第六讲 立体几何模型化思想.ppt

例题一．客观题 1.（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4， 则下列结论一定正确的是（ ） A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
解： 在正方体中， 若 AB 所在的直线为 l2，CD 所在的直线为 l3， AE 所在的直线为 l1， 若 GD 所在的直线为 l4，此时 l1∥ l4， 若 BD 所在的直线为 l4，此时 l1⊥l4， 故 l1 与 l4 的位置关系不确定， 故选：D
球心到△ABC 的外接圆圆心的距离 d=1 故球的半径 R= 故选 D = =
例题二.解答题
5.如图，AB 是圆 O 的直径，P A 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点． (1)求证：BC⊥平面 P AC； (2)设 Q 为 P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG∥平面 PBC
E,F 分别是 AC,PC 的中点 ,∴ EF∥ PA, ∵三棱锥 P-ABC 为正棱锥 ,∴ PA⊥ BC(对棱互相垂直 ),∴ EF⊥ BC, 又∵ EF⊥ BF,而 BF∩ BC=B,∴ EF⊥平面 PBC,∴ PA⊥平面 PBC, ∴∠ APB=∠ APC=90° ,结合△ APB≌△ BPC 可知∠ BPC=90° . 以 PA,PB,PC 为从同一顶点 P 出发的正方体三条棱 , 将此三棱锥补成正方体 ,则它们有相同的外接球 , 正方体的体对角线就是外接球的直径 .因为 AB=2, 所以 PA=
证明：(1)由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC. 由 P A⊥平面 ABC，BC 又 P A∩AC＝A，P A 所以 BC⊥平面 P AC. 平面 ABC，得 P A⊥BC. 平面 P AC， 平面 P AC，AC
(2)连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为△AOC 的重心， 得 M 为 AC 中点． 由Q为P A 中点，得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM∥BC. 因为 QM∩MO＝M，QM MO BC 平面 PBC，PC 平面 QMO， 平面 QMO，BC∩PC＝C， 平面 PBC，
三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相等（即为等腰四面体），所以把它扩展为长方 体，它也外接于球，设三棱锥 A-BCD 三条棱为 则 ， ，长方体的棱长为 ，
，且此长方体的面对角线的长分别为:2， ， 体对角线的长为球的直径， 2
答案为②④⑤

变式训练 1.已知正三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别是 AC,PC 的中点 , 若 EF⊥BF,AB=2,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为
2． （2014•新课标 I）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画 出的是某多面体的三视图， 则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度 为（ ）
A．6
B．6
C．4
D．4
3.（2012·安徽文改编）若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB ＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________( 写出所有正确结论的编号)． ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体 ABCD 每个面的面积相等； ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小 于 180°； ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分； ⑤三棱锥 A-BCD 中，AB=2，AD＝ 球的表面积为 8π ，AC＝ 则四面体 ABCD 的外接
因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点， 所以 DE⊥PC，因为 PC∩BC=C， 所以 DE⊥平面 PBC， 由 BC⊥平面 PCD，DE⊥平面 PBC， 可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体 EBCD 是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB
若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2， 求 的值．
（Ⅰ）证明：因为
PD⊥底面 ABCD，所以 PD⊥BC，
因为 ABCD 为正方形，所以 BC⊥CD， 因为 PD∩CD=D，所以 BC⊥平面 PCD， 因为 DE⊂平面 PCD，所以 BC⊥DE，
.
6 ,∴ 2R=PA=
6
(R 为外接球的半径 ) ,
∴三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 S=4πR2=4π=6π.
变式训练 2.（2014•模拟）三棱锥 P﹣ABC 中， 底面△ABC 是边长为 2 的正三角形， PA⊥底面 ABC，且 PA=2， 则此三棱锥外接球的半径为（ ）
根据已知中底面△ABC 是边长为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC， 可得此三棱锥外接球， 即为以△ABC 为底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球 ∵△ABC 是边长为 2 的正三角形， ∴△ABC 的外接圆半径 r= ，
所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO， 所以 QG∥平面 PBC.
五、双垂四面体（三节棍模型） 三条棱 AB、BC、CD 两两互相垂直的四面体 ABCD， 这种四面体构成许多简单多面体的基本图形， 不妨称为双垂四面体， ①它的四个面都是直角三角形； ②CD⊥平面 ABC，AB⊥平面 BCD； ③相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一 节所在平面的垂线（即 BE⊥面 ACD ，CF⊥面 ABC） ， 此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们也把它称为“三节棍” 模型。
第六讲 立体几何模型化思想
一、长方体模型 1.长方体 中 是长方体的对角线，它有几个结论：
①体对角线长是： ②若体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为 ，则
③若体的对角线与一个端点的三个面所成的角分别为
，则
④考虑四面体 即
是对棱长分别相等的四面体， ，对棱长分别是
二．正方体
①正方体的体对角线垂直于异面的面对角线
例题二.解答题
5.如图，AB 是圆 O 的直径，P A 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点． (3)求证： cos PBC cos PBA cos ABC
五、双垂四面体（三节棍模型） 如图 3，四面体 A－BCD，AB⊥面 BCD，CD⊥面 BCA，这种四面体构成许多简单多 面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质： （1）它的四个面都是直角三角形； （2） ；
②11
种展开图
第一类：有四个面在一条线上，有 6 种情形，如下所示：
第二类：恰好最多有三个面在一条线上，有四种情形，如下所示：
第三类：最多有两个面在一条直线上，只有一种情形，如图 11 所示．
③. 用 一 个 平 面 截 正 方 体 。
可得 到三 角形 、矩 形、正 方 形、五 边 形、六 边形 、正 六边 形、 菱 形、梯 形 。
6 a= 3
；
③对棱互相垂直且对棱的距离 d=
④外接球半径
R=
；
⑤内切球半径
r=
.
⑥正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高)
五、双垂四面体（三节棍模型） 三条棱 AB、BC、CD 两两互相垂直的四面体 ABCD， 这种四面体构成许多简单多面体的基本图形， 不妨称为双垂四面体， ①它的四个面都是直角三角形； ②CD⊥平面 ABC，AB⊥平面 BCD； ③相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一 节所在平面的垂线（即 BE⊥面 ACD ，CF⊥面 ABC） ， 此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们也把它称为“三节棍” 模型。
三、直角四面体（ “墙角 ”模型） 在三棱锥 中， ，且 .
①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形； ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心；
③体积
V=
；
④外接球半径
R=
；
四、正四面体
正四面体的性质：设正四面体的棱长为 ① 表面积 V S
表
，
=
；
②体积
1 3
3 a2 4
=12，
在三个直角三角形 EBA，EBG，EBC 中，斜边 AE=EC=ED， ∵AE⊥EC，∴△EAC 为等腰三角形， 则 AE2+EC2=AC2=12 ，即 2AE2=12， ∴AE2=6，则 AE= ，∴从而得 AE=EC=ED= ，
∴△EAC 的面积 S= =3， 在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 EF⊥ AD 于 F， 则 AE= 则 EF= ，AF= = ， = ， ，
解： （Ⅱ）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC=120° ， 得 AG=GC= x，GB=GD= ，
∵AE⊥EC，△EBG 为直角三角形， ∴BE= x， = = ，
∵三棱锥 E﹣ACD 的体积 V= 解得 x=2，即 AB=2， ∵∠ABC=120° ，
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2× 即 AC= ，
（ II）解：作 DE⊥PB 于 E，已知 PD⊥底面 ABCD， 则 PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又 BC∥AD， ∴BC⊥BD． 故 BC⊥平面 PBD，BC⊥DE， 则 DE⊥平面 PBC． 由题设知 PD=1，则 BD= ，PB=2． ，
根据 DE•PB=PD•BD，得 DE= 即棱锥 D﹣PBC 的高为 ．
∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为 S= 故该三棱锥的侧面积为 3+2 ．
5． （2012•湖南）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD， 底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD． （Ⅰ）证明：BD⊥PC； （Ⅱ）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30° ， 求四棱锥 P﹣ABCD 的体积．
4． （2015•新课标 I）如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD．