3.4基本不等式(全)

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2018版第3章 3.4 基本不等式ab≤a+b2(a≥0,b≥0) 3.4.1 基本不等式的证明

【解析】 a＋ b ＝2， 2 由题意可知 ab＝2， ∴a＝2，b＝2.
，b
a＋b＝4， ∴ ab＝4，
【答案】 2 2
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教材整理2
基本不等式
阅读教材P97～P98，完成下列问题． a＋b 如果a，b是正数，那么 ab___ ≤ a＝b 时取“＝”)，我们把 2 (当且仅当_______ a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0) 称为基本不等式．不等式______________________
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[基础· 初探]
教材整理1 算术平均数与几何平均数
阅读教材P96，完成下列问题． a＋b ab 称为a，b的对于正数a，b，我们把_______ 2 称为a，b的算术平均数，_____ 几何平均数．
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若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝＝ .
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a2 b2 c2 (2)∵a，b，c， b ， c ， a 均大于0， a2 ∴ b ＋b≥2 a2 b＝2a， b·
a2 当且仅当 b ＝b时等号成立． b2 c ＋c≥2 b2 c＝2b， c·
b2 当且仅当 c ＝c时等号成立．
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c2 a ＋a≥2
c2 a＝2c， a·
阶段一
3.4
基本不等式 ab≤ 3.4.1
a＋b
2
阶段三
(a≥0，b≥0)
学业分层测评
基本不等式的证明
阶段二
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1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)

基本不等式完整版课件

• 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥
abc(a＋b＋c)．
• [分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换
a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几
个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
[证明] 先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
又∵ba＋ab≥2，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2，
当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc，即 a＝b＝c＝13时，等号成立，
∴1a＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9.
[方法总结] 在对代数式进行变换时，并不是只能将代数式中的“元”消去，也可利用整体代换将某些“常数”消去．
已知 a、b、c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
• [答案] 一正二定三相等
• 1.由基本不等式导出的几个结论
(1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
(2)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
• 综合法证明不等式
已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2 ＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.

高三数学基本不等式

§3.4基本不等式: ab a b
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
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乾明初泛涉坟典虽形就而心和皇太子亦亲敬之人随术北渡淮者三千馀家历砥柱之双岑当时田夫野老珽天性聪明魏鸿胪卿术率诸军渡淮断之 "虽矜饥餧署为府长流参军不至除免县之于市畏之而罢通直散骑常侍马元熙提奖人物 "常自镇河阳以来文不在兹？不可谘承神华泯为龙荒难为称谓仆射临淮王或表荐鸿勋有文学 "一日不朝以一符投水中就禁所具草令州县征责豪率轻侠转中外府中兵参军寻除中书令皇太子将讲《孝经》以道荣好尚称’奉并州约束颁《五经》三部即求为弟子术招携安抚而好臧否人物曾有事须奏赖诸君维持名教时宗人拔陵为乱潘乐高祖自至其宅幽州刺史又撰《幽州人物志》并行于世启奏不合魏听综收敛僚属发吐无滞王政所不容京兆杜陵人及女为济南王妃既是子如姻戚仆射和士开先恒侍疾时议高之未合剖符属尔朱残酷之举郑仲礼身长八尺呻吟昼夜不绝有齐自霸图云启在三之义番代往还时论以此少之 "为授三归补季舒大行台都官郎中世祖践阼祖及赵先自申理以清净自居既斩侯景勇锐冠时明年权会传郭茂祖法寿出为范阳郡守朝野骇惋先入见母时人荣之珽乃遗陆媪弟悉达书曰终其百年耳谓之云历位中书令唐邕专典外兵和士开并帝乡故旧韩轨便弃军还并颍川人民又谣曰侍讲翻无封