第04讲-函数的概念(讲义版)

函数的概念课件一、导入在数学中，函数是一个核心的概念。

它描述了变量之间的依赖关系，用函数的观点去看待问题，是数学学习中一个极为重要的思想方法。

因此，大家要认真理解函数的概念，掌握函数的基本性质，为后续学习做好准备。

二、新课导入1、定义函数是数学中的一种关系，它把一个数集中的元素与另一个数集中的元素对应起来，其中对应的规则称为对应关系。

2、函数的表示方法我们可以用解析式、图象、表格等多种形式来表示函数。

例如，如果y是x的函数，那么可以用y=x^2表示一个二次函数。

3、函数的性质本文1）函数的单调性：在区间(a,b)上，如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递减。

本文2）函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。

本文3）函数的值域：函数值的取值范围称为函数的值域。

三、例题解析例1：求下列函数的定义域和值域：本文1）y=x^2+1 （2）y=√x+1解：（1）定义域为R，值域为[0,∞)本文2）定义域为[0,∞)，值域为[1,∞)例2：判断下列函数的单调性：本文1）y=x^2 （2）y=x+1解：（1）在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,∞)上单调递增。

本文2）在定义域内单调递增。

例3：判断下列函数的奇偶性：本文1）y=x^2 （2）y=√x解：（1）偶函数（2）奇函数四、课堂小结本节课我们学习了函数的概念和基本性质，掌握了函数的表示方法，了解了函数的单调性、奇偶性和值域等概念。

希望大家能够认真领会函数的思想方法，为后续学习做好准备。

一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。

第04讲 函数的图象【知识点总结】一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的；④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的②()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数. 三、函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）函数2ln ()1||x f x x =+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【详解】当0x >时2ln ()1x f x x=+，则()222222212ln 2ln 2(1ln )x x x x x f x x x x ⋅---'===． 当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,e)上单调递增， 当e x >时()0f x '<，所以()f x 在区间(e,)+∞上单调递减，排除A ，B ． 又2ln e 2(e)110lel ef =+=+>，排除D ． 故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知()21πsin 42f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 ∵()221π1sin cos 424f x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ∴()1sin 2f x x x '=- 易知()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 和D ，由ππ106122f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ，所以A 正确.故选：A.例3．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x hr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H Hπππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例4．（2022·全国·模拟预测）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3()cos f x x x =-B ．1()sin f x x x =+C ．21()cos f x x x =- D ．1()sin f x x x=-【答案】D 【详解】由图知0x ≠，排除A 选项；当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，排除B ； 又C 选项中2211()cos()cos ()()f x x x f x x x -=--=-=-，其图象关于y 轴对称，不符合. 故选：D.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】按x 的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论． 【详解】由题意,0,0x x a x y a x ⎧>=⎨-<⎩，∵1a >，∴只有C 符合． 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得； 【详解】解：因为()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以定义域为R ，且()()()221sin 1sin 11x xf x x x f x e e -⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时，222210111e e e--=<++，sin 20>，所以()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ； 故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A4．（2022·江苏·高三专题练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.【详解】由函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值， 所以当1x >时，()0f x '<；1x =时，()0f x '=；1x <时，()0f x '>； 所以当0x <时，()0y xf x '=->，当01x <<时，()0y xf x '=-<， 当0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，当1x >时，()0y xf x '=->， 可得选项B 符合题意. 故选：B ．5．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln ,0ln(),0x x e x x f x e x x -⎧>=⎨-<⎩在[)(]2,00,2-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的奇偶性可排除A ，B ；通过计算(2)f 的值可排除C ，进而可得结果． 【详解】由题可知函数()f x 的定义域关于原点对称，且当0x >时，0x -<，[]()()ln ()ln ()x x f x ex e x f x ---=⋅--=⋅=， 当0x <时，0x ->，()ln()()x f x e x f x --=⋅-=，故()f x 为偶函数，排除A ，B ；而222(2)ln 232e f e e =>>，排除C ．故选：D ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x +12x -，x ∈（2，8），当x ＝m 时，f （x ）有最小值为n ．则在平面直角坐标系中，函数1()log mg x x n =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由均值不等式易知m ＝3，n ＝4，则函数13()log |4|g x x =+，判断函数g （x ）的单调性，结合选项即可得解． 【详解】∵函数1()2224,(2,8)2f x x x x =-++≥=∈-，当且仅当122x x -=-，即m＝3时取等号， ∴m ＝3，n ＝4， 则函数13()log |4|g x x =+的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，观察选项可知，选项A 符合． 故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()||3e x x xf =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先求解()f x 的定义域并判断奇偶性，然后根据()1f 的值以及()f x 在()0,∞+上的单调性选择合适图象. 【详解】()e3xf x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()e 3xf x x-=-， 则()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ；()e113f =<，故排除A ； ∵()e3xf x x =，当0x >时，可得()()21e 3xx f x x -'=，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故排除D. 故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）函数y 3）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法） 【详解】 由题意，设3()f x =3()()f x f x -==-，所以函数的奇函数，故排除C;当01x <<时，()410,0x f x -<∴<，当1x >时，()41,0x f x >∴>，排除BD ,故选:A.9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y f x =的图象：D ．()y f x =-的图象：【答案】C 【分析】作出函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案. 【详解】先作出()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤的图象，如图所示，所以A 正确；对于B ，()1y f x =-的图象()f x 是由的图象向右平移一个单位得到，故B 正确； 对于C ，当0x >时，()y f x =的图象与()f x 的图象相同，且函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，()y f x =-的图象与()f x 的图象关于y 轴对称而得到，故D 正确. 故选：C .10．（2022·全国·高三专题练习（文））下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y 表示离开家的距离，t 表示所用时间. A ．④①② B ．③①②C ．②①④D ．③②①【答案】A 【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像. 【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合； 对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合； 故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x hr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A12．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >【答案】A 【分析】 由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围 【详解】 由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >， 因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <， 故选：A13．（2022·浙江·高三专题练习）函数2()x xe ef x ax bx c-+=++的图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c <=<B ．0,0,0a b c <<=C ．0,0,0a b c >=>D ．0,0,0a b c >=<【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可求出0b =，再由函数图象不连续即可知分母等于零有解，即可排除AC. 【详解】解：由图象可知，函数的偶函数，即()()f x f x -=，即22x x x xe e e e ax bx c ax bx c--++=+++-，则0b =，B 不正确；由图象可知，20ax bx c ++=有解，即0ac <，故AC 不正确， 故选:D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 【分析】 令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =， 解得1ln x n m=， 由图象知1l 0n x mn =>， 当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ， 当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可. 【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ； 当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．16．（2022·江苏·高三专题练习）为调整某学校路段的车流量问题，对该学校路段115时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是（ ）A ．9时前车流量在逐渐上升B ．车流量的高峰期在9时左右C ．车流量的第二高峰期为12时D ．9时开始车流量逐渐下降【答案】D 【分析】根据图象得出车流量的增减性与最值，由此可得出结论. 【详解】由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A 正确； 车流量的高峰期在9时左右，选项B 正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C 正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D 错误．故选：D ．17．（2022·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 18．（2022·全国·高三专题练习）函数(1)lg ||()|1|x x g x x +=+的图象向右平移1个单位长度得到函数()f x 的图象，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数图象的变换，求得函数lg |1|()||x x f x x -=，根据当0x <时，得到()0f x <，可排除A 、B ；当01x <<时，得到()0f x <，可排除C ，进而求解. 【详解】由题意，可得lg |1|()(1)||x x f x g x x -=-=，其定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞， 当0x <时，11x -+>，函数lg |1|lg(1)()||x x x x f x x x--+===-lg(1)0x --+<， 故排除A 、B 选项；当01x <<时，011x <-+<，故函数lg |1|()||x x f x x -==lg(1)lg(1)0x x x x-+=-+<，故排除C 选项；当x 1>时，函数lg |1|lg(1)()lg(1)||x x x x f x x x x--===-， 该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合. 故选：D .19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+ B ．()2()44log ||x xf x x -=-C ．()2()44log ||x xf x x -=+D ．()12()44log ||x xf x x -=+【答案】C 【分析】()(44)||x x f x x -=+， f (1)≠0，A 不正确；2()(44)log ||x x f x x -=-是奇函数，不满足题意，B 不正确；12()(44)log ||x x f x x -=+，当x ∈(0，1)时，()0f x >，不满足题意，D 不正确.【详解】由函数f (x )的图像知函数f (x )是偶函数，且当x=1时，f (1)=0. ()(44)||x x f x x -=+是偶函数，但是f (1)≠0，A 不正确； 2()(44)log ||x x f x x -=-是奇函数，不满足题意，B 不正确；12()(44)log ||x x f x x -=+是偶函数，f (1)=0，但当x ∈(0，1)时，()0f x >，不满足题意，D不正确. 故选：C.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）|x |B ．f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）log 2|x |C ．f （x ）＝（4x +4﹣x ）|x |D ．f （x ）＝（4x +4﹣x ）log 2|x |【答案】D 【分析】根据题意，用排除法分析：利用函数的奇偶性可排除A 、B ，由区间（0，1）上，函数值的符号排除C ，即可得答案． 【详解】根据题意，用排除法分析：对于A ，f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）|x |，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（4﹣x ﹣4x ）|x |＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，不符合题意；对于B ，f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）log 2|x |，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（4﹣x ﹣4x ）log 2|x |＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，不符合题意；对于C ，f （x ）＝（4x +4﹣x ）|x |，在区间（0，1）上，f （x ）＞0，不符合题意；对于D ， f （﹣x ）＝（4x +4﹣x ）log 2|x |＝f （x ）为偶函数，且在区间（0，1）上，f （x ）<0，符合题意 故选：D21．（2022·全国·高三专题练习）已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（ ）A ．()()sin x xf x e e -=+ B ．()()sin x xf x e e -=- C ．()()cos x xf x e e -=-D ．()()cos x xf x e e -=+【答案】D 【分析】根据特殊值排除A 、C ，再判断函数的奇偶性即可排除B ； 【详解】解：对于A ：()()sin x x f x e e -=+，()()000sin sin 20f e e =+=>，故A 错误； 对于B ：()()sin x xf x e e -=-，则()()()()sin sin x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，故()()sin x x f x e e -=-为奇函数，故B 错误；对于C ：()()cos x x f x e e -=-，则()()000cos cos01f e e =-==，故C 错误；对于D ：()()cos x x f x e e -=+，()()000cos cos 20f e e =+=<，且()()()cos x xf x e e f x --=+=，即()()cos x xf x e e -=+为偶函数，满足条件；故选：D22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln f x x x =⋅B ．()sin ln f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()sin ln f x x x =⋅【答案】A 【分析】由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论． 【详解】图象关于原点对称，为奇函数，选项BCD 中定义域都是{|0}x x >，不合，排除， 选项A 是奇函数． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.23．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的大致图象如下，下列选项中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．x x eB ．1x x e +C ．2x x e e --D ．x xx x e e e e--+-【答案】D 【分析】分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项. 【详解】由图可知，函数()f x 为奇函数. 对于A 选项，函数()x x f x e =的定义域为R，()()x xx xf x f x e e ---=≠-=-， 函数()xxf x e =不是奇函数，排除A 选项； 对于B 选项，函数()1x x f x e +=的定义域为R，()()11x xx x f x f x e e --+-=≠-=-，函数()1xx f x e +=不是奇函数，排除B 选项； 对于C 选项，由0x x e e --≠可得0x ≠，即函数()2x x e ef x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()2x x f x f x e e --==--，函数()2x x e e f x -=-为奇函数，()22221f e e-=<-， C 选项不满足要求；对于D 选项，由0xxe e --≠可得0x ≠，即函数x x x xe ef xe e的定义域为{}0x x ≠，()()x xx x e e f x f x e e --+-==--，函数x x x xe ef xe e为奇函数，当0x >时，()1x xx x e e f x e e--+=>-，满足题意.故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.二、多选题24．（2022·全国·高三专题练习）函数()||()af x x a R x=+∈的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【分析】根据题意，分0a =、0a >以及0a <三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．【详解】 解：根据题意，当0a =时，()||f x x =，(0)x ≠，其图象与选项A 对应，当0a >时，,0(),0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，在区间(0,)+∞上，()a f x x x =+，其图象在第一象限先减后增，在区间(,0)-∞上，()f x 为减函数，其图象与选项B 对应，当0a <时，,0(),0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，在区间(0,)+∞上，()f x 为增函数，在区间(,0)-∞上，()[()]a af x x x x x-=-+=-+-，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项D 对应， 故选：ABD ．25．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.26．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器项部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD 【分析】根据几何体的形状判断每增加一个高度需要的水是越多那么增加的比较平缓，每增加一个高度需要的水越少，那么增加的比较快，比较图象判断选项. 【详解】对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此A 不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平稳，所以B 正确；对于第三幅图，开始是下面窄，上面宽，增加同一个高度需要的水越多，因此趋势愈加平稳，过了一半以后，越往上面越窄，增加同一个高度需要的水越少，因此趋势越快，所以C 正确；对于第四幅图，开始下面宽，上面窄，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越少，因此趋势越快，过了一半以后，越往上面越宽，增加同一个高度，需要的水水越多，因此趋势越平稳，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查根据实际问题判断函数的图象，重点考查理解能力，属于中档题型. 27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数f（x）解析式的是（）A．y＝x2cos x B．y＝x cos x C．y＝x2sin x D．y＝x sin x【答案】ABCD【分析】根据图象判断函数为奇函数，且当x＞0，f（x）＞0，利用排除法进行判断即可．【详解】由图象知函数为奇函数，则排除A，D，两个函数为偶函数，当x＞0时，f（x）＞0，排除B，C，故ABCD都不成立，故选：ABCD．三、填空题28．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点，则a的值为________.【答案】1 2【分析】在同一平面直角坐标系内，作出函数图象，找出符合题意的临界条件，求出a的值，【详解】在同一平面直角坐标系内，作出函数y=2a与y=|x-a|-1的大致图象，如图所示.由题意，可知2a=-1，则a=1 2 -.故答案为：1 2 -【点睛】本题考查函数的图象，考查学生数形结合思想，属于基础题.。

学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题04 一次函数期末总复习重难点知识一遍过1一、基础知识点综述基础讲解基 础 知 识函数与变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.常见自变量取值范围：00100y x x y x xy x x =≥=≠=≠ ()() ()常量：其值在变化过程中始终保持不变的量叫常量. 变量：其值在变化过程中会发生变化的量叫变量. 正比例函数 解析式 y =kx （k ≠0）形状一条过（0,0）、（1，k ）的直线 坐标系中位置k >0时过一、三象限；k <0时过二、四象限 增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小一次函数解析式 y =kx +b （k ≠0）形状一条过（0,b ）、（bk-，0）的直线 坐标系中位置k >0，b >0时过一、二、三象限；k >0,b <0时过一、三、四象限；k <0，b >0时过一、二、四象限；k <0,b <0时过二、三、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3基 础 知 识一次函数图象的位置关系 l 1∥l 2，则k 1=k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2，则k 1·k 2=－1一次函数图象平移 上下平移与b 有关，上加下减；左右平移与x 有关，左加右减一次函数图象的对称y =kx +b 关于y 轴对称的解析式为：y =－kx +b ；y =kx +b 关于x 轴对称的解析式为：y =－kx －b ；一次函数与二元一次方程组方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与不等式会借助图象判断y =0，y <0，y >0时自变量取值范围；会借助图象判断y 1=y 2，y 1<y 2，y 1>y 2时自变量取值范围；求一次函数解析式方法待定系数法上表中，l 1：y 1=k 1x +b 1；l 2：y 2=k 2x +b 2二、典型例题讲解题1. （1）函数11y x x=+-自变量的取值范围是（2）函数()02y x x=--自变量的取值范围是（3）函数214y x x =-+自变量的取值范围是（4）在三角形中，它的一条边是a ，这条边上的高是h ，则其面积S =0.5ah ，当a 为定长时，在此式中变量是，常量是（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为（ ）【答案】（1）x ≥－1且x ≠0；（2）x >0且x ≠2；（3）全体实数；（4）S 、h ；0.5、a ；（5）B ；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4【解析】解：（1）由10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥－1且x ≠0；（2）由020x x >⎧⎨-≠⎩，解得：x >0且x ≠2；（3）由2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，得x 为全体实数；（4）由题意知S 随h 的变化而变化，所以S 和h 是变量，a 、0.5是常量；（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B .题2. （1）正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y =x +k 的图象过象限；（2）若函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，则m 的取值范围（3）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；（4）已知点A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数y =﹣x +9的图象上，则y 1y 2（5）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围成的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于（6）一次函数y =（m 2-4）x +（1-m ）和y =（m -1）x +m 2-3的图象与y 轴分别交于点P 和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =（7）函数y =－2x ＋4的图象上存在点P ，使得点P 到y 轴的距离等于1，则点P 的坐标为 . （8）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线123+-=x y 平行.则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是【答案】（1）一、二、三；（2）m <－1；（3）5，53；（4）>；（5）4或－4；（6）－1； （7）（1,2）或（－1,6）；（8）（1,4）、（3,1）；【解析】解：（1）∵正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k >0，则y =x +k 的图象过一、二、三象限；（2）∵函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5∴()10430m m +<⎧⎨-->⎩，解得：m <－1；（3）y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，可向上平移5个单位；设向右平移m 个单位，则y =－3（x －m ）－3，即－3（x －m ）－3=－3x +2，解得：m =53即向右平移53个单位； （4）y =﹣x +9中，y 随x 的增大而减小，因为A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数图象上， 而－5<10，所以y 1>y 2 （5）由题意知：12122S b b =⨯⨯-， 即121422b b =⨯⨯-解得：b 1﹣b 2=4或－4 （6）由题意知：221304010m m m m ⎧-+-=⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：m =－1； （7）点P 到y 轴的距离等于1，则P 点的横坐标为1或－1， 在y =－2x ＋4中，当x =1时，y =2；x =－1时，y =6， 即P 点坐标为（1,2）或（－1,6）；（8）设直线AB 解析式为y =kx +b ，由题意知：k =32-， 将（﹣1，7）代入得：7=32-×（－1）+b ，解得：b =112， 即直线AB 解析式为：y =32-x +112，整理得：2y +3x =11，由题意知x 、y 均为整数时，有x =1，y =4；x =3，y =1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）. 题3. （1）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，求k 、b 的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6【答案】见解析.【解析】解：①当k >0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =3；x =4，y =6，代入y =kx +b 得：346k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ②当k <0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =6；x =4，y =3，代入y =kx +b 得：643k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17k b =-⎧⎨=⎩即k =1，b =2或k =－1，b =7.（2）如图3-1,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4),则不等式2x <ax +4的解集为图3-1【答案】x <2.【解析】解：因为函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4)， 所以当y =4时，x =2，由图象知：不等式2x <ax +4的解集为x <2.（3）甲骑摩托车从A 地去B 地,乙开汽车从B 地去A 地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s (千米)，甲行驶的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中正确结论是.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7图3-2【答案】①②④.【解析】解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a 千米/小时， 则120140a=+，解得：a =80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的结论是①②④.题4. 如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的AB 边在x 轴上,AB =3,AD =2,经过点C 的直线y =x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．（1）求：①点D 的坐标；②经过点D ,且与直线FC 平行的直线的函数表达式；（2）直线y =x ﹣2上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M ,使得以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图4-1【答案】见解析.【解析】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，∴2=m﹣2，解得m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；（2）存在．∵△EBC为等腰直角三角形，∴∠CEB=∠ECB=45°，∵DC∥AB，∴∠DCE=∠CEB=45°，∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，如图4-2所示，图4-2①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，8【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∵点D 的坐标为（1，2）， ∴点P 1的横坐标为1，把x =1代入y =x ﹣2得，y =﹣1，即P 1（1，﹣1）；②当∠DPC =90°时，作DC 的垂直平分线与直线y =x ﹣2的交点即为点P 2， 点P 2的横坐标为52， 将x =52代入y =x ﹣2得，y =12，即P 2（52，12）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（1，﹣1）、（52，12）； （3）当y =0时，x ﹣2=0，解得x =2， ∴OE =2，∵以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ①若DE 是对角线，则EM =CD =3， OM =EM ﹣OE =3﹣2=1， 点M 的坐标为（﹣1，0），②CE 是对角线，则EM =CD =3，OM =OE +EM =2+3=5， 点M 的坐标为（5，0），③CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为（52，2）， 设点M 的坐标为（x ，y ）， 则2522x +=，22y=， 解得x =3，y =4，此时，点M 的坐标为（3，4），综上所述，点M 的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．题5. 小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min 才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m /min ．设小华出发x （min ）行走的路程为y （m ），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y （m ）与x （min ）之间的函数关系．（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m ，他途中休息了＿＿＿＿＿min ； （2）当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？图5-1【答案】（1）3600，20；（2）（3）见解析. 【解析】解：（2）①当50≤x ≤80时， 设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 根据题意，当x =50时，y =1950； 当x =80时，y =3600，得：195050360080k bk b =+=+⎧⎨⎩解得k =55，b =－800，∴函数关系式为：y =55x －800；（3）缆车到山顶的线路长为3600×2=1800米， 缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟， 把x =60代入y =55x ﹣800，得y =55×60﹣800=2500， ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.题6. 某校运动会需购买A 、B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元.(1)求A 、B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍.设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值.【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【解析】解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得：60329553x y x y =+=+⎧⎨⎩， 解得：1015x y ==⎧⎨⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W =10m +15（100-m ）=-5m +1500∴()150051150310m m m -≤≤-⎧⎨⎩， 解得：70≤m ≤75．∵m 是整数，∴m =70，71，72，73，74，75．在W =-5m +1500中，∴-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m =75时，W 最小=1125．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．题7. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx ＋4(k ≠0)与y 轴交于点A .(1)如图，直线y =-2x ＋1与直线y =kx ＋4(k ≠0)交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为－1.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y =－2x ＋1与直线y =kx ＋4与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；(2)直线y =kx ＋4(k ≠0)与x 轴交于点E (x 0，0)，若－2＜x 0＜－1，求k 的取值范围．【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12【解析】解：（1）①∵直线y =-2x +1过点B ，点B 的横坐标为-1，∴y =2+1=3，即B （-1，3），∵直线y =kx +4过B 点，∴3=-k +4，解得：k =1；②∵k =1，∴直线AB 的解析式为：y =x +4，∴A （0，4），在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，∴C （0，1），∴AC =4-1=3， ∴△ABC 的面积为：12×1×3=32； 故答案为：32； （2）∵直线y =kx +4（k ≠0）与x 轴交于点E （x 0，0），-2＜x 0＜-1，∴当x 0=-2，则E （-2，0），代入y =kx +4得：0=-2k +4，解得：k =2，当x 0=-1，则E （-1，0），代入y =kx +4得：0=-k +4，解得：k =4，故k 的取值范围是：2＜k ＜4．中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。