北师大版九年级数学下册知识点归纳：第三章圆

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外⇒ d <r ⇒⇒ d =r ⇒⇒ d >r ⇒点C 在圆内；点B 在圆上；点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d >r ⇒ 无交点；2、直线与圆相切⇒d =r ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交⇒d <r ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图 1）⇒ 无交点⇒d >R +r ；外切（图 2）⇒ 有一个交点⇒d =R +r ；相交（图 3）⇒ 有两个交点⇒R -r <d <R +r ；内切（图 4）⇒ 有一个交点⇒d =R -r ；内含（图 5）⇒ 无交点⇒d <R -r ；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB 是直径② AB ⊥CD ③ CE =DE ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。

圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r 无交点;1、 点在圆内 d r2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上;3、点在圆外 d r 点A 在圆外;2、直线与圆相切d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;外离（图1）无交点 d R r ;d R r ;外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r d R r ；内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在O O 中，T AB // CD• ••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

北师大版数学九年级下册第三章圆1.圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中，定点称为圆心，定长称为半径。

以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。

2.点与圆的位置关系点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。

3.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

4.圆弧、弦、弦心距圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

从圆心到弦的距离叫弦心距。

如图，以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”*；线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙O的一条直径。

*弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE=BE，，。

平分弦（不是直径．．．．）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弦。

6.旋转不变性一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。

特别地，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

7.圆心角、圆周角的定义及关系顶点在圆心的角叫圆心角。

顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

同弧或等弧所对的圆周角相等。

（如右图）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（如下图【甲】）直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

（如下图【乙】）8.确定圆的条件不在同一条直线上．．．．．．．．的三个点确定一个圆。

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

9.直线和圆的位置关系如图，直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离。

直线和圆有惟一．．公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。

北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知识点。

在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。

下面我们就来一起探索一下这些知识点。

首先，我们来看一下圆的定义。

圆是平面上一组离一个定点距离相等的点构成的集合。

这个定点称为圆心，记作O；到圆心距离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。

圆的性质是我们学习圆的关键。

首先，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离，我们用字母r表示。

半径相等的两个圆互为同心圆。

圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。

弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。

圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。

圆的面积公式为S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。

在计算圆的面积时，我们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。

而圆的周长则是另一个重要的指标。

圆的周长公式为C=2πr，即圆的周长等于半径的二倍乘以π。

对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。

正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活中的应用。

例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它的指针不断地绕圆形表盘运动。

又如，在木匠工作中，我们需要制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。

圆的知识点也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。

最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。

例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进行对比，从而更好地理解圆形的特点。

此外，还可以通过解决实际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或者计算一个游泳池的圆周长度等等。

在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上述内容。

通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。

总的来说，圆是几何学中非常重要的一个概念，也是数学中基础而重要的知识点。

九年级下册北师大版圆知识点圆是我们学习数学的重要内容之一。

在九年级下册北师大版教材中，圆的知识点被分散在不同的章节中，下面我将逐一介绍这些知识点。

首先是圆的基本概念。

圆是由一个平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。

在圆中，距离圆心最远的点称为圆的半径，而连接圆心和任意一点的线段称为半径。

圆心到圆上任意一点的距离称为弦长，而通过圆心的弦则是圆的直径。

接下来是圆的性质。

圆的直径是圆的最长弦，它等于圆的半径的两倍。

两个半径相互垂直的圆被称为互相垂直的圆。

圆的半径、弦和切线之间有一定的关系，具体可以用切线定理和弦切角定理来描述。

此外，同一个圆内的两个相交弦的弦积等于这两个弦所夹的弧的弧积。

圆上的一个弧所对的圆心角等于这个弧所对的弦所对的圆心角的一半。

在九年级下册北师大版教材中，我们还学习到了圆与直线的相关知识。

当直线与圆相交时，根据位置与长度可以分为两个弦相交、切线相交和弦切线相交三种情况。

对于弦切线相交，我们需要掌握切线与半径的关系，以及如何根据已知条件求解问题。

另外，我们还学习到了与圆相关的计算问题。

例如，根据圆的半径或直径求解圆的周长和面积的公式。

这些公式是基础且实用的，能够帮助我们更好地理解和应用圆的知识。

除了圆的基本概念和性质，我们还学习到了与圆相关的证明问题。

通过证明，我们可以深入理解圆的性质，并通过推理和演绎的方法得出结论。

对于证明问题，我们需要灵活运用已有的圆的定理和性质，寻找合适的证明方法，从而解决各种与圆相关的问题。

在学习圆的知识时，我们还要注意与其他几何知识的联系和应用。

例如，我们可以将圆与三角形、四边形等图形进行结合，进一步理解并应用圆的性质和定理。

通过九年级下册北师大版教材中关于圆的学习，我们可以学会运用圆的基本概念和性质解决与圆相关的问题。

同时，我们还需要注重思维的拓展，灵活运用已有的知识和方法，培养数学思维能力和解决问题的能力。

最后，通过积极参与课堂讨论和练习，我们可以更好地掌握圆的知识，提高自己的数学水平。

一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。

2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。

难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。

这个圆叫做该正多边形的外接圆。

② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。

AOB 叫做这个正五边形的中心角。

A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。

（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。

D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。

典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。