二元一次方程组知识点总结及单元复习练习.doc

七年级数学?二元一次方程组?指导资料1一、知识点总结1、二元一次方程：含有两个未知数〔 x 和 y〕，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax by c(a0,b 0) .2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.【二元一次方程有无数组解】3、二元一次方程组：含有两个未知数〔x 和 y〕，并且含有未知数的项的次数都是 1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一x y1x y1次方程组的解 .【二元一次方程组解的情况：①无解，比方：xy 6 ，2x2y 6 ；x y1x y1②有且只有一组解，比方：2xy2 ；③有无数组解，比方：2x2y2】5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。

解三元一次方程组的要点也是“消元〞：三元→二元→一元7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答〞五步。

列方程〔组〕解应用题是中学数学联系实质的一个重要方面。

1．行程问题〔匀速运动〕根本关系：s=vt⑴相遇问题(同时出发)：⑵追及问题〔同时出发〕：⑶水〔风〕中航行：2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质 +溶剂3．增加率问题：4．工程问题：根本关系：工作量 =工作效率×工作时间〔常把工作量看着单位“ 1〞〕。

5. 数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，那么这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比任性质等。

二、典型例题解析例 1、假设方程 x2 m 1 5 y3n 27是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值 .例 2、将方程10 2(3y)3(2x) 变形，用含有 x 的代数式表示y.例 3、方程x 3 y10 在正整数范围内有哪几组解？例 4、假设x2 是方程组2x3m1的解，求 m、 n 的值.y3nx my5例 5、 ( m 1)x n(n 1) y m 1 是关于x、y的二元一次方程，求n m的值.例 6、二元一次方程组4x3y7kx的解 x， y 的值相等，求 k．(k 1)y 3例 7：〔1〕用代入消元法解方程组：7x5y32x y4〔 2〕、用加减法解二元一次方程组：4x 3y 012x 3y 8(3)、解复杂的二元一次方程组．〔提高题〕例 8、假设关于 X,y 的二元一次方程组 x+y=5k,x-y=9k 的解也是二元一次方程 2x+3y=6 的解，求 k 的值。

一、行程问题：路程＝速度×时间1、相遇问题：两者所走的路程之和＝两者原相距路程2、追及问题：快者所走路程－慢者所走路程＝两者原相距路程例1、某站有甲乙两辆汽车，若甲车先出发1小时后乙车出发，则乙车出发后5小时追上甲车；若甲车先开出30千米后，乙车出发，则乙车出发4小时后乙车所走的路程比甲车所走的路程多10千米。

求两车的速度。

例2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。

这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米3、环形跑道问题：环形跑道追及、相遇问题等同于直线追及、相遇问题。

（1）同时同地相向而行第一次相遇（相当于相遇问题）：甲的路程＋乙的路程＝跑道一圈长（2）同时同地同向而行第一次相遇（相当于追及问题）：快者的路程－慢者的路程＝跑道一圈长例1、甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练跑，如果同时同地相向出发，每隔分钟相遇一次；如果同时同地同向出发。

每隔10分钟相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度。

4、航行、飞行问题：（1）顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速（2）逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速例1、已知A、B两码头之间的距离为240千米，一艘船航行于A、B 两码头之间，顺流航行需4小时；逆流航行需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度。

【练一练】1、甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米2、甲乙两人练习赛跑如果甲让乙先跑10m，甲跑5s就能追上乙，如果乙先跑2s，那么甲跑4s就能追上乙，求两人每秒各跑多少米。

3、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔133分钟相遇一次，，如果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度4、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米5、某部队执行任务，以8千米/时的速度前进，通讯员在队尾接到命令后把命令传给排头，然后立即返回排尾，通讯员来回的速度均为12千米/小时，共用分钟，求队伍的长是多少6、一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时。

，0 。

④12 3⑥a + 2b = 3a 2b⎧3x - 2 y = 1 ⎧a = 3 ⎧ x + y = 3 ⎧s ÷ 3 = t ÷ 5 ⎪ + = 2 ⎪⎩a - b = 1 ⎩ y = 8。

⎩ xy = 2二元一次方程组一、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） 所得结果仍是等式。

二．一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

其中方程 ax + b = （x 为未知数，a ≠ 0）叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。

三．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程；②加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

1、下列方程中，是二元一次方程的有＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）①x - 3 = 0② 2s - t = 5③ 3xy - 5 = 8 1+ y = x 2⑤m n+ = 1⑦ 2 x - 3 y = 6⑧ 2 x - 5x = 92、下列方程组中，是二元一次方程组的有＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）⎧ 1 1① ⎨ ② ⎨ ③ ⎨ ④ ⎨ a b ⑤ ⎨ ⑥⎩ y = 4 z + 1 ⎩2b - 3a = 2 ⎩ s - t = 8⎧ x = 0⎨3、①若3x m - 2 yn -1 = 0 是关于 x 、 y 的二元一次方程，则m =＿＿＿＿， n =＿＿＿＿。

＝x的方程组直接写出它的解．列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题：　(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

　(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）　4．储蓄问题： ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息× (1－利息税率) 。

　5．配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

　6．增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量.　7．和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.　8．数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

二元一次方程组【知识点一：二元一次方程组的有关概念】二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．【典型例题】1．在下列方程中，不是二元一次方程的有（）A．x+y=3 B．xy=3 C．x－y=3 D．x=3－y次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个3．若关于x，y的方程x m+1+y n－2=0是二元一次方程，则m+n的和为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式练习】1．下列各式中，属于二元一次方程的是（）A．x2－25=0 B．x=2y C．y－6=0 D．x+y+z=02．下列四个方程中，是二元一次方程的是（）A．xy=3 B．2x－y2=9 C．132x y=+D．3x－2y=03．若x a－2+3y b+3=15是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－2 【提高练习】1．下列式子中，属于二元一次方程的是（）A．2x+3=x－5 B．x+y＜2 C．3x－1=2－5y D．xy≠1 2．已知：mx－3y=2x+6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．m≠0B．m≠3C．m≠－2 D．m≠23．已知x2m－1+3y4－2n=－7是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值是（）A．B．C．D．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．【典型例题】1．若是关于x、y的二元一次方程ax－3y=1的解，则a的值为（）A．－5 B．－1 C．2 D．72．方程x+2y=5的正整数解有（）A．一组B．二组C．三组D．四组3．已知方程5x－2y=1，当x与y相等时，x与y的值分别是（）A．x=13，y=13B．x=－1，y=－1 C．x=1，y=1 D．x=2，y=2【变式练习】1．二元一次方程5a－11b=21（）A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解2．若是方程2x－3y+a=1的解，则a的值是（）A．1 B．12C．2 D．03．已知是二元一次方程2x－y=14的解，则k的值是（）A．2 B．－2 C．3 D．－34、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【提高练习】1．方程x +y =6的非负整数解有（ ） A ．6个B ．7个C ．8个D ．无数个2．二元一次方程3x +2y =15在自然数范围内的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 【典型例题】1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )A 、⎩⎨⎧==+725xy y xB 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+043112y x y xC 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=343453y x y xD 、⎩⎨⎧=+=-12382y x y x2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A 、B 、C 、D 、3．若方程组是二元一次方程组，则a 的值为_______．4．关于x 、y 的方程组的解是，则|m －n |的值是（ ）A ．5B ．3C ．2D ．15．若方程组026ax y x by +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=-⎩，则a +b =_______．【变式练习】1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）A 、B 、C 、D 、3．已知是二元一次方程组的解，则2m －n 的算术平方根为（ ） A ．±2B ．2 C ．2D ．44．若方程组2x y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是1x y =⎧⎨=⎩，那么│a －b │=_____．【提高练习】1．方程2x +3y =11和下列方程构成的方程组的解是 的方程是（ ）A ．3x +4y =20B ．4x －7y =3C ．2x －7y =1D ．5x －4y =62．已知│2x －y －3│+（2x +y +11）2=0，则（ ） A ．21x y =⎧⎨=⎩ B ．03x y =⎧⎨=-⎩ C ．15x y =-⎧⎨=-⎩ D ．27x y =-⎧⎨=-⎩3、若3243y x b a +与b a y x -634是同类项，则=+b a （ ）A 、－3B 、0C 、3D 、6【知识点二：二元一次方程组的两种解法】【例1】若1721x ax by y ax by =+=⎧⎧⎨⎨=--=-⎩⎩是方程组的解，则a =______，b =_______．【变式练习】1、以x 、y 为未知数的方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 与方程组⎩⎨⎧=+=+654432y x y x 的解相同，试求a 、b 的值．2、若把上面题目改成方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与⎩⎨⎧=-=+184393by ax y x 的解相同，试求a 、b 的值．【例四】已知二元一次方程3x +4y =6，当x 、y 互为相反数时，x =_____，y =______；当x 、y 相等时，x =______，y = _______ ． 【例五】已知2x 2m －3n －7－3y m +3n +6=8是关于x ，y 的二元一次方程，求n 2m【变式练习】1、若2a y +5b 3x 与－4a 2x b 2－4y是同类项，则a =______，b =_______．2、如果（5a －7b +3）2+53+-b a =0，求a 与b 的值．【扩展】代入法在一些特殊方程中的巧妙应用⎩⎨⎧-=+-=+1)(258y x x y x【例五】方程组⎩⎨⎧-=+=-252132y x y x 中，x 的系数特点是______；方程组⎩⎨⎧=-=+437835y x y x 中，y 的系数特点是________.这两个方程组用__________________法解比较方便．【变式练习】【例六】已知方程mx +ny =10有两个解，分别是⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1221y x y x 和，则m =________，n =__________. 【变式练习】1、若2a +3b =4和3a －b =－5能同时成立，则a =_____，b =______.2、如果二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+a y x ay x 4的解是二元一次方程3x －5y －28=a 的一个解，那么a 的值是_________.3、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+1532m y x my x 的解x 与y 的差是7，求m 的值．4、若3122x m y m =+⎧⎨=-⎩，是方程组1034=-y x 的一组解，求m 的值．5、二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解11x y =⎧⎨=-⎩，求m 和n 的值.【例七】已知⎩⎨⎧=+=+8272y x y x ，那么x －y 的值是___________.【变式练习】1、已知⎩⎨⎧=+=+8272y x y x ，则y x yx +-=_________. 2、已知⎩⎨⎧=-=+ay x a y x 22，a ≠0，则y x =__________.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+4231432y x y yx 观察思考，选择适当的方法消元并加以归纳总结(1) (2)(3) （4）【知识点三：一次函数与二元一次方程（组）的综合应用】1．若直线y =2x+n 与y =mx －1相交于点(1，－2)，则( )． A ．m =12，n =－52 B ．m =12，n =－1 C ．m =－1，n =－52 D ．m =－3，n =－322．直线y =12x －6与直线y =－231x －1132的交点坐标是( )．A ．(－8，－10)B ．(0，－6)C ．(10，－1)D ．以上答案均不对 3．在y =kx +b 中，当x =1时y =2；当x =2时y =4，则k ，b 的值是( )． A ．00k b =⎧⎨=⎩ B . 20k b =⎧⎨=⎩ C ．31k b =⎧⎨=⎩ D . 02k b =⎧⎨=⎩4．直线kx －3y =8，2x +5y =－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2⎩⎨⎧=+-=65732y x y x ⎩⎨⎧=-=+6341953y x y x5．已知4353xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，是方程组3,12x yxy+=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，那么一次函数y=3－x和y=2x+1的交点是________．6．一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点在二元一次方程－2x+by=18上，则b=_________．7．已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax－3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，－1)，则a=_______，b=________．8．已知方程组230,2360y xy x-+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y=3x－3与y=－32x+3的交点P的坐标是______．9．若直线y=ax+7经过一次函数y=4－3x和y=2x－1的交点，求a的值．10．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x－3的图像．(2)两者的图像有何关系?(3)你能找出一组数适合方程x－y=2，x－y=3吗?________，这说明方程组2,3,x yx y-=-⎧⎨-=⎩_______．11．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．12．在直角坐标系中，直线L1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线L2经过原点，且与直线L1交于点(－2，a)．(1)求a的值．(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解?(3)设交点为P，直线L1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗?【知识点四：二元一次方程组应用题】【一、百分数问题】1．某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加％，农村人口增加工厂％，这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口?2．要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少?3．校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元. 求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元?4．某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年的总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。

第八章 二元一次方程组一、知识定义二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

二、考点例题考点11.如果是同类项，则、的值是（ ）A、＝－3，＝2 B、＝2，＝－3 C、＝－2，＝3 D、＝3，＝－2题型21.若3x＋4y＝2是关于x、y的二元一次方程，则的值等于 。

2.关于X的方程，当__________时，是一元一次方程；当___________时，它是二元一次方程。

3.若关于x、y的方程（a-3）x|b|-1+（b+2）y=9是二元一次方程，则a=_____，b=_____．题型31.已知，用表示的式子是___________；用表示的式子是___________。

当时___________；写出它的2组正整数解______________。

题型41.方程的正整数解是______________。

2.二元一次方程4x+y=20 的正整数解是______________________。

题型51.若a－b＝2，a－c＝，则（b－c）3－（b－c）＋＝ （ ）A、0B、C、2D、－42.已知方程组，不解方程组则x+y=__________。

3．已知6x-5y=16，且2x+3y=6，则4x-8y的值为 .4.已知，那么的值是 。

二元一次方程组知识总结及训练 知识点一：二元一次方程定义和条件： 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程． 条件： 含有两个未知数；含有未知数的项的次数都是1•；必须是等式；未知数的项的系数不为0。

1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．2．若3x 953++n m ＋4y 724--n m ＝2是关于x 、y 的二元一次方程，则nm 的值等于 。

3．已知b ay x +2与y x b a -531是同类项，则______=x ，_______=y 。

4．若2m x +（m+1）y=3m-1是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≠－1B 、m=±1C 、m=1D 、m=0 5．若是关于的二元一次方程，则（ ） A. B. C. D.知识点二：二元一次方程的一般形式及其变形一般形式：ax+by=c(a≠0,b≠0，c 为任意数)变形：⑴ 用x 表示y 就是把x 看成已知数，求y 的值。

⑵ 用y 表示x 就是把y 看成已知数，求x的值。

变形是解二元一次方程租的代入法的基础和关键所在。

1．由方程624=-y x ，用含x 的代数式表示y ，则_______=y2．已知3x - 2y = 1,用含x 的代数式表示y 是_________，当x = -1时，y = _3．由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝ 。

4．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=_______ _．5．已知12321=-y x ，用x 表示y 的式子是_____；用y 表示x 的式子是______。

当1=x 时=y ____ _；知识点三：二元一次方程的解和二元一次方程的解的求法。

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)二元一次方程组知识点梳理及经典练知识点1：二元一次方程组的定义1.二元一次方程1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2）三个条件：①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

②含有未知数的项的次数都是1.③二元一次方程的左右两边都必须是等式。

3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1.即若ax+by=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1，n=1.2.二元一次方程组1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

2）三个条件：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

2）常考题型：①根据定义判断。

②已知方程组的解，求方程组待定系数（将解代入方程）。

③列方程组求相关字母的值。

知识点2：解二元一次方程组1.代入消元法1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。

②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。

③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。

④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

例：解方程组：2x-7y=83x-8y-10=02.加减消元法1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2）加减消元法解方程步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。

．的面积。

8、二元一次方程组应用题（1）：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元； 3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.（2）：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题：　(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；； (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

　甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600 m的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15 s相遇一次；当两人同向运动时，每1 min相遇一次，求两人的速度．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

二元一次方程组考点解析考点一二元一次方程(组)的解的概念【例1】已知2,1xy==⎧⎨⎩是二元一次方程组8,1mx nynx my+=-=⎧⎨⎩的解,则2m-n的算术平方根为( )A.4B.2D.±2【解析】把2,1xy==⎧⎨⎩代入方程组8,1mx nynx my+=-=⎧⎨⎩得28,2 1.m nn m+=-=⎧⎨⎩解得3,2.mn==⎧⎨⎩所以2m-n=4,4的算术平方根为2.故选B.【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.变式练习1.若方程组,ax y bx by a+=-=⎧⎨⎩的解是1,1.xy==⎧⎨⎩求(a+b)2-(a-b)(a+b)的值.考点二二元一次方程组的解法【例2】解方程组：1 28. x yx y=++=⎧⎨⎩，①②【分析】可以直接把①代入②，消去未知数x，转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-y=1，再用加减消元法求解.【解答】方法一：将①代入到②中，得2(y+1)+y=8.解得y=2.所以x=3.因此原方程组的解为3,2. xy==⎧⎨⎩方法二：1, 28. x yx y=++=⎧⎨⎩①②对①进行移项，得x-y=1.③②+③得3x=9.解得x=3.将x=3代入①中，得y=2. 所以原方程组的解为3,2. xy==⎧⎨⎩【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法.变式练习2.方程组 25,7213x y x y +=--=⎧⎨⎩的解是__________. 3.解方程组：3419,4.x y x y +=-=⎧⎨⎩①②考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围【例3】若关于x 、y 的二元一次方程组31,33x y a x y +=++=⎧⎨⎩①②的解满足x+y<2,则a 的取值范围为( )A.a<4B.a>4C.a<-4D.a>-4【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x 、y 的关系，再根据x+y<2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x+y<2求出a 的取值范围，但计算量大.【解答】由①+②，得4x+4y=4+a,x+y=1+4a ,由x+y<2，得1+4a <2，解得a<4.故选A. 【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.变式练习4.已知x 、y 满足方程组25,24,x y x y +=+=⎧⎨⎩则x-y 的值为__________.考点四 二元一次方程组的应用【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元.”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”根据以上对话，解答下列问题：(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金-45座客车每辆每天的租金=200元，4辆60座一天的租金+2辆45座的一天的租金=5 000元；由此可列出方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”以及（1）的结果来求出答案.【解答】（1）设平安公司60座和45座客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元.由题意，得200,425000.x y x y -=+=⎧⎨⎩解得900,700.x y ==⎧⎨⎩ 答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元.（2）5×900+1×700=5 200(元）.答：九年级师生租车一天共需资金5 200元.1.审题：弄清已知量和未知量；2.列未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程；3.解这个方程；4.验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答.变式练习5.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,求x,y的值.6.在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？复习测试一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.212x yy z+=-+=⎧⎨⎩B.53323x yy x-==+⎧⎨⎩C.512x yxy-==⎧⎨⎩D.2371x yx y-=+=⎧⎨⎩2.方程2x+y=9的正整数解有( )A.1组B.2组C.3组D.4组3.方程组32,3211x yx y-=+=⎧⎨⎩①②的最优解法是( )A.由①得y=3x-2，再代入②B.由②得3x=11-2y，再代入①C.由②-①，消去xD.由①×2+②，消去y4.已知21xy==⎧⎨⎩，是方程组4,ax byax by+=--=⎧⎨⎩的解,那么a，b的值分别为( )A.1,2B.1，-2C.-1,2D.-1,-25.A、B两地相距6 km，甲、乙两人从A、B两地同时出发，若同向而行，甲3 h可追上乙；若相向而行，1 h相遇，A.6336x y x y +=+=⎧⎨⎩B.636x y x y +=-=⎧⎨⎩C.6336x y x y -=+=⎧⎨⎩D.6336x y x y +=-=⎧⎨⎩ 6.足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了( )A.3场B.4场C.5场D.6场7.(2014·抚州)已知a 、b 满足方程组22,26,a b a b -=+=⎧⎨⎩则3a+b 的值为( )A.8B.4C.-4D.-88.方程组24,31,7x y x z x y z +=+=++=⎧⎪⎨⎪⎩的解是( )A.221x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩B.211x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩C.281x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩D.222x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩9.某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个,已知一个螺栓配套两个螺帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为( )A.50人，40人B.30人，60人C.40人，50人D.60人，30人10.甲、乙二人收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )A.15 000元，12 000元B.12 000元，15 000元C.15 000元，11 250元D.11 250元，15 000元二、填空题(每小题4分,共20分)11.已知a 、b12.已知2,1x y ==⎧⎨⎩是二元一次方程组7,1mx ny nx my +=-=⎧⎨⎩的解，则m+3n 的立方根为__________.13.孔明同学在解方程组,2y kx b y x =+=-⎧⎨⎩的过程中,错把b 看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为1,2,x y =-=⎧⎨⎩又已知3k+b=1,则b 的正确值应该是__________. 14.已知|x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0，则x=__________，y=__________，z=__________.15.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为__________.三、解答题(共50分)16.(10分)解方程组：(1)251x y x y +=-⎧=⎨⎩，①；② (2)1151.x y z y z x z x y +-=+-=+-⎪⎨=⎧⎪⎩，①，②③17.(8分)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1 200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵数.18.(9分)已知方程组53,54x yax y+=+=⎧⎨⎩与方程组25,51x yx by-=+=⎧⎨⎩有相同的解,求a，b的值.19.(11分)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？20.(12分)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利150元，销售一台乙种电冰箱可获利200元，销售一台丙种电冰箱可获利250元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？参考答案变式练习1.把1,1x y ==⎧⎨⎩代入方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩，得1,1.a b b a +=-=⎧⎨⎩ 整理，得1,1.a b a b -=-+=⎧⎨⎩ ∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.2.13x y ==-⎧⎨⎩， 3.由②，得x=4+y.③把③代入①，得3(4+y)+4y=19.解得y=1.把y=1代入③，得x=4+1=5.∴原方程组的解为51.x y ==⎧⎨⎩， 4.15.根据题意,得25,5 1.x y x y -=-=+⎧⎨⎩解得3,1.x y ==⎧⎨⎩ 6.设应分配x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得 70,120021800.x y x y +=⨯=⎧⎨⎩解得30,40.x y ==⎧⎨⎩ 答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾. 复习测试1.B2.D3.C4.D5.D6.C7.A8.C9.C 10.C11.6 12.2 13.-11 14.214 34 15.35 16.（1）①+②，得3x=6.解得x=2.把x=2代入②，得y=1.所以原方程组的解为21.x y ==⎧⎨⎩， （2）①+②+③，得x+y+z=17.④④-①，得2z=6,即z=3.④-②，得2x=12,即x=6.④-③，得2y=16,即y=8.所以原方程组的解是683.x y z ⎧⎪=⎩==⎪⎨，，17.设王叔叔购买甲种人参x 棵，乙种人参y 棵.根据题意，得15x y +=⎧⎨，解得5x =⎧⎨，答：王叔叔购买甲种人参5棵，乙种人参10棵.18.解方程组53,25x y x y +=-=⎧⎨⎩，得1,2.x y ==-⎧⎨⎩将x=1,y=-2代入ax+5y=4,得a=14.将x=1,y=-2代入5x+by=1,得b=2.19.设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得100,23270.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得30,70.x y ==⎧⎨⎩答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶.20.(1)①设购进甲种电冰箱x 台，购进乙种电冰箱y 台，根据题意，得50,1500210090000.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得25,25.x y ==⎧⎨⎩ 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各25台.②设购进甲种电冰箱x 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得50,1500250090000.x z x z +=+=⎧⎨⎩解得35,15.x z ==⎧⎨⎩ 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱35台，丙种电冰箱15台. ③设购进乙种电冰箱y 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得 50,2100250090000.y z y z +=+=⎧⎨⎩解得87.5,37.5.y z ==-⎧⎨⎩不合题意，舍去. 故此种方案不可行.(2)上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8 750(元)，第二种方案可获利：150×35+250×15=9 000(元)，因为8 750<9 000，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电冰箱35台，乙种电冰箱15台.。

t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y ③ t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

3、4、1.2.“方2.3.一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解基本思路：未知数又多变少。

消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

y）用含y=-26、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。

9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。

10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)代入(3)得特点:(二)例2例3令★重点★一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）☆内容提要☆二、解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc (c≠0)三、解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。