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所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题 【解析】 最少需要3种颜色的旗子。
因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。
奇妙的一笔画
一、教学目标
掌握 REPEAT 重复命令的使用方法。
二、教学重点与难点
学习掌握REPEAT重复命令的使用方法。
三、教学准备
多媒体教学网、计算机能连通因特网、多媒体演示课件
四、教学过程
一、导入新课: 教者演示，让小海龟一笔画出长方形、圆、正多边形。
真像是在变魔术，太奇妙了!
二、学知识: REPEAT 命令: 对于需要多资重复执行的命令，不必像以前那样反复输入，可用重复命令来完成。
命令的格式是: REPEAT 重复次数[重复内容] 如: REPEAT 4[FD 60 RT 90] 即可以重复执行4次 FD 60 RT 90，从而画出一个正方形。
小小的提示: REPEAT 与重复次数之间必须有一个空格，重复次数与中括号之间可以没有空格。
三、练技能:
1、画一个边长为90的正三角形。
2、画一个边长为 55 的正五边形。
3、画一个边长为 25 的正八边形。
指导学生得到画正多边形的公式: REPEAT 边数[FD 边长 RT 360/边数]
4、将下边的步骤用 REPEAT 命令表示出来，并画出相应的图形。
FD 30 BK 30 RT 90; FD 2021T 90 FD 2021T 90 FD 30 BK 30 RT 90; FD 2021T 90 FD 2021T 90 FD 30 BK 30 RT 90; FD 2021T 90 FD 2021T 90 FD 30 BK 30 RT 90; FD 2021T 90 FD 2021T 90
5、为小海龟画一个“跑道”吧!
四、小结: 这节课你学会了什么学生回答、讨论。
知识要点一笔画【课前引入】老师可在黑板上画一些简单的一笔画的动物图形做引入，例如下面的蝴蝶、蜗牛、鹅以及金鱼都是用一笔画成的。
由此引出关于一笔画的由来：18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。
这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有两座美丽的小岛。
河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
（如下图所示）每到傍晚，许多人都来此散步。
人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。
”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。
这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。
他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。
（如右上图所示）这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：这显然并没有改变问题的本质特征。
于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。
这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了。
接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。
除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点。
欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”。
如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不能实现，这样的点又叫做“奇点”。
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【例 2】同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【例 3】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图a图c【例 4】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？（1）（2）（3）【例 5】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例 6】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A【例 7】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙甲【例 8】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【例 9】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？IHGFEDC BA【例 10】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 11】观察下面的图，看各至少用几笔画成？（1）A ED HCF GB （2）（3）【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例 13】 有16个点排成的44 方阵。
河南省平顶山市数学小学奥数系列4-1-4奇妙的一笔画姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共20题；共100分)1. （5分）从有小黑点的地方出发，用一笔画出下面的图形．(不能重复经过同一条线)2. （5分）(2013·广州) 下面是有规则排列的九个点，请你用四条首尾相连的线段将这九个点连接起来，你能做到么？试试看！温馨提示：因为答卷不能涂改请你先在草稿上尝试，不妨用笔沿着你自己创作的折线走一次，（这条路线的结束点可以不与起始点相连）如果笔没有离开纸面你便成功了！3. （5分）下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？4. （5分）下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？5. （5分）下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．6. （5分）下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？7. （5分）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？8. （5分）下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？9. （5分）邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？10. （5分）观察下面的图，看各至少用几笔画成？11. （5分）判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．12. （5分） 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来（如图a）．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？13. （5分）如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？14. （5分）下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？15. （5分）下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？16. （5分）一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？17. （5分）一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米（见右图），有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？18. （5分）如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？19. （5分）在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？20. （5分）一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？参考答案一、 (共20题；共100分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．【例1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【解析】奇点：J D H F 偶点：A E B C G I【例2】判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图a NM L KFD E C BA图b O D CB A 图c G F E DC B A 【解析】图a 能，因为有2个奇点，图b 不能，因为图形不是连通的，图c 能，因为因为图中全是奇点【例3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？例题精讲奇妙的一笔画【解析】图1能因为图中全是偶点，图2能因为图中全是偶点，图3不能因为有4个奇点．【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【解析】第1个能，2、3不能【例5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．【例6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．【例7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【解析】可以．【例8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F 和I 点．【例9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【例10】观察下面的图，看各至少用几笔画成？【解析】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出．【例11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．I H G F E D CB A图a H G I K L J F ED CB A图b D C H G E F B A 图c【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出．图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB 可以使图形能一笔画出．一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．【例12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中。
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【解析】 最少需要3种颜色的旗子。
因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。
不走重复路线不能完成插旗的任务，因为本题共有6各奇点。
【答案】3种颜色，不能【例 3】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．NML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图a 能，因为有2个奇点，图a 能b 不能，因为图形不是连通的， 图c 能，因为因为图中全是奇点【答案】a 能，a 能，c 能【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？（1）（2）（3）【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图1能 因为图中全是偶点；图2能 因为图中全是偶点； 图3不能因为有4个奇点。
【答案】图1能 因为图中全是偶点；图2能 因为图中全是偶点； 图3不能因为有4个奇点。
【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 第1个能，2、3不能 【答案】第1个能，2、3不能【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【答案】能【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 不能 【答案】不能【例 7】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙甲【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．【答案】甲蚂蚁【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 可以． 【答案】可以【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？IHGFEDC BA【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F 和I 点．【答案】出口和入口应该分别放在F 和I 点【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 【答案】4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【例 11】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？（1）A ED HCF G B （2）（3）【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出．【答案】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出．【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A 点出发到B 点， A ， B 两点必须是奇点，现在A ， B 都是偶点，必须在与A ，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A ，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【答案】【例 13】 有16个点排成的44 方阵。
如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点.【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 答案不唯一只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。
【答案】答案不唯一【例 14】 一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？AGBF CHDE【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A －B －G －H －A －D －C －F －E －D 总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．【答案】48分米【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？A【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 最多34厘米 【答案】多34厘米模块二、调整奇偶点变一笔画【例 15】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH GI KLJ F EDCBA DC HG EFBA图c【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出． 图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB 可以使图形能一笔画出．一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K -1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．ABCDA BD C【答案】ABD C【例 16】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下：求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即②、③、④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭B 门，可行路线如上图。
【答案】关闭B 门。
【例 17】 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 不能一笔画出，因为图中有E H GF 四个奇点，连结EH 就可以使图形一笔画出．【答案】连结EH 就可以使图形一笔画出【例 18】 如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从A 处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用 分．A【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据一笔画的概念，因为道路图有四个奇点，所以王大爷是没法不重复地走完小区所有的道路回到A的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：A道路的总路程为4803200326063600⨯+⨯+⨯=米，王大爷走完这些路要60分钟． 【答案】60分钟【例 19】 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是 ．【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据一笔画的有关概念，道路图中有6个奇点，邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局．但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：邮局总路程为3102846⨯+⨯=．【答案】46【例 20】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？BG FCH DE A【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B中有4个奇点显然不能一笔画出．【答案】不能【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】解答【解析】能【答案】能【例 21】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？【考点】一笔画问题【难度】5星【题型】解答【解析】图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．【答案】30千米。
