2018-2019学年上海市奉贤区奉贤中学高二下学期期末考试数学试题

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

一、选择题1．已知3sin 34x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．18-B ．12-C ．18D ．122．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）A ．25B ．35 C ．12 D ．343．若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．52,125πωϕ==B ．5,126πωϕ==C ．122,55πωϕ==D ．12,56πωϕ== 4．已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．155．在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin 3A B A B +=+=C 等于（ ） A ．150 B ．120C ．60D ．306．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．3C ．2D 37．已知函数()(0,0)y sin x ωθθω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ） A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ8．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=（ ）A 3B ．3C ．12D ．12-9．已知2sin()3,且(,0)2απ∈-，则tan(2)πα-= （ ）A 25B ．25C 5D ．52-10．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-11．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则|b ⋅c |的值一定等于 （ ） A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积 C ．a ，b 为两边的三角形面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积12．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．0C ．12-D ．2-13．已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ） A．310 B ．35C ．65-D ．125-14．在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形15．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．512π C ．6π D ．56π 二、填空题16．已知12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___． 17．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________. 18．如图，已知ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2AM MPMC PB== ，若02,3,120AB AC BAC ==∠= ，则AP BC ⋅的值为__________．19．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 20．已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______. 21．已知角α的终边上一点)3,1A -，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．22．已知4tan()5αβ+=，1tan 4β=，那么tan α=____．23．已知()1sin 3x y +=，()sin 1x y -=，则tan 2tan x y +=__________．24．已知向量()1,3a =-，()3,b t =，若a b ⊥，则2a b +=__________．25．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．三、解答题26．已知3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求3tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 27．已知向量(1,2),(,1)a b x →→==（1）当(2)(2)a b a b +⊥-时,求x 的值；（2）若,a b <>为锐角,求x 的范围. 28．已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tanα＝12，求： (1)tan2α的值； (2)sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 29．已知324ππβα<<<，()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-求sin2α的值.30．已知函数()2f x x =.（Ⅰ）若α为锐角，且cos α=，求()f α的值； （Ⅱ）若函数22()()cos sin g x f x x x =+-，当[0,]x π∈时，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．C5．D6．A7．A8．D9．A10．B11．A12．C13．B14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就18．-2【解析】化为故答案为19．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力20．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平21．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力22．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果23．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题24．【解析】【分析】【详解】故答案为25．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C【解析】 【分析】 分析题目，2222333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到角的关系，利用诱导公式和二倍角公式计算即可 【详解】3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22231cos 2cos 212sin 1233348x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦选C 【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键2．D解析：D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos A 和cos C 的表达式，由2A C =，结合正弦定理sin sin c aC A= 2sin cos aC C=得出cos C 的表达式，利用余弦定理得出cos C 的表达式，可解出n 的值，于此确定ABC ∆三边长，再利用大边对大角定理得出C 为最小角，从而求出cos C ． 【详解】2A C =，由正弦定理sin sin c a C A=，即sin sin 22sin cos c a aC C C C ==， ()1cos 221a n C c n +∴==-， ()()()()222222114cos 22121n n n a b c n C ab n n n ++--+-+===++，()()142121n n n n ++∴=-+， 解得5n =，由大边对大角定理可知角C 是最小角，所以，63cos 244C ==⨯，故选D ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．3．C【解析】 【分析】给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】由图可以读取5=066T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒= 1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25πϕ⇒=选择C. 【点睛】由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定ω，最后通过带值定ϕ. 4．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.【详解】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，1sin()2A B +=，所以1sin sin(())2C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =. 故选：D 【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.6．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．7．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.8．D解析：D 【解析】试题分析：因,则,故sin(2)2πα-,选D ．考点：三角函数的定义．9．A解析：A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得2sin3，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α3， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3παα-==-， 因为(,0)2απ∈-，所以25cos 1sin αα=-=， 又由sin 25tan(2)tan cos 5απααα-=-=-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A【解析】 【分析】 【详解】记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ⋅|=||b |•|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |cosθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于12BOA S ∆=|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 12．C解析：C 【解析】 【分析】首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值12-.【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()()2AP BP OP OA OP OB OPOA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+()()11122OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．B解析：B 【解析】 【分析】根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.14．D解析：D 【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE ABAC==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且ABACAF AB AC=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭；∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF交BC 的中点于O ，则：S△ABC ＝222124a b c +-=，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算15．B解析：B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】 先计算得到1212e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】12,e e 是夹角为3π的两个单位向量1212e e ⇒⋅= 12121222()3a b e e e e e e +=-++=-2222121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就. 【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos cos 53352222f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()x x x ϕ==+，其中tan ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.18．-2【解析】化为故答案为 解析：-2 【解析】2,3,120,?23cos1203AB AC BAC AB AC ==∠=∴=⨯⨯=- . ()22,33MP MB AP AM AB AM =∴-=- ,化为2121222,?3333339AP AB AM AB AC AB AC AP BC =+=+⨯=+∴ ()2222422··39993AB AC AC AB AB AC AC AB ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭()224223322993=⨯-+⨯-⨯=- ,故答案为2- . 19．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+ =2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++. 故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平 解析：24y x =【解析】 【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP =⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x ay b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为24y x =. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.21．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力解析：6.分析：先根据三角函数定义得cos ,tan αα，再根据诱导公式化简求值.详解：因为角α的终边上一点)1A -，，所以cos ,tan2αα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本求解能力.22．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果解析：1124【解析】 【分析】根据题干得到an α=()tan αββ+-，按照两角和与差公式得到结果. 【详解】 已知()4tan 5αβ+=,1 tan 4β=, 那么tan α=()tan αββ+-()()tan tan 111tan tan 24αββαββ+-==++． 故答案为1124. 【点睛】这个题目考查了给值求值的问题，常见的解题方式有：用已知角表示未知角，再由两角和与差的公式得到结果.23．0【解析】分析：利用和差角的正弦公式可求及的值可得详解：联立可解得故即答案为0点睛：本题综合考查了三角函数公式灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键属于中档题解析：0 【解析】分析：利用和差角的正弦公式，可求sin cos x y 及cos sin x y 的值，可得tan 2.tan xy=- 详解：()1sin sin cos cos sin ,3x y x y x y +=+=()sin sin cos cos sin 1,x y x y x y -=-= 联立可解得21sin cos ,cos sin ,33x y x y ==-sin cos tan 2.cos sin tan x y x x y y∴==- 故tan 2tan 0.x y += 即答案为0.点睛：本题综合考查了三角函数公式，灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键，属于中档题．24．【解析】【分析】【详解】故答案为解析：【解析】 【分析】 【详解】()330,1,21,7252a b a b t t a b a b ⊥⇒⋅=-+==+=+=，，故答案为25．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．三、解答题 26．（1）2425-；（2）17- 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求出4cos 5α==，根据二倍角公式即可得解；（2）结合（1）求出3tan 4α=-，利用两角差的正切公式求解. 【详解】 （1）3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==，所以24sin 22sin cos 25ααα==-； （2）由（1）可得3tan 4α=-， 3131tan 14tan 341tan 714πααα-+--⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭+ 【点睛】此题考查根据已知三角函数值求三角函数值，关键在于熟练掌握同角三角函数基本关系，二倍角公式以及和差公式.27．（1）x 72=或x ＝﹣2；（2）x ＞﹣2且x 12≠． 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得a •b ＞0且a ，b 不同向，列出不等式，即可求出结果． 【详解】（1）a +2b =（1+2x ，4），2a b -=（2﹣x ，3），（a +2b ）⊥（2a b -）， 可得（2x +1）（2﹣x ）+3×4＝0． 即﹣2x 2+3x +14＝0． 解得：x 72=或x ＝﹣2． （2）若a ＜，b ＞为锐角，则a •b ＞0且a ，b 不同向．a •b =x +2＞0，∴x ＞﹣2，当x 12=时，a ，b 同向． ∴x ＞﹣2且x 12≠． 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.28．（1）43（2）410＋ 【解析】 (1)因为tanα＝12，所以tan2α＝22413tan tan αα＝－. (2)因为α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2α∈(0，π)． 又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin2αcos3π＋cos2αsin 4133525π⨯＝＋ 29．－5665. 【解析】 试题分析：由题意结合同角三角函数关系可得sin (α－β)＝513.cos (α＋β)＝－45，然后利用两角和差正余弦公式有：sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]=5665－. 试题解析： 因为2π＜β＜α＜34π，所以π＜α＋β＜32π，0＜α－β＜4π.所以sin (α－β)＝513.cos (α＋β)45， 则sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β) ＝35⎛⎫- ⎪⎝⎭×1213＋45⎛⎫- ⎪⎝⎭×513＝5665－. 点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．30．(Ⅰ)3(Ⅱ) 2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g （x ）＝2sin （2x 6π+），根据正弦函数的单调性即可求解． 【详解】（Ⅰ）α为锐角，cos α=sin α∴=,()αααcos α•333f ====，（Ⅱ） ()22cos -sin cos22sin 26g x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭3222,262k x k k Z πππππ+<+<+∈,263k x k ππππ+<<+, k Z ∈ []0,x π∈,所以单调递减区间是2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．。

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奉贤区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学一、选择题1． 过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°2． （理）已知tanα=2，则=( ）A ．B ．C ．D ．3． 奇函数f （x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3，6］上的最大值为8，最小值为﹣1，则f （6）+f （﹣3）的值为（ ） A ．10 B ．﹣10 C ．9 D ．15 4． 求值：=（ ）A ．tan 38°B ．C ．D ．﹣5． 已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点,那么PA PB • 的最小值为A 、42-+B 、32-+C 、422-+D 、322-+6． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10 7． 已知点M （﹣6,5)在双曲线C:﹣=1（a ＞0,b ＞0)上，双曲线C 的焦距为12,则它的渐近线方程为（ ） A ．y=±xB ．y=±x C ．y=±x D ．y=±x8． 执行如图所示的程序框图，输出的z 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ） A ．瑞雪兆丰年 B ．名师出高徒 C ．吸烟有害健康 D ．喜鹊叫喜_________________________________________________________________________________________10．已知函数f （x)=x 2﹣，则函数y=f （x ）的大致图象是( ） A ．B ．C ．D ．11．设0＜a ＜1,实数x,y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=( )A ．｛1，2，3｝B ．{1，3，5}C ．｛1,4,5}D ．｛2，3,4｝ 二、填空题13．将一张坐标纸折叠一次,使点()0,2与点()4,0重合,且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．14．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ,则2016S 的值等于 .【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式,对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度。

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、填空题1. 已知，则________________________ ．2. 若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是______________________________ ．3. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是____________________________ ．4. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______________________________ ．（用数字作答）5. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．6. 设<a href=""> 分别是双曲线<ahref=""> 的左、右焦点，若点<ahref=""> 在双曲线上，且，则_________________________________ ．7. 若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是____________________________ ．（结果用数值表示）8. 已知，，若直线与射线（为端点）有交点，则实数的取值范围是______________________________________ ．9. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为 ________ ．10. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______________________________ ．11. 在一个水平放置的底面半径为<a href="/"> cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/"> cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<ahref="/"> cm，则<a href="/">___ ____cm ．12. 如图，中，，在三角形内挖去半圆，圆心在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M ，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____________________ ．13. 已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为_________________________________ ．14. 半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是_________________________________ ．二、选择题15. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）A ．_________B ．_________C ．D ．16. 已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①　；②　；③　；④　，其中真命题的个数是（）A ．①②____________________________B ．①④____________________________C ．②③______________________________D ．②④17. 方程的图象表示曲线C，则以下命题中甲：曲线C为椭圆 , 则1< t<4 ；乙：若曲线C为双曲线 , 则 t > 4 或 t<1 ；丙：曲线C不可能是圆； ________________________丁：曲线C表示椭圆,且长轴在 x 轴上 , 则．正确的有（）A ． 1个____________________________B ． 2个____________________________C ． 3个____________________________D ． 4个18. 将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P （ n,k ），则P（ 10,3 ）的值为（）A ． 12______________________________B ． 10_________________________________C ． 8______________________________D ． 6三、解答题19. （本题满分 1 2分）如图，直线平面，为正方形，，求直线与所成角的大小．20. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分．在二项式的展开式中：（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．21. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第2小题满分8分．已知圆．（1）求过点的圆C的切线的方程；（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹．22. （本题满分 1 6分）本题共有3个小题，第 1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．（1）如果的中点为，，求证：平面；（2）如果 , ，求此圆锥的体积；（ 3 ）如果二面角大小为，求的大小．23. （本题满分 1 8分）本题共有3个小题，第 1 小题满分5分，第 2 小题满分8分，第3小题满分5分．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）如图：直线与两个“相似椭圆”　和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题 3分）1- （ 3 分）11血（1丄）= _________ -2. ____________________________________________________ （ 3 分）已知等差数列 a i = 3, a n = 21, d = 2，贝U n = __________________________________ .3. （ 3 分）数列｛a n ｝中，已知 a n = 4n - 13?2n +2, n €N* , 50 为第 _______项.4. ________________________________________________________________ （ 3 分）｛a n ｝为等比数列，若 a 1+a 2+a 3= 26, a 4 - a 1= 52,贝U a n = ______________________ .n*5. （3 分）用数学归纳法证明（n+1） （ n+2） （n+3）•••（ n+n ）= 2 ?1?3?5•••（2n - 1） （n€N ）时，从n = k 到n = k+1时左边需增乘的代数式是 __________ .6. ___________________________________________________________________________ （3 分）数列｛ a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 3, a n+1= （2n - a n （n = 1, 2,…），贝U a 3 等于 _______ .7. （ 3 分）数列｛x n ｝满足 x n+1 = x n - x n -1, n 》2, n €N*, x 1= a , x 2= b ,贝U x 2019= ______ . & （ 3分）数列｛a n ｝满足下列条件：a 1 = 1，且对于任意正整数 n ,恒有a 2n = a n +n ，贝U a 二9. ( 3 分)数列｛a n ｝定义为 a 1 = cos 0, a n +a n+1 = nsin 肝cos B , n 》1,贝U S 2n+1 = ___ 10. （3分）已知数列｛a n ｝是正项数列，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足11. （3分）若三角形三边成等比数列，则公比 q 的范围是 ________12. （3 分）数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 2, a 3 = 3 , a 4 = 4 , a 5= 5,当 n 》5 时，a n+1 = a 1?a 2?…?a n - 1,则是否存在不小于 2的正整数 m ,使a 1?a 2?…？ a m = a 1 +a 2 +…+a m 成立？若存 在，则在横线处直接填写 m 的值；若不存在，就填写"不存在" ____________ . 、选择题（每题 3 分） 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S n ,且S 10= 100 ,则a 7的值为LI * I右b n ,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，贝y T 99= _________13. (3 分)A . 11B . 12C . 13D . 142C . 514. (3 分) 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 3= a 2+10a 1, a 5= 9，贝U a 1=（g15. （3分）设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 3,若 S m- 1 =- 2, S m = 0, S m+1 = 3，贝V m =16. ( 3 分)设 0v aV兀~2 LT * . ■，右 x 1= sin a,x n+1 = (sin a) V- ( n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是( )A .递增数列B .递减数列C •奇数项递增，偶数项递减的数列D •偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17. (8分)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S4=- 62, S6=- 75设b n= |a n|,求数列｛b n｝的前n项和T n.218. (10 分)已知数列｛ a n｝的前n 项和S n= n - 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足：a n+1+log3n = log3b n ( n€N*),求｛ b n｝的前n项和T n (结果需化简) 19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件.若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n- 1)千元时多卖出亠件，(n讯*).2口(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a= 10, b= 4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？2 S |i ? Io20. (10 分)设数列｛a n｝的前n 项和S n,已知a1= 1, = a n+1 - - n-—, n€N*.n 3 3(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)是否对一切正整数n,有1丄十…丄＜?注?说明理由.Sj a 2 3 n+121. (14 分)设集合S n= ｛(x1, x2,…，x n) X：€｛0 , 1｝(i = 1, 2,…，n) ｝，其中n €N*,n》2.(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1?2°+b2?21 + - +b n?2n-1“的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；a n, ,(b1, b2,…b n,…)€S，使得a1?(=) +a2? )2+…+an?(丄)•= A,且(3)设集合S= { (X1, x2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1, 2…，n…)}设(a1, a2,…,b1?( —) 1+b2?(^) 2+ …+b n?(—) "+ •-= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)的什么条件并说明理由.2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题（每题3分）（3 分）lim（1 丄）=1.n【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【解答】解：lim （1丄）=1 - 0= 1.故答案为：1.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （3 分）已知等差数列a i= 3, a n= 21, d = 2，贝U n = 10 .【分析】直接把已知代入等差数列的通项公式求得n值.【解答】解：在等差数列｛a n｝中，由a1 = 3, a n= 21, d= 2，得21 = 3+2 （n - 1）,解得：n= 10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题.3. （3 分）数列｛a n｝中，已知a n= 4n- 13?2n+2, n €N* , 50 为第4 项.【分析】令a n= 4n- 13?2n+2= 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0，解出n即可得出. 【解答】解：令a n= 4n- 13?2n+2 = 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0,••• 2n= 16,解得n= 4.故答案为：4.【点评】本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.n —14. （3 分）｛a n｝为等比数列，若a1+a2+a3= 26, a4 - a1= 52,贝U a n= 2?3 .【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式.2【解答】解：••• ｛a n｝为等比数列，a1+a2+a3= 26, a4 - a1 = 52,2aj +a 十日iq =26a J q _a J 二52 .目十9十『) ][巧(『一1] Q_1戈解得q= 3, a i = 2,n_ 1…a n= 2?3 •故答案为：2?3n一1•【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.n * 5. (3 分)用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2 ?1?3?5•••(2n- 1) (n€N )时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是4k+2 .【分析】从n= k到n= k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k) (k+1+k+l)，化简即可得k+1出.【解答】解：用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2n?1?3?5-( 2n- 1)(n €N*)时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是^ = 2 (2k+1).k+1故答案为：4k+2.【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 3, a n+1 = ( 2n -入a n (n = 1, 2,…),贝V a3等于15 .【分析】先由a1 = 1, a2= 3, a n+1 =( 2n-入)a n,可求出人然后由n = 2时，代入已知递推公式即可求解【解答】解：T a1 = 1, a2= 3, a n+1=( 2n - Z) a n.a2=( 2 -入)a1 即3 =( 2 -入).Z=- 1, a n+1=( 2n+1) a n•. a3= 5a2 = 15故答案为：15【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数入7. ( 3 分)数列｛x n｝满足x n+1= x n - x n-1, n》2, n €N*, x1= a, x2= b，贝U x2019= b—a .【分析】本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列｛X n｝是一个周期数列.然后根据周期数列的性质特点可得出X2019的值.【解答】解：由题中递推公式，可得：x i = a,x2= b,x3= x2 - x i = b - a,x4= x3 - x2= b - a - b=- a,x5= x4 - x3=- a -( b - a)=- b,x6= x5 - x4=- b - (- a) = a - b,x7= x6 - x5= a - b - (- b)= a,x8= x7 —x6= a -( a - b)= b,x9= x8 - x7= b - a,「•数列｛X n｝是以6为最小正周期的周期数列.•/ 2019-6= 336…3.• X2019= x3= b - a.故答案为：b- a.【点评】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值•本题属中档题.& （3分）数列｛a n｝满足下列条件：a i = 1,且对于任意正整数n,恒有a2n= a n+n，则a加| = 512 .【分析】本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果.【解答】解：由题意，可知：a）i: = a256+256=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a i+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+ …+28=2+2 X( 1+2+22+ (27)1-21- 29=2+2 X_—=29=512.故答案为：512.【点评】本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式•本题属基础题.9. (3 分)数列｛a n｝定义为a1 = cos B, a n+a n+1 = nsin 肝cos B, n》1,贝U S2n+1 = (n+1) cos B+2(n +n) sin B【分析】由题意可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+ a5) +…+ (a2n+a2n+1),运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：数列｛ a n｝定义为a1 = cos0, a n+a n+1 = nsin 0+cos 0, n》1,可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+a5) + …+ (a2n+a2n+1) = cos 0+ (cos 0+2sin 0) + (cos 0+4sin 0) + …+ (cos 0+2nsin 0) = ( n+1) cos 0+ ( 2+4+ …+2n) sin 0i 2=(n+1) cos 0+—n ( 2+2n) sin 0=( n+1) cos 0+ (n2+n) sin 02故答案为：(n+1) cos 0+ (n2+ n) sin 0.【点评】本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题.10. ｛a n｝是正项数列，S n是数列｛a n｝的前n项和，且满足(an ),若b n= ,T n是数列｛b n｝的前n项和，则T99 =【分析】求得数列的前几项，归纳a n =「- ，S n =|(,求得b n = 一LVnVn+1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.代入，分q 》1和q v 1两种情况分别求得 q 的范围，最后综合可得答案. 【解答】解：设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,(1)当q 》1时a+qa > q 2a ,等价于解二次不等式：q 2-q — 1v 0，由于方程q 2— q — 1 = 0 两根为：1,2 L 、——I -V S20n d , IIA /S即 1 w q v -----1【解答】解：数列｛a n ｝是正项数列, 再由裂项相消求和，计算可得所求和.S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足S n =(a n可得a i = S 1 =(a 1+)，可得a l同样求得a 3= 一 一:-.爲…，猜想 代入S n =A2a 1 = 1 ； a 1+a 2= 2)，解得 a 2={^ — 1,an =Vii -"□_], Sn ^Vn ,(an+ard-LVn+1 Vn)，即有T 99= 1 - LU--=1 —111010=_9_ =To故答案为:1011 • (3 分)【分析】q 的范围是_ ： ： , 1 _ ：■-•设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,把a 、若三角形三边成等比数列，则公比 2qa 、 q2故得解：一v q v 上二-且q 》1,( 则b n =洽烧—^+…沽2(2)当q v 1时，a为最大边，qa+q2a>a即得q2+q- 1>0，解之得q> _ "或q v —综合(1) ( 2),得：q —故答案为：］心)2 2 ｝【点评】本题主要考查了等比数列的性质•属基础题.12. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 2, a3 = 3, a4 = 4, a5= 5,当n>5 时，a n+1 = a1?a2?…?a n- 1,则是否存在不小于2的正整数m,使a1?a2?…？a m= a1 +a2 +…+a m成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”70 .【分析】设b m= a1?a2?…？a m- a12- a22------------- a m2中，令n= 5代入数据计算即可求出b5.由b5 = a1?a2?…？a5—a1 - a2 a5 中构造出b m+1 = a1?a2?…？a m+1- a1 - a2-a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列•利用等差数列通项公式求解即可.【解答】解：设b m= a1?a2?…？a m-a12- a22-…-a m2,由已知，b5= a1 ?a2?…？a5 —a12- a22a52=1 X 2X 3X 4X 5-( 12+22+32+42+52)=120 - 55=65当m》5 时，由a m+1= a1?a2?…？a m- 1，移向得出a1?a2?…？a m= a m+1+1 ①2 2 2T b m= a1?a2?…？a m-a1 - a2 a m ,②2 2 2•- b m+1 = a1?a2?…？a m+1 —a1 - a2 -…—a m+1 ③2③-②得b m+1 - b m= a1?a2?•…？a m a m+1 - a1?a2?•…？a m- a m+1=a1?a2?…？a m (a m+1 - 1) - a m+1 (将①式代入)2 2 2=(a m+1 + 1) (a m+1 - 1) - a m+1 = a m+1 - 1 - a m+1=-1•••当n》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列，• b m= b5+ ( m - 5) X( - 1) = 65 -( m - 5)= 70 - m.2 2 2右a1?a2?…？a m= a1 + a2 + …+a m 成立，•- b m= 0，即m= 70故答案为：70.【点评】本题考查等差关系的判定、通项公式.考查转化、变形构造、计算能力.二、选择题(每题3分)13. (3分)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S10= 100,则a7的值为()【分析】由S10= 100及公差为2 .利用求和公式可得a1= 1.再利用通项公式即可得出.【解答】解：由S10= 100及公差为2.10a1+ ——-x 2= 100,2联立解得a1 = 1.--a n= 2n- 1,故a7= 13.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. （3分）等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3= a2+10a1, a5= 9，贝U a1=（）A. 1 B .丄 C .— D •曰3~39g【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到日 1 +乩1口十已1q =a1q+10 at，解出即可.s j q■丄【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q,•S3= a2+10a1, a5= 9,r 2日i + a i q+a i q•，解得•臥二g故选：C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.15. （3分）设等差数列｛a n｝的前n项和为3,若S m-1=- 2, S m= 0, S m+1 = 3,贝y m=（）A . 3B . 4C . 5D . 6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d，由前n项和公式及S m = 0可求得a1,再由通项公式及a m= 2可得m值.【解答】解：a m= S m- S m-1 = 2, a m+1 = S m+1 - S m= 3,所以公差d= a m+1 - a m= 1,A . 11B . 12 C. 13 D. 14得 a 1 =- 2, 所以 a m =- 2+ ( m - 1 )?1 = 2,解得 m = 5,S另解：等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,即有数列｛——｝成等差数列,n解得m = 5.故选：C .【点评】本题考查等差数列的通项公式、 前n 项和公式及通项 a n 与S n 的关系，考查学生 的计算能力.16. ( 3 分)设 0v aV ^j ，若 x 1= sin a, x n+1=( sin a) % (n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是 ( )A .递增数列B .递减数列C .奇数项递增，偶数项递减的数列D .偶数项递增，奇数项递减的数列【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0 V sin aV 1，进而可得函数y =( sin a)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案. 【解答】解：根据题意，0 V aV —，则0V sin aV 1 ,m - 1 > 0, m > 1,因此 m 不能为0, 又一解：由等差数列的求和公式可得(m - 1) (a 1+a m-1 )=- 2,(a 1 + a m ) =0, 可得 a 1 =- a m ,(m+1) (a 1+a m+1)= 3,[6 .-4m+1S m =则5 ：,」，"「成等差数列，HL'1 in m 十 12a m + a m+1 +a 0,指数函数y=( sin a) x为减函数,■'■( sin a) 1<( sin a) sin y ( sin a) 0= 1, 即—「〔八「I ]…，：(sinU ) '< (sinQ ) (日 )Z]< (吕 in a )打< (sin^ )^ = 1， 即 0 < X 1 < X 3< X 4< X 2< 1 ,(sinQ ) 'W (sin 口)(si 门 a ) (sin^ )勺< (曰 in a )Xj < (sin ) 0 =1即 0 < X 1 < x 3< x 5< x 4< x 2< 1，…，0< x 1< x 3 < x 5< x 7<・・・< x 8< x 6< x 4< x 2< 1 . 「•数列｛x n ｝是奇数项递增，偶数项递减的数列 故选：C .【点评】本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题. 三、解答题17. （ 8分）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 4=- 62, S 6=- 75设b n = |a n |,求数列｛b n ｝的 前n 项和T n .【分析】由已知条件利用等差数列前 n 项和公式求出公差和首项，由此能求出 a n = 3n -1 < n < 7 时，T n =- S n =…，当 n 》8 时，T n =【解答】解：I S 4=- 62, S 6=- 75,4a16 a |解得 d = 3, a 1=- 20,「. a n = 3n - 23,设从第n+1项开始大于零,• n = 7,即 a 7< 0, a 8> 0 当 1 < n W 7 时，T n =- S n =—V "23，且 a 7< 0, a 8> 0.当 3 3 43 2 n ~T一启.a^-20+3 Cn-lKOS+l 二-'【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的合理运用.18. (10 分)已知数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n = n 2 — 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)若数列｛b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n ( n€N*),求｛ b n ｝的前n 项和T n (结果需化简) 【分析】(1)运用数列的递推式得 n = 1时，a 1= S 1, n 》2时，a n = 3-S n -1，化简计算 可得所求通项公式；(2)求得b n = n?32n — 1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算 可得所求和. 【解答】解：(1) S n = n 2 — 2n+1，可得 a 1 = S 1 = 0,22n 》2 时，a n = S n - S n -1= n — 2n+1 —( n - 1) +2 ( n - 1) — 1 = 2n - 3,(2)数列｛ b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n (n€N*), 可得 2n - 1+log 3n = log 3b n ,即 b n = n?3 ,前 n 项和 T n = 1?3+2?33+ …+ n?3勿 1, 9T n = 1?33+2?34+…+ n ?32n+1,两式相减可得-8T n = 3+33+35+ …+32n 1 - n?32n+1 =-n?32n+1,化简可得T n【点评】 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的 求和公式，考查运算能力，属于中档题.19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣 传且每件获利a 元的前提下，可卖出 b 件.若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费综上有，T n =当n 》8时，T进而可求S 的最大值【解答】（1）解法一、直接列式：由题,费为1千元时，s = b+L ；2千元时，s = b+ 2s = b + !■o —2 丄+ 丄；22+」••• +_L2n=b （2 -丄）（广告 2n…n 千元时s = b 也乙223+ …+-!^-23 2n解法二、（累差叠加法）设 S 0表示广告费为0千元时的销售量, 由题: b 巧r 盯，s 2~s 1 ~~~2，相加得S n - S3 b b b 12 22 23 + b bb u / o 1) 2 22 + ■ + + 1沪2n =b (2 2n ) 即 S n = b+ (2) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄),设获利为 t ,则有 t = s?10- 1000n = 40000 (2-丄) 2n 2n-1000n为（n - 1）千元时多卖出 亠件，（n 讯*）.2n（1） 试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2） 当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告，才能获利最大?【分析】对于（1）中的函数关系，设广告费为 n 千元时的销量为s n ,则s n -1表示广告费s n --s n - 1=丄，可知数列｛s n ｝不成等差也不成等比数2n为（n - 1）元时的销量，由题意,列，但是两者的差上-构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接2n列式：由题，s = b+2 + ■■ +…+ ■ 23-b s i-一,S s-S rp-；-〉，累加结合等比数列的求和公式可求 &(2)) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄)，设获利为 T n ,则有 T n = s?10- 1000n = 40000 (22n欲使T n 最大，根据数列的单调性可得，代入结合n 为正整数解不等式可求 n ,=b ( 2-)22 解法二、利用累差叠加法： -1000n ,(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用.(1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 1 ”5 12“ 3 n+1【分析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求; (2)对一切正整数n,有--引 a欲使T n 最大，则，得，故 n =5,此时 s = 7875.即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告, 能使获利最大.【点评】本题主要考查了数列的叠加求解通项公式, 利用数列的单调性求解数列的最大1 =1 V 12 nn £-l=—( 2 h-1 n+1),再由裂项相消求和，即可得证.【解答】解：(1)v=a n+1—n| 32• 2S n = n a n+1 —二 n — n —二 n = n a n+1 — 3 3 2nCn+1) (n+2) •••当 n 》2 时，2S n -1=( n — 1) a n—3Cn-L)n(n +1) 由①—②，得 2S n — 2S n -1 = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),T 2a n = 2S n — 2S n -1,.°. 2a n = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),=1，•数列｛ A ｝是以首项为n1，公差为1的等差数列.2(n — 1)= n ,. a n = n (n 》2),当n = 1时，上式显然成立.••• a n = n 2, n€N* n ,有亠四］曰 2 a n 3 n+1(2)对一切正整数丄+_!n n-1 n+120. (10分)设数列｛a n ｝的前n 项和S n ,已知a 1= 1,=a n+1 -丄二-n —,n€N*.(2)是否对一切正整数 n ,有"•?说明理由..考虑当n > 3时,可得—（_+, ）＞-,2n n+1 n+1即有_-_ （_+」^）v丄-」^,3 2 n n+1 3 口十1则当n》3时，不等式成立；检验n= 1, 2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n,有丄丄宀丄夺亠.衍日2 S 3"1【点评】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.21 . (14 分)设集合S n= { (x1, x2,…，x n) X：€{0 , 1} (i = 1, 2,…，n) }，其中n €N*,n》2 .(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1 ?20+ b2?21 + …+ b n?2n 1“的充要条件是"a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；(3)设集合S= { (X1, X2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1,2…，n…)}设(a1, a2,…,)2+…+an?(丄)a n，…),(b1, b2,…b n，…)€S,使得a1?(一 ) +a2?b1?( —) 1+b2?^—) 2+ …+b n?^—) "+ •• •= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)”的什么条件并说明理由.【分析】(1)由题意求得S2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论；(3)将原始的式子同乘以2n,然后利用(2)即可求得答案.【解答】解：(1) S2中的元素有(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1).0 1 n -1 0 1(2)充分性，当a i = b i (i = 1, 2,…，n),显然a1?2 +a2?2 + …+a n?2 = b1?2 +b2?2 + … +b n?2n-1成立，必要性，因为a1?20+a2?21 + - +a n?2n 1= b1?20+?21 + …+b n?2n 1,0 1 n -1所以(a1 - b1)?2 + (a2- b2)?2 + …+ (a n - b n)?2 = 0,因为(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,所以a n- b n€{1 , 0, - 1},若a n- b n= 1,则(a1 - b1)?2°+ (a2 - b2)?21+ …+ (a n - b n)?2n 1= 20+21 + —+2n 1= 2n-1工0,当a n - b n=- 1,贝V (a1 - b1 )?2°+ (a2 - b2)?21 + ^ + (a n - b n) ?2n 1=- (20+21 + —+2 n 1)=-(2n - 1 )工 0,若a n - b n 的值有m 个1和n 个-1,不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1,贝U 2r-2r - 1 - 2r — 1 -……-1 = 2r - —= 2r -（ 2r - 1）= 1>0,1-2说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整 个式子就是负的,说明最咼次的系数只能为，就是a n -b n = 0，即a i = b i , =2n ?A ,1+b 2?^) 2+ …+ b n ?(二)n + •••= B ,等价于 b 1?2n —1 由(2)得“ 2n ?A = 2n ?B “的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;即 A = B 是 a i = b i （i = 1, 2，…，n ）”充要条件.【点评】 本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分 类讨论思想，属于难题.综上可知：“ a 1?20+a 2?21+ …+a n ?2n —1= b 1?20+b 2?21+ …+b n ?2n — 1“的充要条件是 a a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;(3)由a 1(^) 1+a 2(^) 2+…+ a n(—) n + •••= A ,等价于 a 1?2n 1+a 2?2n —2+- +a n ?2°+ … +b 2?2n —2+ …+b n ?20+ •••= 2n ?。

奉贤中学高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 设集合{1,2,3,5}A =，{1,}B t =，若B A ⊆，则t的所有可能的取值构成的集合是 2. 若(12)n x +展开式的二项式系数之和为128，则n =3. 在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，12AA =，二面角1C BB D --的大小是 （用反三角表示）4. 如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 已知球O 的半径为R ，点A 在东经120°和北纬60°处，同经度北纬15°处有一点B ，球面上A 、B 两点的球面距离为6. 若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是7. 在四棱锥P ABCD -中，设向量(4,2,3)AB =-u u u r ，(6,2,8)AP =--u u u r ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为8. 312除以9的余数为9. 如下图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为10. 在平面直角坐标系中，设点(0,0)O ，(3,3)A ，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u r 在OP u u u r 上的投影的取值范围是11. 正方体1111A B C D ABCD -的边长为3，P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为12. 已知圆M ：22(1)1x y -+=，圆N ：22(1)1x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为二. 选择题13. l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A. 若m ∥α，n ∥β，则α∥βB. 若m α⊥，n α⊥，则m ∥nC. 若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥D. 若αβ⊥，l α⊆，则l β⊥14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B. 163C.163 D. 1283 15.“5n =”是“3(2)n x x-（n *∈N ）的展开式中含有常数项”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等比三角形，则点集 {|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36332π-+C. 36π+D. 3633π-+三. 解答题17. 如题，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =.（1）求直线PB 与直线CD 所成的角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.18. 已知集合{|1}1x A x x =<-，2{|23,04}B y y x x x ==--≤≤. （1）求A B I ；（2）若集合2{|230,04}x x x a x --+=≤≤=∅，求a 的取值范围.19. 某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[90,100)后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分以上为及格）；（3）从物理成绩不及格的学生中选x 人，其中恰有一位成绩不低于50分的概率为1291， 求此时x 的值.20. 已知椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右顶点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，点1(3,)2在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且 ||||QP PC =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同A 、B ）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切.21. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）判断四面体4123A A A A -的形状，并说明理由；（2）设1OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若12AOA θ∠=，问θ为何值时，123O AA A -的体积最大，并求出最大值.参考答案一. 填空题1. {2,3,5}2. 73. 3arctan4 4. 4π 5. 4π 6. 11[,]22- 7. 2 8. 29. 10. [3,3]- 11. 94π- 12. 8二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 解答题17.（1）；（2）2+18.（1）[4,1)-；（2）(,4)(5,)-∞-+∞U .19.（1）6；（2）75%；（3）4.20.（1）2214x y +=；（2）224x y +=；（3）证明略.21.（1）正四面体；（2）；（3）当2πθ=时，最大体积为316a .。

奉贤区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 如图可能是下列哪个函数的图象（）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y=C ．y=（x 2﹣2x ）e x D ．y=2． 已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y+7=0相交于A ，B 两点，且•=4，则实数a 的值为（ ）A ．或﹣B ．或3C ．或5D ．3或53． 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l4． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ）A ．C ．D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（）A ．a+3B ．6C ．2D ．3﹣a5． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．66． 执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（）A ．19B ．42C ．47D ．897． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（－），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（）12x ＋112A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－）12C ．（－，＋∞）D ．（－，0）12128． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）A ．{x|﹣2＜x ＜1}B ．{x|﹣1＜x ＜2}C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1}班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 三角函数的振幅和最小正周期分别是（ ）()sin(2)cos 26f x x x π=-+ABCD2ππ2ππ10．设集合,,则( )A B C D11．边长为2的正方形ABCD 的定点都在同一球面上，球心到平面ABCD 的距离为1，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．5πC ．12πD ．20π12．“”是“A=30°”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件二、填空题13．在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，则|AC|= ．14．设变量满足约束条件，则的最小值是，则实数y x ,22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩22(1)3(1)z a x a y =+-+20-a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．= ．16．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．　17．如图所示，圆中，弦的长度为，则的值为_______．C AB 4AB AC ×u u u r u u u r【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．18．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为方程为x C r （），直线的参数方程为（为参数）．],0[πθ∈l 2t cos 2sin x y t aaì=+ïí=+ïît （I ）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线C D C C D +2=0x y +D 的参数方程；（II ）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．l C l 20．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f （x ）=x+，x ∈[1，3]，利用上述性质，求函数f （x ）的单调区间和值域；（2）已知函数g （x ）=和函数h （x ）=﹣x ﹣2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，使得h （x 2）=g （x 1）成立，求实数a 的值．21．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数m 在3次掷骰子过程中出现1次， 2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收.（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.22．（本题满分14分）已知两点与是直角坐标平面内两定点，过曲线上一点作)1,0(-P )1,0(Q C ),(y x M y轴的垂线，垂足为，点满足，且.N E ME =0=⋅（1）求曲线的方程；C （2）设直线与曲线交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.l C B A ,O l 23AOB ∆【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．23．已知函数f （x ）=2|x ﹣2|+ax （x ∈R ）．（1）当a=1时，求f （x ）的最小值；（2）当f （x ）有最小值时，求a 的取值范围；（3）若函数h （x ）=f （sinx ）﹣2存在零点，求a 的取值范围．　24．设a ＞0，是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数．奉贤区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．2．【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4∴cos∠ACB=，∴∠ACB=60°∴圆心到直线的距离为，∴=，∴a=或5．故选：C．3．【答案】D【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．　4． 【答案】A【解析】A ．C ．D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，求得10≤ω＜12，故选：A ．5． 【答案】C ．【解析】解：∵2a =3b =m ，∴a=log 2m ，b=log 3m ，∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab=a+b ，∵ab ≠0，∴+=2，∴=log m 2， =log m 3，∴log m 2+log m 3=log m 6=2，解得m=．故选 C【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．　6． 【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得k=1S=1满足条件k ＜5，S=3，k=2满足条件k ＜5，S=8，k=3满足条件k ＜5，S=19，k=4满足条件k ＜5，S=42，k=5不满足条件k ＜5，退出循环，输出S 的值为42．故选：B ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．　7． 【答案】【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（－）得12x ＋112f （－x ）＝（e x －e －x ）（－）12－x＋112＝（e x －e －x ）（＋）－12x ＋112＝（e －x －e x ）（－）＝f （x ），12x ＋112∴f （x ）在R 上为偶函数，∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－，12即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－}，故选C.128． 【答案】B【解析】解：∵x （x ﹣1）＜2，∴x 2﹣x ﹣2＜0，即（x ﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为{x|﹣1＜x ＜2}．故选：B 9． 【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x xππ=-+31cos 222sin 2)22x x x x ==-，故选B ．6x π=+10．【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

2018～2019学年奉贤中学高二下期末试卷一、填空题（54分）1.设集合{}1,2,3,5A =，{}1,B t =，若B A ⊆，则t 的所有可能的取值构成的集合是_______； 【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】根据集合的包含关系可确定t 可能的取值，从而得到结果. 【详解】由B A ⊆得：2t =或3或5t ∴所有可能的取值构成的集合为：{}2,3,5本题正确结果：{}2,3,5【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题.2.若()12nx +展开式的二项式系数之和为128，则n =________【答案】7 【解析】 【分析】根据二项展开式二项式系数和为2n 可构造方程求得结果.【详解】()12nx +展开式的二项式系数和为：012128n nn n n C C C ++⋅⋅⋅+==，解得：7n =本题正确结果：7【点睛】本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.3.在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，12AA =，二面角1C BB D --的大小是_________（用反三角表示）． 【答案】3arctan 4【解析】 【分析】根据二面角平面角的定义可知CBD ∠为二面角1C BB D --的平面角，在直角三角形中表示出3tan 4CBD ∠=，进而求得结果. 【详解】由长方体特点可知：1BB ⊥平面ABCD又BC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BC BB ∴⊥，1BD BB ⊥CBD ∴∠即为二面角1C BB D --的平面角又3CD AB ==，4BC AD ==，BC CD ⊥3tan 4CD CBD BC ∴∠== 3arctan 4CBD ∴∠= 即二面角1C BB D --的大小为：3arctan4本题正确结果：3arctan4【点睛】本题考查二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义确定平面角，将平面角放到直角三角形中来进行求解.4.如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm【答案】4π 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为底面半径为1∴4=∴圆锥的侧面积：144S ππ=⨯⨯=本题正确结果：4π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.5.已知球O 的半径为R ，点A 在东经120°和北纬60°处，同经度北纬15°处有一点B ，球面上A ，B 两点的球面距离为___________； 【答案】4R π； 【解析】 【分析】根据纬度差可确定45AOB ∠=，根据扇形弧长公式可求得所求距离. 【详解】A 在北纬60，B 在北纬15，且均位于东经120 45AOB ∴∠=,A B ∴两点的球面距离为：451804R R ππ= 本题正确结果：4R π【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够通过纬度确定扇形圆心角的大小，属于基础题.6.若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 【解析】 【分析】令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1sin 22θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】221x y += ∴可令cos x θ=，sin y θ=1cos sin sin 22xy θθθ∴==[]sin 21,1θ∈- 11,22xy ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.7.在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________ 【答案】2； 【解析】 【分析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴=∴点P 到底面ABCD 的距离：1829AP n d n⋅-+===+本题正确结果：2【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.8.112除以9的余数为_______； 【答案】5【解析】 【分析】将112变为()32912-⨯，利用二项式定理展开可知余数因不含因数9的项而产生，从而可知余数为233925C -=.【详解】由题意得：()311322282912=⨯=-⨯()()()()3232203212222333339122929129121C C C C -⨯=⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-112∴除以9的余数为：233925C -=本题正确结果：5【点睛】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.9.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F ⋂=，11BC B C E =，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为______．【答案】322【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h ，求出,AE BF 的坐标，由数量积为0求得h ，则棱柱的体积可求．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设1DD h =，又4AB BC ==， 则()4,0,0A ，2,4,2h E ⎛⎫⎪⎝⎭，()4,4,0B ，()2,2,F h ， 2,4,2h AE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()2,2,BF h =--，AE BF ⊥，24802h ∴-+=，即22h = ∴此棱柱的体积为4422322⨯⨯=．故答案为：2【点睛】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．10.在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA 在OP 上的投影的取值范围是__________ 【答案】[]3,3- 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA 在OP 上的投影为：cos 9323OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠AOB AOP AOC ∠≤∠≤∠ 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦ 33cos AOP ⎡∴∠∈⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-本题正确结果：[]3,3-【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.11.正方体1111A B C D ABCD -3P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为_________；【答案】7334π+ 【解析】 【分析】分别在六个侧面上找到满足到点A 的距离小于等于2的点的集合，可大致分为两类；从而确定满足集合的点构成的图形，通过计算图形面积加和得到结果.【详解】在正方形11ABB A 、11ADD A 、ABCD 上，满足集合的点构成下图的阴影部分：∴在侧面11ABB A 、11ADD A 、ABCD 覆盖的面积：113343326S ππ⎛⎫=⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭在正方形11BCC B 、1111D C B A 、11CDD C 上，满足集合的点构成下图的阴影部分：∴在侧面11BCC B 、1111D C B A 、11CDD C 覆盖的面积：234S π= ∴满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为：127334S S π+=+本题正确结果：7334π+【点睛】本题考查立体几何中的距离类问题的应用，关键是能够通过给定集合的含义，确定在正方体侧面上满足题意的点所构成的图形，对于学生的空间想象能力有一定要求.12.已知圆()22:11M x y -+=，圆()22:11N x y ++=，直线12,l l 分别过圆心,M N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为___________； 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出,,A C P 点坐标；根据,A B 共线、,C D 共线可得,B D 坐标；写出向量后，根据向量数量积运算法则可求得210sin 8PA PB PC PD θ⋅+⋅=+，从而可知当2sin 0θ=时，取得最小值，代入求得结果.【详解】由题意可设：()1cos ,sin A αα+，()1cos ,sin C ββ-+，()2cos 3sin P θθ,则()1cos ,sin B αα--，()1cos ,sin D ββ---()1cos 2cos ,sin 3sin PA αθαθ∴=+--，()1cos 2cos ,sin 3sin PB αθαθ=---- ()2222212cos cos 9sin sin 5sin 4cos 4PA PB θαθαθθ∴⋅=--+-=-+同理可得：25sin 4cos 4PC PD θθ⋅=++210sin 8PA PB PC PD θ∴⋅+⋅=+当2sin 0θ=时，()min8PA PB PC PD ⋅+⋅=本题正确结果：8【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式，表示出所需的点的坐标，从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.二、选择题（20分）13.l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若//m α，//n β，则//αβ B. 则m α⊥，n α⊥，则//m n C. 若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ D. 则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果. 【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16B. C.163D.1283【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积． 【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球， 又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选：C ．【点睛】本题考查球体积的求法，理解题意是关键，是基础题．15.“5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可知当5n =时，只需3r =即可得到常数项，可知充分条件成立；当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】n⎛ ⎝展开式的通项公式为：(()35621rn rn rr rn r rn n C C x ---⎛⋅⋅=⋅- ⎝当5n =时，通项公式为：()15556521rr r r C x--⋅-令1550r -=，解得：3r =，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立 令350n r -=，解得：35n r =∴当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立∴“5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的充分不必要条件 本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当x 幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.16.对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 362π-+C. 36π+D.36π-【答案】D 【解析】 【分析】根据(),d P C 可画出满足题意的点P 所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由(),d P C 定义可知，若曲线C 为边长为6等边三角形ABC ，则满足题意的点P构成如下图所示的阴影区域其中AE AC ⊥，AD AB ⊥，IH AC ⊥，JG AC ⊥，1AD AE IH JG ====2233DAE ππππ∠=--=，1AD = 21121233S ππ∴=⨯⨯= 6IAH π∠=，1IH = 3AH ∴= 413312S ∴=⨯⨯=又2623HG AC AH =-=- ()36231623S ∴=-⨯=- 又2616S =⨯=∴阴影区域面积为：12343336181863333633S S S S S ππ=+++=++-+=-+即点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为：3633π-+ 本题正确选项：D【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于1的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.三、解答题（76分）：17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =．（1）求直线PB 与直线CD 所成的角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积；【答案】（1）arctan （2）2+【解析】 【分析】（1）根据//AB CD 可知所求角为PBA ∠；利用线面垂直性质可知PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，利用线面垂直判定可证得AB ⊥平面PAD ，进而得到AB PA ⊥；利用直角三角形的关系可求得所求角的正切值，进而得到所求角；（2）利用线面垂直的性质和判定易得四棱锥的四个侧面均为直角三角形，分别求得每个侧面面积，加和得到结果. 【详解】（1）四边形ABCD 是正方形 //AB CD ∴∴直线PB 与直线CD 所成角即为直线PB 与直线AB 所成角，即PBA ∠PD ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD PD AB ∴⊥，PD AD ⊥又AB AD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，ADPD D =AB ∴⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD AB PA ∴⊥PA ∴==2AB = tan PA PBA AB ∴∠==PBA ∴∠=PB 与直线CD 所成角为：arctan（2）由（1）知：PA AB ⊥，PD AD ⊥PD ⊥底面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD PD CD ∴⊥，PD BC ⊥又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD BC ∴⊥平面PCDPC ⊂平面PCD BC PC ∴⊥∴四棱锥P ABCD -的侧面积为：11111122222S PD AD PA AB PC BC PD CD =⋅+⋅+⋅+⋅==+【点睛】本题考查异面直线所成角的求解、棱锥侧面积的求解问题；关键是能够灵活运用线面垂直的判定和性质，考查基础计算能力.18.已知集合11xA x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|23,04B y y x x x ==--≤≤．（1）求AB ；（2）若集合{}2|230,04x x x a x --+=≤≤=∅，求a 的取值范围； 【答案】（1）[)4,1-；（2）()(),54,-∞-+∞【解析】 【分析】（1）分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果；（2）将问题转化为{}2|23,04x xx a x --=-≤≤=∅，由（1）可知[]2234,5x x --∈-，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】()1,11xA x x ⎧⎫=<=-∞⎨⎬-⎩⎭；{}[]2|23,044,5B y y x x x ==--≤≤=-（1）[)4,1AB =-（2）{}2|230,04x x x a x --+=≤≤=∅，即{}2|23,04x x x a x --=-≤≤=∅ 又[]0,4x ∈时，[]2234,5x x --∈- 4a ∴-<-或5a ->5a ∴<-或4a >即a 的取值范围为：()(),54,-∞-+∞【点睛】本题考查集合运算中的交集运算、求解集合中参数取值范围的问题；关键是能够准确求解出两个集合；易错点是忽略两个集合均为数集的特点，误认为两集合元素不一致，导致求解错误.19.某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，……，[90,100)后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分以上为及格）；（3）从物理成绩不及格的学生中选x 人，其中恰有一位成绩不低于50分的概率为1291，求此时x 的值；【答案】（1）6；（2）75%；（3）4； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图可求得物理成绩低于50分的频率，利用频率乘以总数可得所求频数；（2）根据频率分布直方图可计算得到物理成绩不低于60分的频率，从而得到及格率；（3）计算出成绩不低于50分的人数，根据古典概型概率计算公式可列出关于x 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）物理成绩低于50分的频率为：()10.01520.030.0250.005100.1-⨯+++⨯= 物理成绩低于50分的学生人数为：600.16⨯=人（2）物理成绩不低于60分的频率为：()0.0150.030.0250.005100.75+++⨯=∴这次考试物理学科及格率为：75%（3）物理成绩不及格的学生共有：()60175%15⨯-=人 其中成绩不低于50分的有：1569-=人由题意可知：1196151291x xC C C -=，解得：4x =【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数、根据样本数据特征估计总体数据特征、古典概型概率的应用问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识点，考查概率和统计知识的综合应用.20.已知椭圆22221(0)x ya ba bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A-，(2,0)B，点13,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作PQ x⊥轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且||||QP PC=．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线AC（C点不同A、B）与直线2x=交于R，D为线段RB的中点，证明：直线CD 与曲线E相切；【答案】（1）2214xy+=；（2）224x y+=；（3）证明略；【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可知2a=，将13,2⎫⎪⎭代入椭圆方程可求得2b，进而得到椭圆方程；（2）设(),C x y，()00,P x y，可得到02x xyy=⎧⎪⎨=⎪⎩，将P代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设()(),0C C CC x y y≠，可得直线AC方程，进而求得R和D点坐标；利用向量坐标运算可求得0OC CD⋅=，从而证得结论.【详解】（1）由题意可知：2a = 将12⎫⎪⎭代入椭圆方程可得：231144b+=，解得：21b = ∴椭圆Γ的方程为：2214x y += （2）设(),C x y ，()00,P x y由PQ x ⊥轴，QP PC =可得：002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩,2y P x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭将,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆Γ方程得：224x y += ∴动点C 的轨迹E 的方程为：224x y +=（3）设()(),0C C C C x y y ≠，则直线AC 方程为：22C Cx yx y +=+ 令2x =，解得：42C C y y x =+ 42,2C C y R x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭ 22,2C C y D x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭(),C C OC x y ∴=，22,2CC C C y CD x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭()()2222422222C C C C C C C C C C C x y OC CD x x y y x x y x x -⎛⎫∴⋅=-+-=--+ ⎪++⎝⎭()24220C C x x =-+-=即OC CD ⊥∴直线CD 与曲线E 相切【点睛】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的坐标，从而代入已知曲线方程整理可得动点轨迹.21.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为(1,2,3,4)i A i =．（1）判断四面体4123A A A A -的形状，并说明理由；（2）设1(0)OA a a =>，当123,,A A A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若12AOA θ∠=，1(0)OA a a =>，问θ为何值时，123O A A A -的体积最大，并求出最大值．【答案】（1）正四面体；理由见解析（2）22（3）当2πθ=时，最大体积为：316a ；【解析】 【分析】（1）根据线段等长首先确定O 为四面体外接球球心；又4A O ⊥底面123A A A ，可知4123A A A A -为正三棱锥；依次以123,,A A A 为顶点均有正三棱锥结论出现，可知四面体棱长均相等，可知其为正四面体；（2）由O 为四面体外接球球心及4A O ⊥底面123A A A 可得到11OAO ∠即为所求角；设正四面体棱长为m ，利用m 表示出11Rt OA O ∆各边，利用勾股定理构造方程可求得63m =，从而可求得11cos OAO ∠，进而得到结果；（3）取12A A 中点D ，利用三线合一性质可知22DOA θ∠=，从而可用θ表示出底面边长和三棱锥的高，根据三棱锥体积公式可将体积表示为关于2sin 2θ的函数，利用导数求得函数的最大值，并确定此时2sin 2θ的取值，从而得到结果.【详解】（1）四面体4123A A A A -为正四面体，理由如下：四条线段等长，即O 到四面体四个顶点距离相等 O ∴为四面体外接球的球心 又4A O ⊥底面123A A A 4A ∴在底面的射影为123A A A ∆的外心∴四面体4123A A A A -为正三棱锥，即414243A A A A A A ==，122313A A A A A A ==又任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，若3A 竖直向上 可得：313234A A A A A A ==可知四面体4123A A A A -各条棱长均相等 4123A A A A ∴-为正四面体 （2）由（1）知，四面体4123A A A A -为正四面体，且O 为其外接球球心 设123A A A ∆中心为1O ，则41A O ⊥平面123A A A ，如下图所示：11OAO ∴∠即为1OA 与平面123AA A 所成角 设正四面体4123A A A A -棱长为m 则11233323AO m =⨯=，2214141633OO A O A O m m a m a =-=-=- ∴在11Rt OA O ∆中，222163m a a ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，解得：63m a = 11223A O a ∴=1111122cos 3AO OAO AO ∴∠== 1122arccos 3OAO ∴∠= 即1OA 与平面123A A A 所成角为：2arccos3（3）取12A A 中点D ，连接OD ，3A D12OA OA =，D 为12A A 中点 22DOA θ∴∠=且12OD A A ⊥22cos cos 2OD OA DOA a θ∴=∠=，222sin sin 2A D OA DOA a θ=∠=23222sin2A A A D a θ∴== 2222131134sin sin sin 33222O D A D a a θθθ∴==-= 222222222221114cos sin 1sin sin sin 23223232OO a a a a a a θθθθθ⎛⎫∴=-=--=- ⎪⎝⎭12312322222111344sin sin 334232O A A A A A A V S OO a a a θθ∆-∴=⋅=⨯-3322421sin 34sin sin 34sin 322322a a θθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令2sin2x θ=，[]0,1x ∈，则4223sin 34sin 3422x x θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭设()3243f x x x =-+，[]0,1x ∈，则()2126f x x x '=-+令()0f x '=，解得：10x =，212x =∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<∴当12x =时，()f x 取极大值，即为最大值：()max 1111432844f x f ⎛⎫==-⨯+⨯= ⎪⎝⎭即当21sin22θ=时，123O A A A V -取得最大值，最大值为：3311326a a ⨯=此时sin 2θ=，即2πθ= 综上所述，当2πθ=时，123O A A A -体积最大，最大值为：316a 【点睛】本题考查立体几何中的几何体特征判断、直线与平面所成角的求解、三棱锥体积的最值的求解问题；求解三棱锥体积的最值问题，关键是要把底面面积和三棱锥的高均利用某一变量来进行表示，从而将所求体积最值问题转化为关于此变量的函数最值问题的求解，进而通过导数或其他求解函数最值的方法求得结果.。

奉贤区2018年6月高二数学期末统考参考答案一、填空1-6每个4分，7-12每个5分1、 2、3、 4、5、 6、7、4 8、369、 10、11、 12、二、选择题每个5分13、D 14、B 15、C 16、D三、解答题17、（1）设 1分（必须写，否则扣1分）4分6分7分8分漏一解必须扣1分（2）设 9分（必须写，否则扣1分）11分12分13分14分漏一解必须扣1分18、解2分4分5分必须写出集A设，则解得9分所以当时，10分设，则所以当时，14分方法二：， 8分时单调递增，时单调递减，10分，所以当时，12分所以当时，14分19、解：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系2分可得椭圆方程为 3分（没有建系，直接出来扣2分）代入椭圆方程得5分7分所以梯形的周长是8分（2）得10分13分定义域14分20、解（1）1分2分3分4分两点在球上的球面距离；5分（2）面，， 6分，7分与重合8分的面积9分计算四面体的体积10分方法二：在平面上 7分垂直平面所以与重合8分的面积9分计算四面体的体积10分（3）设平面的法向量得得13分平面的法向量14分设两法向量夹角所以所成锐二面角的大小为. 16分21、解（1）双曲线的标准方程是虚轴长为，2分此结论错了，后面原则上得分不能相应的一半分渐近线方程为4分双曲线第1问结论错了，后面（2）（3）涉及到联立双曲线计算的原则上不能得分（2）设直线的斜率，显然联立得6分8分10分（3）设直线方程，联立，（*），方程总有两个解11分设，12分根据得 14分整理得 15分这一步3分是独立的，与双曲线计算无关17分符合题目要求，存在直线18分。

2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。