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2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第二单元圆锥的体积问题提高部分（解析版）编者的话：《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第二单元圆锥的体积问题提高部分。
本部分内容主要选取圆锥体积常考的较难题型，内容相对困难，考点众多，共划分为十三个考点，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】圆锥的旋转构成法。
【方法点拨】直角三角形与圆锥之间的联系沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题1】以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形?所得的图形的底面直径和高各是多少厘米?解析：（1）以6cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为16cm，高为6cm的圆锥。
（2）以8cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为12cm，高为8cm的圆锥。
【典型例题2】下图是一个直角三角形，如果以AC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？解析：3.14×2×2×3÷3＝12.56×3÷3＝12.56（立方厘米）【对应练习1】一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、( )cm、( )立方厘米。
解析：据分析知，高是6厘米底面直径：6×2＝12（厘米）体积：（3.14×6×6）×6÷3＝113.04×6＝678.24÷3＝226.08（立方厘米）【对应练习2】一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。
第二单元（圆柱和圆锥）知识点归纳 第一课时：1. 圆柱的特点：上下两个面是相同的圆形，圆柱的侧面是曲面，上下一样粗。
2. 圆锥有一个顶点，一个底面和一个侧面，底面是一个圆，侧面是一个曲面。
3. 围成圆柱的面还有一个曲面，叫做圆柱的侧面，圆柱的两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。
4. 以圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥有一条高。
第二课时：1. 圆柱的侧面积=底面周长（π×R ）×高2. 圆柱的底面积（S ）=π×r 23. 圆柱的表面积=侧面积+底面积×2第四课时1.圆柱的体积=底面积×高第五课时1. 体积是以外面量的，容积是以里面量的，容器的体积比它的容积大2. 圆柱的高不变，直径、半径扩大几倍，体积扩大原来体积的平方倍。
第六课时：1.圆锥的体积=底面积×高×13 ，不能忘记13。
第七课时：1.很多题目都会用等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的关系去求圆柱和圆锥的体积。
（体积之和是几份？找准总份数、体积之差是几份，然后找到对应量，最后用总份数对应的量÷总份数=一份对应的量）2.圆锥的体积也是与它等底等高的长方体体积的1 33.已知圆锥的体积，要先求出和这个圆锥等底等高的圆柱的体积乘3，再除以底面积，最后求出高。
与求体积除以3相反。
培优：1.一个圆锥形容器里倒了一半高度的水，高是容器的一半，水面底面半径就是容器底面半径的一半，即12，则设容器的高度为h，水面高度为12h，所以得出结论：水面高是容器的一半，水面底面积是容器底面积的14；水的体积则是圆锥容器的18。
2.往圆柱形容器里加水，水的体积=底面积（水）×高（水），容器的容积=底面积（容）×高（容），因为底面积（水）和底面积（容）是一样的，则可以把底面积看成a,转化成：水的体积=a×高（水），容器的容积= a×高（容），所以，水的体积占容器容积水的体积容器的容积=a×高（水）a×高（容）=高（水）高（容），（根据分数的性质，分子和分母同时除以相同的数），所以水的体积占容器容积的比就是水面的高度占容器高度的比。
圆柱圆锥的体积【教学目标】1.记住圆柱圆锥体积公式2.理解同底面积、同高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍3.能根据圆柱和圆锥公式，解决一般的实际应用题【知识梳理】一、圆柱1.定义：以矩形的一边绕着另一条边旋转360°，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
2.如图：上下两个面是底面，围成圆柱的曲面叫做侧面，两个底面之间的距离叫做高。
3、圆的周长：C=πd =2πr4、圆的面积：S=πr25、圆柱的侧面积：把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形（或正方形），长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。
侧面积：S侧=Ch=πdh=2πrh逆推公式有：C=S侧÷h h=S侧÷C6、圆柱的表面积：S表=S侧+2S底7、圆柱的体积圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。
设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：V=πr2h ；如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh圆柱的体积跟长方体、正方体一样，都是底面积×高圆柱体积=底面积×高V柱=Sh=πr2 h圆柱的高=体积÷底面积h =V柱÷S=V柱÷(πr2)圆柱的底面积=体积÷高S=V柱÷h圆柱的切割a.横切（垂直于轴）：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr2b.竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh注：圆柱高增加减少，圆柱表面积增加减少的只是侧面积。
常见的圆柱解决问题：①、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管（求侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；④鱼缸、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；V钢管=（πR2﹣πr2）×h（1）等底等高：V锥:V柱＝1:3（2）等底等体积：h锥:h柱＝3:1圆锥体展开图的绘制：圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。
《圆锥的体积》说课稿及反思（一）一、说教材圆锥的体积。
(教材第20~23页)圆锥是小学几何初步知识最后一个单元中的内容，是学生在学习了平面图形和长方体、正方体、圆柱体这三种立体图形的基础上又学习的一种新的立体图形。
圆锥的体积也是在学习过长方体、正方体和圆柱体积的基础上的又一个延伸，也为以后学生系统学习立体几何打下基础。
二、说教学目标1.引导学生探索并初步掌握圆锥的体积计算方法和推导过程。
2.指导学生学会应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题。
3.提高学生实践操作、观察比较、抽象概括及逻辑推断的能力,发展空间观念。
4.培养学生的合作意识和探究意识。
5.使学生获得成功的体验,体验数学与生活的联系。
三、说教学重难点重点:进一步掌握圆锥体积的计算方法。
难点:根据不同的条件计算圆锥的体积。
四、说教学过程板块一、情境导入师:同学们,前面我们学习了圆柱的体积计算公式,是什么呢?生:圆柱的体积=底面积×高,用字母表示是V=Sh。
师:你想知道圆锥的体积怎样计算吗?猜一猜,圆锥的体积大小会与什么有关呢?学生可能会说:·圆锥的体积应该与圆锥的底面积有关。
·圆锥的体积可能跟圆锥的高有关。
……师:圆锥的体积计算公式究竟是什么呢?让我们一起来探究吧!【设计意图:简明扼要的复习,为新课教学做好充分的知识铺垫】板块二、探究新知1. 圆锥体积计算公式的推导。
师:下面的圆柱和圆锥的底面积相等,高相等。
(课件出示:教材第20页例5)你能估计出这个圆锥的体积是圆柱体积的几分之几吗?生:可能这个圆锥的体积是圆柱体积的1吧!3师:你有什么办法来验证自己的估计呢?生:我们可以准备好底面积相等,高相等的圆柱形容器和圆锥形容器;然后用圆锥形容器装满沙子,再倒入圆柱形容器里,看是否3次能装满。
如果3次能正好装满,就说明圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的1。
3师:这个方法可以吗?生:可以。
师:那就按这种方法以小组为单位,进行实验吧!学生进行小组活动;教师巡视了解情况。
圆锥的体积教学目标1、使学生经历观察、猜想、操作、验证、交流和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆柱的体积公式，初步学会应用公式计算圆柱的体积，并解决相关的简单实际问题2、培养应用已有知识解决新问题的能力，发展空间观念和初步的推理能力三维重难点1、探索并掌握圆柱的体积公式2、使学生进一步体会“转化”方法的价值辅助教学准备把圆柱沿地面等分成16份的教具一、复习引入1、呈现例4中长方体、正方体和圆柱的直观图2、提问：这几种立体的体积你都会求吗？你会求其中哪些立体的体积？启发：大家想不想知道圆柱的体积怎样计算？猜想一下：圆柱的体积怎么算？3、引入：我们的猜想对不对呢？今天我们就一起来探索一下圆柱的体积计算公式二、教学例41、观察比较引导学生观察例4的三个立体，提问：⑴这三个立体的底面积和高都相等，它们的体积有什么关系？⑵长方体和正方体的体积一定相等吗？为什么？⑶圆柱的体积与长方体和正方体的体积可能相等吗？为什么？2、实验操作⑴谈话：大家都认为圆柱的体积与长方体、正方体的体积可能是相等的，而且都等于底面积乘高那用什么办法验证呢？让学生在小组中说说自己的想法提醒：圆的面积公式是怎么推导出来的？我们能不能将圆柱转化成长方体呢？⑵提出要求：你能想办法把圆柱转化成长方体吗？各小组说出自己的想法，有条件的拿出课前准备好的圆柱，操作一下⑶讨论交流：如果把圆柱的底面平均分成16份，切开后能否拼成一个近似的长方体？操作教具，让学生观察引导想像：如果把底面平均分的份数越来越多，结果会怎么样？课件演示，使学生清楚地认识到：拼成的立体会越来越接近长方体3、推出公式⑴提问：拼成的长方体与原来的圆柱有什么关系？指出：长方体的体积与圆柱的体积相等；长方体的底面积等于圆的底面积；长方体的高等于圆柱的高⑵想一想：怎样求圆柱的体积？为什么？根据学生的回答小结并板书圆柱的体积公式：圆柱的体积=底面积×高⑶引导用字母公式表示圆柱的体积公式：V=sh三、教学“试一试”⑴让学生列式解答后交流算法⑵讨论：知道什么条件就一定能算出圆柱的体积了？分别怎么算？四、巩固练习1、做“练一练”第1题⑴说一说：这两个圆柱中都是已知什么？能算出圆柱的体积吗？⑵各自练习，并指名板演⑶对照板演，说说计算过程2、做“练一练”第2题说说为什么要从里面量？如果从外面量算出的是什么？五、全课总结这节课我们学习了什么？有哪些收获？还有什么疑问？。
