七年级下册二元一次方程组知识点整理

（华师版）七年级下册数学第七章知识点归纳第七章二元一次方程组一、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程的定义：都含有1个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式为：ax+by=c（a、b、c 为常数，且a、b 均不为0）结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。

而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z、m2=n 等都不是二元一次方程。

2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如：⎩⎨⎧-=+=-8532y x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337b a b a 、⎩⎨⎧=-=+12n m n m 、⎩⎨⎧-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。

而⎩⎨⎧-=+=-8532z x y x 、⎩⎨⎧=--=+12337a a a a 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+121n m n m 等都不是二元一次方程组。

注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。

如：⎩⎨⎧-==852y x 、⎩⎨⎧-==112t s 也是二元一次方程组。

3．二元一次方程和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

（即是两个方程的公共解）注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“⎩⎨⎧”把方程中两个未知数的值连接起来写。

二元方程解的写法的标准形式是：⎩⎨⎧==b y a x ，（其中a、b 为常数）（二）二元一次方程组的解法1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

人教版七年级下册第八章第一课时认识二元一次方程组一、二元一次方程及其解（1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.（2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】二、二元一次方程组及其解（1）、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.（2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.】 例1、若方程213257m n xy --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.解：∵方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程 ∴211321m n -=⎧⎨-=⎩解得11m n =⎧⎨=⎩ 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .解:去括号得，106263y x -+=- 移项得，261063y x =-+-合并同类项得，223y x =- 系数化为1得，232x y -=例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？解：有三组解，分别是147,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 例4、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值. 解：∵23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解 ∴431235m n m -=⎧⎨-=-⎩解得11m n =⎧⎨=-⎩ 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. 解：∵(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程∴101101m m n n +≠⎧⎪=⎪⎨-≠⎪⎪=⎩ 解得11m n =⎧⎨=-⎩ ∴1(1)1m n =-=-（变式训练）已知218(26)(2)0n m m x n y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时，求x 的值. 知识点1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（ ）..A 67x y -= .B 105x y-= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ） .A 3 .B 4 .C 4.5 .D 63、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（ ）.A 012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩.D 11x y =-⎧⎨=-⎩ 4、二元一次方程27x y +=在正整数范围内的解有（ ）..A 无数个 .B 两个 .C 三个 .D 四个5、若226n m x y +=是二元一次方程，则m = n = .6、关于x y 、的方程11()()0,33m x m y ++-=当m = 时，是一元一次方程；当m = 时，是二元一次方程.7、已知在方程352x y -=中，若用含有x 的代数式表示y ，则y = ，用含有y 的代数式表示x ，则x =8、若5m n -=，则15m n -+=9、已知221(31)0x y ++-=，则2x y -= 10、在二元一次方程2(5)3(2)10x y ---=中，当0x =时，则y = ；当4y =时，则x = . 知识点2：二元一次方程组及其解1、有下列方程组：（1）30430x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）3049x y xy +=⎧⎨=⎩ （3）52m n =⎧⎨=-⎩ （4）1426x x y =⎧⎨+=⎩其中说法正确的是（ ）. .A 只有（１）、（3）是二元一次方程组 .B 只有（３）、（４）是二元一次方程组 .C 只有（４）是二元一次方程组 .D 只有（２）不是二元一次方程组2、下列哪组数是二元一次方程组324x y x +=⎧⎨=⎩的解（ ） .A 30x y =⎧⎨=⎩ .B 12x y =⎧⎨=⎩ .C 52x y =⎧⎨=-⎩ .D 21x y =⎧⎨=⎩ 3、若方程组162ax y x by -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则a 、b 的值分别为（ ） .A 1,1a b == .B 2,1a b == .C 1,2a b ==- .D 2,2a b ==-4、写出一个以 ⎩⎨⎧-==24y x 为解的二元一次方程组 ；写出以12x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程 . 5、已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为 。

浙教版七年级数学严选学习材料一线名师严选内容，逐一攻克☆基本概念、基本原理、基础技能一网打尽☆点拨策略思路，侧重策略指导，拓宽眼界思路☆专题02 二元一次方程组及其解法知识网络重难突破知识点一有关概念及应用1.二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。

2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

【典例1】（2019春•诸暨市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x+xy＝8B．y＝x﹣1C．x+＝2D．x2﹣2x+1＝0【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【解析】解：A、含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，故本选项错误；B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故本选项正确；C、不是整式方程，故本选项错误；D、x含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．【变式训练】1．（2019春•余姚市校级月考）若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的值为﹣2．【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．【解析】解：根据二元一次方程的定义，得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故答案是：﹣2．【点睛】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．2．（2019春•嘉兴期末）已知是二元一次方程mx+4y＝2的一个解，则代数式m﹣2n的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【点拨】把x与y代入方程计算，即可求出所求．【解析】解：把代入方程得：﹣2m+4n＝2，整理得：﹣2（m﹣2n）＝2，即m﹣2n＝﹣1，故选：C．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2019春•余姚市期末）下列各组数中，是二元一次方程2x﹣3y＝1的解的是（）A．B．C．D．【点拨】把x、y的值代入方程，看看左边和右边是否相等即可．【解析】解：A、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；B、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项符合题意；C、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝﹣5，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；D、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝5，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键．知识点二二元一次方程组的解法常用方法：代入消元法、加减消元法解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。

注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。

例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。

例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。

2.未知数的次数为1。

注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。

例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。

'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。

第八章 二元一次方程组一、知识网络结构二、知识要点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。

使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。

使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

二元一次方程组知识总结及典型例题◆知识要点知识点1：二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数知识点2：二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

（注：①方程中有且只有两个未知数。

②方程中含有未知数的项的次数为1。

③方程为整式方程。

）知识点3：二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组:知识点4：二元一次方程的解的定义：使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。

方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

知识点5：二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．知识点6：二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；(4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。

◆例题解析例1：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x的代数式表示y的形式。

②将其变形为用含y的代数式表示x的形式例2：(1)下列方程中是二元一次方程的是（）A．3x-y2=0 B．2x+y1=1 C．3x-52y=6 D．4xy=3(2)已知关于x,y的二元一次方程6)3()42(232=++---nm ynxm,求m,n的值例3：下列方程组中，是二元一次方程的是（）①228423119...23754624x yx y a b xB C Dx y b c y x x y+=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩例4 （1）已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．（2）已知方程组44ax y-=⎧⎨⎩，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为26xy=-⎧⎨=⎩，，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为44.xy=-⎧⎨=-⎩，若按正确的a、b计算，求原方程组的解．例5：(1)6,234()5() 2.x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩(2) 已知⎩⎨⎧=-+=+-3252zyxzyx求：zyxzyx23324+--+的值(3) 已知关于x 、y 的二元一次方程组 4x+y=5 和 3x-2y=1 有相同的解。

第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组考点1：二元一次方程1.如果ax +2y =1是关于x 、y 的二元一次方程，那么a 的值应满足（ ） A.a 是有理数 B.a ≠0 C.a =1 D.a 是正有理数2.下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A.2x -3y =5B.x +1=10C.x1+5y =8 D.2x +xy =-13.若（a -2）x +（b +1）y =7是关于x 、y 的二元一次方程，则（ ） A.a ≠2 B.b ≠-1 C.a ≠2且b ≠-1 D.a ≠2或b ≠-14.下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是二元一次方程？ （1）x -y =0 （2）x 1-y1=3 （3）x 2-x +1=0 （4）ax +by =5（a ≠0，b ≠0，a 、b 是常数)5.若方程2x 2a -1+y b -2=1是二元一次方程，求a +b 的值.考点2 二元一次方程的解6.已知⎩⎨⎧==a y x 1，是二元一次方程x -y =5的解，则a =________.7.二元一次方程5x +2y =13（ ） A.只有一组解 B.有两组解 C.有无数组解 D.无解8.（2008·武汉）已知关于x 的方程4x -3m =2的解是x =m ，则m 的值是（ ） A.2B.-2C.72 D.-72 9.已知二元一次方程2x -3y =-15， （1）用含有y 的代数式表示x ；（2）当y =3、4、5时，分别求出对应的x 值.考点3 二元一次方程组与它的解10.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A.⎩⎨⎧=-=+13y x y xB.⎩⎨⎧==45y x C.06=-+=-y x y x D.⎩⎨⎧==-34xy y x11.已知二元一次方程组⎩⎨⎧=--=+②.643①,3y x y x 下列说法中，正确的是（ ）A.同时适合方程①、②的x 、y 的值是方程组的解B.适合方程①的x 、y 的值是方程组的解C.适合方程②的x 、y 的值是方程组的解D.同时适合方程①、②的x 、y 的值不一定是方程组的解 12.（2008·杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程32=-ay x 的一个解，那么a 的值是（ ） A.1 B.3C.-3D.-113.已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，则（m+n ）2008的值为________.14.为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a 、b 、c 对应的密文a +1、2b +4、3c +9.如果接收方收到密文7、18、15，请你解密得出明文.8.2 消元——二元一次方程组的解法第1课时 代入消元法考点1：直接代入1.方程2x +y =6，用含x 的代数式表示y ，则y =________. 用含y 的代数式表示x ，则x =________.2.方程组⎩⎨⎧=-=+.53,132y x y x ②①若用代入法解最好将方程______代入______.3.解下列二元一次方程组. （1）⎩⎨⎧=+=.823,2x y x y （2）⎩⎨⎧+==+.1152,52y x y x考点2：变形后代入 4.方程组⎩⎨⎧=-=+.1153,32y x y x ②①若用代入法解最好将方程______用______的代数式表示____________.5.下列是用代入法解方程组⎩⎨⎧-==-.2113,23y x y x ②①的开始步骤，其中最简单、正确的是（ ）A.由①，得y =3x -2. ③，把③代入②，得3x =11-2（3x -2）.B.由①，得x =32+y .③，把③代入②，解3×32+y =11-2y . C.由②，得y =2311x -.③，把③代入①.得3x 2311x--=2. D.把②代入①，得2211=--y y .6.方程组⎩⎨⎧=+=-.1,52y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧==.1y ,2xB. ⎩⎨⎧==.1,0y xC. ⎩⎨⎧=-=.1,2y xD. ⎩⎨⎧-==.1y ,2x7.解下列方程组.（1）⎩⎨⎧=++=.832,6y x x y ②① （2）⎩⎨⎧=+-=+.15,1932y x y x ②①8.小明给小刚出了一道数学题：如果将原方程组⎩⎨⎧=+=-.3 □,3 □2y x y x ②①第1个方程y 的系数遮住，第2个方程x 的系数覆盖，并且告诉你⎩⎨⎧==.1,2y x 是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？第2课时 加减消元法考点1：直接加减消元1.方程组235,2715.x y x y +=⎧⎨-=-⎩中的x 的系数特点是_________；方程组⎩⎨⎧=+=-.11y 5x 6,7y 5x 3中y的系数的特点是_________；这两个方程组用________法解较简便. 2.方程组3210,52 6.y x y x -=⎧⎨+=⎩的解是________,________.x y =⎧⎨=⎩3.（2008·河北）如图8.2-1所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是___________g.4.方程组432431x y x y -=⎧⎨+=⎩，既可用___________法消去未知数________，也可用_________法来消去未知数_________.5.已知方程组①435,4614.x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②34,350.y x y x =+⎧⎨+=⎩其中方程组①采用________消元法简单，而方程组②采用_________消元法简单.6.解下列方程组 （1）250,72130.x y x y ++=⎧⎨--=⎩ （2）15,5.x y x y +=⎧⎨-=⎩考点2.变形后加减消元 7.已知二元一次方程组3428437x y x y +=⎧⎨+=⎩不解方程组，则x +y =_________，x －y =_____.8. 已知方程3x 2c -d -3-2y 7c -5d +1=1是二元一次方程，则c =________，d =________. 9. 已知02x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩都是方程ax +by =8的解，则a =_______,b =________.10. 方程组356234x y x y -=⎧⎨-=⎩②①,将②×3-①×2得( )A.-3y =2B.4y +1=0C.y =0D.7y =-611. 解方程组：①⎩⎨⎧=-=;9y 5x 3,y 2x ②⎩⎨⎧=+=-;10y 2x 3,7y 2x 4③⎩⎨⎧=-=+;1y 4x 3,0y x ④⎩⎨⎧=-=+.7y 3x 2,9y 5x 4.比较适宜的方法是（ ） A.①②用代入法，③④用加减法B.①③用代入法，②④用加减法图8.2-1C.②③用代入法，①④用加减法D.②④用代入法，①③用加减法12.解下列方程组 （1）9523429y x y x -=⎧⎨+=⎩ （2）2735313x y x y -=⎧⎨+=-⎩ （3）1.5214.578x y x y -=-⎧⎨-+=⎩第3课时 二元一次方程组解法的综合应用考点1：选择适当的方法解二元一次方程组 1. 解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩②①下列解法不正确的是（ ）A. ①×3-②×2,消去xB.①×2-②×3,消去yC.①×(-3)+②×2,消去xD.①×2-②×(-3)消去y2.解方程组92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩②①，用加减法消去x 的方法是_________；用加减法消去y的方法是__________. 3.解下列方程组（1）1222315154233x y x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ （2）132(1)6x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩考点2：特殊方程组的解法 4.方程组2(2)422x x y x y ++=⎧⎨+=⎩的解是__________.5.已知3x y -=2x y +=4，则x =_________,y =________. 6.已知21x y =-⎧⎨=⎩是方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则（a +b ）(a -b )的值为（ ）A.-353B.353C.0D.27.请写出一个以x 、y 为未知数的二元一次方程组，要求同时满足下列两个条件：（1）由两个二元一次方程组成； （2）方程组的解为⎩⎨⎧==.3y ,2x考点3：二元一次方程的简单应用 8.小亮对小明说：“我的生月和日相加是37，月的2倍和日相加是43”小亮说真话了吗？9.（2008·杭州）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题，今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？如果假设鸡有x 只，兔有y 只，请你列出关于x 、y 的二元一次方程组；并写出你求解这个方程组的方法.8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 对大小牛的食量估计考点1：直接设元1.（2007·河北）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，图8.3-1给出了“河图”的部分点，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）图8.3-12.有鸡兔若干只，装在同一笼子中，数一数共有55个头，160条腿，问鸡、兔各有多少只？设鸡有x 只，兔有y 只.根据题意可列出方程组是（ ） A. 5522160x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.5544160x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 5524160x y x y +=⎧⎨+=⎩ D. 5542160x y x y +=⎧⎨+=⎩3.（2007·鄂尔多斯）一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x 元，加工后每千克卖y 元，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A. (120%)30(110%)3012y x y x =+⎧⎨+-=⎩B. (120%)30(110%)3012y xy x =+⎧⎨--=⎩C. (120%)30(110%)3012y xy x =-⎧⎨--=⎩D. (120%)30(110%)3012y xy x =-⎧⎨+-=⎩4.某同学到邮局买了8角和1.2元的两种邮票共11张，花了10.8元，若8角邮票买x张，1.2元邮票买y张，应列方程组为____________.5.某车间有28个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），应分配____人生产螺栓.6.一个长方形周长是108厘米，长比宽的2倍多6厘米，则长方形的长是_______厘米，宽是________厘米.考点2.综合运用7.古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（）A.5B.6C.7D.88.（2008·巴东）“五一”黄金周，巴中人民商场“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价x元，男装部购买了原价为y元服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为（）A.5800.80.85700x yx y+=⎧⎨+=⎩B.7000.850.8580x yx y+=⎧⎨+=⎩C.7000.80.85700580x yx y+=⎧⎨+=-⎩D.7000.80.85580x yx y+=⎧⎨+=⎩9.10年前，母亲的年龄是儿子的6倍，10年后，母亲的年龄是儿子的2倍，设母亲现在年龄x岁，儿子现在年龄y岁，则有方程组____________ ____________⎧⎨⎩.10.（2007·吉林）王阿姨和李奶奶一起去超市买菜，王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1kg,共花了12.8元,李奶奶买西红柿2kg、茄子1.5kg,共花了15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元?第2课时设计种植方案考点1：一般问题1. 一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为21元，则每件的标价应为（）A.27.72元B.28元C.29.17元D.30元2. 一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则x，y的值为（）A.x=13，y=2B.x=14，y=1C.x=15，y=1D.x=14，y=23.（2007·乐山）某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是（）A.14016615x yx y+=⎧⎨+=⎩B.14061615x yx y+=⎧⎨+=⎩C.15166140x yx y+=⎧⎨+=⎩D.15616140x yx y+=⎧⎨+=⎩4. 有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的买入价分别是（）A.400元，600元B.600元，400元C.580元，440元D.520元，460元5. 一队民工参加水利工地挖土及运土工作，平均每人每天挖土5方或运土3方，如果安排a人挖土，b人运土，恰好使挖的土能及时运走，则a∶b=_________.6. 某班学生准备分组活动，如果每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组只有3人.求这班学生有多少人，准备分多少组.设该班有学生x人，准备分y组，根据题意，列出方程组为__________.7. 甲种物品每个4千克，乙种物品每个7千克，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76千克：（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x=12，则y=__________；（3）若有乙种物品8个，则甲种物品有_________个；（4）请你用含x的代数式表示出y，然后再探究出满足条件的x、y的全部数值.考点2. 综合运用8.（2007·辽宁）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6∶5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分.若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A.65240x yx y=⎧⎨=-⎩B.65240x yx y=⎧⎨=+⎩C.56240x yx y=⎧⎨=+⎩D.56240x yx y=⎧⎨=-⎩9.（2006·河北）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图8.3-2、图8.3-3.图8.3-2 图8.3-3图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ,y 的系数与相应的常数项.把图8.3-2所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图8.3-3所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. 2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.264327x y x y +=⎧⎨+=⎩10.如图8.3-4，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x 、y 的值. （2）把满足（1）的其他6个数填入图（2图8.3-4第3课时 原料费与运输费考点1：一般问题1.抗洪救灾小组A 地段现有28人，B 地段现有15人，现在又调来29人，分配在A 、B 两个地段，要求调配后A 地段人数是B 地段人数的2倍，则调往A 地段人数和B 地段的人数分别是( ) A.18，11 B.24，5 C.20，9 D.14，152.开学后书店向学校推销两种课外读物，如果原价买这两种书共需880元，书店推销时第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果两种书共少要了200元，则原来每种书需要钱数为( ) A.400元，480元 B.480元，400元 C.360元，300元 D.300元，360元3.甲、乙两人练习跑步,如果甲让乙先跑10米,甲跑5秒钟就可追上乙,如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,若设甲、乙每秒钟分别跑x 、y 米,列出方程组为( )（1） （2）A.5105442x yx y+=⎧⎨-=⎩B.5510424x yx y=+⎧⎨-=⎩C.5()104()2x yx y x-=⎧⎨-=⎩D.55104()2x yx y y-=⎧⎨-=⎩4.一个两位数各位数字之和为10,十位数字与个位数字互换后,所得新数比原数小36,则原来的两位数是___________.5.某学生骑自行车从学校去县城,先以每小时12千米的速度下山,而后以每小时9千米的速度通过平路到达县城,共用去55分钟;返回时,他以每小时8千米的速度通过平路,再以每小时4千米的速度上山回到学校,用去1小时30分钟,学校到县城的距离是多少千米.考点2：综合运用6.甲、乙两人在200米的环形跑道上练竞走,当他们都从某处同时出发背向行走时每30秒钟相遇一次;同向行走时,每隔4分钟相遇一次,则两人的速度分别为_________. 7.某学校的男运动员比女运动员的2倍少4人,男运动员与女运动员的人数比是5∶3,求男、女运动员各有多少人.若设男运动员x人,女运动员y人,则可列方程组为( )A.2453x yx y=+⎧⎨=⎩B.2435x yx y=-⎧⎨=⎩C.2435x yx y=+⎧⎨=⎩D.2453x yx y=-⎧⎨=⎩8.(2008·海南)根据北京奥运票务网站公布的女子双人3米跳板跳水决赛的门票价格（如表所示），小明预订了B等级、C等级门票共7张，他发现这7张门票的费用恰好可以预订3张A等级门票.问小明预订了B等级、C等级门票各多少张？第4课时综合应用题考点1：销售问题1. 刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元.设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张,则下面的方程组正确的是( )A.1028yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩B.128210x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C.1028x yx y+=⎧⎨+=⎩D.8210x yx y+=⎧⎨+=⎩2. 买钢笔和铅笔共30支,其中钢笔是铅笔支数的2倍少3支,若设买钢笔x支,铅笔y支,则列出的方程组应是( )A.3023x yy x+=⎧⎨=+⎩B.3023x yy x+=⎧⎨=-⎩C.3023x yx y+=⎧⎨=+⎩D.3023x yx y+=⎧⎨=-⎩3. 某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共560元,今天又卖出9件衬衫和6条裤子共680元,若设每件衬衫售价x元,每条裤子售价y元,则可列方程组为__________.4. 某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40千克到市场去卖.问:考点2：工程问题5. 某项工程,甲单独完成需要10天,乙单独完成需要15天,则甲、乙合作一天完成全部工作的( )A.111015+ B.11015+C.111015- D.1111015+6. 某班学生参加运土劳动,一部分同学抬土,另一部分同学挑土,已知全班同学共用土筐59个,扁担36条,问抬土和挑土的同学各有多少人?若设抬土的有x人,挑土的有y 人,则( )A.2592362x yxy⎧+⎛⎫=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B.2592362xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C.2592236xyx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D.259236x yx y+=⎧⎨+=⎩7. 一艘船载重量是560吨，容积是2280立方米，现有甲、乙两种货物,甲种货物每吨的体积是3立方米,乙种货物每吨的体积是6立方米,两种货物应该各装多少吨,才能最大限度地利用船的载重和容积.正确的答案是( )A.甲、乙两种货物分别是360吨、200吨B.甲、乙两种货物分别是200吨、360吨C.甲、乙两种货物分别是260吨、300吨D.甲、乙两种货物分别是300吨、260吨8.甲、乙两人做同样的零件,如果甲先做一天,乙再开始做,5天后两人做的零件一样多;如果甲先做30个,乙再开始做,4天后乙反而比甲多做10个,求甲、乙两人每天做多少个零件,若设甲、乙两人每天分别做x、y个零件,由题意则有方程组( )A. (51)5304410x yx y +=⎧⎨+=+⎩B. 155304410x yx y +=⎧⎨+=+⎩C. (51)5304410x y x y +=⎧⎨+=-⎩D. 155304410x yx y +=⎧⎨+=-⎩考点3. 面积问题9.如图8.3-5，8块相同的长方形地砖恰好能拼成一个矩形图案，地砖间的缝隙忽略不计，且这个矩形的宽为20cm ，求每块矩形地砖的面积.图8.3-510.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图8.3-6（1），恰好可拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试”，结果七拼八凑，拼成如图8.3-6（2）那样的正方形.咳！中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm 的小正方形！（1） （2）图8.3-6你能帮他们解开其中的奥秘吗？8.4 三元一次方程组解法举例 第1课时 三元一次方程组的解法考点1：用代入法解方程组1.方程x +2y -3z =0的解有1,1,().x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 2,(),2.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ (),3,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩……2.方程组323,2311,12.x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的解是（）A.3,6,3.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩B.5,4,3.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩C.2,8,2.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩D.3,8,1.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩3.用代入法解下列方程组（1）4,21,17.x zy zx y z=-⎧⎪=+⎨⎪++=⎩（2）23,5,311.x yy zz x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩考点2.用加减法解方程组4.解三元一次方程组3213272312x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩③②①时，首先消去z，得二元一次方程组为___________________，再消去未知数x，得一元一次方程为_________________.解得y=_______;将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x=_________，最后将x和y值同时代入②；得z=__________.5. 方程组24393251156711x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩③②①中，未知数_________的系数成倍数关系,解此方程组首先考虑消去未知数______较简单，得到关于_______________的二元一次方程组为____________.6. 解方程组229229232x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得x等于( )A.18B.11C.10D.97. 解下列三元一次方程组.(1)2402040a bb ca b c+-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩(2)2,21231x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩第2课时三元一次方程组的应用考点：三元一次方程组的应用1. 一个三位数，个位、百位上的数字和等于十位上的数字2倍，百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字和大1，个位、十位、百位上的数字和是15,则这个三位数是__________.2. 若a+2b-3c=4, 5a-6b+7c=8, 则9a+2b-5c=__________.3. 如右图8.4-1，表中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a+b+c+d+e+5的值是__________.4. 某校参加市中学生运动会，获取的金牌数与银牌数的比是5∶6，铜牌数比金牌数2倍少5块，金牌数的3倍与银牌数之和等于42块，则该校获取金牌________块，银牌________块，铜牌_______块.5. .第八章二元一次方程组参考答案8.1 二元一次方程组1.B2.A3.C4.是二元一次方程的有x-y=0,ax+by=5(a≠0,b≠0,a,b为常数)5. ∵2x2a-1+y b-2=1是二元一次方程, ∴2a-1=1,b-2=1, ∴a=1,b=3,a+b=46.-47.C8.A 9.(1)x=3152y-;(2)当y=3时,x=-3,y=4时,x=32-;y=5时,x=0. 10.D 11.A 12.A13.1 14.由题意得1724183915abc+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得a=6,b=7,c=28.2 消元——二元一次方程组的解法第1课时代入消元法图8.4-11.6-2x ,62y- 2. ②,① 3.(1) 12x y =⎧⎨=⎩ (2) 31x y =⎧⎨=-⎩ 4.① 含有x ,y 5.D 6.D 7.(1) 24x y =-⎧⎨=⎩ (2)143x y =-⎧⎨=⎩ 8.原方程组为233x y x y -=⎧⎨+=⎩第2课时 加减消元法1.相同，互为相反数，加减消元2. 22x y =-⎧⎨=⎩3.204.加，y ；减， x5.加减，代入6.(1) 13x y =⎧⎨=-⎩ (2) 105x y =⎧⎨=⎩ 7.5,-21 8. 203,283 9.1,410.C 11.B 12.(1) 53x y =⎧⎨=⎩ (2)21x y =-⎧⎨=-⎩ (3) 65x y =⎧⎨=⎩ 第3课时 二元一次方程组综合运用1.D2. ①-②×3,①×2-②3.(1) 20151815x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)32x y =⎧⎨=⎩ 4. 01x y =⎧⎨=⎩5.10,-26.C7.如32121x y y x +=⎧⎨-=⎩ 不唯一 8.设小亮的生月和日分别为x ,y ，依题意，得37243x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得631x y =⎧⎨=⎩，∵6月只有30日，∴小亮说的是假话. 9.方程组如下：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，可以用代入消元法来解这个方程组.8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 对大小牛的食量估计1.C2.C3.B4. 110.8 1.210.8x y x y +=⎧⎨+=⎩ 5.12 6.38,16 7.A 8.D 9.106(10)102(10)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩ 10.设每千克西红柿x 元,每千克茄子y 元.根据题意,得 4.212.8,2 1.515.x y x y ++=⎧⎨+=⎩解得4.2,4.4x y =⎧⎨=⎩ 答:每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元 第2课时 设计种植方案1.B2.B3.D4.B5.3∶56. 7385y x y x =-⎧⎨=+⎩ 7.(1)4x +7y =76 (2)4 (3)5(4)y =7647x-；5,8；12,4； 8.D 9.A 10.(1)由题意得 234345x y y y +=-⎧⎨+=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩ (2)如图第3课时 原料费与运输费1.C2.A3.D4.735.9千米，设下坡路为x 千米，平路为y 千米，则有55129603482x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：36x y =⎧⎨=⎩6.225米/分，175米/分7.B8.设小明预订了B 等级与C 等级门票分别为x 张和y 张. 依题意，得73001505003x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩ 解这个方程组得34x y =⎧⎨=⎩. 答：小明预订了B 等级门票3张，C 等级门票4张.第4课时 综合运用 1.D 2. D 3. 7456096680x y x y +=⎧⎨+=⎩4.设西红柿进了x 千克，豆角进了y 千克401.2 1.660x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得1030x y =⎧⎨=⎩所以当天卖完这些西红柿和豆角能赚10×（1.8-1.2）+30×(2.5-1.6)=33(元) 5.A 6.B 7.A 8.C 9.解：设每块长方形地砖的长为x cm,宽为y cm. 列方程组320x y x y =⎧⎨+=⎩ 解得155x y =⎧⎨=⎩15×5=75（cm 2），即每块地砖的面积为75cm 2. 10.设每个小长方形的长为x mm ，宽为y mm ，由图（1）可得3x=5y由图（2）得2y-x=2. 解方程组3522x yy x=⎧⎨-=⎩，得106xy=⎧⎨=⎩通过计算可知，图（1）的面积为480mm2，图（2）的面积为484mm2.8.4 三元一次方程组解法举例第1课时三元一次方程组的解法1. x=-13, y=4, x=-9 2.D 3.(1)1115xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)332xyz=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩4.55255731x yx y+=⎧⎨+=⎩, 2y=6,y=3, x=2, z=1 5.y,y,x、z,813314820x zx z+=⎧⎨+=⎩6.C7.(1)3121abc=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩(3)312xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩第2课时三元一次方程组的应用1.4562.243.214.10,12,155.当x=0时c=3 当x=2时，4a+2b+c=3 当x=1时，a=1 故有123abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩则空格分别填入0,4,2责任编辑庞保军。