全等三角形和等腰三角形

武汉市南湖中学八年级数学导学案专题：等腰直角三角形桂学刚一、自主探究1、如图，△ABC中，∠BAC=90゜,AB=AC，过直角顶点A作直线AP（AP与AB、AC不重合，且不垂直BC），分别过B、C作BE⊥A P于点E，CF⊥A P于点F．画出图形后思考：图中是否都含有全等的三角形？请指出来，并找出他们全等的条件？二、合作交流2、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E(1)试说明: BD=DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 为什么？在平面直角坐标系中看基本图形3、如图1，A（-2，0），B（0，4），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，过M作MN⊥x 轴于N，求OE-MN的值．三、课堂反馈4、如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（-2，-2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．四、小结归纳，谈谈你的收获。

五、课后巩固5、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C DA=90°，BE⊥AD于点E．求证：BE-CD=AE．6、等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。

八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。

证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。

共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。

初中数学等腰三角形有哪些全等性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两条边被称为腰，而第三条边被称为底边。

等腰三角形的顶角和底角也是相等的。

等腰三角形的全等性质是指两个等腰三角形在边长和角度上完全相等，即它们的对应边长和对应角度都相等。

下面我们将详细解释等腰三角形的全等性质：1. 全等边性质：如果两个等腰三角形的两条腰的边长相等，那么这两个等腰三角形是全等的。

即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B' 且AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。

2. 全等角性质：如果两个等腰三角形的顶角和底角相等，那么这两个等腰三角形是全等的。

即如果在两个等腰三角形中，∠B = ∠B' 且∠C = ∠C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。

3. 全等边角边性质：如果两个等腰三角形的一对腰的边长和对应的顶角相等，且底边长度也相等，那么这两个等腰三角形是全等的。

即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，∠B = ∠B'，AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。

4. 全等边边边性质：如果两个等腰三角形的三条边的边长都相等，那么这两个等腰三角形是全等的。

即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，那么三角形ABC 和三角形A'B'C'是全等的。

通过这些全等性质，我们可以判断两个等腰三角形是否全等，以及在已知一些边长和角度的情况下，计算出其他未知的边长和角度。

这些全等性质也为解决与等腰三角形相关的几何问题提供了依据。

在应用中，我们可以利用等腰三角形的全等性质来证明几何定理、解决几何问题，或者进行构造等腰三角形的操作。

三角形的性质和判定及等腰（边）三角形的性质和判定概念填空：全等三角形的性质：____________________________________全等三角形的判定：____________________________________1．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO ≌△NMO ，则只需测出其长度的线段是（ ）A ．POB ．PQC ．MOD ．MQ（第1题图） （第2题图） （第3题图）2.如图，已知点A ,D ,C ,F 在同一条直线上，AB =DE ,BC =EF ,要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ）A.∠BCA =∠F B . ∠B =∠EB.C .BC ∥EF D . ∠A =∠EDF3.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）A 、AB=ACB 、BD=CDB 、C 、∠B=∠CD 、∠BDA=∠CDA 4.如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）A.BD =DC ，AB =ACB.∠ADB =∠ADC ，BD =DCC.∠B =∠C ，∠BAD =∠CADD.∠B =∠C ，BD =DC5.工人师傅常用角尺平分一个任意角。

做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合。

过角尺顶点C 作射线OC 。

由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是（ ）A ．AAS B.SAS C.ASA D.SSSB6.如图，已知AB=AC，D是BC的中点，图中全等三角形有_____对全等三角形。

（第6题图）（第7题图）7、已知，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证：AB‖CD8、△ABC≌△ADE，∠EAC=60°，求∠BAD的度数。

9、如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．10、已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点.求证：BD=AE.11、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 平分∠ABC ，AF ∥DC ，连接AC ，CF.求证：(1)AF=CF ；(2)CA 平分∠DCF.（二）等腰（边）三角形的性质和判定1、若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是 。

等腰三角形和全等三角形在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

它由三条边和三个内角组成。

在三角形的各种类型中，等腰三角形和全等三角形是比较常见的。

一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

它的定义可以表示为：若三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

在等腰三角形中，还有一些特殊的性质和定理。

1. 等腰三角形的底角相等定理：在一个等腰三角形中，两个底角一定相等。

这是等腰三角形的基本性质之一。

2. 等腰三角形的高线定理：等腰三角形的高线也就是通过顶角所在定点，垂直于底边的直线。

根据等腰三角形的性质，高线还被平分为两段相等的线段。

3. 等腰三角形的内切圆和外切圆：等腰三角形的底边上的高线和底边的中点连线，会相交于等腰三角形的内切圆的圆心。

同时，等腰三角形的底边上的中线也是内切圆的切线。

此外，内切圆的半径等于等腰三角形的高线和底边中点连线的长度。

二、全等三角形全等三角形是指具有完全相等的三个角和三个边的三角形。

两个三角形完全相等时，它们的对应边、对应角都相等。

全等三角形有以下的特点和定理：1. 角对应定理：两个三角形中，如果三个角两两相等，那么这两个三角形就是全等的。

2. 边对应定理：两个三角形中，如果其中两条边和夹角完全相等，那么这两个三角形就是全等的。

3. 全等三角形的性质：(1) 两个全等三角形的各边对应相等。

(2) 两个全等三角形的面积相等。

(3) 两个全等三角形的高线、中线相等。

结论：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，全等三角形是指具有完全相等的三个角和三个边的三角形。

等腰三角形和全等三角形具有各自的特点和性质，通过理解和应用这些性质，我们可以更好地解题和推导其他几何图形的性质。

在实际应用中，等腰三角形和全等三角形常常在建筑、工程测量、设计和解决实际问题时发挥作用。

对于学习者而言，了解这些基本概念和原理能够帮助加深对几何学的理解和应用。

总之，等腰三角形和全等三角形是几何学中重要的概念和形状，它们的特点和性质在数学学科中具有广泛的应用。

尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、 掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程2、 巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力3、 掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想． 教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、 选择题(1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）(2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以表示为( )A.(0，3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，0)(3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限(4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A.经过原点B.平行于y 轴C.平行于x 轴D.以上说法都不对(5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（ ）个公共点A ．0B ．1C ．2D ．3(6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C '，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标是A ．)3,2(--b aB ．)3,2(--b aC ．)2,3(++b aD ．)3,2(++b a2、填空题(1) 在平面直角坐标系中，点P)1,1(2+-m 一定在第 象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标为 ． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ．(4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________．A B C3、在所给的图中按所给的语句画图:①连结线段BD; A②过A、C画直线AC；③延长线段AB；④反向延长线段AD． C DE4、如图，使用圆规和直尺分别画出∠AOB和∠BOC的角平分线OM和ON，并说明作图过程．如果∠MON=68º，那么∠AOC应为多少度？5、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．6、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。

全等三角形中等腰、等边三角形问题【经典例题】例1．已知：如图1-1、图1-2、图1-3中，△ABC ，△BDE 为等边三角形。

求证：AD=CE 。

图1-1 图1-2 图1-3练习1．已知：△BDE 为等边三角形，∠1=∠2，AD=CE 。

求证：△ABC 为等边三角形。

例2．已知：△ABC ，△BDE 为等边三角形，C 、B 、D 三点共线。

求证：（1）AD=EC ；（2）BP=BQ ；（3）△BPQABCDDED练习2．已知：△ABC ，△BDE 为等边三角形，A 、B 、E 三点共线。

MN 为AD 、CE 的中点。

求证：△BMN 为等边三角形。

例3．已知：△ABC ，△BDE 为等边三角形，A 、D 、E 共线。

求证：AE ＝BE ＋EC 。

例4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°CD=BD ，CM ⊥AD 。

求证：∠1=∠2。

练习4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM ⊥AD 。

CDAMD B GC21 AMDBG C 2 1例5．已知：△ABC 为等边三角形，AE=BD 。

求证：EC=DE 。

例6．已知：∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°－12∠BDC 。

求证：△ABC 是等腰三角形。

例7．已知：四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°。

求证：AC=BC ＋CD.例8．已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，延长AB 至D ，使AD=BC ，求∠BCD 的度数。

AB CDADADCC本课作业1．若三角形的三个内角A，B，C的关系满足A>3B，C<2B，那么这个三角形是（）。

（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）不等边的锐角三角形2．若△ABC的三边长是22444,,,cbcbacba-+=且满足，22444caacb-+=，22444babac-+=，则△ABC是（）。

初二数学等腰三角形 altitude性质初二数学等腰三角形的altitude性质等腰三角形是初中数学中一个基础的几何形状，其中最重要的性质之一是等腰三角形的altitude性质。

利用等腰三角形的altitude性质，我们可以解决许多与等腰三角形相关的问题。

本文将就初二数学等腰三角形的altitude性质进行探究。

一、等腰三角形的定义和性质回顾首先，我们来回顾一下等腰三角形的定义和性质。

等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出如下结论：1. 等腰三角形的底边（即两边长度不相等的边）上的两个底角是相等的。

2. 等腰三角形的底边的中线和高线重合。

现在我们来详细讨论等腰三角形的altitude性质。

二、等腰三角形的altitude性质等腰三角形的altitude是指从顶点到底边上某一点的垂线。

根据等腰三角形的altitude性质，我们可以得出以下重要结论：1. 等腰三角形的两条altitude相等。

证明：设等腰三角形的顶点为A，底边上的某一点为P，垂线交底边于点Q和R。

由于三角形APQ和APR的两个直角边相等（AQ = AR），所以根据直角三角形的唯一性可知，这两个三角形必定是全等三角形。

由全等三角形的性质可知，相应的部分也必定相等。

因此，AQ = AR，即等腰三角形的两条altitude相等。

2. 等腰三角形的altitude与底边的垂线重合。

证明：设等腰三角形的顶点为A，底边上的某一点为P，垂线交底边于点Q。

根据等腰三角形的定义和性质可知，三角形APQ和APR是全等三角形。

由于在全等三角形中，对应的边和角相等，所以∠AQP = ∠ARP = 90度。

这说明altitude和底边的垂线是重合的。

三、利用等腰三角形的altitude性质解题利用等腰三角形的altitude性质，我们可以解决许多与等腰三角形相关的问题。

下面通过一个例题来展示如何应用这一性质：例题：在等腰三角形ABC中，AB = AC，垂线AM交BC于点M。