【结构设计】对于结构机算缺少约束时的处理方法

第三章 无约束优化法● 概述 ● 梯度法 ● 牛顿法 ● 共轭梯度法 ● 坐标轮换法 ● 鲍威尔法概述无约束优化问题的一般形式： 求设计变量12[,,...]T n X x x x =使目标函数()min F x →，对X 没有任何约束条件。

工程实际问题中，无约束结构优化问题很少，多数是有约束条件的。

学习无约束结构优化原因：1）工程也有少量无约束结构优化问题，其数学模型就是无约束优化问题，除了在非常接近最小点的情况下，可以按无约束问题处理；2）为研究约束优化问题打下基础；3）约束优化问题可以通过一系列无约束方法达到。

无约束优化问题的求解，可以直接应用函数极值问题的求解方程：0F ∇= 的问题，即求X ，使其满足：1200...F x F x ∂⎫=⎪∂⎪∂⎪=⎬∂⎪⎪⎪⎭n 个方程组，一般为非线性的，很难用解析方法求解，一般采用数值方法。

与其用数值方法求解非线性方程组，倒不如用数值方法直接求解无约束极值问题。

数值方法最常用的就是搜索法，其基本思想：从给定的初始点0x 出发，按照一定原则寻找搜索方向0S ，沿方向0S 进行搜索，确定最佳步长0α，使得函数沿方向0S 下降最快，依次形成迭代公式： 1k k k k XX S α+=+ 0,1,2,...k =各种无约束优化方法的区别在于确定搜索方向kS 的方法，这是无约束优化方法的关键。

根据构成搜索方向所使用的信息不同分为：（1） 间接法 利用目标函数的一阶或二阶导数，如梯度法（最速下降法）、牛顿法、共轭梯度法和变尺度法；（2） 直接法 直接利用目标函数， 如坐标轮换法、鲍威尔法和单形替换法。

梯度法最早由1847年柯西提出，是无约束优化的基本方法。

其基本思想：取目标函数的负梯度方向作为迭代的搜索方向，必使函数值下降的速度最快。

设在第k 次迭代中取得迭代点kx ，从该点出发，取负梯度方向: ()k k S F X =-∇ 为搜索方向，式中：12()()()(),,....Tk k k kn F X F X F X F X x x x ⎡⎤∂∂∂∇=⎢⎥∂∂∂⎣⎦第1k +次得到的新点：1()k k k k X X F X α+=-∇ 一般步长1kα=常采用沿负梯度方向做一维搜索：1()min ()k k k k F X F X S α+=- 算法特点：初始阶段改进较快，最优解附近改进较慢。

63D3S 软件园地Building StructureWe learn we go3D3S 模型约束不足的解决方法上海同磊土木工程技术公司3D3S 研发组在3D3S 建模的过程中，除一些基本的问题可以在使用模型检查命令中发现以外，在计算过程中，有时会出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”的提示。

这表示结构为可变体系或模型为机构，要找出这些地方并作出修改，才能顺利地进行下面的计算，下面来看一个网壳模型:图1 模型 基本思路：1， 大致了解模型的组成部分，比如，本模型为直径大约125米的空间双层网壳结构，结构包括：帽顶、马道、开口、混凝土小短柱。

上下弦以及腹杆之间均为铰接，在显示查询菜单下面按层面显示，对话框如下所示：图2 按层面显示2，进行模型检查，软件对模型进行初步的检查，判断模型是否存在问题，检查的内容包括:截面、材性、方位是否定义、所有相交构件是否打断、是否存在特别短或特别长的单元等；其中判断可能是机构的点的依据如下:平面内相交的四根杆件在相交点都做单元释放的话，软件判断其为机构本模型检查结果如下图：图3 模型检查3， 查看总体信息，包括约束，杆件的基本信息是否有异常，支座约束是否已经加上，构件属性是否都已经定义。

从下图可以看出本模型基本信息无误。

图4 总体信息查询4， 查看模型的支座约束情况以及主要节点连接的形式，本模型中，所有的柱脚都是刚接，上下弦以及腹杆之间均为铰接，混凝土柱顶铰接，帽顶与主体结构铰接。

主体结构基本没问题，在帽顶的地方有几根新加的杆件，两端7Building Structure3D3S 软件园地We learn we go没有释放，对这几根杆件两端进行单元释放。

重新对模型进行计算，依然出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”这个提示。

图5 结构约束不足的提示5， 对模型的结构体系进行检查，使用结构编辑菜单下——结构体系命令，查看本模型的结构体系定义：图6 结构体系的定义桁架表示所有节点都为铰接，框架表示所有节点都为刚接。

63D3S 软件园地Building StructureWe learn we go3D3S 模型约束不足的解决方法上海同磊土木工程技术公司3D3S 研发组在3D3S 建模的过程中，除一些基本的问题可以在使用模型检查命令中发现以外，在计算过程中，有时会出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”的提示。

这表示结构为可变体系或模型为机构，要找出这些地方并作出修改，才能顺利地进行下面的计算，下面来看一个网壳模型:图1 模型 基本思路：1， 大致了解模型的组成部分，比如，本模型为直径大约125米的空间双层网壳结构，结构包括：帽顶、马道、开口、混凝土小短柱。

上下弦以及腹杆之间均为铰接，在显示查询菜单下面按层面显示，对话框如下所示：图2 按层面显示2，进行模型检查，软件对模型进行初步的检查，判断模型是否存在问题，检查的内容包括:截面、材性、方位是否定义、所有相交构件是否打断、是否存在特别短或特别长的单元等；其中判断可能是机构的点的依据如下:平面内相交的四根杆件在相交点都做单元释放的话，软件判断其为机构本模型检查结果如下图：图3 模型检查3， 查看总体信息，包括约束，杆件的基本信息是否有异常，支座约束是否已经加上，构件属性是否都已经定义。

从下图可以看出本模型基本信息无误。

图4 总体信息查询4， 查看模型的支座约束情况以及主要节点连接的形式，本模型中，所有的柱脚都是刚接，上下弦以及腹杆之间均为铰接，混凝土柱顶铰接，帽顶与主体结构铰接。

主体结构基本没问题，在帽顶的地方有几根新加的杆件，两端7Building Structure3D3S 软件园地We learn we go没有释放，对这几根杆件两端进行单元释放。

重新对模型进行计算，依然出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”这个提示。

图5 结构约束不足的提示5， 对模型的结构体系进行检查，使用结构编辑菜单下——结构体系命令，查看本模型的结构体系定义：图6 结构体系的定义桁架表示所有节点都为铰接，框架表示所有节点都为刚接。

在结构的静力分析中载荷与约束的施加方案对计算结果有较大的影响，甚至导致计算结果不可信，笔者在《结构设计CAE主业务流程》的博文中也提到这一点。

那么到底如何施加载荷与约束呢？归根到底要遵循一个原则——尽量还原结构在实际中的真实约束和受力情况。

本文着重介绍几种约束的施加方法与技巧，并通过具体例子来进一步说明。

1 销轴约束销轴连接在结构中是很常见的一种形式，其约束根据具体的结构形式有所不同，下面以一个走行装置为例具体介绍一下。

走行装置是连接平动轨道与上部结构的，其约束应是轨道通过车轮对走行装置的约束，但是通常对于车轮只要验证其轮压满足要求即可，因此在模型中往往将车轮简化掉，因此对于走行装置的约束就变为销轴约束。

图1 某走行装置图1 中1-10是与车轮相连接的轴孔，车轮行驶于轨道上，约束位置在10对轴孔处，如果把整个轴孔都约束则约束刚度太大，结果会导致圆孔周围应力过大，因此应简化为约束轴孔中心点，将中心点与轴孔边缘通过刚性单元连接，简化为点约束。

首先y方向（竖直向上）是应该约束的（此处假设车轮及轴为刚体），其次由于轨道与轮缘的相互作用，z方向（侧向）也应该是约束的，然后由于走行装置在向下的压力下会产生沿x方向（运行方向）的位移，因此x方向约束应放开，但是如果10对轴孔中心x方向的约束全放开则会导致约束不全无法计算，因此应在1轴孔或10轴孔中心处施加x方向的约束，这样实现全自由度约束。

2 转动轨道约束图2是一个翻车机模型，该结构通过电机驱动，托辊支撑，2个端环在轨道上转动来实现翻卸功能。

图2 翻车机由于翻车机托辊支撑端环，由电机驱动不断地翻转卸车，造成其约束位置方向不断变化，针对一个具体翻转角度，翻车机端环在与托辊接触处（线接触）应约束沿翻车机端环径向，另外，由于翻车机在荷载作用下会产生沿翻车机轴向的位移，所以两端环中要约束一个端环的轴向自由度。

3 对称面约束图3是某钢水罐模型，该模型关于y-z面对称，下面介绍一下该结构的约束处理。

无约束问题的数值解
无约束问题是指没有任何条件限制的数学问题。

对于这类问题，通常需要使用数值方法来求解。

常用的数值方法包括：
1. 精确法：通过暴力枚举的方式，找到问题的精确解。

这种方法适用于问题规模较小的情况，但是当问题规模增大时，计算量会变得非常大。

2. 迭代法：通过不断迭代，逼近问题的解。

这种方法适用于问题规模较大的情况，但是收敛速度可能会比较慢。

3. 随机化算法：通过引入随机性，来寻找问题的解。

这种方法适用于一些难以求解的问题，但是收敛速度也可能比较慢。

4. 神经网络方法：通过构建神经网络模型，来逼近问题的解。

这种方法适用于一些复杂的非线性问题，但是需要大量的训练数据和计算资源。

需要注意的是，对于不同的问题，选择不同的数值方法可能会产生不同的效果。

因此，在实际应用中，需要根据具体的问题特点和计算要求，选择适合的数值方法。

第四章 无约束优化方法——最速下降法，牛顿型方法概述在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这种最优化问题为无约束优化问题。

尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的，无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。

因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。

为什么要研究无约束优化问题?（1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。

（2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。

（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。

所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。

根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。

一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。

二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。

无约束优化问题的一般形式可描述为：求n 维设计变量 []12Tn n X x x x R =∈使目标函数 ()min f X ⇒目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。

无约束优化问题的求解： 1、解析法可以利用无约束优化问题的极值条件求得。

即将求目标函数的极值问题变成求方程0)(min *=X f的解。

也就是求Ｘ＊使其满足解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值点。

但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。

由第二章的讲述我们知道，优化问题的一般解法是数值迭代的方法。

因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。

2、数值方法数值迭代法的基本思想是从一个初始点)0(X出发，按照一个可行的搜索方向)0(d搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿)0(d 方向下降最大，得到)1(X 点。