下载文档原格式
第五章 层流、紊流及其能量损失5—1 (1)某水管的直径d ＝100 mm ，通过流量Q ＝4 L/s ，水温T ＝20℃；(2)条件与以上相同，但管道中流过的是重燃油，其运动粘度6215010m /s ν-=⨯。
试判别以上两种情况下的流态。
解：(1) 200C 时，水的运动粘性系数ν=1.007×10-6m 2/s ，24Q u d π=水的雷诺数Re 为：-3-6244 4 L/s 10Re 5060020001.00710m /s 3.140.1mud Q v v d π⨯⨯====>⨯⨯⨯，紊流 (2) 石油：-3-6244 4 L/s 10Re 339.7200015010m /s 3.140.1m ud Q v v d π⨯⨯====<⨯⨯⨯，层流 5—2 温度为0℃的空气，以4 m/s 的速度在直径为l00 mm 的圆管中流动，试确定其流态(空气的运动粘度为521.3710m /s ν-=⨯)。
若管中的流体换成运动粘度为621.79210m /s ν-=⨯的水，问水在管中呈何流态?解：空气的雷诺数Re 为：-524 m/s 0.1m Re 2919720001.3710m /sud v ⨯===>⨯，紊流 水的雷诺数Re 为：-624 m/s 0.1m Re 223 21420001.79210m /sud v ⨯===>⨯，紊流 5—3 (1)一梯形断面排水沟，底宽0.5m ，边坡系数cot θ＝1.5(θ为坡角)，水温为20℃，水深0.4m ，流速为0.1m ／s ，试判别其流态；(2)如果水温保持不变，流速减小到多大时变为层流?解：200C 时，水的运动粘性系数ν=1.007×10-6m 2/s 水力直径为(0.520.60.5)0.4/20.23m 0.50.722AR χ+⨯+⨯===+⨯ 4-620.1m/s 0.23m Re 2.24101.00710m /sR uR ν⨯===⨯⨯，42.24102000⨯>，湍流 水流为层流时Re 500uR ν≤=(明渠流)，故 63Re 500 1.00710 2.210m/s 0.23u R ν--⨯⨯≤==⨯ 5—4 由若干水管组装成的冷凝器，利用水流经过水管不断散热而起到冷凝作用。
名词解释1．黏性流体单位中立形式的伯努利方程：w a a h gv g pz g v g p +++=++22z 22222111αραρ2.方程适用条件1.流动为定常流动2流体为黏性不可压缩的重力流体3列方程的两过流断面必须是缓变流截面，而不必顾忌两截面间是否有急变流。
3．动能修正系数α的大小取决于过流断面上流速分布的均匀程度，以及断面的形状和大小，流速分布越均匀，其数值越接近于一，流速分布越不均匀，其数值就越大，。
4．流体在其流动过程中要克服黏性摩擦力，总流的机械能沿流程不断减小，总水头线不断降低。
5.相似准则：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则。
6.牛顿数：作用力与惯性力的比值。
Ne=F/ρl ²v ²7.弗劳德数：物理意义为惯性力与重力的比值。
Fr=v/（gl ）½ 8.雷诺数：物理意义为惯性力与黏性力的比值。
Re=vl/υ 9.欧拉数：物理意义为总压力与惯性力的比值。
Eu=Δp/ρv ² 10.柯西数：物理意义为惯性力与弹性力的比值。
Ca=ρv ²/K 11.马赫数：（流场中流体为气体）物理意义为惯性力与弹性力的比值。
Ma=v/c 12.韦伯数：物理意义为惯性力与表面张力的比值。
We=ρv ²l/σ13.斯特劳哈尔数：物理意义为当地惯性力与迁移惯性力的比值。
Sr=l/vt14.层流：着色流体和周围的流体互不掺混，流线为直线，流体质点只有沿圆管轴向的运动，而没有径向运动，这种流动状态称为层流或片流。
15.紊流：流体质点不仅有轴向运动，也具有径向运动，处于一种无序的紊乱状态，这种流动状态称为紊流或湍流。
16.边界层:黏性流体流经固体壁面时，在固体壁面法线方向上存在一速度急剧变化的薄层，称为边界层。
17.管道进口段:边界层相交以前的管段称为管道进口段（或称起始段），其长度以L*表示。
18.准定常流动/时均定常流：流场中的时均参数不随时间改变的紊流流动称为准定常流动或时均定常流。
第五章 层流、紊流及其能量损失5—1 (1)某水管的直径d ＝100 mm ，通过流量Q ＝4 L/s ，水温T ＝20℃；(2)条件与以上相同，但管道中流过的是重燃油，其运动粘度6215010m /s ν-=⨯。
试判别以上两种情况下的流态。
解：(1) 200C 时，水的运动粘性系数ν=×10-6m 2/s ，24Qu d π= 水的雷诺数Re 为：-3-6244 4 L/s 10Re 5060020001.00710m /s 3.140.1mud Q v v d π⨯⨯====>⨯⨯⨯，紊流(2) 石油：-3-6244 4 L/s 10Re 339.7200015010m /s 3.140.1mud Q v v d π⨯⨯====<⨯⨯⨯，层流 5—2 温度为0℃的空气，以4 m/s 的速度在直径为l00 mm 的圆管中流动，试确定其流态(空气的运动粘度为521.3710m /s ν-=⨯)。
若管中的流体换成运动粘度为621.79210m /s ν-=⨯的水，问水在管中呈何流态解：空气的雷诺数Re 为：-524 m/s 0.1mRe 2919720001.3710m /sud v ⨯===>⨯，紊流 水的雷诺数Re 为：-624 m/s 0.1mRe 223 21420001.79210m /sud v ⨯===>⨯，紊流 5—3 (1)一梯形断面排水沟，底宽0.5m ，边坡系数cot θ＝(θ为坡角)，水温为20℃，水深0.4m ，流速为0.1m ／s ，试判别其流态；(2)如果水温保持不变，流速减小到多大时变为层流解：200C 时，水的运动粘性系数ν=×10-6m 2/s水力直径为(0.520.60.5)0.4/20.23m 0.50.722AR χ+⨯+⨯===+⨯4-620.1m/s 0.23m Re 2.24101.00710m /sR uRν⨯===⨯⨯，42.24102000⨯>，湍流 水流为层流时Re 500uRν≤=(明渠流)，故63Re 500 1.00710 2.210m/s 0.23u R ν--⨯⨯≤==⨯5—4 由若干水管组装成的冷凝器，利用水流经过水管不断散热而起到冷凝作用。
流体力学 第1章 绪论1.1 若某种牌号的汽油的重度γ为7000N/m 3，求它的密度ρ。
解：由g γρ=得，3327000N/m 714.29kg/m 9.8m /m γρ===g1.2 已知水的密度ρ=997.0kg/m 3，运动黏度ν=0.893×10-6m 2/s ，求它的动力黏度μ。
解：ρμ=v 得，3624997.0kg/m 0.89310m /s 8.910Pa s μρν--==⨯⨯=⨯⋅ 1.3 一块可动平板与另一块不动平板同时浸在某种液体中，它们之间的距离为0.5mm ，可动板若以 0.25m/s 的速度移动，为了维持这个速度需要单位面积上的作用力为2N/m 2，求这两块平板间流体的动力黏度μ。
解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度可计算为13du u 0.25500s dy y 0.510--===⨯ 由牛顿切应力定律d d uyτμ=，可得两块平板间流体的动力黏度为 3d 410Pa s d yuτμ-==⨯⋅1.4上下两个平行的圆盘，直径均为d ，间隙厚度为δ，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩T 的表达式。
题1.4图解：圆盘不同半径处线速度 不同，速度梯度不同，摩擦力也不同，但在微小面积上可视为常量。
在半径r 处，取增量dr ，微面积 ，则微面积dA 上的摩擦力dF 为du r dF dA2r dr dz ωμπμδ==由dF 可求dA 上的摩擦矩dT32dT rdF r dr πμωδ==积分上式则有d 43202d T dT r dr 32πμωπμωδδ===⎰⎰1.5 如下图所示，水流在平板上运动，靠近板壁附近的流速呈抛物线形分布，E 点为抛物线端点，E 点处0d d =y u ，水的运动黏度ν=1.0×10-6m 2/s ，试求y =0，2，4cm 处的切应力。
（提示：先设流速分布C By Ay u ++=2，利用给定的条件确定待定常数A 、B 、C ）题1.5图解：以D 点为原点建立坐标系，设流速分布C By Ay u ++=2，由已知条件得C=0,A=-625,B=50则2u 625y 50y =-+ 由切应力公式du dyτμ=得du(1250y 50)dy τμρν==-+ y=0cm 时，221510N /m τ-=⨯；y=2cm 时，222 2.510N /m τ-=⨯；y=4cm 时，30τ= 1.6 某流体在圆筒形容器中。
第5章圆管流动一.学习目的和任务1.本章学习目的（1）掌握流体流动的两种状态与雷诺数之间的关系；（2）切实掌握计算阻力损失的知识，为管路计算打基础。
2.本章学习任务了解雷诺实验过程及层流、紊流的流态特点，熟练掌握流态判别标准；掌握圆管层流基本规律，了解紊流的机理和脉动、时均化以及混合长度理论；了解尼古拉兹实验和莫迪图的使用，掌握阻力系数的确定方法；理解流动阻力的两种形式，掌握管路沿程损失和局部损失的计算；了解边界层概念、边界层分离和绕流阻力。
二.重点、难点重点：雷诺数及流态判别，圆管层流运动规律，沿程阻力系数的确定，沿程损失和局部损失计算。
难点：紊流流速分布和紊流阻力分析。
由于实际流体存在黏性，流体在圆管中流动会受到阻力的作用，从而引起流体能量的损失。
本章将主要讨论实际流体在圆管内流动的情况和能量损失的计算。
5.1 雷诺(Osborne Reynolds)实验和流态判据5.1.1 雷诺实验1883年，英国科学家雷诺通过实验发现，流体在流动时存在两种不同的状态，对应的流体微团运动呈现完全不同的规律。
这就是著名的雷诺实验，它是流体力学中最重要实验之一。
105如图5－1所示为雷诺实验的装置。
其中的阀门T1保持水箱A 内的水位不变，使流动处在恒定流状态；水管B 上相距为l 处分别装有一根测压管，用来测量两处的沿程损失f h ，管末端装有一个调节流量的阀门T3，容器C 用来计量流量；容器D 盛有颜色液体，T2控制其流量。
进行实验时，先微开阀门T3，使水管中保持小速度稳定水流，然后打开颜色液体阀门T2放出连续的细流，可以观察到水管内颜色液体成一条直的流线，如图5－2（a ）所示；从这一现象可以看出，在管中流速较小时，它与水流不相混和，管中的液体质点均保持直线运动，水流层与层间互不干扰，这种流动称为层流（Laminar flow ）。
比如，实际中黏性较大的液体在极缓慢流动时，属层流运动。
随后，逐渐开大阀门T3，增大管中液体流速，流速达到一定速度时，管内颜色液体开始抖动，具有波形轮廓，如图5－2（b ）所示。
第五章 不可压缩流体一维层流流动思考题建立流体流动微分方程依据的是什么基本原理?有哪几个基本步骤导致流体流动的常见因素有哪些?流体流动有哪几种常见的边界条件?如何确定这些边界条件? 对缝隙流动、管内流动或降膜流动，关于切应力和速度的微分方程对牛顿流体和非牛顿流体均适用吗？为什么一、选择题1、圆管层流过流断面的流速分布为A 均匀分布；B 对数曲线分布；C 二次抛物线分布；D 三次抛物线分布。
2、两根相同直径的圆管，以同样的速度输送水和空气，不会出现____情况。
A 水管内为层流状态，气管内为湍流状态；B 水管、气管内都为层流状态；C 水管内为湍流状态，气管内为层流状态；D 水管、气管内都为湍流状态。
3、变直径管流，细断面直径为d 1，粗断面直径为d 2，122d d 粗断面雷诺数Re 2与细断面雷诺数Re 1的关系是：A Re 1=0.5Re 2B Re 1=Re 2C Re 1=1.5Re 2D Re 1=2Re 24、圆管层流，实测管轴线上的流速为4m/s,则断面平均流速为：A 4m/sB 3.2m/sC 2m/sD 2.5m/s5 圆管流动中过流断面上的切应力分布如图 中的哪一种？A 在过流断面上是常数B 管轴处是零，且与半径成正比C 管壁处为零 ，向管轴线性增大D 抛物线分布9．下列压强分布图中哪个是错误的？B10．粘性流体总水头线沿程的变化是( A ) 。
A. 沿程下降B. 沿程上升C. 保持水平D. 前三种情况都有可能。
1．液体粘度随温度的升高而___，气体粘度随温度的升高而___( A )。
A.减小，增大；B.增大，减小；C.减小，不变；D.减小，减小四、计算题(50分)30.(6分)飞机在10000m 高空(T=223.15K,p=0.264bar)以速度800km/h 飞行，燃烧室的进口扩压通道朝向前方，设空气在扩压通道中可逆压缩，试确定相对于扩压通道的来流马赫数和出口压力。
(空气的比热容为C p =1006J/(kg ·K)，等熵指数为k=1.4，空气的气体常数R 为287J/(kg ·K))T 0=T ∞+v C p ∞=+⨯⨯23222231580010360021006/.()/() =247.69K M ∞=v a ∞∞=⨯⨯⨯=(/)...80010360014287223150743 P 0=p ∞11221+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥∞-k M kk =0.26411412074038214141+-⨯⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-.....bar31.(6分)一截面为圆形风道，风量为10000m 3/h ，最大允许平均流速为20m/s ，求：(1)此时风道内径为多少?(2)若设计内径应取50mm 的整倍数，这时设计内径为多少?(3)核算在设计内径时平均风速为多少?依连续方程（ρ=C ）v 1A 1=v 2A 2=q v(1)v 1π412d q v = d 1=100004360020⨯⨯π=0.42m=420mm (2)设计内径应取450mm 为50mm 的9倍，且风速低于允许的20m/s(3) 在设计内径450mm 时，风速为 v q d m s v 2222441000036000451746==⨯⨯=ππ../ 32.(7分)离心式风机可采用如图所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径d=400mm,U 形管读数h=100mmH 2O ，水与空气的密度分别为ρ水=1000kg/m 3，ρ空=1.2kg/m 3，忽略流动的能量损失，求空气的体积流量q v 。
第五章相似原理与量纲分析对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。
本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。
第一节流动相似原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1. 几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
长度比尺：（5-1）面积比尺：2 4 V ?2（5-2）体积比尺：（5-3）2.运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度度a方向相同，且大小各具有同一比值。
速度比尺：7 —旳—厶仏_ ? ? -1（5-4）加速度比尺: 3_ T _ 旳仏? -2 _ ? 了-13-石-硕_的■以（5-5）u及加速3.动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
4.初始条件和边界条件的相似初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。
流动相似的含义：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
工程流体力学中的圆管流体流动分析在工程流体力学中，圆管流体流动分析是一项重要的研究任务。
圆管流体流动是指在圆形截面的管道中，流体经过管道内壁的摩擦作用，产生的流动现象。
对圆管流体流动进行分析，可以帮助我们理解管道内部的流动特性，进而优化工程设计和处理流体相关问题。
首先，圆管流体流动的基本方程是由连续性方程和动量方程组成。
连续性方程描述了流体在管道中的质量守恒，即单位时间内流入管道的质量等于单位时间内流出管道的质量。
动量方程则描述了流体在管道中受到的力和产生的加速度之间的关系。
通过求解这些方程，可以得到流体在管道中的速度分布和压力分布，从而全面了解流体流动的特性。
其次，当流体在圆管中流动时，由于管壁对流体的摩擦力作用，流体流速会在管道壁附近达到最小值，并在管道中心达到最大值。
这种速度分布称为层流。
层流的特点是速度分布均匀，流动稳定，并且粘性力起主导作用。
而当流速增加到一定程度时，流体流动呈现出不稳定的现象，涡流开始出现，并在管道中形成乱流。
乱流的特点是速度分布不均匀，流体粘度对流动的影响较小，也更容易产生流体的混合。
此外，圆管流体流动还受到很多因素的影响。
其中，流体的性质（如粘度、密度等）、管道的几何形状和尺寸以及边界条件等因素都会对流动的特性造成影响。
在工程实际中，需要根据具体问题的要求，考虑这些因素的综合作用，并进行流体流动的数值模拟和实验研究，以获得准确的结果。
在实际工程应用中，圆管流体流动分析具有重要的实际意义。
例如，在给水管道中流体的流动分析可以帮助我们确定管道的尺寸和流量，确保给水系统的正常供水量。
又如，在油管输送系统中进行流动分析可以帮助我们优化管道设计，减少能源消耗和运输成本。
此外，在汽车机械中，圆管流动分析也可以用于研究排气系统和冷却系统中的流体流动，提高发动机的性能和效率。
总之，工程流体力学中的圆管流体流动分析是一项关键的研究任务，通过解决圆管流体流动问题，可以为工程设计和流体处理提供准确的流动特性和相关参数。
第5章圆管流动一.学习目的和任务1.本章学习目的（1）掌握流体流动的两种状态与雷诺数之间的关系；（2）切实掌握计算阻力损失的知识，为管路计算打基础。
2.本章学习任务了解雷诺实验过程及层流、紊流的流态特点，熟练掌握流态判别标准；掌握圆管层流基本规律，了解紊流的机理和脉动、时均化以及混合长度理论；了解尼古拉兹实验和莫迪图的使用，掌握阻力系数的确定方法；理解流动阻力的两种形式，掌握管路沿程损失和局部损失的计算；了解边界层概念、边界层分离和绕流阻力。
二.重点、难点重点：雷诺数及流态判别，圆管层流运动规律，沿程阻力系数的确定，沿程损失和局部损失计算。
难点：紊流流速分布和紊流阻力分析。
由于实际流体存在黏性，流体在圆管中流动会受到阻力的作用，从而引起流体能量的损失。
本章将主要讨论实际流体在圆管内流动的情况和能量损失的计算。
5.1 雷诺(Osborne Reynolds)实验和流态判据5.1.1 雷诺实验1883年，英国科学家雷诺通过实验发现，流体在流动时存在两种不同的状态，对应的流体微团运动呈现完全不同的规律。
这就是著名的雷诺实验，它是流体力学中最重要实验之一。
图5－1 雷诺(Osborne Reynolds)实验图5－2 雷诺实验结果105如图5－1所示为雷诺实验的装置。
其中的阀门T1保持水箱A 内的水位不变，使流动处在恒定流状态；水管B 上相距为l 处分别装有一根测压管，用来测量两处的沿程损失f h ，管末端装有一个调节流量的阀门T3，容器C 用来计量流量；容器D 盛有颜色液体，T2控制其流量。
进行实验时，先微开阀门T3，使水管中保持小速度稳定水流，然后打开颜色液体阀门T2放出连续的细流，可以观察到水管内颜色液体成一条直的流线，如图5－2（a ）所示；从这一现象可以看出，在管中流速较小时，它与水流不相混和，管中的液体质点均保持直线运动，水流层与层间互不干扰，这种流动称为层流（Laminar flow ）。
比如，实际中黏性较大的液体在极缓慢流动时，属层流运动。
随后，逐渐开大阀门T3，增大管中液体流速，流速达到一定速度时，管内颜色液体开始抖动，具有波形轮廓，如图5－2（b ）所示。
继续增大流速，颜色液体抖动加剧，并在某个流速/c u （上临界流速）时，颜色液体线完全消失，颜色液体溶入水流中，如图5－2（c ）所示；这种现象是液体质点的运动轨迹不规则，各层液体相互剧烈混和，产生随机的脉动，这种流动称为湍流（Turbulent flow ）或紊流。
上述实验是液体流速由小到大的情况，流速由大到小的实验过程是首先全开阀门T3，让水流在水管B 中高速流动，形成湍流状态，然后适当打开颜色液体阀门T2，使颜色液体溶入水流中；然后缓慢关小阀门T3，使液体流速逐渐降低，当流速减到某一值c u （下临界流速）时，流动形态就由湍流变成层流。
这两次实验所不同的是，由层流转变成湍流时的流速/c u 要小于由湍流转变成层流的流速c u 。
实验表明，流体流动具有两种形态，并且可以相互转变。
5.1.2 流态判据上述实验告诉我们流体流动有层流和湍流两种流态，以及流态与管道流速间的关系，可以用临界流速来判别。
通过对雷诺实验的数据测定和进一步分析，流态不但与断面平均流速v 有关，而且与管径d 、液体密度ρ以及其黏性μ有关。
归结为一个无因数——雷106诺数（Reynolds number ）——作为判别流动状态的准则。
雷诺数Re 为Re ud udρμν== (5.1-1) 式中ρ――流体密度，kg/m 3；u ——管内平均流速，m/s ；μ——动力黏度，Pa.s ；μνρ=——运动黏度，m 2/s ； d ——圆管直径，对于非圆管为水力直径，m 。
水力直径d 可表示为χAd 4=(5.1-2)式中 A ——过流断面面积。
χ——过流断面上流体与壁面接触的周界，称为湿周长度。
雷诺实验及其他大量的实验表明，与下临界流速对应的雷诺数几乎不变，约为Re 2320c =（称为下临界雷诺数），而与上临界流速对应的雷诺数随实验条件不同在2320~13800的范围内变化。
对于工程实际来说可取下临界雷诺数为判别，即:Re Re c ≤时为层流；Re Re c >时为湍流。
由上述可知，流态不仅反映了管道内液体的特性，同时还反映了管道的特性。
雷诺数是判别流态的标准。
5.2 圆管中的层流运动圆管中的层流运动常见于工程实际中，在机械工程上尤其常用，如液压传动、润滑油管、滑动轴承中油膜的流动等。
研究圆管层流具有非常重要的意义。
1075.2.1 建立圆管中层流运动微分方程的方法第一种方法是基于纳维－斯托克斯方程（N －S ）方程的简化分析，第二种方法是基于微元流体的牛顿力学分析法。
前者只要根据层流特点简化即可，为应用N －S 方程以后解决湍流等问题奠定基础；后者简明扼要，物理概念明确。
第一种分析方法将在下一节中讲述，下面介绍第二种方法。
5.2.1.1 牛顿力学分析法管内流动的沿程损失是由管壁摩擦及流体内摩擦造成的。
首先建立关于水平圆管内流动的摩擦阻力与沿程损失间的关系；如图5-3所示，取长为dx ，半径为r 的微元圆柱体，不计质量力和惯性力，仅考虑压力和剪应力，则有02)(22=-+-τππdx dp p r p r得2dp rdx τ=-由于2121p p dp p dx x x L-∆==-- 根据牛顿黏性定律drduμτ-=，再考虑到Lpdx dp ∆-=，则有 r Lpdr du μ2∆-= (5.2-1) 5.2.1.2 速度分布规律与流量对式(5.2-1)作不定积分，得c r Lp u +∆-=24μ (5.2-2) 边界条件R r =时，0=u ；0r =时，max u u =。
则可定积分常数24R Lp c μ∆-=并代入上式，得 图 5-3 圆管层流（二）108)(422r R Lp u -∆-=μ 和2max 4R p u L μ∆= (5.2-3)式(5.2-3)表明，圆管层流的速度分布是以管轴线为轴线的二次抛物面，如图5-4所示。
ux在半径r 处取壁厚为dr 的微圆环，在dr 上可视速度u 为常数，圆环截面上的微流量dq 为：2222()4p dq udA u rdr R r rdr Lππμ∆==⨯=- (5.2-5) 积分上式，可求圆管流量q4222()4128R Rp d q dq R r rdr p L Lππμμ∆==-=∆⎰⎰(5.2-6) 式(5.2-16)称哈根－伯肃叶定律（Hagen-Poiseuille law ），它与精密实测结果完全一致。
5.2.1.3 最大流速与平均流速由式(5.2-3)知2max4R p u Lμ∆= (5.2-7) 由式(5.2-6)可求平均流速u22max 13282q pd p u R u A L L μμ∆∆===＝ (5.2-8)5.2.1.4 剪应力分布规律由式(5.2-3)并根据牛顿内摩擦定律可求剪应力τ图 5-4 圆管层流的速度和剪应力分布109r Lp r R L p dr d dr du 2)](4[22∆=-∆-=μμμτ＝－ (5.2-9) 由上式知，剪应力τ服从线性分布，如图5-4所示，并且R r =时管壁上的剪应力τ即最大值m ax τ，即duR L p μττ82max 0=∆== (5.2-10) 5.2.1.5 压力损失p ∆或L h由式(5.2-6)可求流体在圆管流经L 距离后的压降p ∆4212832qL Lu p d dμμπ∆== (5.2-11) 压力损失p ∆也可用液柱高度形式表示u gd Lg u d L g u d L ph L 222322Re 642ρμλγ===∆= (5.2-12)式(5.2-12)为圆管层流时的损失计算公式，称达西公式（Darcy equation ），式中λ称沿程阻力系数，对于水Re 64＝λ，对于油液Re80~75＝λ。
5.2.1.6 功率损失L N242241288128L q L d N pq Lu p L dμππμμπ=∆===∆ (5.2-13)【例5-1】 在长度1000=l m,直径300=d mm 的管路中输送密度为ρ=0.95kg/m 3的重油，其重量流量6.2371=G kN/h ，求油温分别为10°C （运动黏度为=υ25cm 2/s ）和40°C(运动黏度为15=υcm 2/s)时的水头损失。
【解】 体积流量2371.60.07080.959.83600G q g ρ===⨯⨯m 3/s 平均速度11020.07080.34q v Aπ===⨯1m/s 10°C 时的雷诺数110030Re 120232025vdν⨯===< 40°C 时的雷诺数210030Re 200232015vdν⨯===<该流动属层流，故可以应用达西公式计算沿程水头损失。
703.908.923.012011000642Re 64222121=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=⋅=g v d l g v d l h f λm 油柱高同理，可计算40°C 时的沿程水头损失421.548.923.0200110006422=⨯⨯⨯⨯⨯=f h m 油柱高5.3 椭圆管层流在上一节中，已经分析了圆管中层流的情况。
由于医疗设备等技术的发展，非圆管特别是椭圆管也被应该在流体输送管道中。
这一节将分析较少见的椭圆管层流的问题。
5.3.1 椭圆管流体运动微分方程由数学知识可知，如图5－5所示，椭圆形方程为22221x z a b+= （,a x a b z b -≤≤-≤≤） (5.3-1)前面已经提到分析管中层流有两种方法，这里运用基于纳维－斯托克斯方程（N －S ）方程的简化分析。
图5－5 椭圆形管道111参看图5-5，取0-xyz 坐标系，y 轴与椭圆管轴线重合。
层流仅有y 向的运动，没有x 和z 向运动，即0x z u u ==，0y u ≠；另外，在层流状态下，流态稳定，故惯性力和质量力可不计，即0===dtdu dt du dt du zy x 和0x y z f f f ===。
则一维层流状态条件下，根据如上设定，直角坐标系中的N －S 方程可简化为：2222221()0x x x u u u pv x y z yp p x zρ⎧∂∂∂∂++=⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂⎪==⎪∂∂⎩ (5.3-2) 上式(5.3 -2)知，p 与x, z 无关，仅为y 的函数，则p dpy dy∂=∂；又由不可压缩流体在稳态流条件下的连续方程为0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u zy x ，因0x z u u ==，则有0y u y∂=∂，220y u y∂=∂，另外，流体为一维流动，y u u =，则上式简化为22221p u uy x z μ∂∂∂=+∂∂∂ (5.3-3) 上式即为椭圆管内流体运动方程。
