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1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定夯实基础1．下列命题中全称量词命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.2．命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x>1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1解析：选C.命题“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．3．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m≤0成立”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m>0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m>0C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m>0解析：特称命题的否定是全称命题．4．对给出的下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x ∈Q ，x 2＝5；③∃x ∈R ，x 2－x －1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则¬p：∃x ∈N ，x 2<1.其中是真命题的是( )解析：①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，∃x ＝1±52，使得x2－x－1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．解析：存在量词命题“存在集合M中的一个元素x，使s(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2＞07．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对于一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R，x2＝x；④已知a n＝2n，b m＝3m，对于任意n，m∈N*，a n≠b m.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x2＝|x|，故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．答案：①②9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x －3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．能力提升11．下列命题为真命题的是( )A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数解析：选C.若x＝2，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C 正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.12．下列命题中正确的是________(填序号)．①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数．解析：①∃x ∈R ，x ≤0，正确；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数，正确，例如1；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数，正确，例如x ＝π.综上可得，①②③都正确．答案：①②③13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”是真命题，求m 的范围．你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)解析：因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”，而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m 的范围是一致的．答案：是14．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2,2]时，[f(x)]min ≥0即可．①当－a 2<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min ＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤73，又a>4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a≤4时， f(x)min ＝f(－a 2)＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a≤2. 又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当－a 2>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min ＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7， 又a<－4，所以－7≤a<－4.综上所述，a 的取值范围是{a|－7≤a≤2}．学科素养15．命题“（a＋b）2|1＋b|＝a＋b1＋b”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．解：不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．。
1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定1. 课标要求2. 自主预习预习教材P22－P29，思考以下问题：1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？4．全称量词命题“∀x∈M，r(x)”的否定是什么？5．存在量词命题“∃x∈M，s(x)”的否定是什么？3. 基础知识1. 全称量词和存在量词（1）全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题．(1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a，b∈R，若a>b，则1a<1 b；(4)自然数的平方是正数．【解】因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题．练习1．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C.（2）全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2. 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.【解】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．练习2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．∀x∈R，2x＋1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C.对A，是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选C.（3）全称量词命题与存在量词命题的否定例3. 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：所有的方程都有实数解；(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：某些平行四边形是菱形．【解】(1) ¬p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．(2) ¬q：∃x∈R，4x2－4x＋1<0，假命题．由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，所以¬q是假命题．(3) ¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4) ¬s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．练习3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.5. 自我检测1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x＞2答案：B2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( ) A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3答案：C3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.4．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．。
《1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念；2. 掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式的表达方式；3. 培养逻辑推理和问题解决的能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式；2. 教学难点：在实际问题中灵活运用否定概念进行推理。
三、教学准备：1. 准备教学PPT，包含图片、案例和相关概念的解释；2. 准备练习题，供学生课堂练习；3. 准备实物或模型（如果有的话），帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程：1. 引入(1)回顾全称量词命题与存在量词命题的概念。
(2)通过实例让学生感受否定命题的含义和作用。
(3)讲解本节课的目的和要求，让学生明确学习目标。
2. 讲授新课(1)举例说明全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
(2)通过具体的例子，让学生掌握否定命题的书写格式。
(3)引导学生自己举出一些全称量词命题和存在量词命题的例子，并给出它们的否定形式。
(4)强调否定命题的书写规范和注意事项。
3. 实践操作(1)给学生一些练习题，让他们自己动手书写否定命题的答案。
(2)教师对典型错误进行讲解，强调易错点。
(3)鼓励学生相互讨论，交流自己的解题心得。
4. 课堂小结(1)让学生自己总结本节课的主要内容，包括全称量词命题、存在量词命题和否定命题的书写格式、注意事项等。
(2)教师对学生的总结进行补充和完善。
5. 布置作业(1)给学生布置一些与本节课内容相关的练习题，让他们巩固所学知识。
(2)鼓励学生通过查阅资料或相互讨论，解决作业中遇到的问题。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解全称量词命题和存在量词命题的否定概念。
2. 掌握否定命题的逻辑性质，理解否定命题与原命题之间的差异。
3. 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解否定命题的逻辑性质，掌握否定命题的表示方法。
第2课时真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假,并且知道要判定一个命题是真命题需要证明;要判定一个命题是假命题,只需举反例.2.知道基本事实、定理和逆定理的含义,以及它们之间的内在联系.3.知道公理与定理的区别,认识公理是进行逻辑推理的基本依据.自学指导：阅读课本P53-55，完成下列问题.知识探究1.真命题和假命题的区别是什么?解：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.2.如何判断一个命题为真命题,这个过程叫什么?如何判断一个命题为假命题,这种方法叫什么?解：如何判断一个命题为真命题,这个过程叫作证明.何判断一个命题为假命题,这种方法叫作举反例.3.推论的依据是什么?解：略.4.逆定理就是逆命题吗?为什么?解：不是.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.基本事实和定理的相同点:都是真命题;不同点:基本事实是不需要证明的,而定理是需要经过证明.自学反馈1.下列命题中,哪些是真命题,哪些是假命题.(1)直角三角形的两锐角互余;(2)如果a>b,那么a2>b2.2.判断.(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)定理和公理都是真命题.()(2)定理是命题,命题未必是定理.()(3)公理是真命题,真命题是公理.()(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.()3.如果x=y,那么x+m=y+m,在这个命题中所涉及的公理或基本事实是.活动1 小组讨论例1有下面命题：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）钝角三角形的两个内角互补；（3）两个锐角的和一定是直角；（4）两点之间线段最短.其中，真命题有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 判断下列命题的真假，举出反例.大于锐角的角是钝角；如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数如果AC=BC,那么点C是线段AB的中点.解：假命题.的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.的反例：如果AC=BC，而点A,B,C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2 跟踪训练1.下列命题是真命题吗?若不是请举出反例.(1)只有锐角才有余角;(2)若x2=4,则x=2;(3)a2+1≥1;(4)若=-a,则a<0.2.写出定理“垂直于同一条直线的两直线平行”的逆定理.课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?教学至此，敬请使用《名校课堂》部分.【预习导学】自学反馈1.（1）真命题（2）假命题，例如a=1,b=-2,则a>b，而a2<b2。
