⨯⨯⨯=P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .10091100911=-=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091 3．（本小题满分12分）(2018年高考·湖北卷·文21)某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为 );1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p4．（本小题满分14分）(2018年高考·湖南卷·文20)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I ）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P （A 1）=.943!3424=⋅C （II ）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P （A 3）=271334=，事件A 2的概率为 P （A 2）=1－P （A 1）－P （A 3）=.2714271941=-- 解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P （A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 5．（本小题满分12分）(2018年高考·江西卷·文19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.解：（1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-715||ξξn m n m ，可得：.7,5:;7,6,11,6;5,5,00,5的取值为所以时或当时或当ξξξ==========n m n m n m n m .649645322)21(2)21(2)7()5()7(7155=+=+⨯==+==≤C P P P ξξξ 6．（本小题满分13分）(2018年高考·重庆卷·文18)加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率. （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=- 解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C 7．（本小题满分12分，每小问满分4分）(2018年高考·江苏卷20)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43。

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---概率统计1.（朝阳）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由. 解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分2. （海淀）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 C（A ）15（B ）25（C ）35（D ）453. （海淀）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数．值越小，速度越快，单位是MIPS ） （Ⅰ）从品牌的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）在12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器 打开文件的速度进行评价.（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A =……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C C P X C ===21663129(1)22C C P X C ===12663129(2)22C C P X C ===03663121(3)11C C P X C === ……………………….7分X ……………………….8分19913()0123112222112E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 前6次测试结果的平均值大于品牌B 前6次测试结果的平均值，品牌A 后6次测试结果的平均值小于品牌B 后6次测试结果的平均值，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B ）标准4：会用品牌A 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A 前6次测试结果的方差大于品牌B 前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B 后6次测试结果的方差，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B ）标准5：会用品牌A 这12次测试结果的平均值与品牌B 这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这12次测试结果的平均值小于品牌B 这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B ）标准6：会用品牌A 这12次测试结果的方差与品牌B 这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A 这12次测试结果的方差小于品牌B 这12次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B ）标准7：会用前6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数、后6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A 小于品牌B 的有4次，占2/3. 故品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于B ，品牌A 打开含有文字和图片的文件的速度快于B ）标准8：会用这12次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有6次，占1/2. 故品牌A 和品牌B 打开文件的速度相当）（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望. 解：（Ⅰ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则2441565020600x ++=，解得15x =. 所以其中成绩为优秀的学生人数为15.……………………5分 （Ⅱ）依题意，随机变量X 的所有取值为0，1，2.252201(0)19C P X C ===，1151522015(1)38C C P X C ===，21522021(2)38C P X C ===.……………………11分所以X 的分布列为……………………12分所以随机变量X 的数学期望()115213012.1938382E X =⨯+⨯+⨯=……………………13分 5.（东城） 中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段. 货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用. 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：（Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a 的值；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ；（III ）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论） 解：（I ）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a =169. （II ）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以ξ的所有可能取值为0,1,2.33351(0)10C P C ξ===，2132353(1)5C C P C ξ⋅===，1232353(2)10C C P C ξ⋅===. 所以ξ的分布列为 故ξ的数学期望1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）168.6.（顺义） 某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.(Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；(Ⅱ) 设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，————4分或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛————6分选手甲进入复赛的概率————7分————13分7. （大兴）在测量某物体的重量时，得到如下数据：a 1，a 2，…a 9，其中a 1≤a 2≤…≤a 9，若用a 表示该物体重量的估计值，使a 与每一个数据差的平方和最小，则a 等于 ；若用b 表示该物体重量的估计值，使b 与每一个数据差的绝对值的和最小，则b 等于 ．，a 5．解：∵在测量某物体的重量时，得到如下数据：a 1，a 2，…a 9，其中a 1≤a 2≤…≤a 9， 用a 表示该物体重量的估计值，使a 与每一个数据差的平方和最小， ∴由方差的概念得a 是a 1，a 2，…a 9的平均数， ∴a=．∵用b 表示该物体重量的估计值，使b 与每一个数据差的绝对值的和最小， ∴b 是数据：a 1，a 2，…a 9的中位数， ∵a 1≤a 2≤…≤a 9， ∴b=a 5． 故答案为：，a 5．8. （大兴）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值甲与及方差与的大小；（只需写出结论）（ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C ：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C 发生的概率；（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X 为学业水平优秀的人数，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．分钟/天分钟/天【分析】（Ⅰ）由茎叶图能得到，．（Ⅱ）（i ）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀，由P （C ）=P （A 2B 1）+P （A 3B 1）+P （A 3B 2），能求出C 发生的概率．（ii ）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为，则X=0，1，2，X ～B （2，），由此能求出X的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得，．（Ⅱ）（i ）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀； 记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀， 则P （C ）=P （A 2B 1）+P （A 3B 1）+P （A 3B 2）=P （A 2）P （B 1）+P （A 3）P （B 1）+P （A 3）P （B 2） ==，（ii ）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为，则X=0，1，2，X ～B （2，），，，，0 12（或）．9. （昌平）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学 图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()Eξ；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差2S甲与2S乙的大小．(只需写出结论)解：(Ⅰ)由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ………3分(Ⅱ)甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==Pξ022628C C1528C=，(1)== Pξ112628C C123287C==，(2)== Pξ202628C C128 C=.所以ξ的分布列为ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=Eξ. ……………10分(Ⅲ)X<甲X乙;2s>n2sn.……………13分10.（房山）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图．频率（Ⅰ）求获得复赛资格的人数；（Ⅱ）从初赛得分在区间(110150]，的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110130]，与(130150]，各抽取多少人?（Ⅲ）从（Ⅱ）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(130150]，中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()X E .）解：（1）由题意知[)11090，之间的频率为: (),3.00125.020075.0005.00025.0201=+⨯++⨯-()，65.0200050.00125.03.0=⨯++∴获得参赛资格的人数为52065.0800=⨯ ………………5分（Ⅱ）结果是5，2.（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，则3052372(0)7C C P X C === 2152374(1)7C C P X C === 1252371(2)7C C P X C === 故X 的分布列为：()012.7777E X =⨯+⨯+⨯= ……………13分11. （丰台）某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”．2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网络平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率； （Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 解：（Ⅰ）依题意2001004000b =， 所以 3b =． 因为 100(12201530103)10a =-+++++=，所以10a =，3b =． ………………4分 （Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A ，则20301()1002P A +==． 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为12． ………………8分 （Ⅲ）X 可取0，10，20，30，40． ………………9分3(0)0.03100P X ===； 20(10)0.2100P X ===；50(20)0.5100P X ===； 12(30)0.12100P X ===；15(40)0.15100P X ===．………………12分所以()00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 12.（石景山） 摩拜单车和ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14，12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12，14；两人用车时间都不会超过3小时. （Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE .解：（Ⅰ）甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为：14，14…………1分 甲乙两人所付车费用相同的概率11114224p =⨯+⨯1154416+⨯=………4分 （Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4. …………5分()1110248ξ==⨯=P ()11144P ξ==⨯+1152216⨯=()111122424P ξ==⨯+⨯1154416+⨯=()11324P ξ==⨯+1134416⨯=()11144416P ξ==⨯=…………10分ξ的分布列为:…………11分数学期望155********E ξ=⨯+⨯+⨯+3173416164⨯+⨯=. ………13分13. 已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [ 5分] 4(0)(B )(B )9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]14.（房山）中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为cm 2,正方形边长为cm 1，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是π41-1图1 图215. （石景山）用计算机在01:之间随机选取一个数a ，则事件“113a <<”发生的概率为（ ）D A ．0 B ．1 C ．13 D ．23。

（全国1卷3）答案：（全国1卷19）答案：（全国2卷5）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4 D．0.3答案：D（全国2卷18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5根据2010年至y t=-+；2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 答案：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y $=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y $=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（全国3卷5）答案：B（全国3卷14）答案：分层抽样（全国3卷18）答案：（北京卷17）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）答案：（天津卷15）(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人. (II)(i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =.。

全国各地市2018年模拟试题分类解析汇编：统计与概率【2018三明市普通高中高三上学期联考文】在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为A．32 B．0.2 C．40 D．0.25【答案】A【解析】本题主要考查样本的频率分布直方图、频数概念、频数与频率的区别. 属于基础知识、基本运算的考查.频率等于长方形的面积，所有长方形的面积等于1，中间长方形的面积等于S，则S＝1 4(1-S),S=15，设中间一组的频数为x，则11605x=，得32x=【2018金华十校高三上学期期末联考文】分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A．14B．13C．12D．23【答案】 D【解析】本题主要考查基本事件的概念、古典概型的计算公式. 属于基础知识、基本运算的考查.从写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，有12， 13，14，23，24，34共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有12，14，23，34共4种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是42 63 =【2018武昌区高三年级元月调研文】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，算得22110(40302020)~7.8.60506050K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 【答案】A【解析】本题主要考查列联表以及独立性检验的简单方法. 属于基础知识、基本方法的考查.22110(40302020)~7.8.60506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 2( 6.635)0.01199%P K ≥==-∴有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”【2018年西安市高三年级第一次质检文】某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为，则=A.B.C.D.2【答案】A【解析】本题主要样本的数字特征. 属于基础知识、基本运算的考查.222222127[(67)(77)(77)(87)(77)]55x -+-+-+-+-=甲甲＝，S ＝ 222222167[(67)(77)(67)(77)(97)]55x -+-+-+-+-=乙甲＝，S ＝两组数据的方差中较小的一个为，=25【2018粤西北九校联考理】 已知{(,)|6,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )A ．31B ．32C ．91D ．92【答案】D【解析】属于几何概型，{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥的面积为18，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥的面积为4，92184==P【2018韶关第一次调研理】某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________. 【答案】27，【解析】成绩大于或等于14秒且小于16秒的频率为0.54，所以良好人数=0.54⨯50=27 【2018深圳中学期末理】袋中装有m 个红球和n 个白球,4≥>n m ,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系40≤+n m 的数组()n m ,的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【解析】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红、一白两球”为事件C ，则()22n m m C /C A P +=，()22n m n C /C B P +=，()211n m n m C /C C C P +=。

专题十 概率与统计1．（2018.4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A ．√23fB ．√223fC ．√2512fD ．√2712f2．（2018.17）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢．“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k ＝1，2，3，4，5，6）．写出方差D ξ1，D ξ2，D ξ3，D ξ4，D ξ5，D ξ6的大小关系．3．（2017.14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是 ． （2）记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是 ．4. （2017.17）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； （2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）5．（2016.8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6．（2016.16）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）7．（2015.8）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油8.（2015.16）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 9．（2014.8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ） A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人10．（2014.13）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．11．（2014.16）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小（只需写出结论）．专题十 概率与统计答案部分1. 解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212． 若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为：(√212)7⋅f =√2712f ． 故选：D ．2. 解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部，第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25＝50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P（A）=502000=0.025．（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25＝50部，第五类获得好评的有：800×0.2＝160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）=50×(800−160)+(200−50)×160200×800=0.35．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk={0，第k类电影没有得到人们喜欢1，第k类电影得到人们喜欢，则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：ξ110P0.40.6 E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．第二类电影：ξ210P0.20.8 E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第三类电影：ξ310P0.150.85 E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．第四类电影：ξ410P0.250.75 E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．第五类电影：ξ510P0.20.8 E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第六类电影：ξ610P0.10.9 E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．3.解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p24.解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p=1550=310．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）=1C42=16，P（ξ＝1）=C21C21C42=23，P（ξ＝2）=1C42=16，∴ξ的分布列如下：ξ012P162316答：E（ξ）=0×16+1×23+2×16=1．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．5.解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y 个，x+y＝a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j＝x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l＝y；黑球总数a＝y+i+j，又x+y＝a，故x＝i+j由于x＝k+j，所以可得i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选：B．6.解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K=20100=15，故C班有学生8÷15=40人，（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=2+3+3+3+440=38；（Ⅲ）μ0＞μ1．7.解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．故选：C．8.解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）＝P（B i）=17，i＝1，2，•，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）＝P（A5）+P（A6）+P（A7）=3 7；（Ⅱ）设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6，∴P （C ）＝P （A 4B 1）+P （A 5B 1）+P （A 6B 1）+P （A 7B 1）+P （A 5B 2）+P （A 6B 2）+P （A 7B 2）+P （A 7B 3）+P （A 6B 6）+P （A 7B 6） ＝10P （A 4B 1）＝10P （A 4）P （B 1）=1049（Ⅲ）当a 为11或18时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等．9. 解：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个， 语文成绩得B 得也最多只有一个， 得C 最多只有一个， 因此学生最多只有3人，显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件， 故学生最多有3个． 故选：B ．10. 解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π．故答案为：π．11. 解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A ，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P （A ）=510=12，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率P 1=35，客场命中率超过0.6的概率P 2=25， 故P （B ）＝P 1×（1﹣P 2）+P 2×（1﹣P 1）=35×35+25×25=1325；（3）x=110（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）＝11.4EX=x。

1. （2017-2018朝阳一模理17）某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率;（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名,设随机变量1,22,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同,名男生选考方案不同,求ξ的分布列及数学期望Eξ.【答案】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x,所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人.（Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为1,2所以ξ的分布列为2. （2017-2018东城一模理16）从高一年级随机选取100名学生,对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望()Eξ;（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一（Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,2（Ⅲ）a b>3. （2017-2018房山一模理16）2017年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过70天,重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取100户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据（单位:千立方米）均在区间(0,5]内,将数据按区间列表如下:（Ⅰ）求表中x,m的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;（Ⅱ）从用气量在区间(3,4]和区间(4,5]的用户中任选3户,进行燃气使用的满意度调查,求这3户用气量处于不同区间的概率;（Ⅲ）若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了3户,用X表示用气量在区间(1,3]内的户数,求X的分布列和期望.估计该村每户平均用气量为（Ⅱ）设A=“这3户用气量处于不同区间”,则（Ⅲ）X的可能取值为0,1,2,3,则所以X的分布列为4. （2017-2018丰台一模理17）某地区工会利用“健步行APP ”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）.记年龄不超过40岁的会员为A 类会员,年龄大于40岁的会员为B 类会员.为了解会员的健步走情况,工会从A ,B 两类会员中各随机抽取m 名会员,统计了某天他们健步走的步数,并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组,将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图,B 类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）.（Ⅰ）求m 和a 的值;（Ⅱ）从该地区A 类会员中随机抽取3名,设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X ,求X 的分布列和数学期望;（Ⅲ）设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X ,试比较1X 和2X 的大小（只需写出结论）.所以1000m =,400a =.（Ⅱ）由频率分布直方图可得,从该地区A 类会员中随机抽取1名会员,健步走的步数在130.01步数（单位：千步）0.02 0.03 0.04 0.05 0.10.15所以,X的分布列为5. （2017-2018海淀一模理16）流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气月平均相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定,当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时,有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度.（Ⅰ）从上表12个月中,随机取出1个月,求该月甲地空气相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率;（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月,记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ,求X 的分布列; （Ⅲ）若108a b +=,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ,求M 的最大值和最小值.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）在12个月份中,空气月平均相对湿度大于65%或小于40%的月份有:2,6,8,9,10,11月,共计6个月.（Ⅱ）由题意知X 的所有可能取值为0,1,2前6个月中,只有2月份和6月份甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播.所以随机变量X的分布列为:（Ⅲ）M最大值58%,最小值54%.6. （2017-2018门头沟一模理16）2022年第24届冬奥会将在北京举行.为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地.通过对来“腾越”参加冰雪运动的100名运动员随机抽样调查,他们的身份分布如下:注:将频率视为概率（Ⅰ）求来“腾越”参加冰雪运动的人员中,小学生的概率;（Ⅱ）设X表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数,求X的分布列和数学期望().E X 【答案】（Ⅰ）设来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生为事件.A（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,1, 2, 3.随机变量X的分布列是:7. （2017-2018石景山一模理16）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）:102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组,各组的频数如下:（Ⅰ）写出,m n 的值,并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别;（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ,E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ,试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小;（只需写出结论） （Ⅲ）从,A E 两组的所有数据中任取2个数据,记这2个数据差的绝对值为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）4,2,m n B ==;（Ⅱ）1v <2v ,21s <22s ;（Ⅲ）ξ的可能取值为0,30,140,170,8. （2017-2018西城一模理16）某企业2017年招聘员工,其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下:（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人,试估计此人被录用的概率;（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人.记X 为这2人中被录用的人数,求X 的分布列和数学期望;（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（2者之差的绝对值不大于5%）,但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某四种岗位,则男性、女性的总录用比例也接近,请写出这四种岗位.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=, 被该企业录用的人数为264169433+=, 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人,（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.因为应聘E 岗位的6人中,被录用的有4人,未被录用的有2人,所以X 的分布列为:（Ⅲ）这四种岗位是:B、C、D、E。

专题12 概率和统计1. 【2010高考北京文第3题】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是( )A.45B.35C.25D.15【答案】D【解析】试题分析：基本事件的个数有5×3＝15种，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概率为31155=.2. 【2012高考北京文第3题】设不等式组02,02xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A．π4B．π22-C．π6D．4π4-【答案】D3. 【2015高考北京，文4】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90 B．100 C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师 1800青年教师 1600 合计 4300【答案】C【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =，故选C. 【考点定位】分层抽样.4.【2016高考北京文数】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（） A.15 B.25 C.825 D.925【答案】B考点：古典概型【名师点睛】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A 中的基本事件数，利用公式nmA P =)(求出事件A 的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m ，n ，再运用公式nmA P =)(求概率. 5.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米）1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.721.681.60 30秒跳绳（单位：次） 63a 7560637270a −1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B考点：统计【名师点睛】本题将统计与实际应用结合，创新味十足，是能力立意的好题，根据表格中数据分析排名的多种可能性，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.6. 【2010高考北京文第12题】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝__________.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为__________．【答案】0.030 3解析：各组的频率之和为0.05＋0.1＋0.2＋10a＋0.35＝1，a＝0.030，所选三组的频数之比为3∶2∶1，所以身高在内的学生中选取的人数应为18×16＝3.7. 【2015高考北京，文14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙；数学【考点定位】散点图.8.【2016高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为A B C表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．29．分别用,,CBA139142考点： 统计分析【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用. 9. 【2006高考北京文第18题】某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:(1)该应聘者用方案一考试通过的概率;(2)该应聘者用方案二考试通过的概率.(2)应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+31P (B ·C )+31P (A ·C )=31×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9) =31×1.29 =0.43.10.【2007高考北京文第18题】（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （Ⅰ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （Ⅱ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；【试题解析】（Ⅰ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为6106415120.15121010A P === ; （Ⅱ）这6为乘客在恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010C P ⨯=== . 【考点】乘法原理，排列组合应用题，等可能事件的概率 11. 【2008高考北京文第18题】（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．12. 【2009高考北京文第17题】（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B ，这名学生在上学路上遇到k 次红灯的事件()0,1,2k B k =.则由题意，得()40216381P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()132212142412321224,33813381P B C P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， ∴事件B 的概率为()()()()01289P B P B P B P B =++=. 13．【2012高考北京文第17题】近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾．数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600，当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(求：s 2＝1n［(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2］，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)【答案】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为4002=4001001003=++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量， 即P (A )约为400240600.71000++=，所以P (A )约为1－0.7＝0.3．(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13×［(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2］＝80 000． 14.【2005高考北京文第18题】（本小题共13分） 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32， （Ⅰ）甲恰好击中目标的2次的概率； （Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．15. 【2013高考北京文第16题】(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)16. 【2014高考北京文第18题】（本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）【答案】（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组.（2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距. （3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.考点：本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、频率与概率的关系等基础知识，难度不大，熟练基础知识是解决好本类题目的关键. 17. 【2011高考北京文第16题】（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。

第12章概率与统计题组一一、选择题1．（北京四中2018 届高三上学期开学测试理科试题）已知随机变量听从正态散布，，则（）A． B． C． D.答案D.2．（北京四中2018届高三上学期开学测试理科试题）一组抛物线，其中为2,4,6,8 中任取的一个数，为1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中随意抽取两条，它们在与直线交点处的切线互相平行的概率是（）A． B． C． D．答案B.（湖南省长沙市第一中学2018届高三第五次月考理）形如45132这样的数称为“波涛数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可组成的数字不重复的五位“波涛数”的概率为()13112A. B.C. D. 6212015答案D.解：当十位与千位是4或5时，共有波涛数为235，十位是3时，万位只好是4，此时共A2A3＝12个.当千位是有2个波涛数.当千位是3，十位是5时，末位只好是4.此时共有2个波涛数.故所求概率12＋2＋225＝.P A1 554．（浙江省嘉兴一中2018届高三12月月考题文）国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按必定序次经过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C经过的概率为(A)1(B)1(c)1(D)2（）623答案B.5．（浙江省温州市啸秋中学2018学年第一学期高三会考模拟试卷）投掷两个骰子,则两个骰子点数之和大于4的概率为A．13B．8C．7D．518126答案D.6．（浙江省温州市啸秋中学2018学年第一学期高三会考模拟试卷）某人射击一次击中的概率为3，经过3次射5击，这人起码有两次击中目标的概率为A．81B．54C．36D．271 25125125125答案A.二、填空题7.（河南省郑州市四十七中2018届高三第三次月考文）200辆汽车经过某一雷达地域，时速频次散布直方图如图所示，则时速超出60km/h的汽车数目为________。

答案76.（浙江省杭州宏高升复学校2018届高三上学期第三次月考文）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月薪资、薪金所得不超出2000元的部分不用纳税，超出2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应缴纳此项税款135元，则他的当月薪资、薪金的税后所得是元.答案3600.三、简答题全月税所得税率不超500元的部分5%超500元至2000元的部分10%超2000元至5000元的部分15%⋯⋯⋯9．（北京四中2018届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分）甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则持续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。

北京2018届高三理科数学最新模拟试卷分类汇编11：概率与统计（一）概率一、选择题1 ．（2018北京丰台二模数学理科试卷及答案）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D ．2 ．（2018届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ）A ．14B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 【答案】C3 ．（2018北京海淀二模数学理科试卷及答案）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma nD ．2na m【答案】C ．4 ．（北京市石景山区2018届高三一模数学理试卷）将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p =(m,n),q =(3,6),则向量p 与q 共线的概率为（ ）A ．13 B ．14C ．16D ．112【答案】D5 ．（北京市朝阳区2018届高三第一次综合练习理科数学）在下列命题中,①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件。

②341()2x x +的展开式中的常数项为2。

③设随机变量ξ~(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=,则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是 （ ）A ．②B ．③C ．②③D ．①③【答案】C6 ．（2018届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （ ）A ．316B ．14 C ．34D ．116【答案】A7 ．（2018北京昌平二模数学理科试卷及答案）在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】 C ．二、填空题8 ．（2018北京朝阳二模数学理科试卷）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】 112π- 三、解答题9 ．（2018北京朝阳二模数学理科试卷）为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B ”的概率。