应用回归分析作业

多元线性回归例题第章作业(一)多元线性回归是一种统计学方法，通常用于分析建立多个变量之间的关系模型。

在实际数据分析中，多元线性回归是十分常见且实用的方法。

本文将以一道例题为例，介绍多元线性回归的基本原理及应用方法。

例题：某公司市场销售状况与广告投入的相关性分析。

根据公司过往的销售记录，有如下数据：市场销售（单位：万元）：10，20，30，25，35广告投入（单位：万元）：5，10，15，12，18解析：1. 确定预测模型在多元线性回归中，首先要确定 Y 与X1,X2,…,Xn 之间的函数关系，一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，β1, β2,…, βn为自变量系数，β0为常数项，而ε 则表示随机误差。

2. 根据数据集，求解系数通过数据集计算出β0，β1, β2,…, βn的值，从而得到回归方程式，可以通过excel工具中多元线性回归的公式求解得到。

3. 结果解释根据计算结果，对于此例，得到回归方程式：Y = 7.5 + 2.5X1 + 1.5X2其中，X1表示广告投入，X2表示销售额，可以解读得到，每增加1万元广告投入，市场销售量会增加 2.5万元，同时，其拟合优度也很好，在本例中拟合优度高达 0.97。

4. 结论通过多元线性回归，我们可以得到两个变量之间的函数关系式及预测结果，从而为市场策略和决策提供理论依据。

本题中，我们能够得出有利于市场销售的投入策略，即增加广告投入可以带来市场销售量的增长，而这种关系随着投入的增加而呈现出逐渐缓和，也就是得出了“策略的上升边际递减性”这样一个结论。

总结：多元线性回归在实际数据分析中的应用非常广泛，并且能够解决多个自变量与因变量之间的复杂关系。

在研究某种现象或问题时，通过多元线性回归建立适当的模型，可以通过计算得到更加准确的结果，从而更科学更有效地解决问题。

1、为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立一个观测站，测量最大面积积雪深度X与当年灌溉面积Y，测得连续10年的数据见文件“积雪深度与灌溉面积.sav”。

试作出相应的散点图，判断X与Y是否有线性关系，若有求出Y关于X的线性回归方程，并对模型进行检验。

2、分别利用多元回归全模型与逐步回归模型研究国家财政收入问题，并比较两个模型的合理性。

数据见文件“财政收入研究.sav”。

3、试利用曲线拟合研究眼增加投资额与年利润的关系，并建立回归方程。

数据见文件“投资与利润.sav”。

作业要求以word格式在bb系统上提交，要有SPSS运行结果以及结果分析。

高考冲刺作业（80）2020年3月20日 （回归分析、独立性检验）考点1线性回归分析提示：由最小二乘法得回归直线方程：（认真阅读、深刻理解）y a bx =+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.有时这样表述：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其线性回归方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.1.（2015·重庆卷·文理）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程y bt a =+； 1.2 3.6y t =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款. 10.8 2.已知x ，y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为 3.5y bx =+，则b = . 0.5b = 3.（2011·陕西卷·理科）设11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 DA.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B.x 和y 的相关系数在0到1之间C.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D.直线l过点(,)x y Array4.已知x，y的取值如下表根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归直线方程为0.80.4y x=+,那么表中t的值为 CA.4.8B.5.2C.5.5D.5.65.设有一个线性回归方程为3 2.5y x=-,则变量x增加一个单位时 C A.y平均增加2.5个单位 B.y平均增加1个单位C.y平均减少2.5个单位D.y平均减少1个单位6.（2015·福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查=+，其中0.76b=，a y bx社区一户收入为15万元家庭年支出为 BA.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元7.对四组变量,x y进行相关性检验，r是相关系数，已知①0.96r=，r=，②0.30③0.99r=-，④0.48r=-.则,x y线性相关程度最高的两组是 .8.（2010·湖南卷·文科）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 AA.$10200=-- D.$10200y x=+ y xy x=-+ B.$10200y x=+ C.$10200考点2可线性化回归分析1.（2015·全国卷Ⅰ·文理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8)i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑.（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？解析：（Ⅰ）根据散点图判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；年宣传费／千元（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，令w =y c d ω=+，81821()()()iii ii w w y y d w w ==--==-∑∑108.8681.6=，56368 6.8100.6c y d ω=+=-⨯=，所以100.668y ω=+，于是y 关于x的回归方程是：100.6y =+（Ⅲ）（i ）由0.2z y x =-及当49x =时，100.6y =+，0.2576.6z =⨯-4966.32=，年销售量576.6千元及年利润的预报值是66.32千元.（ii ）由0.2z y x =-及100.6y =+0.2(100.6z x x =⨯+-=-+20.04+t =，2()13.620.04h t t t =-++，当 6.8t =，即46.24x =时，年利率的预报值最大.2.已知某种细菌的适宜生长温度为1025C C o o :，为了研究该种细菌的繁殖数量y （单位：个）随温度x （温度：C o ）变化的规律，收集数据如下：对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：其中，ln i i k y =，7117i i k k ==∑.参考数据： 5.5245e ≈.（Ⅰ）绘出y 关于x 的散点图，并根据散点图判断，y a bx =+与21c x y c e =哪一个适宜作为该种细菌的繁殖数y 关于温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（结果精确到0.1）.（Ⅲ）当温度为25C o 时，该种细菌繁殖数量的预报值为多少？ 解析：（Ⅰ）根据散点图可知：21c x y c e =比较合适；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21c x y c e =得12ln ln y c c x =+，即2k m c x =+，712721()()()iii ii x x kk c x x ==--=-∑∑20.50.1830.2112=≈≈， 3.80.183180.5m k bx =-=-⨯≈，即1ln 0.5c =，所以 ln 0.50.2y x =+，于是y 关于x 的回归方程是：0.50.2x y e +=.（Ⅲ）当25x =时，0.50.225 5.5245y e e +⨯==≈，即当温度为25C o 时，该种细菌繁殖数量的预报值为245.3.噪音污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量i I （1,2,,10i =L ）数据作了初步处理，得到下面的散点图即一些统计量的值.（Ⅰ）根据散点图判断，D c dI =+与lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（Ⅱ）根据表中数据，建立D 关于I 的回归方程；（Ⅲ）当声音强度大于60分贝时，属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共DIg g g gg g g ggg 1020 10 0 20 30 30 40 50 40 50 60受到两个声源的影响，这两个声音能量分别为1I ，2I ，且10121410I I +=.已知点P 的声音能量等于1I 和2I 声音能量之和，请根据（Ⅰ）中回归方程，判断点P 是否受到噪音污染的干扰，并说明理由.参考数据：其中表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑，截距的最小二乘估计分别为：v u αβ=-，121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑.解析：（Ⅰ）根据散点图可知，lg D a b I =+适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg D a b I =+，D a bW =+,1011021()()5.1100.51()iii ii W W D D b W W ==--===-∑∑， 45.710(11.5)160.7a D bW =-=-⨯=，所以D 关于I 的回归方程为：160.710lg D I =+（Ⅲ）点P 的声音能量等于1I 和2I 声音能量之和，101212121410()()I I I I I I I -=+=++ 10102112410[5()]109I I I I --=++≥⨯，10min 160.710lg(109)60.710lg 960D -=+⨯=+>，P 会受到噪音污染的干扰.4．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（ 2019Corona Virus Disease ， 2019COVID ），简称“新冠肺炎”．下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，L ，10），建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅.（Ⅰ）根据散点图判断，$y c dt =+和$ 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及附表中数据，建立y 关于t 的回归方程； （Ⅲ）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（Ⅱ）的结果时间1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据19752744451559747111①当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1，则认为模型可靠，请判断（Ⅱ）的回归方程是否可靠？②2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑.解析：（Ⅰ）根据散点图可知：$ 1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变t 的回归方程类型；（Ⅱ）令 1.5tω=，$y a b ω=+⋅，1011021()()()iii ii y y bωωωω==--=-∑∑$101102211010i ii ii y yωωωω==-=-∑∑，215470010193902076401019-⨯⨯==-⨯，390201910a y b ω=-=-⨯=，$1020y ω=+⋅，即 $1020 1.5t y =+⨯；（Ⅲ）①当11t =时，111.5100=，10201002010y =+⨯=，201019753519752010-=0.0170.1≈<，当12t =时，121.5150=，10201503010y =+⨯=，301027442744-=2660.0970.12744≈<，当13t =时，131.5225=，10202254510y =+⨯=，451045154515-50.14515=<.所以（Ⅱ）的回归方程可靠； ②当15t =时，$10150y =,远大于7111，所以防护措施有效．考点3独立性检验构造随机变量（卡方统计量）统计量2χ（也可表示2K），来判断“两个分类变量有关联”的方法称为独立性检验.其中22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.1.（2010·课标全国卷·文科）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014% 500=.（Ⅱ）22500(4027030160)9.96720030070430K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.2.（2014·辽宁卷）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.22100(60102010)100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯, 710p =.3.（2018·全国卷Ⅲ·文理科）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20名工人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.（Ⅱ）求40名工人完成生产任务所需的时间的中位数m ，并将完成生产任务所（Ⅲ）根据（Ⅱ）中列联表，能否有99％把握认为两种生产方式的效率有差异？ 解析：（Ⅰ）第二中生产方式效率更高.（Ⅱ）7981802m +==.（Ⅲ）2240(151555)10 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有99％把握认为两种生产方式的效率有差异.4.（2019·全国卷Ⅰ·文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（Ⅰ）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（Ⅱ）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？第一种生产方式第二种生产方式 8 8765 56 8 90 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 099 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0解析：（Ⅰ）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95％的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 5.（2017·全国卷Ⅱ·文科）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；0.62（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖22200(62663438)15.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.6.（2017·全国卷Ⅱ·文科）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的/kg旧养殖法kg新养殖法产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）7.（2013·福建卷）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：)[50,60，)[60,70，)[70,80，)[80,90，)[90,100， 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完/kg旧养殖法kg新养殖法成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？710p =,22100(45152515)25 1.797030604014K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.没有把握.8.（2010·辽宁卷·理科）为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组.每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的实验结果.（疱疹面积单位：2mm ）（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（Ⅱ）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的25周岁以上组25周岁以下组注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,210.828K >.有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.。

线性回归分析7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据见下表，地区人均GDP（元）人均消费水平（元）北京22460 7326辽宁11226 4490上海34547 11546江西4851 2396河南5444 2208贵州2662 1608陕西4549 2035（1）人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。

观察散点图可知，人均GDP与人均消费水平之间具有线性关系（2）计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

因为概率P值为0.000，在显著性水平0.05下，P值小于0.05，所以拒绝原假设，认为人均GDP 与人均消费水平之间存在显著的线性关系。

人均GDP与人均消费水平间的相关系数为0.998，说明两者之间存在强的线性关系。

（3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

设yi=BO+B1x回归方程：y i=734.693+0.309GDP该方程意味着人均GDP每增加一个单位会使人均消费量平均增加0.309个单位检验：（4）R2=0.996，说明人均GDP变动能够解释人均消费水平变动的0.996，拟合优度检验通过。

（5）②显著性水平检验A:检验回归方程因为概率P值为0.000，在显著性水平0.05下，概率P值小于0.05，所以拒绝原假设，认为回归方程系数不同时为0，回归方程显著B:检验回归方程的系数原假设：B1=0因为概率P值均小于0.05，在显著性水平0.05下，拒绝原假设，即认为常数项不为0，回归方程中GDP的系数不为0。

在不做e i检验的情况下，y i= 734.693+0.309GD方程存在(6)如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。

看表结果：当人均GDP是5000时，人均消费水平（PRE）是2278.11。

（7）求人均GDP为5000元时，人均消费水平95%的置信区间和预测区间。