高中数学必修1-5常用公式

高中数学必修1-5常用公式或定理1．集合的交集、并集、补集． A B （取A B 、的公共元素）；AB （取A B 、的所有元素但不重复）；U A ð全集U 中除了A 中元素之外的元素2．子集与真子集：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n个子集，21n-个真子集．∅是任何集合的子集．3．二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠． 可化为224()24b ac b y a x a a-=++(0)a ≠它的图象是抛物线，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--； 二次函数的3种解析式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++(0)a ≠； （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+(0)a ≠； （3）零点式：12()()()f x a x x x x =--(0)a ≠． 4．函数的单调性．（1）设[]12,x x a b ⋅∈，12x x ≠，则[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数．（2）函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数． 5．函数()y f x =的图象的奇偶性．（1）函数的定义域必须关于原点对称；（2）若)(x f 是奇函数，那么()()f x f x -=-，若)(x f 是偶函数，那么()()()f x f x f x -== （3）定义域含零的奇函数必过原点，即(0)0f =.（4）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 6．函数()y f x =的图象的对称性．函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()(2)()f a x f a x f a x f x ⇔+=-⇔-=． 7．两个函数图象的对称性．（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =（即y 轴）对称； （2）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =（即x 轴）对称； （3）函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于原点对称；*（4）函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y x =对称（1()f x -是()f x 的反函数）． 8．函数()y f x =的周期性：若()()f x T f x +=，0T ≠，则()f x 是以T 为周期的函数． 9．分数指数幂：m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nm naa-=　（0,,a m n N *>∈，且1n >）．10．指数的运算公式：mnm na a a+=； m m n n a a a-=； ()m n mn a a =； ()m m mab a b =11．对数的运算公式：log b a N b a N =⇔=(01,0)a a N >≠>且． l o g a N a N =(01,0)a a N >≠>且．log ()log log a a a MN M N =+； l o g ()l o g l o g a a aMM N N=-．换底公式：log log log m a m N N a=． l o g l o g m n a an b b m =． 12．零点：函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标（当0y =时，x 的值）．零点存在定理：若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续的，且有()()0f a f b ⋅<，则()f x 在(,)a b内至少有一个零点．13．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积：2S rl π=圆柱侧； S r l π=圆锥侧； 12)S r r l π=+圆台侧（； S c h=直棱柱侧； '12S c h =正棱锥侧； ''1)2S c c h =+正棱台侧（； V S h =柱体； 13V Sh =锥体；13V S S h =+下台体上（．14．球的表面积和体积：设球的半径是R ，则其表面积24S R π=，体积343V R π=．15．线面平行判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．线面平行性质定理：若一条直线与一个平面平行，过该直线的平面和此平面相交，则该直线和交线平行． 16．面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．面面平行性质定理：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行．17．线面垂直判定定理：若平面外的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于这个平面．线面垂直性质定理：若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于此平面内的任意一条直线．垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行．18．面面垂直判定定理：若一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直．面面垂直性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 19．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．20．斜率公式：2121tan y y k x x α-==- （90α≠，12x x ≠）．21．直线的方程：（1）点斜式：00()y y k x x -=-；（2）斜截式：y kx b =+（b 为直线l 在y 轴上的截距）；（3）截距式：1x ya b +=（注意：① 截距不是距离；② 过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）； （4）两点式：112121y y x x y y x x --=--（12x x ≠，12y y ≠）；（5）一般式：0Ax By C ++=（其中A 、B 不同时为0）．22．两条直线的平行与垂直．（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，① 121212//,l l k k b b ⇔=≠；② 12121l l k k ⊥⇔=-． （2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=，且1A 、2A 、1B 、2B 都不为零，① 11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； ② 1212120l l A A B B ⊥⇔+=． 23．平面两点间的距离公式：若A 11(,)x y ，B 22(,)x y，则AB =24．空间两点间的距离公式：若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z，则AB =25．点到直线的距离：d =（点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=）；平行线间的距离：d =（直线1l ：10Ax By C ++=，直线2l ：20Ax By C ++=）．26．圆的方程：（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为(,)a b ，半径为r ；（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）．27．直线0Ax By C ++=与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系的判定方法：（1）d r >⇔相离0⇔∆<； （2）d r =⇔相切=0⇔∆； （3）d r <⇔相交0⇔∆>． 28．两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为1O ，2O ，半径分别为：1r ，2r ，12OO d =． （1）12d r r >+⇔外离； （2）12=d r r +⇔外切； （3）1212r r d r r -<<+⇔相交； （4）12=d r r -⇔内切； （5）120d r r <<-⇔内含．29．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：12AB x x ==-30．方差：2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-；标准差：S = 31．古典概型的概率()mP A n=（m 表示随机事件A 包含的基本事件数，n 表示试验的所有基本事件数）. 32．几何概型的概率()AP A μμ=（A μ表示事件A 发生区域的几何度量，μ表示试验中总区域的几何度量，如长度、面积、体积等）.33．任意角（逆时针旋转→正角，顺时针旋转→负角）：与α终边相同的角的集合：{|2,}k k Z ββαπ=+∈． 34．弧度制：（1）α=l r ，l =r α⋅；（2）180=π rad ；1rad 57.3≈；（3）扇形面积S =21122lr r α=． 35．任意角的三角函数：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r (0)r >，则sin α=y r c o s α=x r tan α=y x(0)x ≠．36．同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan cot 1θθ⋅=． 37．诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限）：如sin()πα+=sin α-，sin()2πα+=cos α等．38．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22t a nt a n 21t a n ααα=-21+cos2cos 2αα=，21cos2sin 2αα-=*（22tan sin 21tan ααα=+； 221tan cos 21tan ααα-=+）．39．辅助角公式（合一思想）：sin cos a b αα+)αϕ+（其中tan baϕ=）．40．正余弦“三兄妹”sin cos x x ±、sin cos x x 的内在联系：2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±．41．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===（R 为外接圆的半径）． 42．余弦定理：2222cos a b c bc A =+-； 222c o s 2b c a A bc+-=．43．三角形的面积公式：111sin ()222a S ab C ah r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）．44．中点的坐标公式与△ABC 的重心坐标公式：若A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，C 33(,)x y ， 则AB 的中点为P 1212(,)22x x y y ++，△ABC 的重心坐标为G 123123(,)33x x x y y y ++++． 45．已知两点求向量坐标：若A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB x x y y =--．46．向量的模公式：已知a 11(,)x y =，=a=22=a a ．47．向量的数量积与夹角公式：已知a 11(,)x y =，b 22(,)x y =，cos θ⋅=⋅a b a b 1212x x y y =+； c o s ,<>a bc o s θ=⋅=⋅a b ab =． 48．向量的平行与垂直：（1）平行：a ∥b ⇔b λ=a 12210x y x y ⇔-=（0≠a ）；（2）垂直：a ⊥b ⇔a ·0=b 12120x x y y ⇔+=． 49．已知前n 项和n S 求通项公式：11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．50．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； m n p q a a a a +=+（其中m n p q +=+）． 等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+21()22d dn a n =+-． 51．等比数列的通项公式：11n n a a q -=； m n p q a a a a ⋅=⋅（其中m n p q +=+）．等比数列的前n 项和公式：111(1),111,1n n n a a qa q q S q qna q ⎧--=≠⎪=--⎨⎪=⎩． 52．等差中项与等比中项：若,,a b c 成等差数列，则2b a c =+；若,,a b c 成等比数列，则2b ac =．53．解一元二次不等式20ax bx c ++>(0)<或，其中0a >，240b ac ∆=->．若12x x <，则121()()0a x x x x x x -->⇔<或2x x >；1212()()0a x x x x x x x --<⇔<<． 54．解含有绝对值的不等式：若0a >，则22x a x a a x a <⇔<⇔-<<；22x a x a >⇔>⇔x a <-或x a >．55．基本不等式（均值不等式）．（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立），变形：222a b ab +≤；（2）,a b R +∈⇒2a b +≥a b =时等号成立），变形：2()2a b ab +≤； *（3）3333a b c abc ++≥(0,0,0)a b c >>>； *（4）a b a b a b -≤±≤+．56．几种常见函数的导数．（1）0='C （C 为常数）； （2）'1()n n x nx -=()n Q ∈； （3）x x cos )(sin ='；（4）x x sin )(cos -='； （5）x x 1)(ln ='；1(log )ln a x x a'=； （6）x x e e =')(；a a a xx ln )(='． ⎫⎬⎭别忘了A B C π++=。