量子化学习题及答案

量子化学考试试题一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、量子化学中，描述微观粒子运动状态的函数被称为（）A 波函数B 概率密度C 哈密顿量D 薛定谔方程2、下列哪个量子数决定了原子轨道的形状（）A 主量子数B 角量子数C 磁量子数D 自旋量子数3、对于氢原子的 1s 轨道，其电子出现概率最大的位置是（）A 原子核处B 离核无穷远处C 离核一定距离处D 无法确定4、量子化学中，计算分子能量常用的方法是（）A 半经验方法B 从头算方法C 密度泛函理论D 以上都是5、下列哪种化学键具有明显的量子力学特征（）A 离子键B 共价键C 金属键D 氢键6、在量子化学中，分子轨道是由原子轨道线性组合而成，这一原理被称为（）A 杂化轨道理论B 价键理论C 分子轨道理论D 晶体场理论二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、量子力学的基本假设包括波函数假设、算符假设、测量假设、全同性原理和＿_________________ 。

2、氢原子的薛定谔方程在球坐标下的解中，径向波函数 R(r) 与＿_________________ 有关。

3、多电子原子的电子排布遵循的原则有能量最低原理、泡利不相容原理和＿_________________ 。

4、分子的偶极矩是衡量分子＿_________________ 的物理量。

5、密度泛函理论的核心思想是将体系的能量表示为＿_________________ 的泛函。

6、量子化学计算中，常用的基组有 STO-3G、6-31G 等，其中 6-31G 表示的是＿_________________ 。

三、简答题（每题 10 分，共 20 分）1、简述量子化学中 HartreeFock 方法的基本思想。

2、解释为什么分子的振动光谱通常具有一系列的吸收峰，而不是单一的吸收峰。

四、计算题（共 20 分）已知氢原子处于某一激发态的波函数为：ψ ＝1/√8π a₀³（r/a₀) exp(r/2a₀) ，其中 a₀为玻尔半径。

基础量子化学练习精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】2010基础量子化学练习（1）一、 判断正误（ ）1、 一个态函数总是等于时间的函数乘以坐标的函数。

（ ）2、 态函数总是Hamiltonian 算符的本征函数。

（ ）3、 Hamiltonian 算符的本征函数的任意线性组合是Hamiltonian 算符的本征函数。

（ ）4、 如果态函数不是算符ˆA的本征函数，则性质A 的一次测量可给出一个不是ˆA 的本征值的值。

（ ）5、 几率密度与时间无关。

（ ）6、 如果两个算符具有共同的本征函数，那么这两个算符可对易。

（ ）7、 算符ˆx 与d i dx -可对易。

（ ）8、 氢原子Hamiltonian 算符的束缚态的本征函数构成完备集。

（ ）9、 厄米算符的本征函数是正交的。

（ ）10、 描述电子轨道运动的波函数必须是奇函数。

二、已知：2ˆˆˆ,A d dx B x ==，计算2ˆˆˆˆ,()A B A B ⎡⎤+⎣⎦及 三、已知：11223344ˆˆˆˆ,,,,A a A b A a A d ϕϕϕϕϕϕϕϕ====如果任意状态可以表示为12343253,ψϕϕϕϕ=+++那么当我们对该状态进行测量时，获得a 和d 的几率各是多少？求任意状态 的性质A 的平均值。

2010基础量子化学练习（2）一、 判断正误（ ）11、 算符ˆˆˆ,,A B C 满足ˆˆˆˆ,0,,0A B A C ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，则三个算符存在共同的本征函数集。

（ ）12、 不能对易的算符不可能具有共同的本征函数。

（ ）13、 当对本征态的性质A 进行测量时，能够得到的唯一仅有的值是算符ˆA的本征值。

（ ）14、 如果一个算符的平方等于单位算符，那么这个算符的本征值等于＋1或者－1。

（ ）15、 所有品优的奇函数和偶函数都是宇称算符的本征函数。

Principles Of Quantum Chemistry——Kwong.S.T名词解释1.测不准关系：()()41M L 22≥∆⋅∆{∫ψ*i[L ,M ]ψdx}22.酉矩阵：S +=S -13.厄米算符：算符L 满足∫u 1*(x)L u 2(x)dx=∫u 2(x)L *u 1*(x)dx,其中u 1(x)和u 2(x)是任意两个平方可积函数，积分遍于自变量全部区域。

则称L 是厄米算符。

4.等价表示：矩阵群M 和M’所包含的每一个对应矩阵之间只差一个同样的相似变换，就说M’和M 是等价表示。

5.可约表示：如果一个矩阵表示可以表示成子矩阵的直和，那么这个矩阵表示是可约表示。

6.不可约表示特征标：不可约表示矩阵群的对角元素之和称为这个不可约表示的特征标。

7.投影算符：P R R hl k j Rj j k*∑Γ=λλ)()()(，其中R 为群元素，*Γk j R λ)()(是第j 个不可约表示操作R 的第λ行第k 列的矩阵元，l j 是第j 个不可约表示的维数，h 为群的阶。

8.轨道近似：认为各个电子的运动是彼此独立的，每个电子都在核与其它电子所形成的稳定的平均场中运动，从而每个电子的状态可以用一个单电子波函数来描写。

9.定域分子轨道：认为成键电子只是集中在相邻两原子间的键轴区域内。

10.正则分子轨道：由HFR 方程解出的分子轨道。

11.Slater 行列式：描述多电子体系满足保里原理的波函数。

12.ab initio ：严格的按HFR 方程进行计算称为从头计算。

13.NDO ：假设原子轨道在空间任何地方都不重叠。

DO ：对所有不同原子轨道的乘积都采用忽略微分重叠近似。

15.NDDO ：对属于同一原子各对轨道重叠的排斥积分全部予以保留。

16.INDO ：只保留单中心积分中同一原子对各轨道的微分重叠。

17.EHMO ：整个分子不在一个平面上，则σ，π分离就不可能，于是就必须对分子中所有原子的所有价电子进行计算，若这种计算不是基于自洽场分子轨道理论，就称之为推广的休克尔分子轨道法。

6-31G*=6-31G(d)6：代表每个内层轨道由六个高斯型基函数拟合而成；价层轨道劈裂成两个Salter型基函数，内层轨道不发生劈裂，其中一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成，另一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成；d：表示要对出氢以外的原子都要加d轨道Salter型基函数：2*4+（1+2+2*3+6）*2=38Gauss型基函数：4*4+（6+4+4*3+1*6）*2=722、解：第一种方法：CH,1, 1.08290068H,1, 1.08290068,2, 109.47122063H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,120.0,0H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,-120.0,0第二种方法：CH 1 B1H 1 B2 2 A1H 1 B3 2 A2 3 D1 0H 1 B4 2 A3 3 D2 0B1 1.08290068B2 1.08290068B3 1.08290068B4 1.08290068A1 109.47122063A2 109.47122063A3 109.47122063D1 120.00000000D2 -120.000000003、解：在分子势能面上有五类极值点，分别如下：整体极小点、局部极小点、整体极大点、局部极大点及鞍点。

整体极小点：整个势能面上的最低点，代表了能量最低也就是最稳定的结构；局部极小点：势能面某个区域内的最低点，代表了局部区域内能量最低的点；整体极大点：整个势能面上的最高点，代表了能量最高的点；局部极大点：势能面某个区域内的最高点，代表了局部区域内的能量最高的点；鞍点：在一个方向上是极小点，其他方向上都是极大点，代表了体系的过渡态。

判断某一极值点是否为过度态：首先，是否有且只有一个虚频（数值为负值，足够大，一般上百）；其次，看虚频的震动模式是不是朝着反应物和产物的方向震动；再次，进行IRC计算，看看是不是总想了反应物和产物。

Py基础量子化学习题1.为什么微观粒子的运动状态要使用量子力学来描述，而不能用经典力学来描述？答：以牛顿三大定律为中心内容的经典力学适用于宏观物体的机械运动，当经典力学的应用范围推广到高速运动和小线度范围时，实验表明经典力学遇到了不可克服的困难。

对微观体系的研究导致了量子力学的诞生。

因为许多微观粒子都具有波粒二象性。

而在观察之前，我们得不到一个粒子的确切位置，它是一道弥散的波。

可以通过波函数来表示它们在每一区域出现的概率。

所以，描述描述微观粒子的运动状态要用量子力学。

2. 原子 A 和原子 B 在 y 轴上，指出 A 原子的 Px, Py, Pz 原子轨道与 B 原子的 dxy, dyz, dz 2 原子轨道间分别可形成什么分子轨道？①原子 A 的 Px 原子轨道与原子 B 的任意原子轨道无法形成分子轨道②原子 A 的 Py 原子轨道与原子 B 的 dyz 原子轨道形成π分子轨道(如图 1)图（1）③原子 A 的 Pz 原子轨道与原子 B 的 dyz 原子轨道形成σ 型分子轨道(如图 2)图（2）3. 原子 A 和原子 B 在 y 轴上，指出 A 原子的 px, py, pz 原子轨道与 B 原子的 dxy, dyz, dz2 原子轨道间分别可形成什么分子轨道？①原子 A 的 Px 原子轨道与原子 B 的 dxy 原子轨道形成π型分子轨道(如图 3)。

②原子 A 的 Py 原子轨道与原子 B 的任意原子轨道都无法形成分子轨道。

③原子 A 的 Pz 原子轨道与原子 B 的 dyz 原子轨道形成σ 型分子轨道(如图 4)。

∑ ∑ 10∑ ∑ 10 R )0 14. 写出任意一个原子的能量算符。

写出 Na+和 F-的薛定谔方程算符表达式。

ˆ h 22e 2H 原子的能量算符： H = -8π 2μ∇ - 4πε rNa +的薛定谔方程H ˆ = - h 10102i 11e 2+ ∑∑ e 8π 2 m i =1 i =1 4πε 0 r ii =1 i > j 4πε 0 r ijH ˆ ψ = E ψF -的薛定谔方程： H ˆ = - h10 10 2 i 9e 2 + ∑∑ e 8π 2 m i =1 i =1 4πε0 r ii =1 i ≠ j 4πε0 r ijH ˆ ψ = E ψ5. 写出任意一个分子的能量算符。

6-31G*=6-31G(d)6：代表每个内层轨道由六个高斯型基函数拟合而成；价层轨道劈裂成两个Salter型基函数，内层轨道不发生劈裂，其中一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成，另一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成；d：表示要对出氢以外的原子都要加d轨道Salter型基函数：2*4+（1+2+2*3+6）*2=38Gauss型基函数：4*4+（6+4+4*3+1*6）*2=722、解：第一种方法：CH,1, 1.08290068H,1, 1.08290068,2, 109.47122063H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,120.0,0H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,-120.0,0第二种方法：CH 1 B1H 1 B2 2 A1H 1 B3 2 A2 3 D1 0H 1 B4 2 A3 3 D2 0B1 1.08290068B2 1.08290068B3 1.08290068B4 1.08290068A1 109.47122063A2 109.47122063A3 109.47122063D1 120.00000000D2 -120.000000003、解：在分子势能面上有五类极值点，分别如下：整体极小点、局部极小点、整体极大点、局部极大点及鞍点。

整体极小点：整个势能面上的最低点，代表了能量最低也就是最稳定的结构；局部极小点：势能面某个区域内的最低点，代表了局部区域内能量最低的点；整体极大点：整个势能面上的最高点，代表了能量最高的点；局部极大点：势能面某个区域内的最高点，代表了局部区域内的能量最高的点；鞍点：在一个方向上是极小点，其他方向上都是极大点，代表了体系的过渡态。

判断某一极值点是否为过度态：首先，是否有且只有一个虚频（数值为负值，足够大，一般上百）；其次，看虚频的震动模式是不是朝着反应物和产物的方向震动；再次，进行IRC计算，看看是不是总想了反应物和产物。

《量子化学基础》习题课 1. 波粒二象性: λhP =,测不准关系x ∆·x ∆P ≧习题1.一粒微尘m=10-8kg,运动速度01.0=υm/s,若速度的不确定程度为810-=∆υm/s 可谓很精确,试计算位置的不确定程度.(h=6.626×10-34J.s)(答案:181063.6-⨯=∆x m)习题2.原子直径约为10A (10-10m),核外电子运动速度大约是光速的1%,计算速度的不确定度.(答案:6107⨯=∆υm)例1.已知光学光栅窄缝宽度为10-4cm,电子动能为105eV,试用测不准关系证明:用光学光栅观测不到电子衍射.解:单缝衍射如下图αsin P =P =∆P x x ①按干涉原理,图中电子射向屏中第一暗区,说明物质波相互抵消,上下两束电子波的光程差应为d/2.λαα=⋅∆=⋅=sin sin x d BC ②这里410-=∆=x d cm,meV h mE h h 22==P =λ (=m 9.11×10-31kg ；=e 1.602×10-19C) 51025.1225.12==V λ=3.87×10-12m 661210101087.3sin ---=⨯==m m d λα 0≈α 证毕. 习题3.计算动能为3000eV 的电子的de Brogle 波长(1eV=1.602×10-19J, V 3000C10602.1J 10602.130001919=⨯⨯⨯=--V ) (答案: 0A 2237.0300025.1225.12===V λ.) 2 .一维势箱: 2228ml h n E =,),2,1( =nx ln C x πsin )(2=ψ 习题4.计算箱宽为5×10-10m 的一维势箱中粒子n=1、2时的能量.及粒子从n=2跃迁到n=1时辐射的波长. (答案:E 1=2.41×10-19J,E 2=9.64×10-19J191023.7-⨯=∆E J 71075.2-⨯=λm) 习题 5.可将原子中的电子粗略的模拟为一维箱中粒子,箱的宽度为原子的尺度.计算在长度10A 的箱中电子两个最低能级之差(eV)和在此两能级间跃迁的光子波长(cm). (答案:21013.1⨯=∆E eV, 8101.1-⨯=λm)例2. 丁二烯(H 2C=CH-CH=CH 2)4个π电子(P z 电子),可以近似地看作长度为大Π键键长(已知:双键长035.1A 、单键长054.1A )的一维势箱中的4个粒子的运动.体系的基态向第一激发态的跃迁为:_______1_______2___________3___________4↑↓=↑↓===n n n n 1_______2________3________4___________=↑↓=↑=↑=n n n n求:体系基态向第一激发态的跃迁能(cm -1).解.箱长:m A A l 10001078.554.1235.12-⨯=⨯+⨯=.)23(888222222222223-=-=∆l m h l m h n l m h n E e e e 21031234)1078.5(1011.985)10626.6(m kg s J ---⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=J 191002.9-⨯=.14834191054.4/10310626.61002.9----⨯=⨯⨯⋅⨯⨯=∆=cm s m s J J hc E ν 例3.有一个量子数为n 在长度为l 的一维箱中运动的粒子(1)计算在箱的左端41区内找到粒子的几率.(2)n 为何值时该几率最大?(3)计算当n →∞时该几率的极限?解: 2sin 2141)sin 2(2410πππn n dx x l n l P -==⎰⎪⎩⎪⎨⎧==-==8,6,4,2,015,11,7,3,113,9,5,1,12sin n n n n 当当当π 即,n=3时,P 最大.π6141max +=P . 41)2sin 2141(lim =-∞→ππn n n (该式说明:当n →∞时量子力学问题还原为经典(力学)问题,因为经典力学处理一维箱问题在左端1/4处的几率正是1/4.)习题6.有一质量为1g 的小球,在长为10cm 的一维箱中运动小球速度0.1cm/s,试求小球的量子数n 是多少 ? (答案:n=3.018×1026) 3. 一位谐振子:m k πν21=)21(+=υνh E ( 3,2,1,0=υ) 习题7.HI 近红外光谱的基本振动频率22300=-ν.1cm -1,求HI 键的弹力常数k . (答案:k =2.93×105 D.cm -1) 习题8.已知H 2和Cl 2的基本振动频率分别为24.4395)(20=H νcm -1,9.564)(20=Cl νcm -1,求它们的零点能. (答案:E 0(H 2)=6.28kg/mol, E 0(Cl 2)=0.807kg/mol) 例 4.利用简谐振动公式:)sin()(φω+=t C t x ,证明一维谐振子的总能量是常数:221kC E =解:)(sin 21)(cos 2122222φωφωω+++=+=t kC t C m V T E m k =2ω ,带入上式,得: 221kC E =. 习题9.若H 35Cl 基本振动频率13010667.8⨯=νs -1,试求H 37Cl 的基本振动频率,设它们键的力常数相同.(答案:8.660×1013s -1) 4. 刚性转子:)1(22+=l l IE ( 3,2,1,0=l ) )1(2)(+=l B l ν (式中Ic hB 28π=) 例5.由HCl 的远红外光谱数据得知HCl 的转动能级相邻谱线间距为20.74cm -1,求HCl 分子的键长r.解: c r hIc h B 222442μππν===∆24231063.11002.6)45.35008.1(45.35008.1-⨯=⨯+⨯=+⋅=Cl H Cl H m m m m μg/mol 211024227212)2/74.20(1031063.1)1416.3(810626.6)8(］［⨯⨯⨯⨯⨯⨯==--cB h r μπ =1.287×10-8cm=1.2870A习题10.从CN 的微波谱知道一系列谱线的间距皆为3.7978cm -1,求该分子的核间距r.(答案:r=1.172×10-10m)习题11.已知CN +的键长是1.290A ,指出CN +微波谱的第一到第四条线的位置.(答案:3.134cm -1,6.268cm -1,9.402cm -1,12.536cm -1 5.算符:),,(t q P F ∧∧其中q i ∂∂-=P ∧与本征函数:∧A )(x f =k )(x f习题12.写出下列物理量的算符:(1)动量P,(2)动量3y p ,(3)x y yp xp -,(4)动能T( 答案(1))(z k y j x i i P ∂∂+∂∂+∂∂-=∧,(2)3333y i P y ∂∂=∧(3))()(x y y x i p y p x L x y z ∂∂-∂∂-=-=∧∧∧ (4) )(22222222z y x m T ∂∂+∂∂+∂∂-=∧) 13.计算算符222kx dx d A -=∧的本征函数2x e α-的本征值(答案:22)24()(222222x x e kx x e kx dx d αααα----=- )14.利用[∧D ,∧x ]=1,(1)计算2)(x D +∧,(2)))((x D x D -+∧∧ (答案:(1)2)(x D +∧1222+++=∧x D x D (2)1))((22--=-+∧∧∧x D x D x D )15.三维箱中粒子的波函数是下列那些算符的本征函数(1)∧x p ,(2)∧2x p ,(3)∧2z p ,(4)∧2x .(答案(2),(3) )6.对易计算以下对易恒等式可方便对易运算:①.],[],[∧∧∧∧-=A B B A②.0],[=∧∧n A A (n=1,2,3…)③.],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A k kB A B kA④],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A⑤ ],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A 例6.计算对易子:],[∧x P x ,],[2∧x P x ,],[∧H x ,],[∧∧H P x .解: i i x x i x x i x i x P x x =-=∂∂-=∂∂=∂∂=∧],[],[],[],[ ],[],[],[2∧∧∧∧∧+=x x x x x P x P P P x P xx i i x i i ∂∂⋅+∂∂⋅= x ∂∂=22)](21,[],[)],,(,[],[222∧∧∧∧∧∧++==+=z y x P P P m x T x z y x V T x H x ∧∧=∂∂==x x P mi x m P x m 22],[21 ],[)](,[21],[222V P P P P P m H P x z y x x x ∧∧∧∧∧∧∧+++= x V i V x i V P x ∂∂-=∂∂-==∧],[],[(式中x V f x f V x Vf f x V V x f V x ∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂)()(],[)16.计算:],[222c bx ax dx d ++ (答案: ],[222c bx ax dx d ++=dxd b ax a )24(2++. ) 例7.证明:222)(〉〈-〉〈=∆A A A解: 〉〉〈-〈≡≡∆∧222)()(A A A A στψψd A A ⎰〉〈-=∧*2)( τψψτψψτψψτψψd A d A A d A A d A ⎰⎰⎰⎰〉〈+〉〈-〉〈-=*∧*∧*∧*22τψψτψψτψψd A d A A d A A A ⎰⎰⎰*∧*∧*〉〈+〉〈-〉〈-〉〈=22 2222〉〈+〉〈-〉〈-〉〈=A A A A 22〉〈-〉〈=A A 证毕 7. H 原子薛定谔方程的解222204118n R n h e E n -=-=εμ (n=1,2,…),其中22048h e R εμ-=. )()()(,,,θϕθϕψm l l n m l n Y r R r =)()()(,,ϕθm m l l n r R ΦΘ= ϕθim ml na Zr i l l n i i e P e a Zr c C )(cos })({0101--+-=∑= 氢原子波函数受控于三个量子数(m l n ,,)∞=,,2,1 n1,,2,1,0-=n ll m ±±±=,,2,1,0习题17.下列函数(1)2P z ,(2)2P x ,(3)2P 1分别是算符∧H 、∧2L 、∧z L 中哪个的本征函数. (答案:(1)、(3)全是,(2)是∧H 、∧2L 的本征函数) 习题18.对H 原子P 态,测量L Z 的可能值为h 、0、-h,问在下列函数中测量L Z 得到各可能值的几率.(1)Pz 2ψ,(2) Px 2ψ,(3) 12P ψ(答案:(1) 121211210200-⋅+⋅+=ψψψψPz得0值几率为1,得h 、-h 几率为0. (2) 121211*********-++⋅=ψψψψPx 得h 、-h 几率各为21,得0值几率为0.(3) 12P ψ=211ψ,得h 几率为1,其余为0) 例8.已知H 原子)(ϕΦ方程复数解:ϕπϕim m e 21)(=Φ,(1)验证)(ϕm Φ是归一化的.(2)证明)(ϕm Φ是算符ϕ∂∂-=∧ i L z 的本征函数.而)(ϕm Φ线性组合的实函数: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φϕπϕϕπϕm m m msin 1)(cos 1)('`不是∧z L 的本征函数.解:(1)121212020202===ΦΦ=Φ⎰⎰⎰⎰-*ππϕϕπϕπϕπϕϕd d e e d d im im (2) )(21)(ϕπϕϕϕm im m z m e i L Φ±=∂∂-=Φ±∧而 ϕπϕπϕϕm m i m i L m z sin cos 1)( =∂∂-=Φ∧不构成本征方程: )()(ϕϕm m z c L Φ≠Φ∧.例如n=2,l =1的H 原子波函数是p 轨道,有三个状态(m=1,0,-1),其复函数形式为:θθϕψcos )()(0,1,2r r f r = (即:z p p 也是0)ϕθθϕψi e r r f r ±±=sin )()('1,1,2 (即:11-p p 和)其中复函数z p p 等于实函数0,复函数11-p p 和线性组合为实函数y x p p ,,即ϕθθϕϕcos sin )()(sin )(11r R N e e r R N p i i x =+=- ϕθθϕϕsin sin )()(sin )(11r R N e e r R N p i i y =-=- 因此,z p p 和0都是∧z L 的本征函数. 11-p p 和也是∧z L 的本征函数.只有y x p p ,不是∧z L 的本征函数.P 轨道的实函数与复函数形式都是体系的状态函数,但表示图形不一样:例9.对H 原子基态,(1)求2倍玻耳半径之外的电子几率.(2)玻耳半径之内的电子几率. 解:H 原子基态,n=1,0=l ,m=0301,,,1)()()(a r s ml l n m l n eaY r R r -=→=πψθϕθϕψ(1)设P 2为02a 之外的电子几率 ϕθθπτψππd drd re a d P a r a s sin 1122200203021200-⎰⎰⎰⎰==-⎰⎰⎰-=ππϕθθπ2022023sin 10d d dr e r a a r adr e r a a ra 002202304-⎰=ππ利用积分公式］［0203020022302)82422(41a a r ara a r ea P ---=--)22(3222b b x b x e dx e x bx bx +-=⎰]4)44448([430303030430a a a a e a +---=- 4131e -= 即: 24.01342==e P(2)设1P 是玻耳半径0a 之内的电子几率,则dr e r a P a r a 02023014-⎰=］［00302002230)82422(4a a r a ra a r e a ---=-]4)44242([430303030230a a a a e a +---=-32.0512=-=e例10.已知类氢离子基态波函数 03031a zr s ea z-=πψ,(1) 求半径r 的平均值.(2)r 的最可几值.解:(1)ϕθθπτψψππd drd r ea zd r r a zr ssin 32002030310-∞*⎰⎰⎰⎰==〉〈dr er a za zr 02033034-∞⎰⋅=ππ利用广义积分公式:10!+∞-=⎰n qxn qn dx ex (0,1>->q n )z a a z a z dr e r a z r a zr23)2(!344040303023330=⋅==〉〈⎰∞-(2)径向分布函数: 0223032214)(a zr ser a z r r R D -=⋅=求最可几半径就是求最大径向分布函数时r,0)22(4)(40202230322303=-==---a zr a zr a zr ea z r rea zer dr d a z dr dD020=-r r a z 即, z a r 0=为最可几半径.。