小专题(三) 特殊平行四边形中的最值问题

小专题(三)特殊平行四边形中的最值问题【例】(盐城中考)如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝43，∠BAD＝60°，且AB＞4 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【思路点拨】(1)求∠EPF的大小，就是解△EFP，通过作底边上的高转化为直角三角形解决；(2)这里∠BAD＋∠EPF ＝180°，PE＝PF，可通过构造全等三角形解决问题；(3)观察图形，作PM⊥AB于M，AP的长随PM大小的变化而变化．【方法归纳】动态图形中最值问题关键要改变思考的角度，善于转化为另一个量的最值问题考虑．1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？2．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB 的最小值．参考答案【例】(1)过点P 作PG ⊥EF ，垂足为G.∵PE ＝PF ，PG ⊥EF ，∴FG ＝EG ＝23，∠FPG ＝∠EPG ＝12∠EPF. ∵EP ＝4，∴在Rt △FPG 中，由勾股定理得PG ＝2.∴PG ＝12PF.∴∠PFG ＝30°.∴∠FPG ＝60°.∴∠EPF ＝2∠FPG ＝120°.（20作PM ⊥AB ，PN ⊥AD ，垂足分别为M 、N.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∴点P 到AB 、AD 两边的距离相等，即PM ＝PN.∵在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF.∴FN ＝EM.在Rt △PMA 中，∠PMA ＝90°，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°，∴AM ＝3 3. 同理：AN ＝3 3.∴AE ＋AF ＝(AM －EM)＋(AN ＋NF)＝AM ＋AN ＝6 3.（3）当EF ⊥AC ，点P 在EF 右侧时，AP 有最大值，当EF ⊥AC ，点P 在EF 左侧时，AP 有最小值．故AP 的最大值为8，AP 的最小值为4.针对训练1.取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE ＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大．∵AB ＝2，BC ＝1，∴OE ＝AE ＝12AB ＝1，DE ＝AD 2＋AE 2＝12＋12＝ 2. ∴OD 的最大值为2＋1.2.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD.∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°.∴∠COA ＝∠DOB.∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC.∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴ AB ＝ 2.∴AB 的最小值为 2.。

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。

微拓展：特殊平行四边形中的最值问题解题策略:线段长度的最值常与图形运动、点运动相关联，需理清定点与动点、常量与变量，动静转化.我们一般根据“对称性+两点之间线段最短或垂线段最短”求最值.几何模型：条件：如图1，A,B是直线l同旁的两个点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．原型：“饮马问题”方法归纳：求线段和最小时，若已知的两点在直线的同侧，则将动点所在的直线为对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与此对称点连接，则连线与对称轴的交点即为所求动点的位置，再求出所连接的线段长，即为所求的最小值. 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小(不必证明)模型应用：（出题背景变式很多，有时经常会出现在矩形、菱形、正方形背景下）(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点A(0,−1)和B(2,−1)，P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是______，此时PA+PB=______．(2)如图3，若正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是______．(3)如图4，若正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为______．(4)如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E,F分别是AG,AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是______．知识迁移：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将B M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，尝试解决：①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；③当AM＋BM＋CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长.答案模型应用：解：(1)如答图2，取点A 关于x 轴对称的点A '，连接A'B 交x 轴于P ， 则此时PA +PB 最小 ,∵点A 的坐标为（0，-1）,点B 的坐标为（2，-1）∴AB //x 轴∴AB =2，过B 作BH ⊥x 轴于H ,则BH =1，△A'OP ≌△BHP ,OP =PH =1∴点P 的横坐标是1，∴PA +PB =A'B =22故答案为：1；22(2) ∵B 与D 关于直线AC 对称∴PB +PE 的最小值是DE 的长∵正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点∴AE =1在Rt △ADE 中，DE =5212222=+=+AE AD , 则PB +PE 的最小值是5 故答案为：5；(3)如图4，设BE 与AC 交于点P ′，连接BD ．∵点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为12，∴AB =32又∵△ABE 是等边三角形，∴BE =AB =32， 故答案为：32．(3) 如图5，作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =CD =BC =8，∵∠B =60°∴∠ADC =∠B =60°∴△ADC 是等边三角形，∵AG 是中线，∴∠GAD =∠GAC∴点H 关于AG 的对称点F 在AD 上，此时EF +ED 最小值=DH ．在Rt △DHC 中，∵∠DHC =90° DC =8，∠CDH =21∠ADC =30°∴CH =21DC =4，DH =3422=-CH CD ∴EF +DE 的最小值=DH =34故答案为：34知识迁移：解：①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小.②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最理由如下：连接MN ，易知△AMB ≌ △ENB ，∴AM ＝EN .∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，∴△BMN 是等边三角形.∴BM ＝MN .∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM .根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°,设正方形的边长为x ，则BF ＝x ，EF ＝. 在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（）2＋（x ＋x ）2＝. 解得，x ＝2±（舍去负值）∴正方形的边长为2.。

第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。

特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型：运动轨迹为直线型1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

第09讲专题4平行（特殊）四边形中的最值问题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2B．C．3D．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．3．如图，在▱ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为2﹣4．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ＝AB＝4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，故答案为：2﹣4．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12B．10C．9.6D．4.8【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4cm，∴，∵四边形PAQC是平行四边形，∴AB∥CQ，∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD＝2cm，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，∴EF长度的最大值为5，故选：B．8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD 的最小值是（）A．B．3+3C．6+D．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是7.5．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝10，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝2.5，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案为：7.5．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为．【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，在Rt△ABC中，AC＝，∴d1+d2+d3的最小值为．12．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．（提示：根据轴对称的性质）【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE＝AD＝1，DE＝＝，∴EF+BF的最小值为．13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是．【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴点O是BP的中点，∴BO＝BP＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，∴MN＝，∴BO的最小值＝MN＝，故答案为：．14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为﹣1．【解答】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示：在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴∠HMD＝30°，∵点M是AD边的中点，∴DM＝1，∴DH＝，根据勾股定理，得HM＝，∵CD＝2，∴CH＝，根据勾股定理，得CM＝，∵MN＝1，当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，CN′＝CM﹣MN＝﹣1，∴CN的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝12，OD＝OB＝BD＝5，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝13，，∵CD•OH＝OC•OD＝S△COD∴×13OH＝×12×5，解得OH＝，∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OE＝FG，∴OE≥OH，∵FG≥，∴FG的最小值为，故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°，∴△ADE≌△DMF（SAS），∴DE＝MF，∴BF+DE＝BF+FM，∵点E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值，在Rt△BAM中，，故选：B．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值为4．故选：C．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（）A．4.8B．5C．2.4D．3.6【解答】解：如图，连接AD，∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，，∴，∴AO的最小值为2.4，故选：C．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠ACF＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，＝S△ACF，则S△ABE＝S△AEC+S△ACF＝S△故S四边形AECFAEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；作AH⊥BC于H点，如图所示：∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：，＝S△ABC＝．∴S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S△AEF，∵S△CEF∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，∵△AEF为等边三角形，∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，∵当AE⊥BC时，AE最小，∴AE的最小值为AH的长，过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：∵△AEF为等边三角形，∴，∠AEF＝60°，∴，∴，∴，＝S四边形AECF﹣S△AEF＝16，∴S△CEF即△CEF的面积的最大值为．21．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．。

特殊四边形中的最值问题题型一矩形中的最值问题1．（2020•鄂州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为10√5．【详解】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G=√E′G′2+GG′2=5√5，∴C四边形EFGH＝2E′G＝10√5．故答案为：10√5．2．（2020•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为5．【详解】解：如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF、AC．∵四边形ABCD是矩形，PQ∥BC，MN∥AB，∴可得四边形APFM、四边形CQFN是矩形，∴PM＝AF，NQ＝CF，∴PM+CQ＝AF+CF，∵F A+FC≥AC，AC=√32+42=5，∴AF+FC的最小值为5，∴PM+NQ的最小值为5．故答案为53．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4√3，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是6．【详解】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E＝PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝4√3，∠DAC＝30°，∵DD′⊥AC，∴∠CDD′＝30°，∴∠ADD′＝60°，∴DD′＝4√3，∴D′E＝6，故答案为：6．题型二菱形中的最值问题4．（2020•西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（）A．4B．4√2C．2√10D．6【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∵S菱形ABCD=12•AC•BD，∴24=12×12×BD，∴BD＝4，∵OA=12AC＝6，OB=12BD＝2，AC⊥BD，∴AB=√62+22=2√10，∵AC与BD互相垂直平分，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2√10，∴PD+PE的最小值为2√10，故选：C．5．（2020•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为√10【详解】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM=√12+32=√10∴DE+BF的最小值为√10．故答案为√10．6．（2020•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是5√3−5．【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO＝5，故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝AB sin60°−12×BD＝5√3−5．故答案为：5√3−5题型三正方形中的最值问题7．（2020•洛阳三模）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，P A的最小值为（）A．2B．2√2C．4√2−2D．2√5−2【详解】解：在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵{AB=BC∠BAE=∠ABCAE=BF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°如图，取BC的中点O，连接OP、OA，则OP=12BC＝2，在Rt△AOB中，OA=√AB2+OB2=√22+42=2 √5，根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝2 √5−2．故选：D．8．（2020•永登县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2√3．【详解】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2√3．故所求最小值为2√3．故答案为：2√3．巩固练习1．（2020•鸡泽县期末）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A ．nB ．n ﹣1C ．4（n ﹣1）D ．4n 【详解】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4＝1，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n ﹣1）＝n ﹣1．故选：B ．2．（2020•庐阳区校级月考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，E 是AB 边上一点，且∠A ＝∠EDF ＝60°，有下列结论：①△DEF 是等边三角形；②∠ADE ＝∠BEF ；③△BEF 周长的最小值为4+2√3，④△BEF 面积的最小值为√3．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：连接BD ，∵菱形ABCD 中，∠A ＝60°，∴△ADB 与△CDB 是等边三角形，∴∠DBE ＝∠C ＝∠60°，BD ＝DC ，∵∠EDF ＝60°，∴∠BDE ＝∠CDF ，在△BDE 和△CDF 中∠DBE ＝∠C ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ，∴△DBE≌△DCF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴∠EDF＝∠BDC＝60°，∴△DEF是等边三角形，故①正确；∴∠DEF＝60°，∴∠AED+∠BEF＝120°，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°，∴∠AED+∠BEF ＝∠AED+∠ADE，即∠ADE＝∠BEF，故②正确；∵△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF，∴等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF 的周长最小，当DE⊥AB时，DE最小＝2√3△BEF周长的最小值为4+2√3，故③正确；连接BD，AC，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；∴△ABD与△BCD为正三角形，∴∠FDB＝∠EAB＝60°，∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，∴AE＝DF，∵AB＝BD，∴△BDF≌△BAE，∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE=√3，△BEF面积的最小值＝3√3，故④错误；综上正确的有①②③共3个．故选：C．3．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=√3，则P A+PB+PC的最小值是√13．【详解】解：将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF＝PB，△PCE是等边三角形，△BFC是等边三角形，∴PE＝PC，∴P A+PB+PC＝P A+PE+EF，当P A、PE、EF共线时，值最小，连接BF，作FN⊥BC，延长BM＝FN，连接MF，则四边形BMFN是矩形，∴BM＝FN，MF＝BN，∵△BCF是等边三角形，∴FN=√32BF=√32BC=√32×√3=32，BN=12BF=12BC=√32，∴AM＝AB+BM＝2+32=72，MF=√32，∴AF=√AM2+MF2=√13，∴P A+PB+PC的最小值为√13，故答案为√13．4．（2020•荔湾区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝5，EC＝7，点P 是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是13．【详解】解：如图连接AE交BD于P点，则AE就是PE+PC的最小值，∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝5，EC＝7，∴AB＝12，∴AE=√122+52=13，∴PE+PC的最小值是13．故答案为：13．5．如图，在矩形ABCD中，AB长为4，BC长为5，F是CD上的一点，且CF＝1，点E在AD上，且BE+EF最小，则DE长为157．【详解】解：作B关于AD的对称点G，连接GF交AD于E，则此时，BE+EF最小，AG＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，∵CF＝1，∴DF＝3，∵AG∥DF，∴△AGE∽△DEF，∴AGDF =AEDE，∴43=5−DEDE，解得：DE=157，故答案为：157．6．（2020•新城区校级期中）如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝2，则四边形ABFE周长的最小值为20．【详解】解：在AB上截取AA′＝EF，作点A′关于直线DC的对称点A″，连接BA″交CD于F，此时四边形AEFB的周长最小．四边形AEFB的周长的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+A′F+BF＝AB+CD+A″F+BF＝AB+EF+A″B ＝8+2+√82+62=20，故答案为20．7．（2020•武昌区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为6√3．【点睛】如图，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN，连接MN，作EF⊥CB交CB的延长线于点F．根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN，连接MN，AE，EC．作EF⊥CB交CB的延长线于点F．∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°，∵BC＝AB＝BE＝6，∴BF＝3，EF＝3√3，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，EC＝6√3．故答案为：6√3．。

特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥或过桥)，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)模型4.将军遛马、造桥(过桥)模型模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：模型(1)点A、B在直线m两侧：模型(2)点A、B在直线同侧：图(1)图(2)模型(1)：如图(1)，连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。

模型(2)：如图(2)，作点A 关于定直线m 的对称点A ',连结A 'B ,根据对称得到：P A =P A '，故AP +BP =A 'P +BP ，再利用“两点之间线段最短”，得到AP +BP 的最小值即为：线段A 'B 的长度。

1.(2024·四川广安·中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =5，∠ABC =30°，点M 为直线BC 上一动点，则MA +MD 的最小值为．【答案】41【分析】如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作A 关于直线BC 的对称点A ，连接A D 交BC 于M ，则AH =A H ，AH ⊥BC ，AM =A M ，∴当M ,M 重合时，MA +MD 最小，最小值为A D ，∵AB =4，∠ABC =30°，在▱ABCD 中，∴AH =12AB =2，AD ∥BC ，∴AA =2AH =4，AA ⊥AD ，∵AD =5，∴A D =42+52=41，故答案为：41【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．2.(23-24八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD，则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为()A.29B.34C.52D.41【答案】D【分析】首先由S△P AB=13S矩形ABCD，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得BE的长，即得答案．【详解】设AB边上的高是h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅h=13AB⋅AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=52+42=41，即P A+PB的最小值为41．故选D．【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A 关于直线l的对称点E，并得到BE的长就是所求的最短距离是解题的关键．3.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题06 平行四边形中的最值问题【例题讲解】如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，6BC =，33CD =，（1）平行四边形ABCD 的面积为________．（2）若M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一个动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是________．解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，BC =6，AB =CD =33，∵∠BCD =30°=∠CBF ，∴CF =12BC =3， ∴四边形ABCD 的面积=AB CF ⨯=333⨯=93；（2）连接MC ，过点M 作ME ⊥CD 于E ，交CD 的延长线于点E ；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC =6，∵点M 为AD 的中点，∠BCD =30°，∴DM =MA =3，∠MDE =∠BCD =30°，∴ME =12DM =32，DE =332，∴CE =CD +DE =33332+=932，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2， ∴CM=2239322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=37，由翻折变换的性质得：MA ′=MA =3，∵MA ′+A ′C ≥MC ， ∴A ′C ≥MC- MA ′= MC -3，显然，当折线MA ′C 与线段MC 重合时，线段A ′C 的长度最短，此时A ′C =373-，故答案为：（1）93；（2）373-．【综合演练】1．如图 ，在平行四边形ABCD 中 ，120C ∠=︒ ，AB =4 ，AD =8 ， 点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点 ，点F 为GH 的中点 ，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．2B ．232-C ．3D ．43-2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，BC ＝4，点D 为AB 边上一个动点，连接CD ，以DA 、DC 为一组邻边作平行四边形ADCE ，则对角线DE 的最小值是（ ）A ．2+6B ．1+3C ．4D ．2+23第II 卷（非选择题）二、填空题(共0分)3．如图，在Rt ABC 中，90,3,4B AB BC ∠=︒==，点D 为BC 上一动点（不与点C 重合），以AD ，CD 为一组邻边作平行四边形ADCE ，当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 的周长．．为_____． 4．如图，在ABCD 中，=60B ∠︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED ，EC ， 以ED 、CE 为邻边构造EDGC ，连接EG ，则EG 的最小值为__________．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ADC ＝60°，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D 处，折痕交CD 边于点E ．若点P 是直线l 上的一个动点，则PD '+PB 的最小值_______．6．如图，平行四边形ABCD中，8∠=︒，E是边AD上且2AAB=，6AD=，60=，F是边AB上AE DE+的最小值__________．的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60︒，得到EG，连接BG、CG，则BG CG7．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD 周长的最小值为_________________．8．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC 为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____．9．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN 周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为______．10．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是边AD 、AB 上的点，连结OE 、OF 、EF ．若7AB =，52BC =，45DAB ∠=︒，则OEF 周长的最小值是_______．11．如图，点(1,3),(6,1),(,0),(2,0)A B P a N a --+为四边形的四个顶点，当四边形PABN 的周长最小时，=a ________．12．如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,A D AB AD ∠=∠=︒==3,CD =点P 是边AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（ ）A ．8B ．45C ．12D ．65三、解答题(共0分)13．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =，且BE DC ⊥．(1)求证：四边形DBCE 为菱形；(2)若DBC △是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM PN +的最小值．14．如图，在平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD B ==∠=︒，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形'BCED 是菱形；（2）若点P 是直线l 上的一个动点，请作出使'PD PB +为最小值的点P ，并计算'PD PB +．15．如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，6BC =，33CD =，（1）平行四边形ABCD 的面积为________．（2）若M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一个动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是________．答案与解析【例题讲解】如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，6BC =，33CD =，（1）平行四边形ABCD 的面积为________．（2）若M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一个动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是________．解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，BC =6，AB =CD =33，∵∠BCD =30°=∠CBF ，∴CF =12BC =3， ∴四边形ABCD 的面积=AB CF ⨯=333⨯=93；（2）连接MC ，过点M 作ME ⊥CD 于E ，交CD 的延长线于点E ；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC =6，∵点M 为AD 的中点，∠BCD =30°，∴DM =MA =3，∠MDE =∠BCD =30°，∴ME =12DM =32，DE =332，∴CE =CD +DE =33332+=932，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2， ∴CM=2239322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=37，由翻折变换的性质得：MA ′=MA =3，∵MA ′+A ′C ≥MC ， ∴A ′C ≥MC- MA ′= MC -3，显然，当折线MA ′C 与线段MC 重合时，线段A ′C 的长度最短，此时A ′C =373-，故答案为：（1）93；（2）373-．【综合演练】1．如图 ，在平行四边形ABCD 中 ，120C ∠=︒ ，AB =4 ，AD =8 ， 点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点 ，点F 为GH 的中点 ，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ） A ．2 B ．232- C ．3 D ．43- 【答案】C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝43，∠ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝23∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ，∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为43，最小值为23，∴EF 的最大值为23，最小值为3，∴EF的最大值与最小值的差为：3故选C．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（）A．2+6B．1+3C．4 D．2+23【答案】ABC＝2，AF＝BF＝3CF 【分析】设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝12AC＝1+3，DO＝EO，当OD⊥AB ＝23，求出AC＝CF+AF＝2+23，由平行四边形性质得出AO＝CO＝12时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．【解答】解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：则∠BFC＝∠BF A＝90°，∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，BC＝2，AF＝BF＝3CF＝23，∴CF＝12∴AC＝CF+AF＝2+23，∵四边形ADCE是平行四边形，AC＝1+3，DO＝EO，∴AO＝CO＝12∴当OD ⊥AB 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，则△AOD 是等腰直角三角形，∴OD ＝22AO ＝622+， ∴DE ＝2OD ＝26+．故选：A ．【点评】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．3．如图，在Rt ABC 中，90,3,4B AB BC ∠=︒==，点D 为BC 上一动点（不与点C 重合），以AD ，CD 为一组邻边作平行四边形ADCE ，当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 的周长．．为_____． 【答案】4+213【分析】根据题意，可知当DE ⊥AE 时，DE 取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到A D 、CD 的长，从而可以得到当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 周长．【解答】解：当DE ⊥AE 时，DE 取得最小值，设此时CD =x ，∵四边形ADCE 是平行四边形，∴CD =AE ，AD =CE ，BC ∥AE ，∵∠B =90°，DE ⊥AE ，∴四边形BAED 是矩形，∴BD =AE ，∴BD =CD =x ，∵BC =BD +CD ，BC =4，∴BD =CD =2，∵AB =3，∠B =90°，∴AD =22222313BD AB +=+=，∴当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 周长为：2+13+2+13=4+213，故答案为：4+213.【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，在ABCD 中，=60B ∠︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED ，EC ， 以ED 、CE 为邻边构造EDGC ，连接EG ，则EG 的最小值为__________．【答案】83【分析】根据平行四边形的性质得到EG ，FG ，根据垂线段最短得到EG ⊥CD 时取最小值，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，求出CH 的长度，从而得到结果．【解答】解：∵四边形EDGC 是平行四边形，∴EF =FG ，∴当EF ⊥CD 时，EF 最小，此时EG 最小，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH =EF ，∵∠B =60°，∴∠BCH =30°，∵BC =8，∴BH =4，∴CH =2284-=43，∴EF 的最小值为43，∴EG 的最小值为83，故答案为：83．【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件．5．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l 折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则PD +PB 的最小值_______．【答案】7【分析】不管P点在l上哪个位置，PD始终等于PD'，故求PD'+PB可以转化成求PD+PB，显然当D、P、D'共线时PD+ PB最短．【解答】过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝1，AB＝2，∠ADC＝60°，∴∠DAM＝60°，由翻折变换可得，AD＝AD′＝1，DE＝D′E，∠ADC＝∠AD′E＝60°，∴∠DAM＝∠AD′E＝60°，∴AD∥D′E，又∵DE∥AB，∴四边形ADED′是菱形，∴点D与点D′关于直线l对称，连接BD交直线l于点P，此时PD′+PB最小，PD′+PB＝BD，在Rt△DAM中，AD＝1，∠DAM＝60°，∴AM=12AD=12，DM=32AD=32，在Rt△DBM中，DM=32，MB＝AB+AM=52，∴BD=DM2+MB2=322+522=7，即PD′+PB最小值为7，故答案为：7．【点评】本题考查平行四边形性质和菱形性质，掌握这些是本题解题关键．6．如图，平行四边形ABCD中，8∠=︒，E是边AD上且2AAD=，60AB=，6=，F是边AB上AE DE+的最小值__________．的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60︒，得到EG，连接BG、CG，则BG CG【答案】221【分析】如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由“SAS”可证△EGN≌△BGN，可得GB=GE，推出GB+GC=GE+GC≥EC，求出EC即可解决问题．【解答】解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，∵AE=2DE，∴AE=4，DE=2，∵点N是AB的中点，∴AN=NB=4，∴AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG=∠A=60°，∵∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG∴△EGN≌△BGN（SAS），∴GB=GE，∴GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，DE=1，EH=3，∴DH=12在Rt△ECH中，EC=22221+=，EH CH∴GB+GC≥221，∴GB+GC的最小值为221，故答案为：221．【点评】本题考查旋转变换，轨迹，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD 周长的最小值为_________________．【答案】17132++【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；【解答】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝22+=，1417作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝22+=，3332∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝17+1+32．故答案为：17132++．【点评】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．8．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC 为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____．【答案】4【分析】根据题意在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，可得O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB 时，PQ的长最小，即为4．【解答】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD ∥BC ，∴∠ADC=∠DCH ，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH ，∵PD ∥CQ ，∴∠PDC=∠DCQ ，∴∠ADP=∠QCH ，又∵PD=CQ ，在Rt △ADP 与Rt △HCQ 中，ADP QCH A QHCPD CQ ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∠∠＝＝＝ ∴Rt △ADP ≌Rt △HCQ （AAS ），∴AD=HC ，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为4．故答案为：4．【点评】本题考查梯形的中位线的性质，注意掌握梯形的中位线等于两底和的一半且平行于两底．9．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝50°，在BC 、CD 边上分别找到点M 、N ，当△AMN 周长最小时，∠AMN ＋∠ANM 的度数为______．【答案】100°【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC和CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=180°-∠DAB =∠C=50°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．∵∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝50°，∵∠DAB=130°，∴∠AA′M+∠A″=180°-130°=50°，由对称性可知：∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN ，∠NAD+∠A″=∠ANM ，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100°．【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理及外角的性质和轴对称的性质等知识，根据已知得出M ，N 的位置是解题关键．10．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是边AD 、AB 上的点，连结OE 、OF 、EF ．若7AB =，52BC =，45DAB ∠=︒，则OEF 周长的最小值是_______．【答案】1322【分析】作点O 关于AB 的对称点M ，点O 关于AD 的对称点N ，连接MN 交AB 于F ，交AD 于E ，此时△OEF 的周长最小，周长的最小值＝MN ，由作图得AN ＝AO ＝AM ，∠NAD ＝∠DAO ，∠MAB ＝∠BAO ，于是得到∠MAN ＝90°，过D 作DP ⊥AB 于P ，则△ADP 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP ＝DP ＝22AD ，求得AP ＝DP ＝5，根据三角形的中位线的性质得到OQ ＝12DP ＝52，BQ ＝12BP＝12（AB−AP ）＝1，根据勾股定理求出AO ＝132，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：作点O 关于AB 的对称点M ，点O 关于AD 的对称点N ，连接MN 交AB 于F ，交AD 于E ，此时△OEF 的周长最小，周长的最小值＝MN ，∴AN ＝AO ＝AM ，∠NAD ＝∠DAO ，∠MAB ＝∠BAO ，∵∠DAB ＝45°，∴∠MAN ＝90°，过D 作DP ⊥AB 于P ，则△ADP 是等腰直角三角形，∴AP ＝DP ＝22AD ， ∵AD ＝BC ＝52，∴AP ＝DP ＝5，设OM ⊥AB 于Q ，则OQ ∥DP ，∵OD ＝OB ，∴OQ ＝12DP ＝52，BQ ＝12BP ＝12（AB−AP ）＝1， ∴AQ ＝6，∴AO ＝2222513622AQ OQ ， ∴AM ＝AN ＝AO ＝132， ∴MN ＝2AM ＝1322， ∴△OEF 周长的最小值是1322． 故答案为：1322． 【点评】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，点(1,3),(6,1),(,0),(2,0)A B P a N a --+为四边形的四个顶点，当四边形PABN 的周长最小时，=a ________．【答案】13 4【分析】作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，可判断出AP+BN=A″N+BN≥A″B，即此时四边形ABNP的周长最小，求出A″B的表达式，得到与x轴的交点，即为点N，从而可得a值．【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，则此时AP=A′P=A″N，则AP+BN=A″N+BN≥A″B，在四边形ABNP中，PN和AB均为定值，∴此时四边形ABNP的周长最小，设A″B的表达式为y=kx+b，则3361k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：437kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线A″B的表达式为473y x=-+，令y=0，则214x=，即此时N（214，0），2124a+=，解得：a=134，故答案为：134． 【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．12．如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,A D AB AD ∠=∠=︒==3,CD =点P 是边AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（ ）A ．8B ．45C ．12D ．65【答案】D【分析】根据勾股定理可求BC 的长，所以要使△PBC 的周长最小，即BP+PC 最短，利用对称性，作点C 关于AD 的对称点E ，即可得出最短路线，从而求解可．【解答】解：过点C 作CG ⊥AB ，由题意可知四边形DAGC 是矩形∴CG=AD=4，BG=AB-AG=AB-CD=2∴在Rt △BCG 中，222425BC =+=作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，交AD 于点P'，连接'CP此时'P BC 的周长为最小值，即''''BP CP BC BP EP BC BE BC ++=++=+过点E 作EF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F由题意可知四边形EFAD 为矩形∴EF=AD=4，DE=CD=AF=3∴在Rt △EBF 中，224(35)45BE =++=∴此时'P BC 的周长为：65BE BC +=故选：D ．【点评】本题考查勾股定理解直角三角形及应用对称的性质求最短路线，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理计算是解题关键．13．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =，且BE DC ⊥．(1)求证：四边形DBCE 为菱形；(2)若DBC △是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM PN +的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形的性质和DE AD =证明四边形DBCE 为平行四边形，再根据BE DC ⊥，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到'PM PN PM PN +=+，进一步说明PM PN +的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∵DE AD =，∴DE BC =，又∵点E 在AD 的延长线上，∴DE BC ∥，∴四边形DBCE 为平行四边形，又∵BE DC ⊥，∴四边形DBCE 为菱形．（2）解：如图，由菱形对称性得，点N 关于BE 的对称点'N 在DE 上，∴'PM PN PM PN +=+，当P 、M 、'N 共线时，''PM PN PM PN MN +=+=，过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，∵DE BC ∥，∴'MN 的最小值即为平行线间的距离DH 的长，∵DBC △是边长为2的等边三角形，∴在Rt DBH 中，60DBC ∠=︒，2DB =，sin DH DBC DB ∠=， ∴3sin 232DH DB DBC =∠=⨯=， ∴PM PN +的最小值为3．【点评】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD B ==∠=︒，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形'BCED 是菱形；（2）若点P 是直线l 上的一个动点，请作出使'PD PB +为最小值的点P ，并计算'PD PB +．【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，7得到DAD E'是菱形，作DG BA⊥）将ABCD沿过点A的直线∠=EA，D//DE AD∴∠=DEA∴∠=，DAE EA∴∠'DAD∴四边形=AD ADAB=，2∴=AD AD∴'是菱形；BCED（2）四边形∴与D'D连接BD交CD AB//∴∠=DAGAD=，112AG ∴=，32DG =， 52BG ∴=， 227BD DG BG ∴=+=，PD PB ∴'+的最小值为7．【点评】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1. 245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE 2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD ＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴BE·PM2＋BC·PN2＝BC·EH2.又∵BE＝BC，∴PM2＋PN2＝EH2，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝22，∴PM＋PN＝EH＝22.4．325．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH ＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A =∠A 的对边斜边。

若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形(含30°，45°，60°)的三边关系。

【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．(若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。

专题15 特殊平行四边形中的最值问题（解析版）类型一特殊四边形中求一条线段的最小值1．（2021春•叶集区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）A2B2C―3D．1思路引领：由矩形的性质得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，由勾股定理得出AC=CB'＝AC﹣AB'2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，此时AC∴CB'＝AC﹣AB'=2；故选：A．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．类型二特殊四边形中求一条线段的最大值2．（2020•洪山区校级自主招生）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为　．思路引领：作AH ⊥CD 于H ，由B ，B '关于EF 对称，推出BE ＝EB '，当BE 最小时，AE 最大，根据垂线段最短即可解决问题．解：作AH ⊥CD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ∥CD ，∠D ＝180°﹣∠BAD ＝60°，∵AD ＝AB ＝4，∴AH ＝AD •sin60°＝∵B ，B '关于EF 对称，∴BE ＝B 'E ，∴当BE 最小时，AE 最大，根据垂线段最短可知，当EB '＝AH ＝BE 的值最小，∴AE 的最大值为4﹣故答案为：4﹣总结提升：本题主要考查图形的翻折，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短等知识是解题的关键．类型三 特殊四边形中求线段和的最小值3．（2019•红桥区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，若AB ＝2，BC ＝PE +PB 的最小值为（ ）A B ．3C ．D ．6思路引领：作E 关于AC 的对称点E '，连接BE '，则PE +PB 的最小值即为BE '的长；由已知可求E 'C =ECE '＝60°；过点E '作E 'G ⊥BC ，在Rt △E 'CG 中，E 'G =32，CG Rt △BE 'G 中，BG =BE '＝3；解：作E 关于AC 的对称点E '，连接BE '，则PE +PB 的最小值即为BE '的长；∵AB ＝2，BC ＝E 为BC 的中点，∴∠ACB ＝30°，∴∠ECE '＝60°，∵EC ＝CE '，∴E 'C 过点E '作E 'G ⊥BC ，在Rt △E 'CG 中，E 'G =32，CG =在Rt △BE 'G 中，BG =∴BE '＝3；∴PE +PB 的最小值为3；故选：B ．总结提升：本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离；通过轴对称将PE +PB 转化为线段BE '的长是解题的关键．4．（2018春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD 中，AD ＝2，∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值为（ ）A B ．2C ．1D ．5思路引领：连接BD ，DE ，则DE 的长即为PE +PB 的最小值，再根据菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°得出∠BCD 的度数，进而判断出△BCD 是等边三角形，故△CDE 是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE 的长．解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=12BC=12×2＝1，∴DE故选：A．总结提升：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．5．（2022秋•龙华区期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD＝2，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为 ．思路引领：由两点之间线段最短，可得当点P在DE上时，PD+PE的值最小，最小值为DE的长，由菱形的性质可得AO＝CO=BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD，由锐角三角函数可求∠ABO＝60°，可证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE⊥AB，即可求解．解：如图，连接DE，交AC于点P，此时PD+PE的最小值为DE的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO =BO ＝DO ＝1，AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴AO BO ∴∠ABO ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE 2=∴DE总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出∠ABD 的度数是解题的关键．6．（2022秋•桐柏县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将△ABD 沿射线BD 平移，连接EC 、GC ．求EC +GC 的最小值为 ．思路引领：如图，连接AC 与BD 交于点O ，过点C 作l ∥BD ，点E 关于l 对称的对称点为M ，连接CM ，GM ，EM ，EM 与l 的交点为N ，与BD 交点为P ，则EM ⊥l ，EM ⊥BD ，CE ＝CM ，EN ＝MN ，求出AC ，NP ，GP ，PE ，MN ，PM 的值，当G 、C 、M 三点不共线时，有GC +CM ＞GM ；当G 、C 、M 三点共线时，有GC +CM ＝GM ；有EC +GC ＝GC +CM ≥GM ，可知G 、C 、M 三点共线时，EC +GC 值最小，在Rt △PGM 中，由勾股定理得GM EC +GC ＝GM 可得EC +GC 的最小值．解：如图，连接AC 与BD 交于点O ，过点C 作l ∥BD ，点E 关于l 对称的对称点为M ，连接CM ，GM ，EM ，EM 与l 的交点为N ，与BD 交点为P则EM ⊥l ，EM ⊥BD ，CE ＝CM ，EN ＝MN ，∵AC =AB sin 45°=∴两平行线的距离NP =12AC =∵EM ⊥BD ，∴∠GEP ＝45°，∴GP =PE =EG ×sin 45°=∴EN =EP +NP =∴MN =EN =∴PM =PN +MN =当G 、C 、M 三点不共线时，有GC +CM ＞GM ，当G 、C 、M 三点共线时，有GC +CM ＝GM ，∴EC +GC ＝GC +CM ≥GM ，∴G 、C 、M 三点共线时，EC +GC 值最小，在Rt △PGM 中，由勾股定理得GM =∴EC +GC 的最小值为故答案为：总结提升：本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，正弦值等知识，对知识的灵活运用是解题的关键．7．（2022•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF 交BC 于点G ．（1）求证：EF ＝GE ；（2）若AB ＝1，则AF +EF +CG 的最小值为 ．思路引领：（1）过点E作EH⊥BC于点H，可证△AEF≌△EGH，结论可得．（2）根据△AEF≌△EGH可得AF＝HG，EF＝EG，则CG+AF＝CH＝1，所以当EG值最小时，AF+EF+CG 值最小．即EG⊥BC时，AF+EF+CG值最小，即可求其值．解：（1）如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．（2）∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝1∴AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC时，AF+EF+CG的值最小即EG＝1时，AF+EF+CG的最小值为2总结提升：本题考查的是最短距离问题，全等三角形，矩形的性质，关键是灵活运用各个性质解决问题．类型四特殊四边形中求周长面积的最小值8．（2022•雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 ．思路引领：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB 边上截取AM＝PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM==5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求AP+BQ 的最小值是解题的关键．9．（2022春•姑苏区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）A．B．C．D．思路引领：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝3，∵GG′＝AD＝6，∴E′G=∴C＝2（GF+EF）＝2E′G＝四边形EFGH故选：C．总结提升：本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键．10．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（﹣5，5）是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为　．思路引领：根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于D′，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+A′B，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵点A（﹣2，2），点C的纵坐标为2，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（﹣5，5），∴C（﹣5，2），∴AC＝BC＝3，如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于D′，此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+A′B，∵AC＝BC＝3，AA′＝4，∴A′C＝3+4＝7，∴A′B=∴最小周长的值＝AC+BC+A′B＝6故答案为：6总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．（2019春•仙游县期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD上的两个动点，且始终保持∠AEF＝60°（1）试判断△AEF的形状并说明理由；（2）若菱形的边长为2，求△ECF周长的最小值．思路引领：（1）先根据四边形ABCD是菱形判断出△ABC的形状，在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形．再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出结论；（2）根据垂线段最短可知当AE⊥BC时△ECF周长最小，由直角三角形的性质求出CE的长，故可得出结论．解：（1）△AEF是等边三角形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵∠B＝60°．∴△ABC是等边三角形，在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣BE＝EC，∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝∠AEF+∠FEC，又因为∠B＝∠AEF＝60°∴∠BAE＝∠CEF．在△AGE与△ECF中，∠AGE=∠ECF=120°AG=EC．∠GAE=∠CEF∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE＝AF．∵∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形．（2）由（1）知△AEF是等边三角形，△AGE≌△ECF∴CF＝GE＝BE，CF+EC＝BC＝2（定值）∵垂线段最短，∴当AE⊥BC时，AE＝EF最小，此时△ECF周长最小、∵BC＝2，∠B＝60°，∴AE=∴△ECF周长的最小值＝2+总结提升：本题考查的是菱形的性质，熟知四条边都相等的平行四边形是菱形是解答此题的关键．。

九年级上重难点专题突破——常考题型精选专题01 特殊平行四边形中的最值问题题型一 菱形中的最值问题1．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ．2．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．3．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ．4．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一ABCD 10AB AC ==AC BD O M AC 3AM =P BD 12MP PB +ABCD O 12AC =16BD =P BC P B C P PE AC ^E PF BD^F EF EF ABCD 45B Ð=°BC =E F CD BC AE EF G H AEEF GH GH ABCD AC BD ^O 4AO CO ==3BO DO ==P AC个动点．过点分别作于点，作于点．连接，在点运动过程中，的最小值等于 ．5．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点是对角线上的一个动点，，当最短时，点的坐标为 A ．B ．C．，D ．，6．如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．P PM AD ^M PN DC ^N PB P PM PN PB ++OABC (5,0)A OB =P OB (0,1)D CP DP +P ()(0,0)1(1,)26(53)510(75)7ABCD 4AB =120BAD Ð=°AEF D E F BC CD E F B C D E F BC CD BE CF =E F BC CD AECF CEF D7．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是 A ．15B ．16C ．19D ．208．如图所示，在边长为1的菱形中，，是上不同于，两点的一动点，是上一动点，且．（1）证明：无论，怎样移动，总是等边三角形；（2）求面积的最小值．ABCD ABCD ()ABCD 60DAB Ð=°M AD A D N CD 1AM CN +=M N BMN D BMND9．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与、重合．过作于，于，连接，则的最小值为 A ．4B ．4.8C ．5D ．610．如图，菱形的两条对角线长分别为，，点是边上的一动点，则的最小值为 A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5ABCD O 12AC =16BD =P BC P B C P PE AC ^E PF BD ^F EF EF ()ABCD 6AC =8BD =P BC AP ()题型二 矩形中的最值问题1．如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是 A ．1.5B ．2C ．4.8D ．2.42．如图，在中，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 A．B ．C ．3D ．43．如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点到点的最大距离是 ．P Rt ABC D AC A C PM AB ^M PN BC ^N BP MN 6AB =8BC =P AC MN ()Rt ABC D 90BAC Ð=°3AB =4AC =D BC D DM AB ^M DN AC ^N MN MN ()1255290MON Ð=°ABCD A B OM ON B ON A OM ABCD 6AB =2BC =D O4．如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 A ．2B ．4CD ．5．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是 A ．B ．C ．D6．如图，点、、、分别是矩形边、、、上的点，且与交于点，连接、，若，，，，则的最小值是 ．7．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）在点的运动过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．ABCD 2AB =1AD =E AB F EC P DFPB PB ()90MON Ð=°ABCD MON ÐA B OM ON 4AB =2BC =D O ()2-2+2-2+E F G H ABCD AB BC CD DA HG EF I HE FG 6AB =5BC =//EF AD //HG AB HE FG +ABC D 9AC =12AB =15BC =P BC PG AC ^G PH AB ^H AGPH P GH8．如图，菱形的顶点、分别在矩形的边，上，顶点，在矩形的对角线上．（1）求证：；（2）若，，则菱形的面积最大值是 ．9．如图，在矩形中，，，是上一点，，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ．10．如图，在中，，点是的中点，点、分别是、上的动点，，、分别是、的中点，连接、，若，，则的最大值为 ．EFGH E G ABCD AD BC F H ABCD BD BG DE =3AB =4BC =EFGH ABCD 3AB =6AD =E AD 1AE =P BC AP AP F EF EFPD ABC D 90BAC Ð=°D BC E F AB AC 90EDF Ð=°M N EF AC AM MN 6AC =5AB =AM MN-题型三 正方形中的最值问题1．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形．点是上一点，且，连接，则的最小值为 ．2．如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为 ．3．如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 A ．5B ．9C ．D4．如图，已知正方形的边长为4，点和分别从、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，连接，则长的最小值为A ．B ．2C ．D ．ABCD 3AB =E AC DE DEFG H CD23DH CD =GH GH ABCD AB =E AC DE DEFG H CD GH GH A B C 5AB =4AC =BC BDCE AD AD ()ABCD M N B C BC CD C D AM BN P PC PC ()21-5．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ABCD6．如图，在中，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为 ．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，，，点为边上一点，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的长度的最小值是 ．ABCDE F BC CD BE CF =BF DE BF DE +()ABC D 5AB AC ==BC =D AB (B CD CDEF BE BDE D OABC A x 4OA =3OC =D BC AD B ADEF OE D BC OE。

请关注我 谢谢你4 解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一 特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，P ，Q 分别是AC ，AD 上的动点，连接DP ，PQ ，则DP ＋PQ 的最小值为________．第1题图 第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD 的边长为6，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD 中，点P 是线段BC 上一动点，且PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，则PE ＋PF 的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为25，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线AB 、AD 的垂线段PE 、PF ，则PE ＋PF 等于________．变式题(1)图 变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为对角线BD 上一点且BE ＝BC ，点P 为线段CE 上一动点，且PM ⊥BE 于M ，PN ⊥BC 于N ，则PM ＋PN 的值为________．◆类型二 正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于P .若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是__________．5．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，∠EAF ＝45°.求证：S △AEF。

特殊的平行四边形中的最值模型-费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+ MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。

(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)图3【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵AB=BE∠ABM=∠EBNBM=BN，∴△AMB≌△ENB(SAS)．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 平行四边形中的最值问题【例题1】（2022秋•榆树市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，AB =8√2，点P 为BC 上任意一点，连结P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连结PQ ，则PQ 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．4√2D ．8√2【变式1-1】（2022春•溧水区期中）如图，∠AOB ＝30°，OB ＝4，点P 为射线OA 上任意一点，连接PB ．以PO 、PB 为邻边作平行四边形POQB ，连接PQ ，则线段PQ 的最小值为 ．【变式1-2】（2021秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，AB ＝2，BC ＝4，点E 是直线BC 上的点，点F 是直线CD 上的点，连接AF ，AE ，EF ，点M ，N 分别是AF ，EF 的中点．连接MN ，则MN 的最小值为（ ）A ．1B ．√3−1C ．√32D ．2−√3【变式1-3】（2021春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD 中，BC ＝4，∠B ＝60°，过点A 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，连接MN ，则MN 的最小值为（ ）A ．√3B ．3C ．2√3D ．2【变式1-4】（2022•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=√2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（）A．2√2B．2√3C．√10D．2√10【变式1-5】（2021秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．【变式1-6】（2022•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝2√3，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ 的最小值．【变式1-7】（2021•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，则对角线PQ的最小值为．【变式1-8】（2021•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G 分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【变式1-9】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是．【例题2】（2021•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【变式2-1】（2022春•永春县期末）如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，AB ＝6，BC ＝2．当B 在边ON 上运动时（点B 与O 不重合），A 随之在OM 上运动．点E 在AB 边上，AE ＝2EB ，四边形OADE 的面积为263，则OA +OB 的值等于（ ）A ．7B ．√50C ．8D ．8.5【变式2-2】（2022秋•南安市期末）如图，点P 是长方形ABCD 内部的一个动点，已知AB ＝7，BC ＝15，若△PBC 的面积等于30，则点P 到B 、C 两点距离之和PB +PC 的最小值是 ．【变式2-3】（2021•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B 的对应点E 落在CD 边上，GH 为折痕，已知AB ＝6，BC ＝10．当折痕GH 最长时，线段BH 的长为 ．【变式2-4】（2021春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，以BC 为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC ，点F 是CD 的中点，则EF 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．2√41【变式2-5】（2022春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（）A．2B．3C．√10D．√13【变式2-6】（2022春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．20【变式2-7】（2022春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（）A．2√5B．2√3C．√5D．√3【变式2-8】（2021秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB=√3，BC＝3，P 为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最小值是（）A．2√3+3B．2√5C．2√3D．√21【例题3】（2021春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6√2，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A．4√2B．6C．2√10D．4√5【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．12【变式3-2】（2022•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（）A．2B．2.4C．2.5D．3【变式3-3】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（）A．2√3B．√6C．3√2D．√13【变式3-4】（2022春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．4√3B．8√3C．8+√3D．4+4√3【变式3-5】（2022春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（）A．2+2√3B．4C．4√3D．6【变式3-6】（2022•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（）A．√7B．√7−1C．√3D．2【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD 上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．【变式3-8】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF ＝4，连接BE、EF、FB．（1）证明：BE＝BF；（2）求△BEF面积的最小值．【例题4】（2022春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥CD 于F ，则EF 的最小值为（ ）A ．3√2 B ．6√2 C ．3 D ．2【变式4-1】（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE ⊥BD 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，若AC ＝2√2，则EF 的长的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．√2D ．√22【变式4-2】（2021春•莱州市期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上，且BE ＝1，F 为对角线AC 上一动点，则△BFE 周长的最小值为 ．【变式4-3】（2021春•惠山区期中）如图，平面内三点A 、B 、C ，AB ＝5，AC ＝4，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（ ）A ．5B ．9C ．9√2D ．92√2【变式4-4】（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF +CF 的最小值是（ ）A ．3√5B ．4√3C ．5√2D ．2√13【变式4-5】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，点E 在BC 边上，且BE ＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边△EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2.5C ．4D ．2√3【变式4-6】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，CG，则∠DCG＝度，运动变化过程中，GH的最小值为．【变式4-7】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（）A．1B．√2C．√3D．√5【变式4-8】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2B．1C．√5−1D．√5−2。

初二平行四边形最值问题初二平行四边形最值问题问题概述•什么是初二平行四边形最值问题？•为什么这个问题重要？相关问题1.什么是平行四边形？–平行四边形的定义及性质–平行四边形的特殊形态（如矩形、正方形）2.初二阶段怎样解决平行四边形问题？–平行四边形的性质和定理–如何判断两条线段是否平行–如何判断四边形是否为平行四边形3.什么是最值问题？–最大值和最小值的概念–如何确定最值问题的解法4.初二平行四边形最值问题是什么？–具体案例分析，如求解给定面积的平行四边形的最值问题–如何通过建立方程解决平行四边形最值问题5.如何解决初二平行四边形最值问题？–分步解析平行四边形最值问题的常见方法–提供例题及解答6.初二平行四边形最值问题的应用和拓展–平行四边形最值问题在现实生活中的应用–探索更复杂的平行四边形问题和解决方法解释说明•问题概述部分对初二平行四边形最值问题进行简要介绍和解释问题的重要性•相关问题部分列举了与初二平行四边形最值问题相关的多个问题，帮助读者在学习和解决问题时建立起问题的框架和理解问题的层次•在相关问题的解答中，提供了初始阶段解决平行四边形问题的基本知识和方法，并进一步引导读者了解最值问题和解决方法•最后一个相关问题给出了具体案例和解决方法，并对初二平行四边形最值问题进行深入探究•解释说明部分对文章的结构和内容进行概括和总结，强调解决问题的应用和拓展性，引发读者思考和进一步学习的兴趣。

初二平行四边形最值问题问题概述初二平行四边形最值问题是指在给定条件下，求解平行四边形属性中的最大值或最小值。

这个问题在初中阶段的数学学习中起到了重要的作用。

通过解决该问题，学生能够掌握平行四边形的性质和定理，并学会运用这些知识来解决实际问题，培养了解决问题和推理能力。

相关问题1.什么是平行四边形？–平行四边形是指具有两对平行的边的四边形。

–平行四边形的性质包括对角线互相平分、相邻角互补、对边相等等。

–特殊的平行四边形有矩形、正方形等。

利用将军饮马模型解决特殊平行四边形中的最值问题的五种考法目录解题知识必备 ................................................................................................................................................. 1 压轴题型讲练 ................................................................................................................................................. 4 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） ...................................................................................... 4 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） ................................................................................................. 9 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） ................................................................................................... 14 模型四、求多条线段和（周长）最小值 ....................................................................................................... 20 模型五、求两条线段差最大值 ..................................................................................................................... 30 压轴能力测评（10题） . (37)模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短. 上图中A’是A 关于直线m 的对称点.模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）． 问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．mAB mmB m图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短.模型三、修桥选址模型（将军遛马模型）【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得P A +PQ +QB 的值最小.(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点.（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点. 【最值原理】两点之间线段最短.模型四、求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小.（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：nnnmn（4）台球两次碰壁模型1）已知点A 、B 位于直线m ,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.2）已知点A 位于直线m ,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点P A +PQ +QA 周长最短.【最值原理】两点之间线段最短.模型五、求两条线段差最大值【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P’A -P’B ＜AB ，而P A-PB =AB 此时最大， 因此点P 为所求的点.（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B’,连接AB’交点直线m 于P ,此时PB =PB’，P A -PB 最大值为AB’【最值原理】三角形两边之差小于第三边.nmnB模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短. 上图中A’是A 关于直线m 的对称点.例题：（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且1DM =，点N 是AC 上一动点，则DN MN+的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．D ．8【答案】BB 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′点，N ′即为所求,在Rt BCM △中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，即AC 是线段BD 的垂直平分线， 连接BD ，BM ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，N ′即为所求的点， 根据对称有：BN DN ′′=，即BN N M DN N M ′′′′+=+， 当点B 、N ′、M 三点共线时，BN MN ′′+最小， 则BM 的长即为DN MN +的最小值，∵413CM CD DM =−=−=， ∴在Rt BCM △中，5BM ，故DN MN +的最小值是5．mAB mmB m故选：B ．【变式训练1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在菱形ABCD 中，135D ∠=°，AD =2CE =，点P 是线段AC 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，则PE PF +的最小值 ．【分析】本题考查了菱形的性质与轴对称的性质，勾股定理．先作点E 关于AC 的对称点点G ，再连接BG ，过点B 作BH CD ⊥于H ，运用勾股定理求得BH 和GH 的长，最后在Rt BHG 中，运用勾股定理求得BG 的长，即为PE PF +的最小值．【详解】解：作点E 关于AC 的对称点点G ，连接PG 、PE ，则PE PG =，2CE CG ==， 连接BG ，过点B 作BH CD ⊥于H ，则45BCH CBH ∠=∠=°，四边形ABCD 是菱形，AD =∴BC AD ==Rt BHC ∴ 中，BH CH ==sin sin 453BC BCH BC ⋅=⋅°=∠∠ ，321HG HC GC ∴=−=−=，Rt BHG ∴ 中，BG =，当点F 与点B 重合时，PE PF PG PB BG +=+=（最短），PE PF ∴+．．【变式训练2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图菱形ABCD 的对角线6,8AC BD ==，点E 为AB 边的中点，点F 、P 为BC AC 、边上的动点，则PE PF +的最小值为 .【答案】4.8【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E 关于AC 的对称点E ′，过E ′作AD 的垂线交BC 于点F ′，则E F ′′的长度即为PE PF +的最小值，最后根据菱形的面积求出E F ′′的长度即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线6,8AC BD ==， ∴5AD ，作E 关于AC 的对称点E ′，过E ′作AD 的垂线交BC 于点F ′，则E F ′′的长度即为PE PF +的最小值，∵12ABCD S AC BD AD E F =⋅=⋅′′菱形 ∴2AC BD AD E F ⋅⋅′′ 即684.8225AC BD EF AD ⋅×′′===× 故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查菱形的性质及最短路径，解题的关键在于要利用菱形的轴对称的特性将点E 从AB 边变换到AD 边上，再根据垂线段最短即可得到PE PF +的最小值．【变式训练3】（2024·山东东营·模拟预测）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，且68AC BD ==，，分别过点B 、C 作AC 与BD 的平行线相交于点E ．点G 在直线AC 上运动，则BG EG +的最小值为 ．【分析】本题主要考查了轴对称-最短问题，菱形的性质，解题的关键熟练掌握勾股定理．作B 点关于AC 的对称点，即D 点，连接ED ，交AC 于点G ，连接BG ，根据两点之间线段最短，此时BG EG +有最小值，即线段DE ，再根据勾股定理求出DE 的长即可． 【详解】解：如图所示：四边形ABCD 是菱形，OB OD ∴=，AC BD ⊥，四边形BOCE 是矩形，390BE OC EBO ∴==∠=°，， 作B 点关于AC 的对称点，即D 点，连接ED ，交AC 于点G ，连接BG ，BG DG ∴=，BG EG DG BG ∴+=+，两点之间线段最短，∴此时BG EG +有最小值，即线段DE ，在Rt EBD △中，DEBG EG ∴+【变式训练4】（2024·江苏南通·二模）如图，在四边形ABCD 中，BC BD ⊥，2BC =，4BD =．作AM BD ⊥，垂足为点M ，连接CM ，若3AM =，则CM AD +的最小值为 ．【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短；过D 作AM 的平行线，过A 作BD 的平行线，两平行线交于点E ，则可得四边形AMDE 是矩形，且3DE BD AM DE ⊥==，，AD ME =，则CM AD CM ME +=+；连接CE ，则当点M 与CE BD 、的交点重合时，CM ME +最小，从而CM AD +最小；过C 作CF BD ∥，交ED 延长线于点F ，则可得四边形BCFD 是矩形，则4CFBD ==，2DF BC ==，从而得5EF =，由勾股定理即可求得CE 的长，从而求得最小值．利用矩形的性质求CM AD +的最小值转化为CM ME +的最小值是解题的关键．【详解】解：如图，过D 作AM 的平行线，过A 作BD 的平行线，两平行线交于点E ， 即AM DE AE MD ∥∥，，∴四边形AMDE 是平行四边形；AM BD ⊥ ，∴四边形AMDE 是矩形，3DE BD AM DE ∴⊥==，，AD ME =， CM AD CM ME ∴+=+；连接CE ，则当点M 与CE BD 、的交点重合时，CM ME +最小，从而CM AD +最小，且最小值为线段CE 的长；过C 作CF BD ∥，交ED 延长线于点F ，则90DBC BCF BDF ∠=∠=∠=°， ∴四边形BCFD 是矩形，490CF BD F ∴==∠=°，，2DF BC ==， 5EF DE DF ∴=+=；在Rt EFC △中，由勾股定理得CECM AD ∴+．【变式训练5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形ABCD 是菱形，4,3,OC OB DH AB ==⊥于点H ，点E 是AD 上一点，且5AD DE =，点F 是DH 的中点，点P 是线段BD 上一动点．点P 在运动过程中，PE PF +的最小值为 ．【答案】135【分析】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键．如图，在DC 上取15DI DC ，由菱形可推知DI DE =,PI PE ,5CD ，进一步由菱形面积求得245DH =，125DF =，Rt FDI 中，115DI DC ，135FI ，所以PE PF PF PI FI ，故最小值为135．【详解】解：如图，在DC 上取15DI DC ，∵四边形ABCD 是菱形，为轴对称图形， ∴DI DE =,PI PE ,3OD = ，4OC =，∴5CD ，∴5ABCD ==， ∵12ABCD S AC BD AB DH菱形， ∴16852DH ××=， 解得245DH =， ∴11225DF DH， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB CD ∥，∴90FDI AHD ，Rt FDI 中，115DI DC ，FI = ∴PE PF PF PI FI ， 最小值为135． 故答案为135．模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）． 问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短.例题：（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，()2,0A −，()0,2B ，C 是OB 的中点，点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形，P 是CD 上一个动点，过点P 作PH OA ⊥于H ，Q 是点B 关于点A 的对称点，则BP PH HQ ++的最小值为 ．【答案】6【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考常见题型．连接CH ，根据A 、B 的坐标先确定OA 和OB 的长，证明四边形PHOC 是矩形，得1PHOC BC ===，再证明四边形PBCH 是平行四边形，则BP CH =，在BP PH HQ ++中，1PH =是定值，所以只要CH HQ +的值最小就可以，当C 、H 、Q 在同一直线上时，CH HQ +的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接CH ，(2,0)A − ，(0,2)B ，2OB ∴=，2OA =，C 是OB 的中点，1BC OC ∴==，90PHO COH DCO ∠=∠=∠=° ，∴四边形PHOC 是矩形，1PH OC BC ∴===，PH BC ∥，∴四边形PBCH 是平行四边形，BP CH ∴=，1BP PH HQ CH HQ ∴++=++，要使CH HQ +的值最小，只需C 、H 、Q 三点共线即可， 点Q 是点B 关于点A 的对称点，(4,2)Q ∴−−，又 点(0,1)C ，根据勾股定理可得5CQ =，此时，1516BP PH HQ CH HQ PH CQ ++=++=+=+=， 即BP PH HQ ++的最小值，6； 故答案为：6【变式训练1】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在CD 上且1CE =，点F P 、分别为线段BC AD 、上的动点，连接BE ，BP ，FP ，EF ．若在点F P 、的运动过程中始终满足PF BE ⊥，则BP EF +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，如图，过点P 作PG BC ⊥与G ，可证()ASA PGF BCE ≌，得到PF BE =，过点E 作EM BE ⊥，并使EM PF =，连接PM BM 、，则BEM 90∠=°，EM BE =，可得四边形PFEM 是平行四边形，得到PM EF =，即得BP EF BP PM BM +=+≥，可知当点B P M 、、三点共线时，BP EF +的值最小，最小值为BM 的长，利用勾股定理求出EM BE 、，进而可得BM ，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过点P 作PG BC ⊥与G ，则90PGB PGF ∠=∠=°，PG AB =， ∴90GPF PFG ∠+∠=°， ∵PF BE ⊥，∴90BOF ∠=°， ∴90OBF BFO ∠+∠=°， ∴GPF OBF ∠=∠， 即GPF CBE ∠=∠， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =，90C ∠=°，∴PG BC =，90PGF C ∠=∠=°， ∴()ASA PGF BCE ≌， ∴PF BE =，过点E 作EM BE ⊥，并使EM PF =，连接PM BM 、，则BEM 90∠=°，EM BE =， ∵PF BE ⊥，EM BE ⊥， ∴PF ME ∥， ∵EM PF =，∴四边形PFEM 是平行四边形， ∴PM EF =，∴BP EF BP PM BM +=+≥，∴当点B P M 、、三点共线时，BP +的值最小，最小值为BM 的长， ∵1CE =，3BC =， ∴EM BE ===∴BM ===∴BP EF +的最小值为故选：B ．【变式训练2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形ABCD 中，AB ==120B °∠，将△ABC 向右平移得到A B C ′′′ （点A ′在线段AC 上），连接A B ′′，A D ′，B D ′．在平移过程中，（1）若四边形A B CD ′′是矩形，则=AA ′ ； （2）A D B D ′′+的最小值为 ．【答案】 4 12【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，如图所示，由菱形性质，结合含30°角的直角三角形的三边关系即可得到AO 及A O ′长，从而得到4AA AO A O ′′=−=；（2）连接A B ′，延长AB 到D '，使BD AB ′=，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到A D B D B D B D ′′′′′+=+，从而确定当D '、B ′、D 三点共线时，A D B D ′′+有最小值为DD ′，由含30°直角三角形的三边关系求解即可得到答案．【详解】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，如图所示：∵在菱形ABCD 中，AB =120B ∠=°， ∴BD AC ⊥，1602ABD CBD ABC ∠=∠=∠=°， ∴30BAO ∠=°，在Rt ABO △中，12BO AB ==6AO ==，∵将ABC 向右平移得到A B C ′′′ （点A ′在线段AC 上）， ∴30B A C BAC ′′′∠=∠=°， 若四边形A B CD ′′是矩形，则90DA B ′′∠=°， ∴60DA O DA B BA C ′′′∠=∠−∠=°，DO BO ==在Rt ADO △中，2A D A O ′′==2A O ′∴=， ∴4AA AO A O ′′=−=， 故答案为：4；（2）连接A B ′，延长AB 到D '，使BD AB ′＝，如图所示：∵将ABC 向右平移得到A B C ′′′ （点A ′在线段AC 上）， ∴AB A B ′′∥，AB A B ′′=， ∴A BD B ′′′是平行四边形， ∴A B B D ′′′＝，∵在菱形ABCD 中，由菱形对称性得到A B A D ′′＝， ∴A D B D ′′′＝，∴A D B D B D B D ′′′′′++＝，则当D 、B ′、D 三点共线时，A D B D ′′+有最小值为DD ′，∵120ABC ∠=°， ∴60BAD ∠=°， ∴ABD △是等边三角形，∴BDAB BD ==′，60ABD ADB ∠=∠=°， ∴BDB D ′∠=∠′∵由于ABD ∠是BDD ′△的一个外角，∴30BDB D ′′∠=∠=°， ∴90ADD ′∠=°，在Rt ADD ′△中，AD AB ==30D ′∠=°，则2AD AD ′==，∴12DD ′=，∴A D B D ′′+的最小值为12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，求线段长，添加辅助线构造平行四边形，使得求A D B D ′′+最小值转化求B D B D ′′′+的最小值．模型三、修桥选址模型（将军遛马模型）【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得P A +PQ +QB 的值最小.(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点.（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点. 【最值原理】两点之间线段最短.例题：（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，5AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP BQ =，连接CP 、QA ，则PC QA +的最小值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接BP ，PQ ，在BA 的延长线上截取6AEAB ==，连接PE ，CE ，PC QD PC PB +=+，则PC QD +的最小值转化为PC PB +的最小值，则PC QD PC PB PC PE CE +=+=+≥，根据勾股定理可得结果．【详解】解：如图，连接BP ，PQ ， 在矩形ABCD 中，AD BC ∥， ∴AP BQ ∥， ∵AP BQ =，∴四边形ABQP 是平行四边形， ∴四边形ABQP 是矩形， ∴QA PB =，则PC QA PC PB +=+，则PC QA +的最小值转化为PC PB +的最小值，在BA 的延长线上截取6AEAB ==，连接PE ， ∵PA BE ⊥，∴PA 是BE 的垂直平分线， ∴PB PE =，∴PC PB PC PE +=+，连接CE ，则PC QD PC PB PC PE CE +=+=+≥，∵212BE AB ==，5BC AD ==， ∴13CE ．∴PC QA +的最小值为13． 故选：D ．【变式训练1】如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，点M ，N 是AC 上两点且14MN AC =，已知4=AD ，30ACD ∠=°，则+DM BN 的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．D ．4【答案】C【分析】先利用矩形的性质和含308AC =，CD =，则2MN =，过D 点作DP AC ∥且2DP =，连接BP 交AC 于N ，如图，利用四边形DPNM 为平行四边形得到PN DM =，则根据两点之间线段最短得到此时+DM BN 的值最小，过P 点作PH AB ⊥于H 点，PH 交CD 于Q 点，如图，再计算出1PQ =，DQ =AH =BH =PB 即可． 【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，AB CD ∴=，90BAD ADC ∠=∠=°，在Rt ADC 中，30ACD ∠=° ，4=AD ，28AC AD ∴==，CD=，14MN AC =， 2MN ∴=，过D 点作DP AC ∥且2DP =，连接BP 交AC 于N ，如图，DP MN = ，DP MN ∥，∴四边形DPNM 为平行四边形， PN DM ∴=，DM BN PN BN PB ∴+=+=，∴此时+DM BN 的值最小，过P 点作PH AB ⊥于H 点，PH 交CD 于Q 点，如图， CD AB ∥ ，PQ CD ∴⊥，DP AC ∥ ，30PDQ ACD ∴∠=∠=°，112PQ DP ∴==，DQ ∴==90ADQ DAH AHQ ∠=∠=∠=° ，∴四边形ADQH 为矩形，4QH AD ∴==，AH DQ ==AB CD ==BH ∴在Rt PHB 中，PB =DM BN ∴+的最小值为故选：C ．【点睛】本题考查了最短路线问题，利用平移的方法确定P 点的位置是解题的关键．也考查了矩形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．【变式训练2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E ，F 是AD 边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC 周长的最小值为 ．【答案】14+【详解】如图，将点B 沿BC 向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD 的对称点B″，连接CB″，交AD 于点F ，在AD 上截取EF=2，连接BE ，B'F ，∴BE=B'F ，B″F=B'F ，此时四边形BEFC 的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC ．当点C ，F ，B″三点共线时，四边形BEFC 的周长最小．∵AB=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″经过点A ，∴AB'=∴B'B″=∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=，∴B″C+EF+BC=14+∴四边形BEFC 周长的最小值为14+．【变式训练3】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】如图1，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 是边AB 上的一点，把ADE 沿直线DE 对折后，点A 落在点F 处． 【问题探究】（1）如图2，当1AE =时，正方形的对角线AC 与DE 相交于点M ，与正方形另一条对角线BD 相交于点O ，连接OF 并延长，交线段AB 于点G ． ①求AMMC的值，并说明点M 是OA 的中点； ②试探究OG 与DE 有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（2）如图3，点H 是线段DF 上的一点，且1DH =，连接BF 、CH ．在点E 从点A 运动到点B 的过程中，求BF CH +的最小值．【答案】（1）①见解析；②OG DE ∥．理由见解析；（2）BF CH + 【分析】(1) ①根据正方形的性质，得到等角，证明 ∽AME CMD 即可得证．②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可．(2)在DC 上截取1DP =，连接FP 、BP ，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）①在正方形ABCD 中，AE DC ∥，AEM CDM ∴∠=∠，EAM DCM ∠=∠， AME CMD ∴△∽△， 13AM AE CM CD ∴==， 14AM AC ∴=． 12AO CO AC ==， 12AM AO ∴=，即点M 是OA 的中点．②OG DE ∥．理由：如图2，连接AF 交DE 于点N ，由折叠可知DE 垂直平分AF 是AF 的中点， 点M 是OA 的中点，MN ∴是AFO 的中位线， MN OF ∴ ，即OG DE ∥．（2）如图3，在DC 上截取1DP =，连接FP 、BP ，DP DH FDP CDH DF DC =∠=∠ =，()SAS DPF DHC ∴ ≌，PF CH ∴=，BF CH BF FP BP ∴+=+≥，当B 、F 、P 三点共线时，BF CH +取得最小值，BPBF CH ∴+【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键．模型四、求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小.（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A 、B 位于直线m ,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.2）已知点A 位于直线m ,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点P A +PQ +QA 周长最短.nnnmn nmn【最值原理】两点之间线段最短.例题：如图， 菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为()3,0−，顶点D 坐标为()0,4，点E 在y 轴上，线段EF x ∥轴，且点F 坐标为()8,6，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是 ．【答案】18【分析】在EF 上截取ET ，使得 ET AD =，作点T 关于直线AD 的对称点T ′，连接FT ′交直线AD 于D '，即为 D A AD ′′=，连接EA ′，此时四边形EA D F ′′的周长最小，利用勾股定理求出5CD =，然后求出()5,6T ，()5,2T ′，得到5FT =′=，进而求解即可．【详解】在EF 上截取ET ，使得 AD =，作点T 关于直线AD 的对称点T ′，连接FT ′交直线AD 于D '，在DD ′上找一点A ′，使得 D A AD ′′=，连接EA ′，此时四边形EA D F ′′的周长最小．∵()0,4D ， ()3,0C − ∴3OC =， 4OD =5CD ∴∵四边形ABCD 是菱形∴5ADCD ==， AD BC ∥ ∵EF x ∥轴，()8,6F ∴()0,6E∵5ETAD == ∴()5,6T ，()5,2T ′5FT =′∴=∴四边形ADFE 的周长的最小值 58141318EA A D D F EF D T D F D T D F FT ′′′′′′=+++=+′++=′′++=+=′． 故答案为：18．【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，平移的性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．【变式训练1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形ABCD 中，3AB =，AD =E 、F 分别是对角线AC 和边CD 上的动点，且AE CF =，则BE BF +的最小值是 ．【答案】【分析】过点A 作AG AC ⊥，使AG AD =，过点G 作GM BA ⊥，GM 交BA 的延长线于点M ，连接EG 、BG 、BD ，BD 交AC 于点O ，根据矩形的性质及勾股定理得6AC ，3BO AO AB ===，继而得到ABO 是等边三角形，证明()SAS AGE CBF ≌，得到GE BF =，继而得到BE BF BE GE BG +=+≥， 当B 、E 、G 三点共线时，取“=”号，此时BE BF +有最小值，最小值是线段BG 的长，然后在Rt MAG △中，根据30°角的直角三角形的性质及勾股定理得到12MG AG==，92AM ==，最后再根据勾股定理BG =计算即可．【详解】解：过点A 作AG AC ⊥，使AG AD =，过点G 作GM BA ⊥，GM 交BA 的延长线于点M ，连接EG 、BG 、BD ，BD 交AC 于点O ，∴90GAE ∠=°， ∵矩形ABCD 中，3AB =，AD =∴90ABC G B A F E C ∠=°=∠∠=，BC AD AG ==，12BOAO AC ==，∴6AC =，∴116322BO AO AC AB ===×==， ∴ABO 是等边三角形，∴60BAO ∠=°， ∴180180609030GAMBAO GAE ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，在AGE 和CBF 中，AG CB GAE BCF AE CF =∠=∠ =∴()SAS AGE CBF ≌， ∴GE BF =，∵点E 、F 分别是对角线AC 和边CD 上的动点， ∴BE BF BE GE BG +=+≥，当B 、E 、G 三点共线时，取“=”号，此时BE BF +有最小值，最小值是线段BG 的长，在Rt MAG △中，90GMA ∠=°，30GAM ∠=°，AG =∴12MG AG==，∴92AM ===，∴915322BM BA AM =+=+=， 在Rt MBG △中，BG∴BE BF +的最小值是 故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，30°角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键．【变式训练2】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 为BC 延长线上一点，若1CE =，连接DE ，M 为DE 的中点， P 、Q 为AD 边上两个动点，且52PQ =，连接P 、B 、M 、Q ，则四边形PBMQ 周长的最小值为 ．【分析】由于BM 和PQ 是定值，只要BP QM +最小，利用对称确定出MG ′就是BP QM +的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图1，过点Q 作QG BP 交BC 于G ，作点G 关于AD 的对称点G ′，连接QG ′， 当点G ′，Q ，M 在同一条线上时，QM BP +最小，而PQ 和BM 是定值，∴此时，四边形PBMQ 周长最小， QG PB ，PQ BG ，∴四边形BPQG 是平行四边形， QG BP ∴=，52BG PQ ==， 32CG ∴=，如图2，在Rt BCD 中，3CD =，4BC =，5BD ∴=，∵1CE = 5BE ∴=，5BE BD ∴==∵M 为 DE 的中点， 13,222BM DE HM ∴⊥=+=，1322HG CD ==， 在Rt MHG ′ 中，HG ′=+=39322，2HM =，MG ∴=′在Rt CDE △中，DE =ME ∴在Rt BME △中，BM ==∴四边形PBMQ 周长最小值为 BP PQ MQ BM +++QG PQ QM BM =+++MG PQ BM ′=++52=+=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性，确定出BP QM +的最小值是解本题的关键．【变式训练3】（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，E F G H ，，，分别是矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，依次连接它们得到四边形EFGH ，探究四边形EFGH 周长的最小值．探究：（1）如图1，H F ，分别是边AD 和BC 上点，在边CD 上作一点G ，使得GH GF +的值最小，并证明DGH CGF ∠=∠（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）如图2，求证；当四边形EFGH 的周长最小时，它是平行四边形．（3）如图2，若矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，求四边形EFGH 周长的最小值．拓展：如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，AB CB ⊥，AD CD ⊥，8AC =，6BD =，直接写出四边形ABCD 的内接四边形EFGH 周长的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（2）20，拓展：12【分析】（1）作点H 关于CD 的对称点H ′，连接FH ′，与CD 相交于点G ，则HG H G ′=，所以GH GF GH GF H F ′′+=+=，根据两点之间线段最短，可知此时GH GF +的值最小，再根据轴对称和对顶角的性质可证得DGH CGF ∠=∠； （2）过点H 作,AB CD 12,H ，过点2,G H 作BC 的对称点为点13,G H ，连接1211313,,,,H E H G FG G H H H ，则12311,,H E HE H G HG H G GF G F ====，记四边形EFGH 的周长为C ，则311113C H G G F FE EH H H =+++≥，当点113,,,H F G H 共线时，周长最小且为13H H 长，由对称得12∠=∠，而13∠=∠，设123α∠=∠=∠=，则1802HEF α∠=°−，而3490∠+∠=°，同理可得45690α∠=∠=∠=°−，故2EFG α∠=，因此180EFG HEF ∠+∠=°，则EH FG ∥，同理可证：GH EF ，故当四边形EFGH 的周长最小时，它是平行四边形；（3）由对称得：1223,,2AH AH DH DH H H DC ===，290CMH ∠=°，由8AB =，6AD =，得12212H H AD ==，2316H H =，故在123Rt H H H △中，由勾股定理得1320H H ，即四边形EFGH 周长最小值为20；拓展：作点G 关于,BC AD 的对称点为13,G G ，作点1G 关于AB 的对称点2G ，连接31112,,,HG FG EF F G ，由对称得11123,,EF EF FG FG F G GH G H ====故四边形EFGH 的周长112323EF FG GH HE EF FG HG HE G G =+++=+++≥，当点312,,,,G H E F G 共线时，四边形EFGH 周长取得最小值，且为23G G 长，连接FD 并延长交直线23G G 于点N ，四边形EFGH 周长取得最小值，此时点1,,E F G 三点共线，由对称得：1EF EF =，32∠=∠，3DG DG =，1BF BF =，可证明23FG G G ∥，继而3NDG FDG △≌△，则DN DF =，3FG NG =，那么BD 为1FNF 的中位线，因此得到1313132BD NF NG FG FG FG ==+=+，故2313212G G F G FG BD =+==．【详解】解：（1）如图，点G 即为所求， ∵H H ′、关于CD 对称，∴DGH DGH ′∠=∠， ∵DGH CGF ′∠=∠， ∴DGH CGF ∠=∠；（2）过点H 作,AB CD 的对称点为12,H H ，过点2,G H 作BC 的对称点为点13,G H ，连接1211313,,,,H E H G FG G H H H ，如图：则12311,,H E HE H G HG H G GF G F ====，记四边形EFGH 的周长为C ， ∴311113C HG GF FE EH H G G F FE EH H H =+++=+++≥， 当点113,,,H F G H 共线时，周长最小且为13H H 长，如图：由对称得12∠=∠，而13∠=∠， ∴设123α∠=∠=∠=，∴1802HEFα∠=°−，∵四边形ABCD 是矩形， ∴90B ∠=︒， ∴3490∠+∠=°， 同理可得45690α∠=∠=∠=°−，∴()1802902EFGαα∠=°−°−=， ∴180EFG HEF∠+∠=°， ∴EH FG ∥，同（1）得点2,,H G F 共线， 同理可证：GH EF ，∴当四边形EFGH 的周长最小时，它是平行四边形； （3）由（2）得四边形EFGH 周长最小时即为13H H 长，由对称得：1223,,2AH AH DH DH H H DC ===，290CMH ∠=°， ∵四边形ABCD 是矩形，∴290BCD ADC DCM H DC ∠=∠=∠=∠=°， ∴四边形2DH MC 是矩形，∴12390H H H ∠=°， ∵8AB =，6AD =，∴1212212H H AH AH DH DH AD =+++==，2316H H =，∴在123Rt H H H △中，由勾股定理得1320H H ，即四边形EFGH 周长最小值为20；拓展：作点G 关于,BC AD 的对称点为13,G G ，作点1G 关于AB 的对称点2G ，连接31112,,,HG FG EF FG ，如图：由对称得11123,,EF EF FG FG FG GHG H ==== ∴四边形EFGH 的周长112323EF FG GH HE EF FG HG HE G G =+++=+++≥，当点312,,,,G H E F G 共线时，四边形EFGH 周长取得最小值，且为23G G 长，连接FD 并延长交直线23G G 于点N ，如图：同（1）得四边形EFGH 周长取得最小值，此时点1,,E F G 三点共线，由对称得：1EF EF =，32∠=∠，3DG DG =，1BF BF = ∴124∠=∠=∠， ∴3=4∠∠， ∴23FG G G ∥，∴3DFG DNG ∠=∠， ∵3NDG FDG ∠=∠，3DG DG =， ∴3NDG FDG △≌△， ∴DN DF =，3FG NG =， ∴BD 为1FNF 的中位线，∴1313132BD NF NG FG FG FG ==+=+，∵231312G G F G F G =+， ∴23131213212G G F G F G F G FG BD =+=+==．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短求最值，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的额关键．模型五、求两条线段差最大值【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P’A -P’B ＜AB ，而P A -PB =AB 此时最大， 因此点P 为所求的点.（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B’,连接AB’交点直线m 于P ,此时PB =PB’，P A -PB 最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边.例题：（2024·陕西西安·二模）如图，ABCD 中，8AB =，60B ∠= ，AE BC ⊥于点E ，点M 在边AB 上，且2AM =，N 是CD 的中点，P 是AE 上的动点，连接PM PN 、.则PN PM −的最大值为 .【答案】【分析】先根据菱形性质得出8ABCB ==，结合直角三角形的性质，得出1903042BAE ABE BE AB ∠=°−∠=°==，，分析出当11N M P ，，三点共线，则PN PM −有最大值，且为1111N P MP N M −=，再运用勾股定理列式，计算出1HN，最后把数值代入1N M =即可作答．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，8AB =，B∴8ABCB ==， ∵60B ∠= ，AE BC ⊥于点E ，∴在Rt ABE △中，1903042BAE ABE BE AB ∠=°−∠=°==，， ∴84CE BE =−=， 则CE BE =作线段DC 关于AE 所在直线的对称线段1BD ，此时点N 的对应点为1N ，连接1N M ，并延长交AE 于一点，即为1P ，如图：当11N M P ，，三点共线，则PN PM −有最大值，且为1111N P MP N M −=∴111608D AB ABE AD AD D B ∠=∠=°===， ∴1AD B 是等边三角形，160ABD ∠=°过1N 作1N H BM ⊥则在1Rt N BH 中，1111906030,422HN BBN BD BH ∠=°−°=°===， 则22214212HN =−= 4HM AB BH AM =−−=∴1N M则PN PM −的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，三点共线求线段的差最小值，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形ABCD 的边长是10，16AC =，DE CD ⊥交AB 于点E ，点P 为直线DE 上一点，点P 与点P ′关于AC 对称，F 为BC 中点，连接P F ′、P A ′，则P F P A ′−′的最大值是 ．【分析】本题考查了轴对称−最短路线，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能正确作出辅助线； 分别取CD 的中点为F ′，连接AP PF ′、，点A 关于DE 的对称点A ′，连接PA ′，三角形三边关系可得：P F P A A F ′−′<′′，当P 、A ′、F ′在同一直线上时，P F P A ′−′有最大值A F ′′，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，AC ∴是菱形ABCD 的一条对称轴，取CD 的中点为F ′，则F ′与F 关于AC 对称，连接AP PF ′、PF P F PA P A ′′′∴==，取点A 关于DE 的对称点A ′，连接PA ′PA PA ′∴=P A PA ′′∴=在PF A ′′ 中， 由三角形三边关系可得：PF PA A F −′′<′′，P A PA ′′= ，PF P F ′′=，P F P A A F ∴−<′′′′，当P 、A ′、F ′在同一直线上时，P F P A ′−′有最大值A F ′′连接AC 交BD 于点O ，182AO CO AC ∴===，12BO DO BD ==，90DOC ∠=° ∴6OD =212BD OD ∴==12ABCD S AC BD AB DE =⋅=⋅ 菱形 11612102DE ∴××=×。