第四章 动量定理

动量定理1. 引言动量定理是物理学中的一个基本定理，它描述了物体在受到外力作用下的运动规律。

动量定理是牛顿力学的核心原理之一，对于研究物体的运动行为具有重要意义。

本文将详细介绍动量定理的概念、公式及其应用。

2. 动量的定义动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。

动量的定义如下：动量=质量×速度动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s），在国际单位制中通常用字母 p 表示。

3. 动量定理的表述动量定理描述了物体在受到外力作用下的运动规律。

根据动量定理，物体的动量变化率等于作用在物体上的外力的大小和方向。

动量定理的数学表达式如下：力=Δ动量Δ时间或者用微分形式表示为：力=d动量dt其中，力的单位是牛顿（N），时间的单位是秒（s）。

4. 动量定理的推导动量定理可以通过牛顿第二定律推导得到。

根据牛顿第二定律，物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。

将牛顿第二定律的公式改写为动量的形式，可以得到动量定理的推导过程。

设物体的质量为 m，速度为 v，加速度为 a。

根据牛顿第二定律，有：合外力=m×a根据动量的定义，有：动量=m×v将上述两个式子联立，并利用加速度的定义a=dvdt，可以得到：合外力=d(动量)dt即动量定理的微分形式。

如果考虑到时间的有限变化，可以得到动量定理的差分形式：合外力=Δ动量Δ时间5. 动量定理的应用动量定理在物理学中有广泛的应用，包括以下几个方面：5.1. 碰撞碰撞是动量定理的重要应用之一。

根据动量定理，碰撞前后物体的总动量守恒。

在完全弹性碰撞中，物体之间发生碰撞后，动量守恒的同时，动能也守恒。

在完全非弹性碰撞中，物体之间发生碰撞后，动量守恒，但动能不守恒。

5.2. 炮弹射击炮弹射击是动量定理的另一个重要应用。

当炮弹发射出去时，受到推进力的作用，速度逐渐增大。

根据动量定理，炮弹的动量变化等于推进力的大小和方向。

通过控制推进力的大小和方向，可以控制炮弹的运动轨迹和速度。

第四章动量定理与动量守恒定律第四章动量定理与动量守恒定律基本内容本章重点是掌握动量、冲量概念及其物理规律，并掌握这些规律的应⽤条件和⽅法。

本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性⼒学问题的分析求解。

教学⽬的1. 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的⼒学问题。

2. 掌握运⽤守恒定律分析问题的思想和⽅法，能分析简单系统在平⾯内运动的⼒学问题。

3 理解质⼼的概念和质⼼运动定律。

4-1 质点和质点系的动量定理⼀、冲量质点的动量定理动量是描写物体机械运动状态的物理量。

在⽇常⽣活中,⼈们站在树下,抬头看见⼀⽚树叶落下即将砸到头顶,⼀定会满不在乎地敢于承当,⽽看到⼀颗⽯⼦飞来,⼀定会望⽽⽣畏地急忙躲开。

⼤家也知道,即使在钉⼦上⾯放上⼀个质量很⼤的物体,也很难把钉⼦压进⽊头⾥去。

可是,挥动⼩榔头敲钉⼦,就⽐较容易把钉⼦打进去。

这些现象都与动量概念有关。

可见，动量是描述⼀定运动状态下物体“运动量”的概念，⽐速度更能全⾯、确切地反映物体的运动状态，为状态量。

⽜顿在所著的<<⾃然哲学的数学原理>>⼀书中,把动量定义为质点的质量m 和其速度v 的乘积,即(1)它是⼀个⽮量，其⼤⼩为|m v |=mv ，⽅向为速度的⽅向。

在国际单位制中，动量的单位是千克⽶/秒。

符号是。

由⽜顿第⼆定律tm t d )(d d d v p F ==得)(d d d v p F m t ==上式的积分为1212 d )(21v v p p F m m t t t t-=-=? （4-1）式中1v 和1P 是质点在时刻1t 的速度和动量，2v 和2P 是质点在时刻2t 的速度和动量。

tF 为⼒对时间的积分，称为⼒的冲量，⽤符号I 表⽰。

式（3-1）的物理意义是：在给定时间间隔内，外⼒作⽤在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。

这就是质点的动量定理。

式（3-1）是质点动量定理的⽮量表达式，在直⾓坐标系中，其分量式为-==-==-==z z y x 2x x 12 12 1 d d d 212121mv mv t F I mv y mv t F I mv mv t F I z t t z y t t y t t x （4-2）动量定理在碰撞、打击等情形中特别有⽤．两物体碰撞时互相作⽤的⼒称为冲⼒．冲⼒的特点是作⽤时间极短，⽽⼒的⼤⼩变化则极⼤，这就是所谓⼒的脉冲。

高三一轮复习学案 编号：42 日期：2017.10.27动量定理知识点一、动量1．定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p 来表示。

2．表达式：p ＝mv 。

3．单位：kg·m/s 。

4．标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同。

5．动量、动能的关联方程：E k ＝p 22m ，E k ＝12pv ，p ＝2mE k ，p ＝2E kv知识点二、冲量1．定义：力和力的作用时间的乘积叫做这个力的冲量。

2．公式：I ＝Ft 。

3．单位：冲量的单位是牛·秒，符号是N·s 。

4．方向：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同。

5．冲量和功的区别(1)冲量和功都是过程量。

冲量是表示力对时间的积累作用，功表示力对位移的积累作用。

(2)冲量是矢量，功是标量。

(3)力作用的冲量不为零时，力做的功可能为零；力做的功不为零时，力的冲量一定不为零。

知识点三、冲量和动量的比较【问题情境1】如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN 是它在竖直方向上的直径。

两根光滑滑轨MP 、QN 的端点都在圆周上，MP ＞QN 。

将两个完全相同的小滑块a 、b 分别从M 、Q 点无初速度释放，在它们各自沿MP 、QN 运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是( )A ．合力对两滑块的冲量大小相同B ．重力对a 滑块的冲量较大C ．弹力对a 滑块的冲量较小D ．两滑块的动量变化大小相同 【训练题组1】1．带电粒子a 、b 在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，它们的动量大小相等，a 运动的半径大于b 运动的半径。

若a 、b 的电荷量分别为q a 、q b ，质量分别为m a 、m b ，周期分别为T a 、T b 。

则一定有( )A ．q a ＜q bB ．m a ＜m bC ．T a ＜T bD.q a m a ＜q bm b2．质量为0.2 kg 的球竖直向下以6 m/s 的速度落至水平地面，再以4 m/s 的速度反向弹回。

动量定理的内容动量定理反应的是力在时间维度上的积累效果。

（1）基本概念描述：物体所受合外力的冲量，等于物体的动量变化量。

即F合t=I=Δp；（2）我们还可以这样来表述：对作用在物体上的各个力的冲量的代数和，等于动量的改变量。

在外力不恒定，或者各个力作用时间不同时，优先选择后者。

提醒：动量与冲量都是矢量，是有方向的，因此在解题时首先要规定好正方向。

动量定理的表达式基本表达式：F合t=I=Δp；当存在多个力做冲量时，我们还可以写成分力冲量代数和的形式：F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp动量定理的实际应用通过上文总动量定理的表达式分析，我们知道F合t=I=Δp，如果动量的变化量Δp相同时，时间t越大，合外力就越小。

我们汽车上用的安全气囊就是利用这一原理制作的。

如图所示，当汽车出现事故，比如高速行驶时意外撞到一棵大树上时，安全气囊就能帮助我们增加力的作用时间。

发生事故时，人的动量mv是非常大的，如果没有安全气囊来增加力的作用时间，人就会瞬间动量减少到零，根据动量定理可知，合外力（方向盘或其他物体对人的作用力）就会特别大。

类似的问题，在我们学校也有，那就是跳远的沙坑。

同学们借助下图想一想，为什么是跳沙坑，而不是直接跳到水泥地上？在看电影或电视剧的时候，我们总能看到这样的镜头，主人公从悬崖上跳海，总是死不了。

这是为啥呢？没有那个导演弱智到这个程度，敢排这样的场景：某人从悬崖上跳到岩石上，却没死。

这些，都是日常生活总动量定理的运用。

动量定理的表达式推广当存在多个力做冲量时，动量定理的表达式，我们还可以写成分力冲量代数和的形式：F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp这与动能定理的非常类似的。

动量定理的推导过程（1）匀变速直线运动过程中动量定理的推导过程物体做匀变速直线运动，则F合=ma；匀变速直线运动公式：v=v0+at；两边都乘以m，略作变形，有mv-mv0=mat；即，F合t=mat=I=mv-mv0=Δp；这就是动量定理的推导过程（2）非标准运动过程中动量定理的推导过程非标准运动过程中的动量定理的推导算是一个作业，同学们课下自己推导下。

动量定理定义动量定理是力学中的基本定理之一，它描述了物体的动量与作用力之间的关系。

根据动量定理，当一个物体受到外力作用时，它的动量将发生变化，而这个变化的大小等于作用力的大小乘以作用时间。

动量是描述物体运动状态的物理量，它定义为物体的质量乘以其速度。

动量的大小与物体的质量和速度成正比，如果质量或速度增大，动量也会增大。

动量的方向与物体的运动方向一致。

根据动量定理，当一个物体受到外力作用时，它的动量会发生变化。

动量的变化率等于作用力的大小乘以作用时间。

换句话说，物体的动量变化等于作用力对物体施加的冲量，即力在时间上的积分。

动量定理可以用数学表达式来表示，公式为：Δp = F · Δt其中，Δp表示动量的变化量，F表示作用力，Δt表示作用时间。

动量定理的应用非常广泛。

在运动学中，我们可以利用动量定理来描述物体在外力作用下的运动规律。

在动力学中，动量定理可以用来研究物体间的碰撞和反弹等问题。

在工程领域，动量定理可以应用于设计和优化运输工具、机械设备等。

动量定理也有一些重要的推论。

根据动量定理，如果作用力为零，物体的动量将保持不变。

这就是著名的动量守恒定律。

根据动量守恒定律，当物体间不存在外力作用时，它们的总动量保持不变。

这个定律在碰撞问题的研究中非常有用。

动量定理的应用可以帮助我们理解和解决很多实际问题。

比如，我们可以利用动量定理来分析交通事故中的力的大小和方向，从而判断事故的严重程度。

我们也可以利用动量定理来设计更安全和高效的运输工具，提高运输效率。

总结一下，动量定理是力学中的基本定理之一，描述了物体的动量与作用力之间的关系。

根据动量定理，物体受到外力作用时，它的动量将发生变化，而这个变化的大小等于作用力的大小乘以作用时间。

动量定理的应用非常广泛，可以帮助我们研究物体的运动规律、解决实际问题和设计更优化的工程设备。

第四章 冲量和动量习题解答4-1用棒打击质量为0.3kg 、速度为20m/s 水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度。

求棒给予球的冲量。

设球与棒的接触时间为0.2s ，球受到的平均冲力多大？解：按动量定理，棒给球的冲量等于球的动量的增量，即0V m m t -=∆⋅= 由图中可见棒给球的冲量大小为[][][][]35=∴==⨯⨯==⋅=⨯⨯+⨯=+=+=∆⋅=αα 7.020/1420/108.92/)(3.7108.92203.02)()(21022120212202mv mv tg S N ghv m mv mv t I v球受的平均冲力为 )(36502.0/3.7/N t I ==∆=4-2一质量为m 的子弹，水平地穿过摆锤或速度由v 减为V/2。

摆的质量为M ，摆线的长度为L ，如果摆锤能在铅直平面内完成一个完全的圆周运动，子弹速度的最小值应为多少？解：子弹与摆锤碰撞过程动量守恒，有：mg/2M V 2/=∴+=MV mv mv摆锤获得速度V 后摆动过程机械能守恒有： MgI M MV rEV 2212122+= 在顶点处有：I M T Mg R v /2=+T=0为摆能完成圆周运动的最小速度条件，即：gI MgI MgI gI V Rv 5m2MV 221 ,2=∴+∴= 4-3两辆质量相等的汽车在十字路口迎面相撞，相撞后二者扣在一起又沿直线滑动了S=18m 才停下来。

设滑动时路面与车轮之间的摩擦系数为0.80=μ，撞后两个司机都声名在撞车前集资的车速未限制（14m/s ）。

他们的话都可信吗？解：两车速率差V ∆,撞后两车总动量V m ∆2由功能原理mgs v m μ=∆⨯2221s m gs V /8.16188.980.022=⨯⨯⨯==∆μ 车速差大于14m/s,必有一辆车速大于14m/s 。

4-4三个物体A 、B 、C 每个质量都是M ，B 、C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者间有一段长为L 的细绳，原先放松着，B 的另一侧用一跨过桌边的定滑轮的细绳与A 相连。

动量定理
（1）内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化.
表达式：Ft=mv′－mv=p′－p,或Ft=△p
动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力.它可以是恒力,也可以是变力.当合外力为变力时,F是合外力对作用时间的平均值.p为物体初动量,p′为物体末动量,t为合外力的作用时间.
（2）F△t=△mv是矢量式.在应用动量定理时,应该遵循矢量运算的平行四边表法则,也可以采用正交分解法,把矢量运算转化为标量运算.假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的分量.（或）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量,则
Fx△t=mvx－mvx0
Fy△t=mvy－mvy0
上述两式表明,合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量.在写动量定理的分量方程式时,对于已知量,凡是与坐标轴正方向同向者取正值,凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对于未知量,一般先假设为正方向,若计算结果为正值.说明实际方向与坐标轴正方向一致,若计算结果为负值,说明实际方向与坐标轴正方向相反.。

高考第一轮复习----动量第四章动量一.动量和冲量1.动量按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。

⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向打算（不能说和力的方向相同）。

假如力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。

⑶高中阶段只要求会用1.动量定理物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。

既例2. 以初速度1.动量守恒定律一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

即：2.动量守恒定律成立的条件⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽视不计；⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。

⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。

3.动量守恒定律的表达形式除了，即4.动量守恒定律的重要意义从现代物理学的理论高度来熟悉，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。

（另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。

）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发觉动量守恒定律有任何例外。

相反，每当在试验中观看到好像是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最终总是以有新的发觉而成功告终。

例如静止的原子核发生β衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应当沿电子的反方向运动。

但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上。

为解释这一反常现象，1930年泡利提出了中微子假说。

由于中微子既不带电又几乎无质量，在试验中极难测量，直到1956年人们才首次证明白中微子的存在。

（2000年高考综合题23 ②就是依据这一历史事实设计的）。

又如人们发觉，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量好像也是不守恒的。

这时物理学家把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。

四、动量守恒定律的应用1.碰撞Ⅰ Ⅱ Ⅲ⑶弹簧完全没有弹性。

Ⅰ→Ⅱ系统动能削减全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前、碰后两个物体的位置关系（不穿越）和速度大小应保证其挨次合理。

《动量定理》讲义一、什么是动量定理在物理学中，动量定理是一个非常重要的概念。

那到底什么是动量定理呢？动量，简单来说，就是物体的质量与速度的乘积。

用公式表示就是：p ＝ mv，其中 p 表示动量，m 是物体的质量，v 是物体的速度。

而动量定理则描述了合外力的冲量等于物体动量的变化量。

用公式表示为：I ＝Δp，这里的I 代表合外力的冲量，Δp 则是动量的变化量。

为了更好地理解这个定理，我们先来看看冲量的概念。

冲量等于力与作用时间的乘积，即 I ＝ Ft。

举个简单的例子，一个足球运动员用力踢球，在踢球的短暂时间内，脚对球施加的力和作用时间的乘积就是冲量，这个冲量会使足球的动量发生变化，比如速度更快或者改变方向。

二、动量定理的推导我们从牛顿第二定律开始推导动量定理。

牛顿第二定律告诉我们：F ＝ ma ，其中 F 是合外力，m 是质量，a 是加速度。

加速度的定义是速度的变化率，即 a ＝（v u) ／ t ，这里的 u 是初速度，v 是末速度，t 是速度变化所用的时间。

将 a ＝（v u) ／ t 代入 F ＝ ma 中，得到：F ＝ m(v u) ／ t 。

两边同时乘以 t ，就得到：Ft ＝ mv mu 。

而 mv mu 就是动量的变化量Δp ，Ft 就是冲量 I ，所以就得到了动量定理 I ＝Δp 。

三、动量定理的应用动量定理在很多实际问题中都有着广泛的应用。

1、体育运动中的应用比如在篮球比赛中，运动员在接球的瞬间会有一个缓冲动作，通过延长接球的时间，减小冲力，保护自己的手指和手臂。

同样，在拳击比赛中，拳击手出拳时，通过快速发力和短时间的作用，增加冲量，从而给对手更大的打击。

2、交通安全中的应用在汽车碰撞事故中，安全带和安全气囊能够延长碰撞时间，从而减小乘客所受到的冲击力。

而车辆的防撞设计也是基于动量定理，通过合理的结构和材料，分散和吸收碰撞时的冲量，保护乘客的安全。

3、工业生产中的应用在一些冲压和锻造工艺中，利用动量定理可以控制冲击力的大小和作用时间，从而实现对材料的精确加工。