中考复习一线三等角构相似经典题型分类训练

典型例题【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC(2)v^ BDECFD• FC CD "BD BE •/ BD=1 , FC=3, CD=5 • BE=53点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,求证：△ BDE DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:•/ AB=AC ,Z EDF = / B•••/ B= / C=Z EDF•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFDBE DE 又••• BD=CDCD DF BE DEBE BD•-即BD DF DE DF•••/ EDF = Z B中考热点5――三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BECD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5∴BE =35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ； （2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

（挑战压轴）专项27.4 相似三角形-一线三等角综合应用【方法技巧】1. 如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角） 如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。

2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。

【类型1：标准“K ”型图】1．（2021秋•长安区期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处（1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）已知AB ＝3，AD ＝5，求tan ∠DAE 的值．2.如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交CD 于F ，交AD 的延长线图2图1CB BC C B A AA于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．3.已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若OP与P A的比为1：2，求边AB的长．4.（2020•香洲区校级一模）如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB上一点（点M不与点A、B重合），连接CM，过点M作MN⊥MC，MN与边BD交于点N．（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；（2）直接写出：当DN最小时△MNB的面积为．5．（2019•玉州区二模）已知：如图，正方形ABCD中，E是边AB上一点，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N．（1）求证：MN＝DM﹣AM；（2）连接AN，如果＝，求证：MN＝ME．6．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．【类型2：做辅助线构造“K”型图】7．（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB 于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积．【类型3：特殊“K”型图】8．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为．9．（2020秋•南京期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．10.如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．。

中考热点5――三等角型相似三角形式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6, D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC(2)v^ BDECFD• FC CD "BD- BE•/ BD=1 , FC=3, CD=5BE=5点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,求证：△ BDE DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:•/ AB=AC ,Z EDF = / B•••/ B= / C=Z EDF•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFD BE DE 又••• BD=CDCD DF BE DEBE BD•-即BD DF DE DF•••/ EDF = Z B三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 A•••△BDE s\ DFE点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D是底边中点则有三对相似三角形，△ BDE与厶CFD相似后若得_BD = 匹加上BD=CD可证得△ CFD与厶DFE相似CF DF【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使/ APM = Z B;(1)求证：△ ABPPCM ;(2)设BP=x, CM=y .求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.(3)当厶APM为等腰三角形时，求PB的长. 【思路分析】第(1) (2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。

“一线三等角”构相似经典题型分类训练 (时间:90分钟 满分:100分)班级 成绩 .类型一 普通角1. (2分)如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a °,点P 在线段AB上,AP= 时,∠CPD=a °．2. (2分)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,D 是边BC 上一动点（不与点B,C 重合）,∠ADE=∠B=α,DE 交AC 于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE 长的最大值为6.4；③当AD=DC 时,BD 的长为439.其中,正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③3. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点D 为BC 上一点，BD=2．过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B ．（1）求证:AD AB ＝DEDC ； （2）求线段EC 的长度．4. (8分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是AB 上一点，BD=2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF=∠B ，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；5. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合）连结AD ，作∠ADE=∠B ，DE 交线段AC 于E ．求证: (1)AD 2=A E ·AC (2) AB·EC=BD·CD6. (8分) 如图①，在△ABC 中，AC=BC ，点D 是线段AB 上一动点,∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF ，射线DE 与边AC 交于点M ，射线DE 与边BC 交于点N ，连接MN ．（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图②，在上述条件下，当点D 运动到AB 的中点时，求证：在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值．类型二 45°或60°角7. (2分)如图,在Rt △ABC 中，已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过D 作∠ADE=45°,DE 交AC 于E ，若,CE=1,则BD= .第7题图 第8题图 第9题图 8. (2分)如图,等边三角形ABC 中，D 、E 分别在BC 、AB 上,且∠ADE=60°,CD=2cm,BE=56cm,则AB= . 9. (2分)如图,△ABC 是等边三角形,点D 在边BC 上（点D 不与点B 、C 重合）,连结AD ,以AD 为边作∠ADE =∠ABC ,DE 交边AC 于点E,若AB =2,则EC 的最大值是 .10. (6分)已知:如图,△ABC 是等边三角形,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,∠ADE=60°.AB=3,EC=32,求DC 的长11. (6分)如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=∠C=60°,AB=3,BC=7,P 为BC 边上的一点（不与B 、C 重合）,过点P 作∠APE=60°,PE 交CD 于点E ．若CE=3,求PE 的长．类型三 90°角12. (2分)矩形ABCD 中,点E ，F 分别在AD 、CD 上，且BE ⊥FE ，则图中的三角形①，②，③，④一定相似的是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．①②和③第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 13. (2分)如图,已知一次函数y=-21x+1的图象与两坐标轴分别交于A 、B,点C 在x 轴上,AC=4,第一象限有一个点P,且PC ⊥x 轴于点C,若以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△OAB 相似,则点P 的坐标为（ ）A ．（4,8）B ．（4,8）或（4,2）C ．（6,8）D ．（6,8）或（6,2）14. (2分)如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是CD 上一点,且CF=3FD.则图中相似三角形的对数是( )A.1B.2C.3D.415. (2分)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P 在线段AB 上,当AP 为多少时，△PAD 与△PBC 相似（ ）A.514B.1C.6D.514或1或6 16. (2分)如图,点E 在线段AB 上,CA ⊥AB 于点A,DB ⊥AB 于点B,AC=1,AB=5,EB=2,点P 是射线BD 上的一个动点,则当BP= 时,△CEA 与△EPB 相似.17. (6分)如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 上一点,AE ⊥ED,若AE=4,CE=3BE.求这个四边形的面积．18. (10分)如图，在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,点E 为BC 的中点,AE ⊥DE ．（1）求证:△ABE ∽△ECD ；（2）求证：AE 2=AB •AD ；（3）若AB=1，CD=4，求线段AD ，DE 的长．19. (10分)如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 的中点,EF ⊥EC 交AB 于F,连接FC （AB ＞AE ）．（1）求证：△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由；（3）设BCAB =k,若△AEF ∽△BCF ，则k= （请直接写出结果）．20. (10分)四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，连结DE ，CE ．（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形ABCD 为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE 的长．（3）若∠A=∠B=90°，AD ＜BC ，图中的三个三角形都相似，请判断AE 和BE 的数量关系并说明理由．参考答案 1.2或3 2.D 3.（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADC 是△ABD 的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC ，又∵∠B=∠ADE ，∴∠BAD=∠EDC ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AD AB ＝DEDC ； （2）∵△ABD ∽△DCE ，∴CD AB =CEBD ， ∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴48=CE 2，解得EC=1． 4.（1）∵AB=AC=6，∴∠B=∠C ，∵∠BDE=180°-∠B-∠BED ，∠CEF=180°-∠DEF-∠BED ，∵∠DEF=∠B ，∴∠BDE=∠CEF ，∴△DBE ∽△ECF ；（2）∵△DBE ∽△ECF ，∴CE BD ＝CFBE ， ∵F 是线段AC 中点，∴CF=21AC=3 ∴BE 52＝3BE ，∴BE=2或3； 5.(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，又∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C ，∵∠DAE=∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ；∴AC AD =ADAE ,∴AD 2=A E ·AC. (2)∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADC=∠BAD+∠B ，∠ADC=∠ADE+∠EDC∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC ，又∵∠B=∠C,∴△ABD ∽△DCE ．∴CD AB =ECBD ,∴AB ·EC=BD ·CD . 6.（1）△ADM ∽△BND ，理由如下：∵AC=BC ，∴∠A=∠B ，∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN ，∠A=∠EDF ，∴∠AMD=∠BDN ，∴△ADM ∽△BND ；（2）证明：作DG ⊥MN 于G ，DH ⊥AM 于H ，如图②，∴△ADM ∽△DNM ，∴∠AMD=∠NMD ，又DG ⊥MN ，DH ⊥AM ，∴DG=DH ，即在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值． 7.28.5 9.21 10.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC ，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE ，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD ∽△DCE,∴AB BD =DC CE . 设CD=x,则BD=3-x,∴33x -=x32,∴x=1或x=2,∴DC=1或DC=2． 11.∵∠APE+∠EPC=∠BAP+∠B,∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC 而∠C=∠B,∴△APB ∽△PEC ，∴EC BP =PC AB ， 设BP=x,则PC=7-x ，∴3x =x-74,解得：x 1=3，x 2=4， 当BP=4时，△CEP 为等边三角形，∴PE=CP=3，当BP=3时，PE=13，∴PE 的长度为3或13．12.B 13.D 14.C 15.D 16. 6或32,面积为18.（1）证明：∵AE ⊥DE ，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°，又∵∠ABC=∠BCD，∴△ABE∽△ECD；19.（1）∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE，∵∠A=∠D=90°，∴△AEF∽△DCE；（2）△AEF∽△ECF．证明如下：延长FE与CD的延长线交于G，∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，∴Rt△EFC≌Rt△EGC．∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．又∵∠A=∠FEC=90°，∴Rt△AEF∽Rt△ECF；(3) 23点拨:要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当∠AFE=∠FCB 时，那么∠AFE 就和∠BFC 互余，因此∠EFC 就是直角，而∠FEC 也是直角因此这种情况是不成立的．当∠AEF=∠FCB 时，AE ：BC=AF ：BF ，那么由于E 是AD 中点，因此BC=2AE ，所以我们可得出BF=2AF ，即AB=3AF ，又根据（1）中AF=GD ，AB=CD ，我们可在△CEG 中根据△EGD 和△EDC 相似，得出关于GD 、ED 、DC 的比例关系，也就是AF 、AB 、AE 的比例关系，有了AB=3AF ，就能求出ED 与AF 的比例关系，也就求出了BC 与AF 的比例关系，以AF 为中间值即可得出AB 与BC 的比例关系，也就求出了k 的值．20.（1）△DAE ∽△EBC ，理由是：∵∠A=∠DEC=50°，∴∠ADE+∠DEA=180°-∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°-∠DEC=130°，∴∠ADE=∠CEB ， ∵∠A=∠B ，∴△DAE ∽△EBC ；（2）设AE=x ，则BE=5-x ，∵∠ADE ＜90°，∠ECB ＜90°，∴∠DEC=90°，∴△DAE ∽△EBC ，解得：x=1或4，即AE=1或4；（3）AE=BE 或BE=2AE ，理由是：①当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE ≠∠CEB ，可得∠DCE=∠BCE ，所以△DEC ∽△DAE ∽△EBC ，②当∠DEC≠90°时，∵△ADE∽△BCE，∠DEA=∠CEB，。

一线三等角问题一、问题引入如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。

求证：△ABC ∽△CEDB EADC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）AB DCEF（直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．FD CD (备用图)（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。

变式练习1就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。

变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.变式练习2（宝山22题）如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2BF CE AB ⋅=；FE CBA（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，42BC =，∠45B =˚，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .\第18题EFDCBA例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=13，试用x 的代数式表示y ．（3）坐标系中一线三等角例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．变式练习3、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知0060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为()1,3-（1） 求点B 的坐标；（2） 若抛物线c bx ax y ++=2经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。

考向5.12 一线三等角下的相似三角形专题一、单选题1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形ABCD的顶点B A、分别落在x轴y轴上，4OB OA==，AB=2BC则点C的坐标是（）A．()9,3B．(9,C．(4+D．(2,+2．（2020·浙江台州·一模）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF 的长为（）A．163B．4 C．3 D．23．（2020·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝3x（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝mx上运动，则m的值为()A．-9B．-12C．-15D．-18二、填空题4．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 是边BC 上一点，将△ABC 沿EF 折叠使点A 与点D 重合，若BD : DE =2 : 3，则CF=____．5．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠D =120°，AB =6、AD =4，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上（点E 与点A 、D 不重合），若∠BEF =120°，AE =x 、DF =y ，则y 关于x 的函数关系式为________6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 的四个顶点分别在双曲线y ＝2x和y ＝k x 上，且对角线相交于原点O ，BD ＝2AC ．平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E ，F ，则 OEF 的面积为_____．7．（2019·浙江·九年级期末）已知ABC 是等边三角形，6AB =，点D ，E ，F 点分别在边,,AB BC AC 上，:2:3BD BE =，DE 同时平分BEF ∠和BDF ∠，则BD 的长为_____．8．（2021·山西·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边DC 上一点，连结BE ，将BCE 沿BE 对折，点C 落在边AD 上点F 处，BE 与对角线AC 交于点M ，连结FM ．若//FM CD ，4BC =．则AF =______．9．（2021·江苏苏州·九年级阶段练习）一块含有30 角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，若顶点A的坐标为(0,1)，直角顶点C的坐标为()y，则点B的坐标为______.一、单选题1．（2012·江苏徐州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=14BC．图中相似三角形共有【】A．1对B．2对C．3对D．4对2．（2018·四川攀枝花·中考真题）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB 为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2018·山东聊城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．（﹣91255，）B ．（﹣12955，）C ．（﹣161255，）D ．（﹣121655，）4．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上，若点B 的横坐标为72-，则点A 的坐标为（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B．C ．12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．5．（2020·湖南郴州·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x =<交于点B ，连接AB ．已知2AO BO =，则12k k =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-6．（2020·湖北·中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x=和2k y x =的图象上，若120BAD ∠=︒，则12k k =（ ）A ．13B ．3CD7．（2019·内蒙古巴彦淖尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（ ）A ．78-B ．34-C ．1-D ．08．（2019·四川达州·中考真题）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，已知//AD BC ，AB BC ⊥，3AB =，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠，点B 落在点B '处，过点B '作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于M ，N 两点，当B '为线段MN 的三等分点时，BE 的长为（ ）A ．32B C ．32D 二、填空题10．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将OAD △沿直线OD 折叠后得到'OA D △，若反比例函数()0k y k x=≠的图象经过'A 点，则k 的值为_______．11．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使3OB OA =，当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k y x=上移动，则k 的值为___________．12．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．13．（2020·江苏无锡·中考真题）二次函数233y ax ax =-+的图像过点()6,0A ，且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为__________．14．（2019·辽宁锦州·中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC 放在直角坐标系中，使直角顶点C 与原点O 重合，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝﹣4x和y ＝k x 的图象上，则k 的值为___．15．（2019·山东济南·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC E 为CD 边上一点，将△BCE 沿BE 折叠，使得C 落到矩形内点F 的位置，连接AF ，若tan ∠BAF ＝12，则CE ＝_____．16．（2019·内蒙古巴彦淖尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知()()1,0,0,2A B -，将ABO ∆沿直线AB 翻折后得到ABC ∆，若反比例函数()0k y x x=<的图象经过点C ，则k =_____．17．（2019·四川凉山·中考真题）如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．18．（2019·浙江台州·中考真题）如图，直线123l l l ，A ，B ，C 分别为直线1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线2l 于点D ．设直线1l ，2l 之间的距离为m ，直线2l ，3l 之间的距离为n ，若90ABC ∠=︒，4BD =，且23m n =，则m n +的最大值为_____．19．（2019·四川南充·中考真题）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB=24,BC=5,给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为，其中正确的结论是_________（填写序号）.20．（2013·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数1y x =的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数k y x =的图象上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，，则k=_____．21．（2021·山东济南·中考真题）如图，一个由8个正方形组成的“C ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M ，N ，O ，P ，Q 都在矩形ABCD 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB 的长为__________．22．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．23．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在Rt ABC 中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中：①BF CE =；②AEM DEM ∠=∠；③AE CE -=；④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF =；⑥CF DM BM DE = ，正确的有___________．（只填序号）24．（2019·湖南岳阳·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)①AM 平分∠CAB ；②AM 2＝AC •AB ；③若AB ＝4，∠APE ＝30°，则 BM 的长为3π；④若AC ＝3，BD ＝1，则有CM ＝DM25．（2019·河南·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3a 5BE =．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．三、解答题26．（2021·广西桂林·中考真题）如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，点E 为BC 中点，AE ⊥DE 于点E ．点O 是线段AE 上的点，以点O 为圆心，OE 为半径的⊙O 与AB 相切于点G ，交BC 于点F ，连接OG ．（1）求证：△ECD ∽△ABE ；（2）求证：⊙O 与AD 相切；（3）若BC ＝6，AB ＝⊙O 的半径和阴影部分的面积．27．（2021·湖南常德·中考真题）如图，在Rt AOB 中，AO BO ⊥，AB y ⊥轴，O 为坐标原点，A 的坐标为(n ，反比例函数11k y x=的图象的一支过A 点，反比例函数22k y x =的图象的一支过B 点，过A 作AH x ⊥轴于H ，若AOH △（1）求n 的值；（2）求反比例函数2y 的解析式．1．D【解析】【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到CD=AB ，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO ，进而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO ，∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△BCE ∽△ABO ，∴CECB BEBO AB AO ==，∵ 4,OB OA ==∴8==，∵AB=2BC ，∴BC=12AB=4，∵12CE CB BE BO AB AO ===，∴BE=2∴∴C（，故选：D ．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．C【解析】【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得AF DEAB AD=，即可求解．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∴∠BAG+∠DAE=90°∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∴BF垂直平分AG∴∠ABF+∠BAG=90°∴∠DAE=∠ABF，∴△ABF∽△DAE∴AF ABDE AD=即648AF=解之：AF=3．故答案为：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．A【解析】【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA与OB的比，设出点B的坐标，再根据相似三角形的性质，求出点A的坐标，可得ab的值，进而求出m的值．【详解】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴tan30°=AO BO =∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，∴∠OBN=∠AOM ，∵∠BNO=∠AMO=90°，∴△BNO ∽△OMA ，∴BN BO NO OM AO AM===∴设ON=a ，BN=b ，则，，∴B （-a ，b ），A ），∵点A 在反比例函数y ＝3x上，=3，∴ab=9，∵点B 在反比例函数y ＝m x上，∴-a×b=m=-9，故选A.【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键．4．2.4【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠EDF =∠A ，DF =AF ，再由等边三角形的性质可得∠EDF =60°，∠BDE +∠CDF =∠BDE +∠BED =120°，从而得到∠CDF =∠BED ，进而得到△BDE ∽△CFD ，再由BD : DE =2 :3，可得到23CF BD DF DE ==，即263CF CF =-，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠EDF =∠A ，DF =AF ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∴∠EDF =60°，∴∠BDE +∠CDF =180°-∠EDF =120°，∵∠B =60°，∴∠BDE +∠BED =180°-∠B =120°，∴∠BDE +∠CDF =∠BDE +∠BED ，∴∠CDF =∠BED ，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD DE CF DF = ，即23CF BD DF DE ==，∵等边△ABC 的边长为6 ，∴263CF CF =- ，解得： 2.4CF = ．故答案为：2.4【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．21263y x x =-+【解析】【分析】根据题意证明ABE DEF △△∽，列出比例式即可求得y 关于x 的函数关系式【详解】解： ∠A =∠D =120°，∠BEF =120°，60AEB DEF DEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=︒AEB DFE∴∠=∠∴ABE DEF△△∽AE DF AB DE∴=AB =6、AD =4，AE =x 、DF =y ，64x y x∴=-∴1(4)6y x x =-即21263y x x =-+(04)x <<故答案为：21263y x x =-+【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．5【解析】【分析】作AM x ⊥轴于M ，DN x ⊥轴于N ，易证得AOM ODN △∽△，根据系数三角形的性质即可求得k 的值，然后根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得OEF 的面积．【详解】解：作AM x ⊥轴于M ，DN x ⊥轴于N ，四边形ABCD 是菱形．AC BD ∴⊥，12OD BD =，12OA AC =，90AOM DON ODN DON ∴∠+∠=∠+=︒，2OD OA =，AOM ODN ∴∠=∠，90AMO OND ∠=∠=︒ ，AOM ODN ∴∆∆∽，∴2()AOM ODN S OA S OD∆∆=，A 点在双曲线2y x =，2BD AC =，1212AOM S ∆∴=⨯=，12OA OD =，∴211(2ODN S ∆=，4ODN S ∆∴=，D 点在双曲线(0)k y k x=<上，∴1||42k =，8k ∴=-，平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E ，F ，1128522OEF OEG OFG S S S ∆∆∆∴=+=⨯+⨯=，故答案为5．【点拨】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的判定和性质、菱形的性质，作出辅助线构建相似三角形求出反比例函数的解析式是解题的关键．7．145【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE ，∠BED=∠FED ，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE ，BD=DF ，BE=EF ，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，DE 同时平分BEF ∠和BDF ∠，BDE FDE ∴∠=∠，BED FED ∠=∠，在BDE ∆与FDE ∆中，BDE FDE DE DE BED FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BDE FDE ASA ∴∆≅∆，DBE DFE ∴∠=∠，BD DF =，BE EF =，ABC ∆ 是等边三角形，60A ABC C ∴∠=∠=∠=︒，60DFE ∴∠=︒，120ADF AFD AFD CFE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF CFE ∴∠=∠，ADF CFE ∴∆∆∽，∴AD DF AF CF EF CE==，:2:3BD BE = ，∴设2BD DF x ==，3BE EF x ==，62AD x ∴=-，63CE x =-，∴622363x x AF CF x x-==-，93CF x ∴=-，42AF x =-，6AF CF += ，93426x x ∴-+-=，75x ∴=，1425BD x ∴==．故答案为：145．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．8．2【解析】【分析】由折叠的性质可得∠BCM=∠BFM ，BC=BF ，再由FM ∥CD ，可得∠BFM=∠ABF ，从而得△ABF ∽△BCA ，由相似三角形的性质求得AB ，进而由勾股定理可求解．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB ∥CD ，//FM CD ，∴FM ∥AB ，∴∠BFM=∠ABF ，由折叠的性质可得：∠BCM=∠BFM ，BC=BF=4，∴∠ABF=∠ACB ，∴△ABF ∽△BCA ，∴AB BF BC CA=，∴4AB =，即22216164AB AB =+，∴28AB =-，∴2AF ====；故答案为2．【点拨】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理及折叠的性质，关键是证明三角形的相似，进而根据相似三角形的性质进行求解．9．()-【解析】【分析】过点B 作BD ⊥OD 于点D ，根据△ABC 为直角三角形可证明△BCD ∽△CAO ，设点B 坐标为（x ，y ），根据相似三角形的性质即可求解．【详解】过点B 作BD ⊥OD 于点D ，∵△ABC 为直角三角形，∴90BCD ACO ∠+∠=︒，∴△BCD ∽△CAO ，∴BD CO CD AO=，设点B 坐标为(x ,y )，=，∴y x =，∴BC =AC =2，∵有图知，30B ∠=︒，∴AC BC ==解得：x =-则y =3.即点B 的坐标为()-.故答案为()-【点拨】本题考查了坐标与图形性质、相似三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是要求出BC 和AC 的值和30度角的三角函数联系起来，作辅助线构造直角三角形为三角函数作铺垫．参考答案：1．C【解析】【详解】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：同已知，设CF=a ，则CE=DE=2a ，AB=BC=CD=DA=4a ，BF=3a ．根据勾股定理，得，AE=，AF=5a ．∴CF CE EF 1DE DA AD 2===，CF CE EF EF EA AF ===DE DA AE EF EA AF ===．∴△CEF ∽△DAE ，△CEF ∽△EAF ，△DEA ∽△EFA ．共有3对相似三角形．故选C ．2．C【解析】【详解】分析：利用相似三角形的性质与判定得出y 与x 之间的函数关系式进而得出答案．详解：如图所示：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB ，又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA ∽△AOB ，∴OB OA AB DA DC AC===tan30°，则1x y =-故（x ＞0），则选项C 符合题意．故选C ．点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键．3．A【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±35（负数舍去），则NO=95，NC1=125，故点C的对应点C1的坐标为：（-95，125）．故选A．【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．4．A【解析】【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，∵点A 在函数()10y x x =>的图象上，点C 在函数()40y x x=-<的图象上，∴2OCE S =△，12OAF S =△，∵CE ⊥x 轴，∴90CEO ∠=︒，90OCE COE ∠+∠=︒，∵在矩形OABC 中，90AOC ∠=︒，∴90AOF COE ∠+∠=︒，∴OCE AOF ∠=∠，∴OCE AOF △△，∴2CE OE OF AF ===，∴2CE OF =，2OE AF =，设点A 坐标为1(,)x x，则点B 坐标为2(,2,)x x -，连接AC 、BO 交于点P ，则P 为AC 、BO 的中点，∴27(2x x +-=-，解得：112x =，24x =-（不合题意，舍去），∴点A 坐标为1(,2)2，故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k 的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A 与点C 的坐标关系．5．B【分析】分别作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，证明△AOE ∽△OBF 得到2(4AOE BOF S AO S BO∆∆==，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．【详解】解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，如图，则∠AEO=∠BFO=90°，∴∠AOE+∠OAE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOF+∠AOE=90°，∴∠OAE=∠BOF ，∴△AOE ∽△OBF ，∴2()4AOEBOF S AO S BO ∆∆==，即121||2=41||2k k ，∴12||=4||k k ∵10k ＞，20k ＜，∴124k k =-．故选：B ．【点拨】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出4AOE BOFS S ∆∆=是解题的关键．6．B【解析】据对称性可知，反比例函数1k y x=，2k y x =的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O ．如图：作CM ⊥x 轴于M ，DN ⊥x 轴于N ．连接OD ，OC ．证明COM ODN ∽，利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：根据对称性可知，反比例函数1k y x=，2k y x =的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O ，,OD OC ⊥如图：作CM ⊥x 轴于M ，DN ⊥x 轴于N ．连接OD ，OC ．∵DO ⊥OC ，∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，∴∠COM=∠ODN ，∵∠CMO=∠DNO=90°，∴COM ODN ∽， 2221112,12COMODN k k S CO S OD k k ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ 菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O,120BAD ∠=︒,60,OCD ∴∠=︒ 90,COD ∠=︒tan 60DO CO∴︒=CO DO ∴=22211,3k CO OD k ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭123.k k ∴=故选B ．【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥ ，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=，设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-，23x x y∴=-，即：21322y x x =+∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b 当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=，此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭b 的最大值为78-．故选A ．【点拨】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．8．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到OA BC ==①正确；②由点D 为OA的中点，得到12OD OA ==，根据勾股定理即可得到2222272PC PD CDOC OD +==+=+= ，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2PF EF PE a =-=-，根据三角函数的定义得到BE ==，求得)CE BC BE a =-==-，根据相似三角形的性质得到FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确；④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到OD ==Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D的坐标为⎫⎪⎪⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC是矩形，2)B，OA BC∴==；故①正确；②∵点D为OA的中点，12OD OA∴==222222227PC PD CD OC OD∴+++＝＝＝＝，故②正确；③如图，过点P作PF OA⊥A于F，FP的延长线交BC于E，PE BC∴⊥，四边形OFEC是矩形，2EF OC∴＝＝，设PE a＝，则2PF EF PE a＝﹣＝﹣，在Rt BEP∆中，PE OCBE BCtan CBO∠===BE∴==，)CE BC BE a∴=-==-，PD PC⊥，90CPE FPD︒∴∠∠=，90CPE PCE︒∠+∠=，,FPD ECP∴∠=∠，90CEP PFD︒∠=∠=，CEP PFD∴∆∆∽，PE CPFD PD∴=，aFD∴=FD∴=tanPCPDCPD∴∠===，60PDC︒∴∠=，故③正确；④2)B，四边形OABC是矩形，2OA AB ∴==，tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠ ＝＝，60ODP ∴∠ ＝，60ODC ∴∠ ＝，OD ∴==Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠ ＝＝，90COD CPD ∠∠ ＝＝，10590OCP ∴∠ ＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠ ＝＝，15090OCP ∴∠ ＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭．故④正确，故选D ．【点拨】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．9．D【解析】【分析】因为点'B 为线段MN 的三等分点，没有指明线段'B M 的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①1'3B M MN =；② 2'3B M MN =．然后由一线三垂直模型可证 'AMB ∽'B NE ，再根据相似三角形的性质求得 EN 的值，最后由 BE BN EN =-即可求得 BE 的长．【详解】当点'B 为线段MN 的三等分点时，需要分两种情况讨论：①如图1，当1'3B M MN =时，∵AD ∥BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥，∴四边形ABNM 为矩形，∴11'133B M MN AB ===， 22'233B N MN AB ===， BN AM =．由折叠的性质可得'3A B AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒．在'Rt AB M 中，AM ===．∵''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒，∴''EB N MAB ∠=∠，∴'B NE ∽'AMB ，∴''EN B N B M AM =，即 1EN =，解得 EN =，∴BE BN EN =-==②如图2，当2'3B M MN =时，∵AD ∥BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥，∴四边形ABNM 为矩形，∴22'233B M MN AB ===， 11'133B N MN AB ===， BN AM =．由折叠的性质可得'3AB AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒．在'Rt AB M中，AM ==∵''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒，∴''EB N MAB ∠=∠，∴'B NE ∽'AMB ，∴''EN B N B M AM =，即2EN =EN =∴BE BN EN =-==．综上所述，BE．故选：D ．【点拨】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由'B 为线段MN 的三等分点，分两种情况讨论线段'B M 的占比情况，以及利用K 型相似进行相关计算是解决此题的关键．10．48【解析】【分析】过A '作EF OC ⊥于F ，交AB 于E ，设(,)A m n '，OF m =，A F n '=，通过证得△A OF '∽△DA E '，得到310103m n n m ==--，解方程组求得m 、n 的值，即可得到A '的坐标，代入(0)k y k x =≠即可求得k 的值．【详解】解：过A '作EF OC ⊥于F ，交AB 于E ，90OA D ∠'=︒，90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒，90OA F A OF ∠'+∠'=︒ ，DA E A OF ∴∠'=∠'，A FO DEA ∠'=∠' ，∴△A OF '∽△DA E '，∴OF A F OA A E DE A D''==''，设(,)A m n '，OF m ∴=，A F n '=，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，10OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，103DE m ∴=-，10A E n '=-，∴310103m n n m ==--，解得6m =，8n =，(6,8)A ∴'，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过A '点，6848k ∴=⨯=，故答案为48．【点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得A '的坐标是解题的关键．11．﹣9【解析】【分析】首先根据反比例函数的比例系数k 的几何意义求得△AOC 的面积，然后证明△OAC ∽△BOD ，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD 的面积，依据反比例函数的比例系数k 的几何意义即可求解．【详解】解：如图作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ．∵3OB OA=∴OA OB =13∵点A 是双曲线1(0)y x x=<上∴S △OAC =12∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，又∵直角△AOC 中，∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠OAC ，又∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△OAC ∽△BOD ，∴22s 1==3AOC OBD OA S OB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△=19∴19×9=22BOD S =△ ∴k =9∵函数图像位于第四象限∴ｋ＝﹣9故答案为：﹣9【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC ∽△BOD 是解题关键．12【解析】【分析】分两种情况：点B '落在AD 上和CD 上，首先求出a 的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可．【详解】分两种情况：（1）当点B '落在AD 上时，如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=︒，AB BE ∴=，315a ∴=，∴3=15BE a =在Rt △ABE 中，AB=1，BE=1，∴（2）当点B '落在CD 上，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '∴∠=∠=︒，1AB AB '==，35EB EB a '==，DB '∴==，3255EC BC BE a a a =-=-=，在ADB ' 和B CE ' 中，9090B AD EB C AB D D C ∠=∠=︒-∠''⎧⎨∠=∠=︒'⎩~ADB B CE ''∴ ，DB AB CE B E '''∴=135a =，解得，a =（负值舍去）∴35BE a =在Rt △ABE 中，AB=1，∴=【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13．3,92⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,62⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先求出点B 的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM =90°时，如图1，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，易证△BFM ∽△AOB ，然后根据相似三角形的性质可求得BF 的长，进而可得点M 坐标；当∠BAM =90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE ∽△AMH 求出AH 的长，继而可得点M 坐标．【详解】解：对233y ax ax =-+，当x =0时，y =3，∴点B 坐标为（0，3），抛物线233y ax ax =-+的对称轴是直线：3322a x a -=-=，当∠ABM =90°时，如图1，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，则32MF =，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∠MFB =∠BOA =90°，∴△BFM ∽△AOB，∴MF BF OB OA =，即3236BF =，解得：BF =3，∴OF =6，∴点M 的坐标是（32，6）；当∠BAM =90°时，如图2，过点A 作EH ⊥x 轴，过点M 作MH ⊥EH 于点H ，过点B 作BE ⊥EH 于点E ，则39622MH =-=，同上面的方法可得△BAE ∽△AMH ，∴AE BE MH AH =，即3692AH =，解得：AH =9，∴点M 的坐标是（32，﹣9）；综上，点M 的坐标是3,92⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,62⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：3,92⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,62⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．12．【解析】【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E 过B 作BF ⊥y 轴于F ，通过△AOE ∽△BOF ，得到AE OE OA OF BF OB ==，设4(,)A m m -，于是得到AE=-m ，4OE m =-，从而得到)B ，，于是求得结果．【详解】解：过A 作AE y ⊥轴于E 过B 作BF y ⊥轴于F ，90AOB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，tan 30OA OB ∴︒==90OAE AOE AOE BOF ∠+∠=∠+∠=︒ ，OAE BOF ∴∠=∠，AOE BOF ∴∆∆∽，∴AE OE OA OF BFOB ==，设4(,)A m m -，AE m ∴=-，4OE m=-，OF ∴==，BF =)B ∴，12k ∴=．故答案为12．【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.15【解析】【分析】已知tan ∠BAF=12，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM 、BM ，进而求出FN ，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC ．【详解】过点F 作MN ∥AD ，交AB 、CD 分别于点M 、N ，则MN ⊥AB ，MN ⊥CD ，由折叠得：EC ＝EF ，BC ＝BF ∠C ＝∠BFE ＝90°，∵tan ∠BAF ＝12＝FM AM，设FM ＝x ，则AM ＝2x ，BM ＝4﹣2x ，在Rt △BFM 中，由勾股定理得：x 2+（4﹣2x ）22，解得：x 1＝1，x 2＝115＞2舍去，∴FM ＝1，AM ＝BM ＝2，∴FN 1，易证△BMF ∽△FNE ，∴BF BM EF FN ==解得：EF EC ．【点拨】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键．16．3225-【解析】【分析】由A （-1，0），B （0，2），可知OA ，OB ，由折叠得OA=AC=1，OB=BC=2，要求k 的值只要求出点C 的坐标即可，因此过点C 作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C 的坐标，最终求出k 的值．【详解】解：过点C 作CD x ⊥轴，过点B 作BE y ⊥轴，与DC 的延长线相交于点E ，由折叠得：1,2OA AC OB BC ====，易证，~ACD BCE ∆∆，12CD AC BE BC ∴==设CD m =，则2,2,21BE m CE m AD m ==-=-在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，即：()222211m m +-=，解得：14,m 05m ==舍去）；48,55CD BE OD ∴===，84,55C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭代入k y x =得，84325525k =-⨯=-，故答案为 3225-【点拨】本题考查了折叠得性质、相似三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，由于综合利用的知识较多，本题有一定的难度．17．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒ ＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴=设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--，整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点拨】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．18．253【解析】【分析】过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE x =，CF y =，BN x =，BM y =，则4DM y =-，4DN x =-，由ABE BFC ∆∆ ，得AE BE BF CF=，即x m n y =，由CMD AND ∆∆ ，得AN DN CM DM =，即4243m x n y -==-，故3102y x =-+，整理得223331010222mn xy x x x x m ⎛⎫==-+=-+= ⎪⎝⎭，根据二次函数最值即可求解.【详解】过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE x =，CF y =，BN x =，BM y =，∵4BD =，∴4DM y =-，4DN x =-，∵90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴90EAB ABE ABE CBF ∠+∠=∠+∠=︒，∴EAB CBF ∠=∠，∴ABE BFC ∆∆ ，∴AE BE BF CF=，即x m n y =，∴xy mn =，∵ADN CDM ∠=∠，∴CMD AND ∆∆ ，∴AN DN CM DM=，即4243m x n y -==-，∴3102y x =-+，∵23m n =，∴32n m =，∴()52m n m +=最大，∴当m 最大时，()52m n m +=最大，∵223331010222mn xy x x x x m ⎛⎫==-+=-+= ⎪⎝⎭，∴当10103322x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，250332mn m ==最大，∴103m =最大，∴m n +的最大值为51025233⨯=.故答案为253.【点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线构造相似三角形进行求解.19．②③【解析】【分析】①由条件可知AB=24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB=24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA=OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD=25，证明△DFA ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出．【详解】解：∵点E 为AB 的中点，AB=24，1122OE AB ∴==∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧，∵∠AOB=90°，∴点E 经过的路径长为90126180ππ⨯⨯=，故①错误；当△OAB 的面积最大时，因为AB=24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA=OB ，∵E 为AB 的中点，1,122OE AB OE AB ∴⊥==124121442AOB S ∴=⨯⨯= ，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，15,122AD BC AE AB ====13DE ∴===∴OD=DE+OE=13+12=25，设DF=x ，OF ∴==∵四边形ABCD 是矩形，。

“一线三等角”构相似经典题型分类训练(时间:90分钟 满分:100分) 班级 姓名 成绩 .类型一 普通角1. (2分)如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a °,点P 在线段AB上,AP= 时,∠CPD=a °．2. (2分)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,D 是边BC 上一动点（不与点B,C 重合）,∠ADE=∠B=α,DE 交AC 于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE 长的最大值为6.4；③当AD=DC 时,BD 的长为439.其中,正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③3. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点D 为BC 上一点，BD=2．过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B ．（1）求证:AD AB ＝DEDC ； （2）求线段EC 的长度．4. (8分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是AB 上一点，BD=2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF=∠B ，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；5. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合）连结AD ，作∠ADE=∠B ，DE 交线段AC 于E ．求证: (1)AD 2=A E ·AC (2) AB·EC=BD·CD6. (8分) 如图①，在△ABC 中，AC=BC ，点D 是线段AB 上一动点,∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF ，射线DE 与边AC 交于点M ，射线DE 与边BC 交于点N ，连接MN ．（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图②，在上述条件下，当点D 运动到AB 的中点时，求证：在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值．类型二 45°或60°角7. (2分)如图,在Rt △ABC 中，已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过D 作∠ADE=45°,DE 交AC 于E ，若,CE=1,则BD= .第7题图 第8题图 第9题图 8. (2分)如图,等边三角形ABC 中，D 、E 分别在BC 、AB 上,且∠ADE=60°,CD=2cm,BE=56cm,则AB= . 9. (2分)如图,△ABC 是等边三角形,点D 在边BC 上（点D 不与点B 、C 重合）,连结AD ,以AD 为边作∠ADE =∠ABC ,DE 交边AC 于点E,若AB =2,则EC 的最大值是 .10. (6分)已知:如图,△ABC 是等边三角形,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,∠ADE=60°.AB=3,EC=32,求DC 的长11. (6分)如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=∠C=60°,AB=3,BC=7,P 为BC 边上的一点（不与B 、C 重合）,过点P 作∠APE=60°,PE 交CD 于点E ．若CE=3,求PE 的长．类型三 90°角12. (2分)矩形ABCD 中,点E ，F 分别在AD 、CD 上，且BE ⊥FE ，则图中的三角形①，②，③，④一定相似的是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．①②和③第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 13. (2分)如图,已知一次函数y=-21x+1的图象与两坐标轴分别交于A 、B,点C 在x 轴上,AC=4,第一象限内有一个点P,且PC ⊥x 轴于点C,若以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△OAB 相似,则点P 的坐标为（ ）A ．（4,8）B ．（4,8）或（4,2）C ．（6,8）D ．（6,8）或（6,2）14. (2分)如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是CD 上一点,且CF=3FD.则图中相似三角形的对数是( )A.1B.2C.3D.415. (2分)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P 在线段AB 上,当AP 为多少时，△PAD 与△PBC 相似（ ）A.514B.1C.6D.514或1或6 16. (2分)如图,点E 在线段AB 上,CA ⊥AB 于点A,DB ⊥AB 于点B,AC=1,AB=5,EB=2,点P 是射线BD 上的一个动点,则当BP= 时,△CEA 与△EPB 相似.17. (6分)如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 上一点,AE ⊥ED,若AE=4,CE=3BE.求这个四边形的面积．18. (10分)如图，在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,点E 为BC 的中点,AE ⊥DE ．（1）求证:△ABE ∽△ECD ；（2）求证：AE 2=AB •AD ；（3）若AB=1，CD=4，求线段AD ，DE 的长．19. (10分)如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 的中点,EF ⊥EC 交AB 于F,连接FC （AB ＞AE ）．（1）求证：△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由；（3）设BC AB =k,若△AEF ∽△BCF ，则k= （请直接写出结果）．20. (10分)四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，连结DE ，CE ．（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形ABCD 为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE 的长．（3）若∠A=∠B=90°，AD ＜BC ，图中的三个三角形都相似，请判断AE 和BE 的数量关系并说明理由．参考答案1.2或32.D3.（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADC 是△ABD 的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC ，又∵∠B=∠ADE ，∴∠BAD=∠EDC ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AD AB ＝DE DC ； （2）∵△ABD ∽△DCE ，∴CD AB =CEBD ， ∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴48=CE 2，解得EC=1． 4.（1）∵AB=AC=6，∴∠B=∠C ，∵∠BDE=180°-∠B-∠BED ，∠CEF=180°-∠DEF-∠BED ，∵∠DEF=∠B ，∴∠BDE=∠CEF ，∴△DBE ∽△ECF ；（2）∵△DBE ∽△ECF ，∴CE BD ＝CFBE ， ∵F 是线段AC 中点，∴CF=21AC=3 ∴BE 52＝3BE ，∴BE=2或3； 5.(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，又∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C ，∵∠DAE=∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ；∴AC AD =ADAE ,∴AD 2=A E ·AC. (2)∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADC=∠BAD+∠B ，∠ADC=∠ADE+∠EDC∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC ，又∵∠B=∠C,∴△ABD ∽△DCE ．∴CD AB =ECBD ,∴AB ·EC=BD ·CD . 6.（1）△ADM ∽△BND ，理由如下：∵AC=BC ，∴∠A=∠B ，∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN ，∠A=∠EDF ，∴∠AMD=∠BDN ，∴△ADM ∽△BND ；（2）证明：作DG ⊥MN 于G ，DH ⊥AM 于H ，如图②，由（1）得，△ADM ∽△BND ，∴△ADM ∽△DNM ，∴∠AMD=∠NMD ，又DG ⊥MN ，DH ⊥AM ，∴DG=DH ，即在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值． 7.2 8.5 9.21 10.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC ，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE ，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD ∽△DCE,∴AB BD =DC CE . 设CD=x,则BD=3-x,∴33x -=x32,∴x=1或x=2,∴DC=1或DC=2． 11.∵∠APE+∠EPC=∠BAP+∠B,∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC 而∠C=∠B,∴△APB ∽△PEC ，∴EC BP =PC AB ， 设BP=x,则PC=7-x ，∴3x =x-74,解得：x 1=3，x 2=4， 当BP=4时，△CEP 为等边三角形，∴PE=CP=3，当BP=3时，PE=13，∴PE 的长度为3或13．12.B 13.D 14.C 15.D 16. 6或32 17.易证:△ABE ∽△DEA,则AE 2=B E ·AD.设BE=x,则EC=3x,AD=4x,解得x=2,可得AB=23,面积为163.18.（1）证明：∵AE ⊥DE ，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED ，又∵∠ABC=∠BCD ，∴△ABE ∽△ECD ；19.（1）∵EF ⊥EC ，∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE ，∵∠A=∠D=90°，∴△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF ∽△ECF ．证明如下：延长FE 与CD 的延长线交于G ，∵E 为AD 的中点，AE=DE ，∠AEF=∠GED ，∴Rt △AEF ≌Rt △DEG ．∴EF=EG ．∵CE=CE ，∠FEC=∠CEG=90°，∴Rt △EFC ≌Rt △EGC ．∴∠AFE=∠EGC=∠EFC ．又∵∠A=∠FEC=90°，∴Rt △AEF ∽Rt △ECF ；(3) 23点拨:要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当∠AFE=∠FCB 时，那么∠AFE 就和∠BFC 互余，因此∠EFC 就是直角，而∠FEC 也是直角因此这种情况是不成立的．当∠AEF=∠FCB 时，AE ：BC=AF ：BF ，那么由于E 是AD 中点，因此BC=2AE ，所以我们可得出BF=2AF ，即AB=3AF ，又根据（1）中AF=GD ，AB=CD ，我们可在△CEG 中根据△EGD 和△EDC 相似，得出关于GD 、ED 、DC 的比例关系，也就是AF 、AB 、AE 的比例关系，有了AB=3AF ，就能求出ED 与AF 的比例关系，也就求出了BC 与AF 的比例关系，以AF 为中间值即可得出AB 与BC 的比例关系，也就求出了k 的值．20.（1）△DAE ∽△EBC ，理由是：∵∠A=∠DEC=50°，∴∠ADE+∠DEA=180°-∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°-∠DEC=130°，∴∠ADE=∠CEB ， ∵∠A=∠B ，∴△DAE ∽△EBC ；（2）设AE=x ，则BE=5-x ，∵∠ADE ＜90°，∠ECB ＜90°，∴∠DEC=90°，∴△DAE ∽△EBC ，解得：x=1或4，即AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由是：①当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，所以△DEC∽△DAE∽△EBC，②当∠DEC≠90°时，∵△ADE∽△BCE，∠DEA=∠CEB，。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题（含解析）一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1.（雅礼）如图，点A 是双曲线()80y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，使2OA OB =，当点A 在双曲线()80y x x =<上运动时，点B 在双曲线ky x=上移动，则k 的值为.【解答】解：过A 作AC ⊥y 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于点D ，∵点A 是反比例函数y ＝（x ＜0）上的一个动点，点B 在双曲线y ＝上移动，∴S △AOC ＝×|﹣8|＝4，S △BOD ＝|k |，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OA ＝2OB ，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k |＝2．∴k ＜0，∴k ＝﹣2，故答案为：﹣2．2.（青竹湖）如图，︒=∠90AOB ，反比例函数()04<-=x xy 的图象过点()a A ,1-，反比例函数xky =()0,0>>x k 的图象过点B ，且x AB //轴，过点B 作OA MN //，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线x ky =于另一点，则OBC ∆的面积为.【解答】解：∵反比例函数的图象过点A （﹣1，a ），∴a ＝﹣＝4，∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，∴△OBC的面积＝S△OMN故答案为510．3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN ＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．4．（长沙中考2020）在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE∆∆:（2）若23,4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴()22224232AF AB --，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB =，∴2223CE =，∴EC=233（3）解：由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tan α+tan β=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，∵2AE DE EC -=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x -=+∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF AF EF =2144x x x x -=+(211121x x x xx ++-+ ，∴112x x +=，∴1x x =-x 2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x -=，EF=x=2，AF=2244AE DE x -=+=23tan α+tan β=CE EF CF AF +33323．5.（广益）矩形ABCD中，8AB=，12AD=，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，182OQ =，点P 是x 轴正半轴上一点，tan 1POC ∠=，连接PQ ，A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求A 的半径；(3)在（2）的条件下，若10OP <，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足1tan 2OFM ∠=的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC ＝1，，∴PQ ＝OP ，∵在Rt △OPQ 中，．∴OP ＝18．∴⊙A 的半径为9；（2）如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ是⊙A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．∴半径为或2．（3）∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵，∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，，则|K FM|＝，设直线MF：或，联立，，得或，当或，解得：或，∴直线MF：或，令y＝0，解得：或，∴或．7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．＝AC•AB，【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC①若AC＝，i）AB＝AC＝2，∴S＝，ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝，②若AB＝，i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝，③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴，设AE＝a，则BF＝AE＝a，∵A（3，0），∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为，即BE＝，∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，设CM ＝AN ＝b ，则ON ＝OA +AN ＝3+b ，∴C （3﹣，b ），B （3+b ，），∵点B 、C 在在函数y ＝上（x ＞0）的图象上，∴（3﹣）b ＝（3+b ）＝k解得：b ＝，∴k ＝18+15，综上所述，k 的值为或。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题知识精练1.如图，△ABC 为等边三角形，D 是BC 上一点，连接AD ，点P ，Q 在AD 上，连接BP ，CQ ，且∠BPD ＝∠CQD ＝60°，若BP ＝3，CQ ＝5，则PQ 的长为________．第1题图2.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝10，点E 是AB 的中点，连接DE ，CE ，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ，则BE BC的值为________．第2题图3.(2023重庆A 卷)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，连接A D.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F .若BE ＝4，CF ＝1，则EF 的长度为________．第3题图4.如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 是CB 延长线上一点，且AB ＝DB ，连接AD ，若AD ＝6，则△ACD 的面积为________．第4题图5.(2023荆州)如图①，点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB 和射线BA ，∠2的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．(1)如图②，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM 交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF.①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP∶PB＝1∶2，BF＝2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．图①图②图③第5题图参考答案与解析1.2【解析】∵∠BPD ＝∠CQD ＝60°，∴∠APB ＝∠CQA .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵∠BPD ＝∠BAP ＋∠ABP ＝60°，∠BAC ＝∠BAP ＋∠CAQ ＝60°，∴∠ABP ＝∠CAQ .在△ABP 和△CAQ ABP ＝∠CAQ ，APB ＝∠CQA ，＝CA ，∴△ABP ≌△CAQ (AAS)，∴BP ＝AQ ＝3，AP ＝CQ ＝5.∵AP ＝AQ ＋PQ ＝BP ＋PQ ，∴PQ ＝AP －BP ＝5－3＝2.2.45【解析】∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ，∴△DAE ∽△EBC [钝角一线三等角(同侧)]，∴AD BE ＝AE BC .∵AD ＝4，AB ＝10，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝5，∴BE BC ＝AD AE ＝45.3.3【解析】∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠CFA ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠CAF .又∵AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF ＝1，AF ＝BE ＝4，∴EF ＝AF －AE ＝4－1＝3.4.9【解析】如解图，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥AD 交DA 的延长线于点H ，CH 即为点C 到直线AD 的距离．∵BG ⊥AD ，AB ＝DB ，∴∠AGB ＝90°，AG ＝DG ＝12AD ＝3.∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠BAC ＝90°，∴∠GAB ＋∠HAC ＝90°.又∵CH ⊥AD ，∴∠AGB ＝∠CHA ＝90°，∴∠HCA ＋∠HAC ＝90°，∴∠GAB ＝∠HCA .在△ABG 和△CAH AGB ＝∠CHA ，GAB ＝∠HCA ，＝CA ，∴△ABG ≌△CAH (AAS)，∴AG ＝CH ＝3，∴S △ACD ＝12AD ·CH ＝12×6×3＝9.第4题解图5.解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8第5题解图①(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：如解图②，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.由折叠的性质得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，∵∠A，∠CPD，∠PBD互为等联角，∴∠A＝∠CPD＝∠PBD＝90°.∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM.又∵CE＝CE，∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∠CPF＝90°，∴∠PCF＝∠2＋∠3＝∠CFP＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形．第5题解图②②如解图②，过点F作FQ⊥BE于点Q，作FR⊥PB交PB的延长线于点R，则∠R＝∠A ＝90°.∵∠1＋∠5＝∠5＋∠6＝90°，∴∠1＝∠6.由△PCF是等腰直角三角形，得PC＝PF，∴△APC≌△RFP(AAS)，∴AP＝FR，AC＝PR.∵AC＝AB，∴AP＝BR＝FR.∵在Rt △BRF 中，BR 2＋FR 2＝BF 2，BF ＝2k ，∴AP ＝BR ＝FR ＝k .∵AP ∶PB ＝1∶2，∴PB ＝2AP ＝2k ，∴AB ＝AP ＋PB ＝BN ＝3k .由BR ＝FR ，∠QBR ＝∠R ＝∠FQB ＝90°，得四边形BRFQ 为正方形，∴BQ ＝QF ＝k ，由FQ ⊥BN ，CN ⊥BN ，得FQ ∥CN ，∴QE NE ＝QF NC，而QE ＝BN －NE －BQ ＝3k －NE －k ＝2k －NE ，即2k －NE NE＝k 3k ＝13，解得NE ＝32k ，由①知PM ＝AP ＝k ，ME ＝NE ＝32k ，∴PE ＝PM ＋ME ＝k ＋32k ＝52k .。

中考热点5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60°再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BECDBD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与△CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE=即DFBDDE BE =∵∠EDF =∠BCA DB E F D∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFDCA DB E FD∴DF DECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBDDE BE = ∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

专题07一线三等角模型中档大题与压轴题真题分类（解析版）基础模型已知:点P 在线段AB 上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论1:△APC ≌△BDP已知:点P 在线段AB 的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论2:△APC ≌△BDP模型拓展已知:点P 在线段AB 上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )已知:点P 在线段AB 的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论3:△APC ≌△BDP 结论4:△APC ≌△BDP专题简介：本份资料包含一线三等角模型常考的中档大题、一线三等角模型常规压轴题、坐标系中的三垂直模型类压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题。

适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用或者冲刺压轴题高分时刷题使用。

题型1：一线三等角模型中档大题1.如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．【解答】证明：（1）在△ABE 与△ECD 中，，∴△ABE ≌△ECD （ASA ），∴AE ＝ED ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠AEB +∠CED ＝90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵△ABE ≌△ECD ，∴∠AEB ＝∠CDE ，∵∠AEB +∠BAE ＝90°，∵∠CDE ＝2∠BAE ，∴2∠BAE +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝30°，∴∠CDE ＝60°．2.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别为AB 、BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ．【解答】证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，∵AC ＝BCBC ＝BD ，∴AC ＝BD ，∵∠CDB ＝∠A +∠ACD ＝∠CDE +∠BDE ，∠CDE ＝∠A ，∴∠ACD ＝∠BDE ，在△ACD 与△BDE 中，，∴△ACD ≌△BDE （ASA ），∴CD ＝DE ．3．（雅礼）如图，在△ABC 中，B C ∠=∠，点D 是边BC 上一点，CD AB =，点E 在边AC 上．（1）若ADE B ∠=∠，求证：①BAD CDE ∠=∠；②BD CE =；（2）若BD CE =，70BAC ∠=︒，求ADE ∠的度数．【解答】（1）证明：①∵在△ABC 中，∠BAD +∠B +∠ADB ＝180°，∴∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，又∵∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，且∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ；②由①得：∠BAD ＝∠CDE ，在△ABD 与△DCE 中，，∴△ABD ≌△DCE （ASA ），∴BD ＝CE ；（2）解：在△ABD 与△DCE 中，，∴△ABD ≌△DCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CDE ，又∵∠ADE ＝180°﹣∠CDE ﹣∠ADB ，∴∠ADE ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ADB ＝∠B ，在△ABC 中，∠BAC ＝70°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠C ＝（180°﹣∠BAC ）＝×110°＝55°，∴∠ADE ＝55°．4.如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．【解答】解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC ＝∠E ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，在△BCE 和△CAD 中，，∴△BCE ≌△CAD （AAS ），∴CD ＝BE ＝1（cm ），CE ＝AD ＝2.5（cm ），∴DE ＝CE ﹣CD ＝2.5﹣1＝1.5（cm ）．5.已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D.E，求证：DE=BD+CE.(2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A.E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由。

冲刺2022-2023年中考数学微专题靶向培优（“一线三等角”类全等或相似问题）分类专练一、选择题.1.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点 D在 BC 上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则 CF的长为（）.A.1B.2C.3D.42.如图，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点.若 AG=2，BF＝3，∠GEF=90°，则 AE的长为（）.A.2B.5C.√5D.√63.如图所示，O为四边形ABCD 的边 AB 的中点,∠A＝∠DOC＝∠B，AD=9，BC=8，则 AB的长是（）.A.6√2B.6C.12√2D.174.如图，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点.若 AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则 AB的长为（）A.2√2B.3C.4D.55. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数y= 6x （x ＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ）.A.y ＝﹣6xB.y=﹣4xC.y=﹣2xD.y= 2x二、 填空题。

6. 如图，正方形 ABCD 中，AB=12， AE ＝14AB ，点 P 在 BC 上运动（不与 B ，C 重合），过点P 作 PQ ⊥EP ，交 CD 于点 Q ，则 CQ 的最大值为________.7.如图，已知点A （0，4）、B （4，1）轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且，则点P 的坐标为 .xyC A BP O8.如图，直线交轴于点A ，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M 、N 恰好落在上，若N 点在第二象限的值为 .9.如图，已知等边三角形ABC 中，BC=CE ，AD 与BE 交于点P ，则∠APE=_________°.10.如图，在等腰三角形ABC 中，BC AB AC AB ＞,=.点D 在边BC 上，BD CD 2=，点E 、F 在线段AD 上，BAC ∠=∠=∠21.若ABC ∆的面积为12，则ABE ∆与CDF ∆的面积之和为____________.xyA O NM三、 解答题。