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第7讲 牛吃草问题【内容概述】牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度。
牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率。
下面给出几例牛吃草及其相关问题。
【典型问题】【1】草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？（这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”。
）【分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草，所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草，即相当于给出15头牛专门吃新长出的草，于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要12×6÷6=12（周），于是2l 头牛需吃12周。
【评注】我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了。
【一般方法】先求出变化的草相当于多少头牛来吃：（甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙）÷（时间甲-时间乙）； 再进行如下运算：（甲牛头数-变化草相当头数）×时问甲÷（丙牛头数-变化草相当头数）=时间丙。
或者：（甲牛头数-变化草相当头数）×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数。
【2】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚而且长得一样快。
第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。
问：第三块草地可供50头牛吃几周？【分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个（2公顷+2公顷周长的草），36×12=432头牛吃一周吃4个（2公顷+2公顷12周长的草），于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草，432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草，所以108-72=36头牛一周吃2公顷12-6=6周长的草，即36÷6=6头牛1周吃2公顷1周长的草。
整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？例1图【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？【例4】按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
华罗庚学校数学课本（6年级下册）第07讲整数的分拆第七讲整数的分拆整数分拆是数论中⼀个既古⽼⼜活跃的问题.把⾃然数n分成为不计顺序的若⼲个⾃然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的⼀种表⽰法，叫做n的⼀种分拆.对被加项及项数m加以⼀些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不⼩于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下⾯我们通过⼀些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.⼀、整数分拆中的计数问题例1有多少种⽅法可以把6表⽰为若⼲个⾃然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成⼀个⾃然数之和只有1种⽅式；②把6分拆成两个⾃然数之和有3种⽅式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个⾃然数之和有3种⽅式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个⾃然数之和有2种⽅式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个⾃然数之和只有1种⽅式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个⾃然数之和只有1种⽅式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若⼲个⾃然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的⽅法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为⽆限制分拆，它是⼀类重要的分拆.例2有多少种⽅法可以把1994表⽰为两个⾃然数之和？解法1：采⽤有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，⼀共有997种⽅法可以把1994写成两个⾃然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定⼀个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆⽅式.说明：应⽤本例的解法，可以得到⼀般性结论：把⾃然数n≥2表⽰为两个⾃然数之和，⼀共有k种不同的⽅式，其中例3有多少种⽅法可以把100表⽰为（有顺序的）3个⾃然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表⽰法）分析本题仍可运⽤例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法.因此，把100表⽰为3个⾃然数之和有种不同的⽅式.说明：本例可以推⼴为⼀般性结论：“把⾃然数n≥3表⽰为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4⽤1分、2分和5分的硬币凑成⼀元钱，共有多少种不同的凑法？（第⼆届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请赛决赛第⼆试第4题）分析⽤1分、2分和5分硬币凑成⼀元钱与⽤2分和5分硬币凑成不超过⼀元钱的凑法数是⼀样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过⼀元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有⼀种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元⼀次不定⽅程x+2y+5z=100的⾮负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.⼆、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最⼤值或最⼩值的问题.例5试把14分拆为两个⾃然数之和，使它们的乘积最⼤.解：由例2可知，把14分拆成两个⾃然数之和，共有7种不同的⽅式.对每⼀种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最⼤.说明：本例可以推⼴为⼀般性结论：“把⾃然数n≥2分拆为两个⾃然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最⼤值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是⼀个⾃然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），⽽有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最⼤的.这样，例6试把14分拆为3个⾃然数之和，使它们的乘积最⼤.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最⼤的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最⼤值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b×c=5×5×4＝100为最⼤值.说明：本题可以推⼴为⼀般结论：把⾃然数n≥3分拆为3个⾃然数a、下⾯我们再研究⼀个难度更⼤的拆数问题.问题：给定⼀个⾃然数N，把它拆成若⼲个⾃然数的和，使它们的积最⼤.这个问题与前⾯研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成⼏个⾃然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧⾛实验-观察-归纳结论这条路.先选择较⼩的⾃然数5开始实验.并把数据列表以便⽐较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最⼤.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进⾏的.再注意，当被拆数n＞3时（这⾥n=5），为了使拆分数的乘积最⼤，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最⼤.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和⽽不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最⼤.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最⼤.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最⼤.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最⼤，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①⾃然数=（若⼲个3的和）；②⾃然数=（若⼲个3的和）+2；③⾃然数=（若⼲个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把⼀个⾃然数N拆分成若⼲个⾃然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最⼤.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最⼤.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最⼤.∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最⼤.我们以上采⽤的“实验-观察-归纳总结”⽅法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，⽽在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是⼈们寻找公式的重要⽅法之⼀.但是这种⽅法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这⼀步⼯作要等到学习了中学的课程才能进⾏.习题七1.两个⼗位数1111111111和9999999999的乘积中有⼏个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长⽅形中，⾯积最⼤的长⽅形的长和宽各是多少？5.⽤6⽶长的篱笆材料在围墙⾓修建如下图所⽰的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的⾯积最⼤？6.把17、18两个⾃然数拆成若⼲个⾃然数的和，并分别求这些分拆的⾃然数的乘积的最⼤值.DAAN习题七解答1.解：1111111111×9999999999因此，这两个⼗位数的乘积中有10个数字是奇数.2.1.3.33330000.4.长为5，宽为4.5.当鸡圈的长=宽=3⽶时，鸡圈的⾯积最⼤.6.17分拆成3＋3＋3＋3＋3＋2时，其乘积最⼤，最⼤值是35×2=486. 18分拆成6个3的和时，其积最⼤，最⼤值是36=729.。
整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？整数分拆之分类与计数例1图巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？【例4】按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
第40讲解不定方程讲义知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：{x＝2.4y＝1，{x＝2.7y＝1.5，{x＝3y＝2，{x＝3.06y＝2.1，{x＝3.6y＝3，……如果限定x，y的解是小于5的正整数，那么解就只有{x＝3y＝2，这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一要将原方程适当变形，把其中的一个末知数用另一个未知数来表示，然后在一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数前面系数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解。
解答应用题时，要根题中的限制条件(有时是明显的，有时是隐蔽的)取道当的值。
例1、求3x＋4y＝23的正整数解。
练习：1.求3x＋2y＝25的正整数解。
2、求4x＋5y＝37的正整数解。
3、求5x－3y＝16的最小正整数解例2、求下面方程组的正整数解{5x＋7y＋3z＝25 x－y－6z＝2。
练习：求下面方程组的正整数解。
1.{4x＋3y－2z＝73x＋2y＋4z＝21， 2.{7x＋9y＋11z＝685x＋7y＋9z＝52， 3.{5x＋7y＋4z＝263x－y－6x＝2例3、一个商人将子弹放进两种盒子里，每个大盒子装12发，每个小盒子装5发，恰好装完。
如果子弹数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个?练习：1、某校六(1)班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只?(大、小船都有)2、甲种铅笔7角钱一支，乙种铅笔3角钱一支，小华用6元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几支?3、小华和小强各用6元4角买了若干支铅笔，他们买的铅笔中都是5角一支和7角一支的两种，而且小华买的铅笔比小强买的铅笔多，小华比小强多买铅笔多少支?例4、买三种水果30千克，共用去80元。
小学数学六年级奥数精讲整数分拆1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P．3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数．如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2m－1个奇约数．6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆．2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少．选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天．3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。
A1.7x+4y=34A2.3x+5y=19A3.8x+5y=75A4.6x+7y=90A5.4x+9y=64A6.2x+5y=26A7.240x+150y=108024x+15y=108A8. 750x+420y=435075x+42y=435A9.170x+340y=282017x+34y=282A10.320x+560y=2320 32x+56y=232B1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?B2．小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．求小华比小强多买铅笔多少支?B3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?B4．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。
画片只有两种：3分一张和5分一张．每人都尽量多买5分一张的画片． 问他们所买的3分画片的总数是多少张?2B5。
小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?B6．马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获薪金7620元．问他在甲公司打工多少个月?在乙公司兼职多少个月?B7．有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克，现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克，那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?B8．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2．，蓝球上标有数从3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?B9．某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱(用电按整度计算)．问甲、乙两家各交了多少电费?B10．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?C1．设A和B都是自然数，并且满足11A+3B=3317，那么，A十B等于多少?C2．在分母小于15的最简分数中，比52大，并且最接近52的是哪一个?C3．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?C4．在一次植树活动中，两个小组植树总数相同，均为一百多棵，已知两组人数不等，第一组有1人植了6棵，其他人每人植了13棵．第二组有1人植了5棵，其他人每人都植了10棵．问这两个小组共有多少人?C5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有31的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?C6．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1． C7．篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数．C8．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?C9．某居民要装修房屋，买来长0．7米和0．8米的两种木条各若干根． 如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：0．7+0．7＝1．4米，0．7 +0．8＝1.5米．那么在3．6米、3．8米、3．4米、3．9米、3．7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?C10．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?用完，那么红笔的单价是多少元?C12．一个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每90千米休息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次；他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同，问这个休息地点距甲地多少千米?4。
六年级奥数不定方程与整数分拆讲座不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题].解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③包括1、2、3题④②①包括4、5题③包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为有即，亦即．，因此只能为0的整数，且不能为9到0注意到和都是1、2、3或4，相应地的取值为2、4、6、8．综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．．设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少?【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支．有7+3=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模：得=2，所以可以取2，此时取12；还可以取2+3=5，此时取5；即、,对应为14、10所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，列方程如下：由得③注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部分的管子最少是2厘米．．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工3-人，那么有=216，化简为=216，即=72．有.但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足．那么男职工数只能为12名．一居民要装修房屋，买来长0.7米和o.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：o.7+o.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别，根，则0.7+0.8=3.46，…即7+8=34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有≡6，l，2，3，4，于是最小分别取6,1,3，4．但是当取6时，8×6=48超过34，无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平．信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．有三堆砝码，堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7克重．设3克的砝码个，5克的砝码个，则．当=0时，有，无自然数解；当=1时，有，有=2，=1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．当>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．0．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】设B、c、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、则有=60．=310，显然只能取0，1，2．Ⅰ有=310，其中d可取0，1，2，3，4．当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得：≡4，于是最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然数．所以d=0时。
整数分拆与不定方程【内容概述】整数分拆：就是把一个自然数表示为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，及时自然数的一个分拆。
不定方程：含有未知数的等式叫做方程，对一个方程而言，若未知数的个数超过一个，统称为不定方程。
整数的分拆：例1 电视台要播出一部30集的电视连续剧，若要每天安排的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？例2 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？例3 试把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
例4 把14分拆成若干个自然数之和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积应该是多少？例5 将35拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？例6 396拆成若干个连续自然数和的形式，试问有多少种不同的方法？例7 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？例8 用6米长的篱笆材料靠墙修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？不定方程：例1 已知61375=+y x ，请你写出一组整数解。
例2 已知21346=+y x ，请你写出一组整数解。
例3 已知5494563=+y x ，请你写出一组整数解。
例4 求解不定方程5494563=+y x 的解（至少5组）。
运用：例5 中华牌2B 铅笔7角钱一支，2H 铅笔3角钱一支。
高莎莎用5元钱恰好可以买两种铅笔共多少支？例6 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，一天里共吃了722个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚？练习：1.将2006分拆成8个自然数和的形式，使其乘积最大。
2.将1976分拆成若干个正整数之和，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
3.将16分拆成若干个整数和的形式，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个3的和）；②自然数=（若干个3的和）+2；③自然数=（若干个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。
六年级奥数整数的裂项与拆分六年级奥数整数的裂项与拆分若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去.再把盒子重排了一下.小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子.问：一共有多少只盒子?分析：设原来小球数最少的`盒子里装有a只小球，现在增加了b 只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球.类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.所以将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数，据此解答.解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球.类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.将42分拆成若干个连续整数的和，因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数;又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数;又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数.所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.答：一共有7只、4只或3只盒子.。
六年级奥数整取问题讲座
整取问题
内容概述
有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．我们规定[]表示不超过的最大整数，{}=-[]，即为的小数或真分数部分．
如[3.14]=3，{3.14}=0.14，
显然有{x}1，不满足；
当[]=6时，有6{}+6+{}=2{}+10；则5{}=4，{}=；
当[]=7时，有7{}+7+{}=2{}+10；则6{x}=3，{}=；
当[]=8时，有8{}+8+{}=2{}+10；则7{}=2，{}=；
当[]=9时，有9{}+9+{}=2{}+10；则8{}=1，{}=；
当[]=10时，有10{}+10+{}=2{}+10；则9{}=0，{}=0．所以有=6，7，8，9，10．
．满足=546．求[100]的值?
【分析与解】显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[]或[+1]，这是因为：、、…、均小于l，
又由于73×7<546<73×8，为使和数为546，则[]=7，
则设有个[+]值为7，于是，7×+8×=546,
解得=38．
所以有38项整数部分为7．
即：+<8，即+<8．
+≥8，即+≥8
于是，100[+]<8×100．
00+56<800，100<744；100+57≥800，100≥743．于是，[100]=743。
北师大二附中培训中心思维班讲义第二讲 不定方程（组）及应用（教师版）我们知道在方程或方程组中，如果未知数的个数多于方程的个数时，那么它的解往往是不确定的，这类方程或方程组称为不定方程或不定方程组。
一般地，求不定方程的解是指求满足这个方程的正整数解，其正整数解可能有无穷多个，或仅有一个，或无正整数解。
前面我们已经学习了二元不定方程的解法，本节在更深入地介绍不定方程的解法的同时，学习三元不定方程组的解法及应用。
例1 求方程2725=+y x 的正整数解。
因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 例2 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
解：331733113=+B A 3A+11B=17，因为A 、B 为正整数，所以A=2，B=1，A+B=3例3 如果在分数4328的分子、分母上分别加上自然数a ，b ，所得结果为127，那么 b a +的最小值是多少? 解：因为1274328=++b a 化简得：7b －12a =35，因为7b 、35均为7的倍数，所以a 为7的倍数，a =0，7，14……，b=5，17……a+b 最小值为5（a=0，b=5时）例4 求方程组⎩⎨⎧=++=++3675352975z y x z y x 的正整数解。
方程②×5－方程①×3，得y+2z=6因为x 、y 、z 均为正整数，所以z<3，即z=1或z=2⎪⎩⎪⎨⎧===341x y z 或⎪⎩⎪⎨⎧===422x y z例5 长方形长，宽为整数，周长数值和面积数值相等，求其长和宽.设长方形长为x ，宽为y ，则2x+2y=xy ，两边同时除以2xy ， 得2111=+x y ，因为x 、y 均为整数，所以x=1，x=2时，y 不存在 所以⎩⎨⎧==63y x ，⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧==36y x例6 已知2A ，3B ，4C 是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上A ，分母不变， 所得三个新分数的和为613，求C 等于多少? 解：因为2A 是真分数，所以A=1 6134131211=+++++CB ，化简得4B+3C=7，因为3B ，4C 均为真分数， 所以B=1，C=1例7 甲班有42名学生，乙班有48名学生。
六年级奥数不定方程与整数分拆讲座不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题].解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③包括1、2、3题④②①包括4、5题③包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为有即，亦即．注意到和都是0到9的整数，且不能为0，因此只能为1、2、3或4，相应地的取值为2、4、6、8．综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．．设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少?【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支．有7+3=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模：得=2，所以可以取2，此时取12；还可以取2+3=5，此时取5；即、,对应为14、10所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b张、c张和d张，列方程如下：由得③注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部分的管子最少是2厘米．．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工3-人，那么有=216，化简为=216，即=72．有.但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足．那么男职工数只能为12名．一居民要装修房屋，买来长0.7米和o.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：o.7+o.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别，根，则0.7+0.8=3.46，…即7+8=34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有≡6，l，2，3，4，于是最小分别取6,1,3，4．但是当取6时，8×6=48超过34，无法取值．所以 3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．有三堆砝码，堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7克重．设3克的砝码个，5克的砝码个，则．当=0时，有，无自然数解；当=1时，有，有=2，=1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．当>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．0．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】设B、c、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、则有=60．=310，显然只能取0，1，2．Ⅰ有=310，其中d可取0，1，2，3，4．当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得：≡4，于是最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然数．所以d=0时。
不满足；有=233，将系数，常数对6取模得：≡5,于是最小,那么有18b=233-43×5=18,；有=156，将系数，常数对6取模得：≡o，于是最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2时，不满足；有=79，将系数、常数对6取模得：≡1，于是最小那么有18b=79—43=36．当d=4时，有=2，显然不满足．Ⅱ有=190，其中d可以取0、1、2．有=190，将系数、常数对6取模有：≡4，于是最小那么有18b=190-43×4=18,当d=1时，有=113，将系数、常数对6取模有：≡5，于是最小取5，即18+215=113，显然d=1时，不满足；有=36,显然有时Ⅲ有=70，只能取0，有=70，将系数、常数对6取模有：≡4，于是最小取4，那么有18+172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法．1．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?【分析与解】钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买10×9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张．．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．【分析与解】个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．3．将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?【分析与解】首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50．所以，其中一定可以有某几个质数相等．欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31．又有，所以满足条件的最大质数为31．最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．0÷7=8……4，，而4=2+2，恰好有．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?【分析与解】注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即；；；；…；；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分， (48)和49分这49种情况．分和3分的币值显然不能构成．分，4分，6分，…，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．分，7分，9分，…，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，…46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分．．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒K12学习教育头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?K12学习教育。
