相似三角形模型讲解-一线三等角问题

word格式个性化讲义编号：hy05学生编号：年级：九年级课时数：2学生姓名：朱俊辉辅导科目：数学学科教师：高老师最佳吸收渠道：听觉最佳表达风格：书写最佳复习时间：课后最佳复习方式：独立完成辅导类型：（基础巩固型，强化提高型，综合拓展型）授课主题相似三角形提高训练（历年模拟、中考题）授课时间2013 年10月26日教材区域授课方法讲授法、作业练习法、点拨法、师生互动法学员授课过程（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（平行）（不平行）第一部分、相似三角形判定的基本模型认识相似三角形模型分析word格式（平行）（蝴蝶型）（三）母子型（四）一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（六）双垂型:word格式、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形母子型相似三角形例1:如图，梯形ABCDK AD// BC对角线AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于E.求证：OC2 OA OE .例2:已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上, DEB第二部分相似三角形典型例题讲解ABC .求证：(1) DB2DE DA; (2) DCE DAC .例3:已知：如图，等腰△ ABC中, AB= AC ADL BC于D, 求证：BE2 EF EG .CG/ AB BG分别交AD AC于E、F .相关练习:1、如图，已知ABO的角平分线, EF为AD的垂直平分线•求证：FD2 FB FC .A2、已知：AD是Rt△ ABC中/ A的平分线，/ C=90°, EF是AD的垂直平分线交AD于M EF、BC的延长线交于一点No求证：⑴△ AME^^NMD; (2)ND 2=NCNB3、已知：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。

求证：EB -DF=AE-DB4.在ABC中，AB=AC高AD与BE交于H, EF BC，垂足为F,延长AD到G,使DG=EF M是AH的中点。

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展享性B一线三等角的变形一线三直角的1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP 交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴，∴，即△ACD，∴，∴AD=，∴=，整理得：，∵AD=2即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．cosα=．，∴cosB==，∴BD=．故证明：（1）在△BDE和△DAB=AD•DE，∴证明：连接AF，=，∴AF解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，△EAP．∴=．∴AE=2PE．==∵AP=x，∴PD=，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x又∵AB=2，（﹣x x另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x=×x×2=x，∴=，即=，∴y=﹣x+x＜．=，∴PE=x•=）当∠BEP=90°时，，∴．解得x=∴y=﹣x××5+．y=△ACB，∴AD=，∴BC=2．（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．△CFD，∴，，∴=BE=∴△CPQ∽△BAP．∴．，∴．）知又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，即，解得：，或，解得：，解得：△DPC∴，即：，即：，∴△ECQ，∴，，解得：或证明：（1）在梯形ABCD中，∵MC=MB，∴=，∴=，即=，即的中位线，∴MF=GB又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，==1的中位线，∴EF=（（；BH=，EH=MH=，，∴BE=．FC=，即，得．中，AD∥BC，AB=DC．∴（当点F在线段，∴．∵，∴x2﹣3x+8=0，△＜0．∴此方程无实数根．使，∴．△CPF，∴．∴．∴∴当时，BP的长为1．，∴AM=即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=，∴y=（同上可得：AM=，CN=，，∴3=，∴y=﹣（（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，，∴3=y+﹣，∴y=（综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；×1×=∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，×=△PDC，∴又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；，∴，∴PE=，PC=2，∴EC=∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=∵△CDP∽△POA∴=，OA=，OA=AF =，中，∠C=90°△FDC∴解得，∴1°，∴，解得，∴，∴，即解得，∴或．，∴AB=，∴AD=，DB=．AG=EG=BH=FH=，△FHD，∴OM=．若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，解得∴当，x∴y=×4×x=或则OG=OB=×=（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，∴OD=若两圆外切，则可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，=4[x=BC AE|=OD=4[x（舍去）的长为EB=EH=，∴x=2．∴y=×2=②当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣=x，∴x=8．∴y=．所以，△BED的面积是或在Rt△BCH中，，∴，（1分）；=中，，解得：；，即又，；.专业资料.整理分享.。

个性化讲义编号： hy05学生编号： 年 级： 九年级 课时数：2学生姓名：朱俊辉 辅导科目：数学 学科教师：高老师 最佳吸收渠道：听觉 最佳表达风格：书写 最佳复习时间： 课后最佳复习方式： 独立完成 辅导类型：（基础巩固型，强化提高型，综合拓展型）授课主题 相似三角形提高训练（历年模拟、中考题）授课时间 2013 年10月26日教材区域授课方法讲授法、作业练习法、点拨法、师生互动法学员授课过程第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共 享 性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA •OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P 作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．1.解答：证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．2. 解答：解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，故①正确，②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．③作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∵BC=16，∴AG=6，∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；故③正确；④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．故答案为：①②④．3. 解答：证明：（1）在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD•DE．（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．4. 解答：证明：连接CE，如右图所示，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，又∠FEC=∠CEG，∴△CEF∽△GEC，∴CE：EF=EG：CE，即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．5. 解答：证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．6. 解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足为点H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）•x，即y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x，∴S△ABE=×x×2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x•=x．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．（i）当∠BEP=90°时，=，∴=．解得x=．∴y=﹣x××5+×=．（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=，y=．7. 解答：证明：∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，∴∠BEC=∠BDC，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴；∵BD⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABD=30°，AD=，∴BC=2DE．8. 解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．∵∠DAE=120°，∴∠DAB+∠EAC=60°．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．（2）∵△DBA∽△ACE，∴DB：AC=AB：CE．∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6∴BC2=DB•CE=12，∵BC＞0，∴BC=2．9. 解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD+45°．而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，∴∠BAE=∠CDA．∴△ABE∽△DCA．（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．∴BC2=2BE•CD．10. 解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．11. 解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．②若点P在线段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴，即（x≥8）．（2）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP﹣5）=BP：1，解得：，③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．13.解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴，或，∵，解得：AP=2或（舍去）．14. 解答：证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，∴△EMB∽△MFC，∴，∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM；（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH，设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE=解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2 由△MEF∽△MFC有，即，得BE=．15. 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C．BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．∴．∴△BEP∽△CPD．（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF∴180﹣∠B=180﹣∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF∴∠BEP=∠FPC，∴△BEP∽△CPF，∴．∴．∴（2＜x＜4）．②当点F在线段CD的延长线上时，∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，∴△BEP∽△DMF．∵，∴．∵，∴x2﹣3x+8=0，△＜0．∴此方程无实数根．故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使；当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，∵，∴．∵△BEP∽△CPF，∴．∴．∴．∴x2﹣9x+8=0，解得x1=1，x2=8．由于x2=8不合题意舍去．∴x=1，即BP=1．∴当时，BP的长为1．16. 解解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；答：证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，∴△BEF∽△AME；解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．17. 解答：（1）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴，又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，∴，∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．（3）不存在．作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，∵△CDP∽△POA ∴=，OA=，若OA=AF =，3x2﹣6x+4=0 △=62﹣4×4×3=﹣12 x无解因此，不存在．18. 解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°∵，∴设AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC∵∠FDE=∠C=90°∴△EFD∽△FDC∴∴FD2=EF•CD，即9k2+4=2（4﹣4k）化简，得9k2+8k﹣4=0解得（负值舍去），∴；（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=3k，BE=5k∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°∴∠HED=∠FDC∵∠EHD=∠C=90°∴△EHD∽△DCF ∴，当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°，∴，即解得，∴2°，∴，即解得，∴．综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．19. 解答：（1）证明：如图2，连接DC．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵点D是AB中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，∴∠ACD=∠B=45°．∵ED⊥DF，CD⊥AB，∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，∴∠EDC=∠FDB，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DE=DF；（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，∴△ADP∽△BDQ，∴DP：DQ=AD：DB=m．∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，∴∠QDP=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠QDF=∠PDE，∵∠DQF=∠DPE=90°，∴△DQF∽△DPE，∴DE：DF=DP：DQ，∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；（3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，∴AB=，∵AD：DB=1：2，∴AD=，DB=．由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，易证△DGE∽△FHD，∴，∴，∴y=8﹣2x，定义域是0＜x≤4．②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M．可得CE=6﹣x，AO=，OM=．若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，解得，∴当时，以CE为直径的圆与直线AB相切．20. 解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，∴BC=8，AB=10，∴CD=DB=4．过点E作EH⊥CB于H．则可求得EH=x．∴y=×4×x=x（0＜x≤或5＜x≤10）．（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．则OG=OB=×=（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，∴OD=．若两圆外切，则可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，∴（8+10﹣x）2=4[（10+x）2+x2] 解得x=．若两圆内切，得|BC﹣AE|=OD，∴（BC﹣AE）2=4OD2，∴（8﹣10+x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=﹣（舍去），所以两圆内切不存在．所以，线段BE的长为．（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．①当∠BEF为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，∴EM=EH．又EM=MB﹣EB=﹣x，由（1）知：EH=x，∴，∴x=2．∴y=×2=．②当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣=x，∴x=8．∴y=×8=．所以，△BED的面积是或．21. 解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足为H，则四边形ABHD为矩形；∴BH=DA=4，DH=AB=2在Rt△BCH中，，∴，（1分）；又CD=CH+DH=5，∴S梯形ABCD=；（2）连接AQ，由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）在Rt△BPE中，，令BE=3k，PE=4k．则在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即42=（2+3k）2+（4k）2，解得：；∴；（3）作PF⊥CD交CD于点F，由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，可得：△AEP∽△PFQ；∴，即，化简得：；又，∴；定义域为（0＜x＜5）．。

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展享性B一线三等角的变形一线三直角的1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D （点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP 交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．=，又，∴，∴，即，∴，∴=，∴=，整理得：AD=2，．cosB=，∴BD=证明：（1）在△BDE和△DAB（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，证明：连接AF，，即=，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．，得==PD===．∴xAB=2，（﹣x x，得==，AE=×x=x=×x2=x，∴=，即=，﹣x+x＜．，得=x==，∴=﹣××=x=．AD=BC=2．，得（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．∴△CPQ∽△BAP．∴．，∴．）知，即故所求的函数关系式为．∴，即，解得：，或，解得：，解得：∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．∴，即：，∴（1＜x＜4）．，，解得：或证明：（1）在梯形ABCD中，，∴=，∴=，即=，即GB又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，==1（（；故EH=MH，设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE=．FC=，即，得．中，AD∥BC，AB=DC，∴．∴（②当点F在线段，∴．，∴使，∴．．∴．∴∴当时，BP的长为1．即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，CN=∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；同上可得：AM=，CN=，3=﹣（（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，3=y+﹣y=（综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；××=∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，××=，∴又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；，∴，PC=2EC=∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，=，，OA=AF =，中，∠C=90°∴解得（负值舍去），∴；∴°，∴解得，∴°，∴，即解得，∴综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．AD=，DB=．AG=EG=BH=FH=，，∴OM=．相切，则解得∴当，∴过点E作EH⊥CB于H．则可求得EH=x．y=×x=或则OG=OB=×=（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，OD=若两圆外切，则可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，=4[x=BC AE|=OD∴（BC﹣AE）2=4OD2，∴（8﹣10+x）2=4[（10+x）2+x2]（舍去）的长为EB=EH=y=2==x∴x=8．∴y=×8=．所以，△BED的面积是或．中，，∴=中，，解得：；∴；，即，∴；。

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）AA DEDECCBB（不平行）（平行）字型8字型、反8（二）ABA BJODCDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型A A D D BC C（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC相似三角形判定的变化模型8字型拓展旋转型：字型旋转得到。

由A AA EFG DE BC BC性享共一线三等角的变形一线三直角的2．E．求证：?1．如图，梯形中，∥，对角线、交于点O，∥交延长线于2．如图，在△中，10，16，点D是边上（不与B，C重合）一动点，∠∠α，交于点E．下列结论：22时，△≌当△；?；②3.6≤＜10；③①④△为直角三角形时，为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△中，点E在中线上，∠∠．2求证：（1）?；（2）∠∠．2．．求证：?D，∥，分别交、于E、F4．已知：如图，等腰△中，，⊥于25．如图，已知为△的角平分线，为的垂直平分线．求证：?．6．已知：如图，在△中，∠90°，2，4，P是斜边上的一个动点，⊥，交边于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线上一点，且∠∠A．设A、P两点的距离为x，△的面积为y．（1）求证：2；的函数解析式，并写出它的定义域；x关于y）求2（．（3）当△与△相似时，求△的面积．2．°，、分别是与边上的高，求证：△7．如图，在中，∠608．如图，已知△是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若2，6，求的长．°．求证：△中，，∠459．（已知：如图，在2．=2?）△∽△；（21（）10．如图，在等边△中，边长为6，D是边上的动点，∠60°．（1）求证：△∽△；时，求的长．3，1）当2（．，且保持∠∠．B重合）CQ分别在射线、上（点P不与点、点（1）在△中，5，8，点P、．11 ，求线段的长；，且6①若点P在线段上（如图）之间的函数关系式，并写出函数的定义域；与x②若，，求y 度．当，且保持∠90C、点B重合）P5（如图），点、Q分别在直线、上（点P不与点（2）正方形的边长为时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．1．5，213．已知梯形中，∥，且＜，，求的长；P为上的一点，满足∠∠A（1）如图，Q．，同时交直线于点，且满足∠∠A，交直线于点EA（2）如果点P在边上移动（点P与点、D不重合）x的取值范围；关于x的函数关系式，并写出自变量，求①当点Q在线段的延长线上时，设，y （不必写解答过程）当1时，写出的长．②，射线交腰于点E，射线交腰于点M为顶点作∠∠B为边的中点，以，14．如图，在梯形中，∥，63．点M ，连接．F △；）求证：（1△∽△是以为腰的等腰三角形，求的长；）若（2 ）若⊥，求的长．3（．15．已知在梯形中，∥，＜，且6，4，点E是的中点．（1）如图，P为上的一点，且2．求证：△∽△；（2）如果点P在边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠∠C，交直线于点F，同时交直线于点M，那么①当点F在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求的长．②16．如图所示，已知边长为3的等边△，点F在边上，1，点E是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边△，直线，交直线于点M，N，（1）写出图中与△相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1，试求△的面积．17．如图所示，已知矩形中，2，3，点P是上的一个动点（与A、D不重合），过点P作⊥交直线于点E，设，，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△的面积是△面积的4倍，求的长；落在上？证明你的结论．A沿翻折后，点△，使P）是否存在点3（．F．，点D是的中点，点．如图，在△中，∠90°，5E，是边上的动点，⊥交射线于点18 1）求和的长；（2）当∥时，求的长；（相似时，求的长．和3）连接，当△△（，⊥，与射线相交、C不重合）D°，，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点A19．如图，在△中，∠90 于点F．是边的中点，求证：；2（1）如图，如果点D ）如果：，求：的值；（2 ，：，1：2，设，（3）如果6 的函数关系式，并写出定义域；关于x①求y x的值；若不可能，请说明理由．②以为直径的圆与直线是否可相切？若可能，求出此时，D是边的中点，E为边上的一个动点，作∠90°，交射线于点F．设，°．如图，在20△中，∠90，6，△的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆相切，求线段的长；的面积．△相似，求△为顶点的三角形与F、E、B）如果以3（．，，∠∠90°，P是腰上一个动点（不含点B、C），作⊥交于点Q．．如图，在梯形中，∥，212，4（图1）（1）求的长与梯形的面积；（2）当时，求的长；（图2）（3）设，，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．1.解答：2．，即?证明：∵∥，∴=，又∥，∴=，∴=解：①∵，∴∠∠C解2. ，答：2，?，∴C又∵∠∠B∴∠∠，∴△∽△，∴= ①正确，故，16，∵△∽△易证得②．2 10x，﹣1664=64﹣，∴设，=，∴=，整理得：y2即（y﹣8）=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵﹣10﹣x，∴3.6≤＜10．故②正确．③作⊥于G，∵10，∠∠α，α=，∵16，∴6，∵2，∴2，∴8，∴，∴△与△全等；故③正确；④当∠90°时，由①可知：△∽△，∴∠∠，∵∠90°，∴∠90°，即⊥，∵，∴，∴∠∠α且α=，10，8．当∠90°时，易△∽△，∵∠90°，∴∠90°，∵∠α且α=．10，∴，∴．故④正确．故答案为：①②④．中和△证明：解（1）在△3. 答：∵∠∠，∠∠，∴△∽△，2?．∴，∴2（2）∵是中线，∴，∴?，∴，又∠∠，∴△∽△，∴∠∠．解证明：连接，如右图所示，4.答：∵，⊥，∴是∠的角平分线，∴，∴∠∠，又∵∠∠，∴∠﹣∠∠﹣∠，即∠∠，又∵∥，∴∠∠，∴∠∠，：，又∠∠，∴△∽△，∴：22．即?，又，∴?证明：连接，5. 解∵是角平分线，∴∠∠，答：又为的垂直平分线，∴，∠∠，∴∠∠∠∠，B，∴∠∠22．?，即?，∴=∵∠∠，∴△∽△，即．解：（1）∵∠∠90°6. 解，∠∠A，答：∴△∽△，∴，．∴2．∵∠∠A，∠∠，∴△∽△．∴（2）由△∽△，得，24，，∴∴2 H，作⊥，垂足为点．∴．∵，∴，∵∥，∴2．，即﹣x2，（2x）?x﹣又∵定义域是0 ＜x＜．另解：由，△∽△，得∴2．∴，24．∴×∴S×x×，∴=2，即=，△2∴﹣x．定义域是0＜x＜．．（3）由△∽△，得=，∴?当△与△相似时，只有两种情形：∠∠90°或∠∠90°．（i）当∠90°时，=，∴=．解得．x××5+．×=∴﹣（）当∠90，．°时，同理可得证明：∵、分别是与边上的高，∴∠∠，解7.∴B、C、D、E四点共圆，∴∠∠，而∠∠A，答：∴△∽△，∴；，°30，∴∠°60∵⊥，且∠．2，∴．∽△．解：（1）有△∽△8. 解°．°，∠∠60∵△是等边三角形∴∠∠∠答：60°．∴∠∠60 °．∴∠∠，∠∠．°，∴∠∠60∵∠120 E，∴△∽△∽△．∵∠∠D，∠∠：．（2）∵△∽△，∴：2，∴?12∵，2，6．0，∴2∵＞中，1）在△解9. 证明：（答：∵，∴∠∠45°．．45∵∠∠∠，∠45°，∴∠∠°，45°而∠∠∠∠∴∠∠．∴△∽△．．∴??．△（2）由∽△，得222222而，，∴=2．∴=2?．10. 解（1）证明：∵△为等边三角形，∴∠∠60°，答：∵∠60°，∴∠∠∠∠120°，∴∠∠，∴△∽△；（2）解：由（1）知△∽△，∴=，=，解得．5∵6，1，∴﹣，∴11. 解解：（1）①∵∠∠∠∠，∠∠，∴∠∠．答：又∵，∴∠∠C．∴△∽△．∴．，∴6=2﹣8，6，8，5∵．，②若点P在线段上，由（1）知，，8﹣x∵，8，∴﹣．5，∴，即又∵，，（0＜x ＜8）．故所求的函数关系式为若点P在线段的延长线上，如图．∵∠∠∠，∠∠∠，∠∠，∴∠∠．又∵∠180°﹣∠，∠180°﹣∠，∠∠，．∴∠∠．∴△∽△．∴，，∵，8，5．（，即x≥8）∴在线段上，当点P（2）①，90°∵∠90°，∴∠∠，∴∠∠，90°∵∠∠：，90∵∠∠°，∴△∽△，∴：，或，﹣）：1，解得：即5：（5②当点P在线段的延长线上，则点Q在线段的延长线上，同理可得：△∽△，∴：：，∴5：（﹣5）：1，解得：，③当点P在线段的延长线上，则点Q在线段的延长线上，同理可得：△∽△，∴：：，∴5：（5）：1，解得：．13.解）∵是梯形，∥，．∴∠∠D 解：（1答：°180，∠∠∠180°，∠∠A ∵∠∠∠4．1 ∴∠∠，∴△∽△∴，即：解得：或（2）①由（1）可知：△∽△．）4＜x＜1（，∴，即：∴时∵△∽△，∴，或，（舍去）或．∵，解得：21）在梯形中，解证明：（14.，∵∥，，∴∠∠C答：∵∠∠∠∠∠，又∵∠∠B，∴∠∠，∴△∽△，∴，，又∵∠∠B，∴△∽△；∵，∴（2）解：若△是以为腰的等腰三角形，则有两种情况：①，那么根据△∽△，∴=，∴=，即根据第（1）问中已证△∽△，∴=，即，∴∠∠C，又∵∠∠C，∴∠∠B，∴∥延长和相交于点G，又点M是的中点，∴是△的中位线，∴，又∵∥，∴△∽△，∴，∴=1，即6，∴12，∴6②3，∴点E是的中点，又△∽△，∴1，即，∴是梯形的中位线，∴（）=（3+6）=；（3）∵⊥，∴∠90°，△∽△，∠∠∠45°，解一：过点E作⊥，则可得△等腰直角三角形，故，设，则，，，∴﹣2解二：过点M作⊥，3，．，由△．∽△有，即，得15. 解（1）证明：∵在梯形中，∥，，∴∠∠C．答：2，2，4，4．∴．∴△∽△．（2）解：①∵∠∠∠∴180﹣∠180﹣∠∠∠∠∠∴∠∠，∴△∽△，∴．∴．．）4＜x＜2（∴当在线段的延长线上时∵∠∠，∠∠∠，∴△∽△∵，∴．2，∴x﹣38=0，∵△＜0．∴此方程无实数根．；故当点F在线段的延长线上时，不存在点P使当点F在线段上时，同理△∽△，∵，∴．．∴．．∴∵△∽△，∴2∴x﹣98=0，解得x=1，x=8．由于x=8不合题意舍去．∴1，即1．212∴当时，的长为1．△；∽△∽△∽△（16. 解解：1）答：中，△与△（证明：2）在，12060°，∴∠∠°∵∠∠，∴∠∠，∴△∽△；°120，∴∠∠°60∵∠．N在线段上时，如图，在线段上，点M、3解：（）（i）当点E ：，∵△∽△，∴：，△；∴：：，同理可证﹣x），∴△∽即：x：2：（3：，∴，即：x：1=2）；∵，∴3，∴（1≤x≤3（）当点E在线段上，点G在△内时，如备用图一，同上可得：，，﹣y，∴﹣（0＜x∵﹣，∴3≤1）；，，（）当点E在线段的延长线上时，如备用图二，∵﹣，∴3﹣，∴（x＞3）；（0＜x≤1），或∴（综上所述：﹣x≥1）；（4）（i）当1时，△是边长为1等边三角形，∴S×1×=；（1分）△（）当1时，△是有一个角为30°的△，∵4，∴，﹣4×﹣1×=，=×．∴S×△解17. （1）解：∵⊥，∴可得：，∴，△∽△答：3＜；x，∴﹣，设，，又∵23，∴0，＜（2）解：当△的面积是△面积的4倍，，，∴1：2则：相似比为∵2，∴1，2，∴，2，∴．3）不存在．（F，连接作⊥，交于O，于，，∵⊥，⊥∴，=，∵△∽△∴= ，若223x﹣64=0 △=6﹣4×4×3=﹣12 x无解因此，不存在．90°）在△中，∠18. 解解：（1答：；3，∴，4，4k，∴55，∴1∵，∴设3k ．E 作⊥，垂足为H（2）过点；4k，5k△∽△设3k，易得∵∥∴∠∠22 4k）9k+4=2（4﹣∵∠∠90°∴△∽△∴∴?，即24=0 化简，得﹣9k+8k；解得（负值舍去），∴（3）过点E作⊥，垂足为H．易得△∽△设3k，5k∵∠∠90°∠∠90°∴∠∠∵∠∠90°∴△∽△∴，和△相似时，有两种情况：△当°，∴，1即，∴解得，即，∴2°．解得，∴综合1°、2°．，当△和△相似时，的长为或19. 解（1）证明：如图2，连接．答：∵∠90°，，∴∠∠45°，∵点D是中点，∴∠∠45°，，∴∠∠45°．∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠，∴△≌△（），∴；．P，Q，作⊥，⊥，垂足分别为点1）解：如图2（∵∠，∠9，∴△∽△∴∵∠9，9，∴9∵⊥，∴9，∴∠∠∵∠9，∴△∽△∴，∴）解如备用，作⊥，⊥，垂足分别为在△中，∠90°，6，∴，∵：1：2，∴，．由∠∠90°，∠∠45°，可得，，，，易证△∽△，∴，∴，∴8﹣2x，定义域是0＜x≤4．②如备用图2，取的中点O，作⊥于M．可得6﹣x，，．，若以为直径的圆与直线相切，则解得，时，以为直径的圆与直线相切．∴当解20. 10，，6，∴8，1解：（）∵在△中，∠90°，答：∴4．过点．则可求得．E作⊥于H．105＜4∴××（0x≤或＜x≤）（2）取的中点O，过点O作⊥于G，连接．，）x﹣10（﹣4，﹣）10（=×则．∴．22，∴（）=4若两圆外切，则可得，222]解得．）﹣x）（10=4[∴（8+10若两圆内切，得﹣，22222]）（10）∴（﹣）=4，∴（8﹣10=4[．解得﹣（舍去），所以两圆内切不存在．所以，线段的长为（3）由题意知∠≠90°，故可以分两种情况．①当∠为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△相似，又知∠∠，∠＜∠，所以∠∠．过点D作⊥于M，过E作⊥于H．根据等角的余角相等，可证得∠∠，∴．又﹣﹣x，，∴2．∴×2=．由（1）知：，∴②，当∠为钝角时，同理可求得x ﹣∴8或．．∴×8=．所以，△的面积是，则四边形为矩形；）作⊥，垂足为H解21. 解：（124，答：∴；，中，△（1分），∴在又5，；∴S梯形（2）连接，由，可知△≌△，4；作⊥交的延长线于点E，（1分）．4k，3k，令中，△在．22中则△222即4=（2+3k）+（4k），解得：；∴；（3）作⊥交于点F，由∠∠∠90°，可得：△∽△；∴，即，化简得：；又，；∴定义域为（0＜x＜5）．。

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论； ②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△△EDF =45゜△△ADE +△BDF =180゜−△EDF =135゜△△ADE =△BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED △△BDF (AAS ) 答案为：△BDF ； ②△△ABC 是等边三角形△△B =△C =60゜△△BDE +△BED =180゜−△B =120゜△△EDF =60゜△△BDE +△CDF =180゜−△EDF =120゜△△BED =△CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△CFD (AAS )故答案为：△CFD ； ③△四边形ABCD 是正方形△△ABC =90゜，AB =BC△△ABE +△CBF =180゜−△ABC =90゜△AE △l ，CF △l △△AEB =△CFB =90゜△△ABE +△EAB =90゜△△EAB =△CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△BCF (AAS ) △AE =BF =1，BE =CF =2△EF =BE +BF =2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示△四边形OABC 是正方形△△AOC =90゜，AO =OC△△COE +△AOD =180゜−△ACO =90゜△AD △x 轴，CE △x 轴△△CEO =△ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC中，AB AC=，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？ （3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE=BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC ∠=∠ADP ∴∽△△（3）EFD ∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =4DF =，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC ECEC CD∴=5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴=【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长． 【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =+或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解； （2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM=，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MHAM AB MB==，根据5AM =，可得3543GH MH==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AEDE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒． △EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽； (2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ， △CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AGMN GM=， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ． △MHG MBA ∽△△．△GM GH MHAM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB=，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AFAEDE DC． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<+，036<<，△3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =； （3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒， △MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠， 在MPR △和NRQ △中，PMR NRQMPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠； （2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC和△四边形CDGH HL BC⊥，在DCB和△3）解：过3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE 绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NOOE ME MO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，ON33NF OF33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO，AB=5m，）可证得CDB∆3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =，△直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下： △AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α， 补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．∽AMF BGM，即可求出长度，即可求出FG的长度．(1)解：ABP PDC△≌△△中在ABP△和PDC Array在AOB和△Rt AOB 中，AOD △中，12OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠B =∠△∽AMF BGM △AM BG 45B ∠=︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、相似三角形9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中．边长为4的等边△OAB 的边OA 在x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，， ∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°， 又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】 （1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆； （2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=，180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8)y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线CD交于点()2,1M，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．NF OF NO90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE。

培优专题25 相似三角形的一线三等角模型【专题讲解】1.常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型2.模型构造1.图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.2.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.3.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。

“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度3.构造步骤：找角——通常找“特殊角”。

如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊角的Rt △；例：如右图，当∠ABP=45°时，∵∠ABP 在y 轴上，∴在y 轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE ，△PHG ，则在y 轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB ∽△BGP ∴（常用）GPBEBG AE 4.模型特例——K 型图（三垂定理）应用：1.当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K 型图”解题2.当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题3.由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算4.“K 型图”常和“A 字图”或“8字图”类的平行相似结合在一起求长度“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂线。

如图：【专题训练】1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形ABCD 的顶点B A 、分别落在x 轴y 轴上，4OB OA ==，AB=2BC 则点C 的坐标是（ ）A ．()9,3B ．(9,C ．(4+D ．(2,∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ，∠ABC=90°，2．（2020·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝3x（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝mx上运动，则m的值为()A．-9B．-12C．-15D．-18【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键．3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（ ）A．B．C．D．16【答案】D【分析】先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∵四边形EDFG为矩形，4．（2020·重庆八中九年级阶段练习）如图，点,D E 是正ABC D 两边上的点，将BDE D 沿直线DE 翻折，点B 的对应点恰好落在边AC 上，当4AC AF =时，BDBE的值是（ ）A ．23B ．34C ．35D ．57【答案】D【分析】先证明ADF CFE D D ∽，再根据相似三角形的周长比等于相似比和折叠的性质进行转化即可求解．【详解】解：设AF =x ，∵ABC D 为等边三角形，∴AC=AB=BC =4x , ∠A =∠B =∠C =60°,CF =3x ∵BDE D 翻折得到FDE D ，∴B D=FD,BE=FE, ∠B=∠DFE =60°，∴∠AFD +∠DFE =∠C +∠FEC ，∴∠AFD=∠CEF ，∴ADF CFE D D ∽，5．（2020·重庆八中九年级阶段练习）如图，点A是双曲线2yx=在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边ABCV，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=上运动，则k的值为（）A．8-B．6-C．4-D．2-6．（2022·湖北襄阳·一模）如图，ABC V 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为______．∵△ABC为等边三角形，∴∠DFE=∠DAE= 60°∴∠CFE+∠FEC=∠CFE7．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 是边BC 上一点，将△ABC 沿EF 折叠使点A 与点D 重合，若BD : DE =2 : 3，则CF=____．【答案】2.4【分析】根据折叠的性质可得∠EDF =∠A ，DF =AF ，再由等边三角形的性质可得∠EDF =60°，8．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________9．（2019·浙江·九年级期末）已知ABC V 是等边三角形，6AB =，点D ，E ，F 点分别在边,,AB BC AC 上，:2:3BD BE =，DE 同时平分BEF Ð和BDF Ð，则BD 的长为_____．上一点，2⊥于点F，与BD交于点G，则EF的长是______．OE=，连接BE，过点A作AF BE11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连接PB ，过点P 作PE PB ^，交射线DC 于点E ，已知3AD =，5AC =．设AP 的长为x ．(1)AB =___________；当1x =时，PE PB=_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE V 是等腰三角形时，请求出x 的值．Q 四边形ABCD 是矩形，3BC AD \==，5AC =，90ABC Ð=2222534AB AC BC \=-=-=．在Rt APM △中，1PA =，35PM =，165BM AB AM \=-=，=，90Q，所以只能EP EC PECÐ>°\Ð=Ð，EPC ECPQ，Ð=Ð=°90BPE BCE\Ð=Ð，BPC BCP\=，BP BC=．Q，所以只能CP CEÐ>°PCE90\Ð=Ð，CPE EÐ=ÐQ，PGB CGEÐ=Ð=°90GPB GCE\Ð=Ð=Ð，PBG E CPEÐ+Ð=Q，APB CPEÐ+Ð=°ABP PBC9012．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．【答案】(1)等边三角形13．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B Ð=Ð=Ð=°时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC V 中，AB =45B Ð=°，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD Ð=°，若CE =CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由∠DPC =∠A =B =90°，可得∠ADP ＝∠BPC ，即可证到△ADP ∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；14．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC Ð=Ð=Ð=°．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC Ð=Ð=Ð．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC V 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A Ð=Ð，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝ ；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝ （用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．16．（2021·浙江衢州·中考真题）【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．（2）如图，连接EH，由（1）得BCE CDG △△≌，9CE DG \==，由折叠得BC BF =，CE FE =同理得HG HF =，DG m \=，同理可得BCE CDG △∽△，可得m CE FE k==，mx DE k \=，2222HF FE DH DE +=+Q ，。

」、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反 A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（六）双垂型: A（平行）（不平行）△B（平行） （三）母子型（蝴蝶型）相似三角形判定的变化模型一线三直角的2AB=AC ADL BC 于 D, CG// AB BG 分别交 AD AC 于 E 、F .求证：BE=EF? EG2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 BC=16点D 是边BC 上（不与 B, C 重合）一动点，/ ADE=Z B=a, DE 交 AC 于点E .下列结论：①AD 2=AE? A B ② 3.6 W AE V 10;③当 AD=2 i 时，△ ABD^A DCE ④厶DCE 为直角三角形时， BD 为8或12.5 . 其中正确的结论是 _____________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3.已知：如图，△ ABC 中，点 E 在中线 AD 上，/ DEB=/ ABC 求证：(1) DB=DE? D A(2 )Z DCE=/ DACAD// BC,对角线 AG BD 交于点O, BE// CD 交CA 延长线于 E.求证:OC=OA?OE6.已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=2 AC=4 P 是斜边 AB 上的一个动点， PD 丄AB 交边 AC 于点 D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD=/ A.设A P 两点的距离为 x ,A BEP 的面积为 (1)求证：AE=2PE(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域;8.如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D B C E 在同一条直线上，且/ DAE=120 (1) 图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9.(已知：如图，在 Rt △ ABC 中，AB=AC / DAE=45 .求证:BC=2DE10.如图，在等边厶 ABC 中，边长为 6, D 是BC 边上的动点，/ EDF=60 (1) 求证：△ BD 0A CFD②若BP=x CQ=y 求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 正方形ABCD 勺边长为5 (如图)，点P 、Q 分别在直线CB DC 上 (点P 不与点C 点B 重合)，且保持 / APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP 的长(不需要计算过程，请直接写出结果)13 .已知梯形 ABCD 中, AD// BC,且 AD< BC, AD=5, AB=DC=2 (1) 如图，P 为AD 上的一点，满足/ BPC=ZA ,求AP 的长；(2) 如果点P 在AD 边上移动(点 P 与点A D 不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE 交直线BC 于点E ,同时交直 线DC 于点Q.①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设 AP=x CQ=y 求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；求BE 的长.11. (1)在厶ABC 中，AB=AC=5 BC=8点P 、Q 分别在射线 CB AC 上(点P 不与点 C 点B 重合)，且保持 / APQ 2 ABC14.如图，在梯形ABCD中, AD// BC, AB=CD=BC=,6 AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作/ EMF M B, 射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证：△ ME®A BEM(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD求BE的长.15 .已知在梯形ABCD中, AD// BC AD< BC 且BC=6 AB=DC=4 点E 是AB 的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：△ BEP^A CPD(2) 如果点P在BC边上移动(点P与点B C不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x, DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；16.如图所示，已知边长为3的等边△ ABC点F在边BC上, CF=1,点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边厶EFG直线EG FG交直线AC于点M, N,(1)写出图中与△ BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=x , MN=y求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)若AE=1，试求△ GMN勺面积.丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x AE=y,(1)写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围; (2)如果△ PCD 的面积是△ AEP 面积的4倍，求CE 的长;(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.18. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AB=5,工匸-=，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点, 交射线AC 于点F .(1 )求AC 和BC 的长；(2) 当 EF// BC 时，求 BE 的长；(3) 连接EF ,当厶DEF 和△ ABC 相似时，求 BE 的长.(备用图)19. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AC=BC D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 重合)，DF 丄DE DF 与射线BC 相交于点F .(1) 如图2,如果点 D 是边AB 的中点，求证：DE=DF (2) 如果 AD: DB=m 求DE DF 的值；17.如图所示，已知矩形 ABCD 中, CD=2 AD=3,点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点 P 作PEDF 丄DEA 、C 不(3)如果AC=BC=6 AD DB=1: 2,设AE=x BF=y,①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)如果以线段BC 为直径的圆与以线段 AE 为直径的圆相切，求线段 BE 的长;421. 如图，在梯形 ABCD 中, AB// CD AB=2 AD=4, tanC=^，/ ADC M DAB=90 , P 是腰 BC 上一个动点(不J含点B C ),作PQLAP 交CD 于点Q.(图1) (1 )求BC 的长与梯形 ABCD 勺面积；(2)当PQ=DQ 寸，求BP 的长；(图2)20. 如图，在厶ABC 中，/ C=90° EF 交射线BC 于点F .设BE=x , (1 )求y 关于x 的函数关系式, ,AC=6 •斗_彳,D 是BC 边的中点, △ BED 的面积为y .并写出自变量 x 的取值范围； E 为AB 边上的一个动点, 作/ DEF=90 ,②以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时 x 的值；若不可能，请说明理由.BED 相似，求△ BED 的面积.(2)••• AD 是中线,• CD=BD • C D=AD? DE,又/ ADC N CDE DEC^A DCA :丄 DCE N DAC证明：连接CE 如右图所示，•/ AB=AC AD L BC, • AD 是/ BAC 的角平分线，• BE=CE •••/ EBC=z ECB 又•••/ ABC=Z ACBABC- / EBC 2 ACB-Z ECB1. 解 答：2. 解 答： 证明：••• AD// BC4，又 BE// CD •••丄』，二二丄，即 OC=OA? OEOC OBOB OE OC OE解：①••• AB=ACB=Z C ,又•••/ ADE=Z B.••/ ADE N C ,「.A ADE^A ACD •••4 仝，.•• AE J =AE ? AB,AE AD故①正确，②易证得厶 CDE^A BAD T BC=16 设 BD=y, CE=x •••魁=—,•1° 工，整理得: CD CE 16-y x2即(y - 8) =64 - 10x , • O v x < 6.4 ,•/ AE=AC- CE=10- x , • 3.6 < AE< 10.故②正确. 2y - 16y+64=64 - 10x ,3.解 答： ③作AGL BC 于G •/ AB=AC=10 / ADE 玄 B=a ,COS a_4•/ BC=1Q • AG=6 •/ AD=2 I ，• DG=2 • CD=8 • AB=CD •△ ABD-与^ DCE 全等；故③正确; ④当/ AED=90 时，由①可知：△ ADE^A ACD •/ ADC=Z AED •••/ AED=90 , ADC=90 , 即 AD L BC, •/ AB=AC • BD=CD ADE 玄 B=a 且 COS a = , AB=10, BD=8/ B=a 且 COS a J. AB=10, ••• cosB=二 •• BD 」.故④正确5 BD 5 2当/ CDE=90 时，易厶 CDE^A BAD •••/ CDE=90 , BAD=90 ,故答案为：①②④.B U G C证明：（1）在厶BDE 和A DAB 中•••/ DEB=/ ABC / BDE=/ ADB BDE^A ADBD£__BD • BE J =AD ? DE4.解 答：.CD 二 AD'DE _CD实用文档即/ ABEK ACE又••• CGI AB,：/ ABEh CGF :丄 CGF 2 FCE 又/ FEC=/ CEGCEF^A GEC 二 CE EF=EG CE 即 C^=EF? EG 又 CE=BE ••• BU=EF? EG又 EF 为 AD 的垂直平分线,• AF=FD / DAF=/ ADF, DAC / CAF=/ B+/ BAD•••/ CAF=/ B ,•// AFC 玄 AFC •△ ACF^A BAF,即丄仝,• AF "=CF? BF ,即 F[J=CF? BF.AF B?ripr r>ri i •// EPD=/ A, /PED=/ AER EPD^A EAR •定义域是 0< x v 一-—5得 「二_二= 21寸PEAP 2 (2)由厶 EPD^A EAR6.解 答：PD BC 1AP AC 2• PE=2DE • AE=2PE=4DE 作EHL AB,垂足为点H,•/ AP=x •- PD 二x , •/ PD// HE2又AB=2 ■ , y =—•-上J 亠- 'PD AD 3.(2 _ "；- x)? —x ,即 y=-3^ • HE ：x .3X 2+二' 3x .另解：由厶EPD^A EAR 得DE PD 1 PE• PE=2DE • AE=2PE=4DE • AE --S AAB =—X y x ——X X 2=1 x , • ABx .定义域是 0< x < —'.厂丄• PE 二x? • HE AC ，当厶BEP-与^ ABC 相似时，只有两种情形：/(3)由厶 PEH ^A BAC 得x .32BEP=/ C=90° 或/ EBP=/ C=90°.• △ ADP ^A ABC • A=/ A ,X2 x,2SAABE 2 1…y= - — x2 37.解 答：8.解 答：证明：••• BD CE 分别是AC 与AB 边上的高，•/ BEC 2 BDC• B 、C D E 四点共圆，•/ AED=/ ACB 而/ A=Z A, • △ AED^A ACB •- -丄； BC AR•/ BD 丄AC,且/ A=60°,A Z ABD=30 , AD=迅，• BC=2DE•/△ ABC 是等边三角形•/ ABC=/ ACB 玄 BAC=60 . •/ D+Z DAB=60 , •••/ DAE=120，•/ DAB+Z EAC=60 . •/ D=Z CAE / E=Z DAB •••/ D=Z D,Z E=Z E ,「.A DAE^A DBA^A ACE(2)•••△ DBA^A ACE •- DB: AC=AB CE•/ AB=AC=BC DB=2 CE=6i BC ?=DB? CE=12 •/ BO0, • BC=2,/ £.Z E+Z CAE=60 .9.解证明：(1)在Rt △ ABC 中， 答： •/ AB=AC •/ B=Z C=45.•••/ BAE=/ BAD+Z DAE Z DAE=45，•/ BAE=/ BAD+45 . 而/ ADC Z BAD+Z B=Z BAD+45 , • Z BAE=/ CDA • △ ABE^A DCA(2)由厶 ABE^^ DCA 得翌• BE? CD=AB AC.AB CD2 2 2 2 2 2而 AB=AC BC=AB+AC ,「. BC=2AB . • BC=2BE? CD10.解(1)证明：•••△ ABC 为等边三角形，•/ B=Z C=60°, 答： vZ EDF=60，•/ BED+Z EDB 玄 EDB+Z FDC=120 ,• Z BED Z FDC •△ BD 0A CFD(2)解：由(1 )知厶 BDE^A CFDBE =BD CD =CF(i )当/ BEP=90时，旦县，•••罗》=丄.解得x 型迈.PB 起药厂V5 4• y=-二x X_X 5+''X …亠.31&3 4 16(ii )当/ EBP=90时，同理可得 x=邑匹,y=J .24•/ BC=6 BD=1,「. CD=B G BD=5, •••翌=丄，解得 BE 壬.5 3 3解解：(1)①•••/ APQ+Z CPQ 2 B+Z BAP, / APQ 2 ABC BAP=Z CQP又••• AB=AC •••/ B=Z C.• △ CPQ^A BAP若点P 在线段CB 的延长线上，如图.•••/ APQ M APB 亡 CPQ/ ABC 玄 APB+Z PAB /APQ M ABC •••/ CPQ MPAB又 T Z ABP=180 -Z ABC Z PCQ=180 -Z ACB Z ABC Z ACB • Z ABP=/ PCQ11. 答:BP AB•/ AB=AC=5 BC=8 BP=6 CP=8- 6=2 , • CQ CP•/ BP=x, BC=8,「. CP=BC- BP=8- x , ，即丁 _ 7 y5②若点P 在线段CB 上，由（1 ）知又••• CQ=y AB=5 •工E _ 1X 5故所求的函数关系式为CQ 2» 12 6 3CQ 飞CQ PC ■/ BP=x CP=BC+BP=8+, AB=5, CQ=y实用文档QCP^ PBA 里/:.实用文档圉①(2)①当点P 在线段BC 上,•••/ APQ=90，•/ APB+Z QPC=90 , •••/ PAB 亡 APB=90，•/ PAB=/ QPC•••/ B=/ C=90°.・.A ABP^A PCQ • AB: PC=BP CQ-J ： 或. | -②当点P 在线段BC 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ即 5: ( 5 - BP ) =BP 1,解得:2DC 的延长线上,••• 5: (BP- 5) =BP: 1，解得: BP=— ③当点P 在线段CB 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ • 5: (BP+5) =BP 1,解得：E _ . DC 的延长线上, A=Z D 13.解 解：(1)v ABCD 是梯形，AD// BC AB=DC 「./ •••/ ABP+/ APB+/ A=180°,Z APB-/ DPC / BPC=180 , / BPC 玄 A 解得：AP=1 或 AP=4.答: •••/ ABPK DPC ABN A DPC. AP 民即. AP 2 CD FD 2 ~5-AP 14. 答: (2)①由(1) •；」即:DQ~PD②当CE=1时，富二22fy~ 5-i•/△ PDQ^A ECQ • CE_CQPD~DQ ，:,解得：AP=2或(舍去).G怙 ■ 4. 『-t * -i;\Fi/i解证明：(1)在梯形ABCD 中,•/ AD// BC, AB=CD 「・/ B=/ C ,•••/ BMF / EMB / EMF / C+/ MFC又•••/ EMF=/ B, •/ EMB / MFC •△ EMB^A MFC •- _L "一EM ~MF ' •/ MC=M , • 一 UL關—和，又丄即匕B’iEi B EM(2)解：若△ BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，则有两种情况:① BM=ME 那么根据厶 ME &A BEM .•.二1="- ,•. £=也，即 EF=MFHE 01 ME EF根据第(1)问中已证厶BM 0A MFC ■ ■, 即 MF=FC •••/ FMC 2 C,HE FC又•••/ B=Z C,.Z FMC M B ,. MF// AB延长BA 和CD 相交于点 G 又点M 是BC 的中点， • MF >^ GBC 的中位线，• MF=GB2!又••• AD// BC,GAD^A GBC • 塑=型=丄4 ,•.塑=1, 即 AG=AB=6GB BC 6 2 AG• GB=12 • MF=EF=6② BM=BE=3 .•点E 是AB 的中点,又厶 MEF^A BEM.•.型=世=1,即MF=ME • EF 是梯形 ABCD 勺中位线，• EF 丄(AD+BC — ( 3+6)戈;Bg ME 2 2 2(3 )T EF ± CD• / BEP=/ FPC •△ BEP^A CPF , • ^^^-4 (2< x v 4)•②当点F 在线段CD 的延长线上时，•••/ FDM Z C=Z B, / BEP=/ FPCK FMD •△ BEP^A DMF DF 3 y.T , • x - 3x+8=0 , △< 0.•此方程无实数根..•尸gF - 3K +4 .2 ____________、,15. 答:• / EFC=90 , △ MEF^A BEM / MFE / MFC / BME=45 ,解一：过点E 作EH! BC,则可得△ EHM 等腰直角三角形， EH=MH 」 故 EH=MH 设 BE=x 贝U BH 丄•-, 4解二：过点M 作MN L DC MC=3由厶 MEF^A MFCt • T ,即 P 旳TCI 5 4NIC 』.M43弓&亏"解 (1)证明：•••在梯形 ABCD 中 , AD// BC, AB=DC=FN FC= i i ： - - 2BE —— 丨.• / B=Z C.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4 •••里=!!?.•••△ BEP^A CPDCP CD(2)解：①•••/ B=Z C=Z EPF• 180 —/ B=180-Z EPF=/ BEP+Z BPE=Z BPE+Z CPFHE 閏.•crP 2 si 6-iSZ1DJIF^43ABEP, … DF BP"3 y 八. △ BEP^A CPF , • EB BPl • 1 2 xCP '"cr£ - 工 4 _ y.、/9•当 £ADMF ^^ABEP，得 2故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点 P 使SADMF =-|SABEP ； 当点F 在线段 CD 上时，同理△ BEP^A DMF• x - 9x+8=0 ,解得X1=1 , X2=8.由于X2=8 不合题意舍去.• x=1 ,即BP=1. 时，BP的长为1.实用文档16.解解：（BE&A AM 0A CFW A GMN 答：证明：（2）在厶BEF 与厶AME 中,•••/ B=Z A=60°,「./ AEM 社 AME=120 ,•/△ BEF^A AME •- BE: AM=BF AE ,同理可证厶 BEF ^A CFN • BE: CF=BF CN即：x ： 1=2： CN •- CN 丄,即: x ： AM=2 （3- x ） , • AM=•••/ GEF=60 ,•••/ AEM # BEF=120BEF=Z AME :, △ BEF ^A AME备用图一备甲图二解：(3) (i )当点E 在线段AB 上，点M N 在线段AC 上时，如图,实用文档(ii )当点E 在线段AB 上，点6在厶ABC 内时，如备用图一，同上可得：AM= 丁 i ；, C N L ,2x•/ AC=AM+CN MN ••• 3= _ /+%+上—yy=— J %*民 一 4 ( o v x < 1 )；2 x2x(iii )当点E 在线段BA 的延长线上时，如备用图二，AM= -------- 二,CN=,2 £ •/ AC=MN+C Z AM • 3=y+Z - ' _ 刃，• y=J 一 彳&张—° ( x > 3);± 2 2x综上所述：y= -£-娄细竺( o v x < 1),或y=^-3,十6豪 -4( x > 1)； 2x 2x(4) (i )当AE=1时，△ GMN 是边长为1等边三角形，S MM =_X 1 X 二=丄；(1 分)::(ii )当 AE=1 时，△ GMN1 有一个角为 30° 的 Rt △, ••• x=4,. y= 「一，一丄,NG=FG FN=4X ；- 1 X ・；=；, 2X4 2 222• s =1X22 2 g17. 答: 解(1)解：T PEI CP,.可得：△ y 3 _ Xx" 2(2)解：当△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍, 则：相似比为2： 1 , •又••• CD=2 AD=3 设 PD=x, AE=y,.・.AF PAEAP^^ PDC ••亠-PD CD• y = — 1 2 卫 ，…y = - r ,0v x v 3;................... .AE AP_1'PD"CD"2，_•/ CD=2 • AP=1, PD=2 • PE= - , PC=2 :■: , • EC= 111. (3 )不存在.作AF 丄PE,交PE 于O, BC 于 F ,连接EFT AF 丄 PE, CP 丄 PE/. AF=CP= , •, PE=：：,-.',(3-7~2 •/△ CDP^A POA=£2 23x —6x+4=0,OA=PA PC (3- x)x =l 2△ =6 — 4 X 4 X 3= — 12 x 无解因此，不存在.实用文档y—， •••设 AC=3k, BC=4k, /• AB=5k=5,「. k=1,「. AC=3 BC=4 BC 4| (2)过点E 作EH! BC,垂足为 H.易得△ EHB^A ACB 设 EH=CF=3k BH=4k, BE=5k ; •/ EF// BC ••/ EFD=/ FDC•••/ FDE 玄 C=90°A ^ EFD^^ FDC ・ —F D=EF? CD,即 9k 2+4=2 (4 -4k )化简，得 9k 2+8k - 4=0（负值舍去），•••二_■丨 ';19.解(1)证明：如图2,连接DC答： •••/ ACB=90 , AC=BC A=Z B=45° ,•••点 D 是 AB 中点，BCD 2 ACD=45 , CD=BD ACD=/ B=45°•/ ED ! DF , CD!AB,•••/ EDC 丄 CDF=90 , / CDF+Z FDB=90 , EDC M FDB•••△ CED^A BFD (ASA ) , • DE=DF(2) 解：如图1,作DP ! AC, DQL BC,垂足分别为点 Q, P.•••/ B=Z A , / APD=/ BQD=90 , ADP^A BDQ• DP DQ=AD DB=m•••/ CPD / CQD=90 , / C=90°, •/ QDP=90 , •/ DF 丄 DE, •/ EDF=90 , •/ QDF / PDE•••/ DQF / DPE=90 , DQF^A DPE• DE DF=DP DQ • DE DF=DP DQ=AD DB=m(3) 解：①如备用图1,作EGL AB, FH! AB,垂足分别为点 G H. 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=BC=6 •- AB= ■:,18. 答: E 作EH! BC,垂足为H.易得△ BE=5k(3)过点 设 EH=3k, •••/ HED 丄 HDE=90 / FDC+ZHDE=90EHB^A ACB•••/ EHD 2 C=90°•••△ EHD^A DCF•••/ HED=/FDC • I 方五，当厶DEF 和△ ABC 相似时，有两种情况:1°CD~4,即.解得••-丄,24 K 厲 DE BC 4 综合1°、2 ° , 2° 2，•呼5匸卫 • 即亠CD -3 2 "3 当厶DEF 和△ ABCt 目似时，BE 的长为上或丄 2 g 解得w ，—丄.FD _CD解 解：（1）在 Rt △ ABC 中，/C=90°实用文档20. 答:•/ AD DB=1: 2,：. AD三•：, DB= 「由/ AGE M BHF=90，/ A=Z B=45°可得AG=EG= 一.，BH=FH2 K 2易证△ DG0A FHD ：• DG GE匸」「，GD= —_ .,<2 V2----- 資 ----- V2 2rW2②如备用图2,取CE的中点0,作OM L AB于M.可得CE=6- x, A0=-十二,HD=：'7,0M=]：「_±,.AB相切，贝U —2 _ 2 2若以CE为直径的圆与直线解得.•:当八时，以，•: y=8 -2x,CE为直径的圆与直线AB相切.备冒图1 备用图』解解: (1)T在厶ABC中，/ C=90°, AC=6 t述斗，•：BC=8 AB=10,定义域是•: CD=DB=4过点E作EH! CB于H.则可求得EH丄x.54 x '■ x= x (0 V x <5 5-'或5V x w 10).(2)取AE OGL BC于G 连接OD则x10+y32 '(10+x), GD=C- CG=4-I (10-x)4 2-- T •251 2 2两圆外切，则可得*BC1；AE=OD：.( BC+AE =4OD,2 Q 2+——x ]25•: 0D=2：•( 8+10- x) =4[ (10+x)100若两圆内切，得|-；BC--；AEFOD,解得4实用文档•••( BC — AE ) 2=4OD ,.・.(8 - 10+x )2=4[— ( 10+x )100解得x=-二J (舍去)，所以两圆内切不存在•所以，线段7(3)由题意知/ BEF M 90°,故可以分两种情况. ①当/ BEF 为锐角时，由已知以 B E 、F 为顶点的三角形与△ BED 相似，又知/ EBF=Z DBE / BEF <Z BED 所以/ BEF=Z BDE过点D 作DM L BA 于M 过E 作EH L BC 于H. 根据等角的余角相等，可证得/ MDE N HDE • EM=EH21.解解：(1)作BHLCD ,垂足为H,则四边形 ABHD 为矩形；答： • BH=DA=4 DH=AB=2在 Rt △ BCH 中，上皿二寻• 6冷讣■=$，(1 分)BC 討E H '+CH~5； 又 CD=CH+DH=5 • S 梯形 ABCI ^ (血+CD) AD =14;2(2)连接AQ由 DQ=PQ 可知△ APQ AP=AD=4 作PE! AB 交AB 的延长线于点 E , (1分)在 Rt △ BPE 中，二工_；二上--口一-二,令 BE=3k PE=4k. 则在Rt △ APE 中, AF ^A W+P E ,2224A /21 - &即 4=(2+3k ) + (4k ),解得：2+—x 2]25BE 的长为二丄3又 EM=M — EB — - x ,5由(1)知：EH 士 x ,「亍冗兀②当/ BEF 为钝角时，同理可求得 x - ,• x=2.•16 =3x=8.「. y=§X 8=坐 5 512或 48 55x ,•所以，△ BED 的面积是实用文档•『'i ：■ - ' | ：厂-「- -(3)作PF丄CD交CD于点F,由/ AEF=/ EFD=/ APQ=90 , 可得：△ AEP^A PFQaQF _屮芹H• OF EPPF~AE，化简得：QF二一16 卫二"SO+ISX5 50+15X3010•….定义域为(0v x v 5).。

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共 享 性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P 作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．1.解答：证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．2. 解答：解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，故①正确，②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．③作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∵BC=16，∴AG=6，∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；故③正确；④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．故答案为：①②④．3. 解答：证明：（1）在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD•DE．（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．4. 解答：证明：连接CE，如右图所示，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，又∠FEC=∠CEG，∴△CEF∽△GEC，∴CE：EF=EG：CE，即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．5. 解答：证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．6. 解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足为点H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）•x，即y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x，∴S△ABE=×x×2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x•=x．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．（i）当∠BEP=90°时，=，∴=．解得x=．∴y=﹣x××5+×=．（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=，y=．7. 解答：证明：∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，∴∠BEC=∠BDC，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴；∵BD⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABD=30°，AD=，∴BC=2DE．8. 解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．∵∠DAE=120°，∴∠DAB+∠EAC=60°．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．（2）∵△DBA∽△ACE，∴DB：AC=AB：CE．∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6∴BC2=DB•CE=12，∵BC＞0，∴BC=2．9. 解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD+45°．而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，∴∠BAE=∠CDA．∴△ABE∽△DCA．（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．∴BC2=2BE•CD．10. 解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．11. 解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．②若点P在线段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴，即（x≥8）．（2）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP﹣5）=BP：1，解得：，③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．13.解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴，或，∵，解得：AP=2或（舍去）．14. 解答：证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，∴△EMB∽△MFC，∴，∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM；（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH，设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE=解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2由△MEF∽△MFC有，即，得BE=．15. 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C．BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．∴．∴△BEP∽△CPD．（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF∴180﹣∠B=180﹣∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF∴∠BEP=∠FPC，∴△BEP∽△CPF，∴．∴．∴（2＜x＜4）．②当点F在线段CD的延长线上时，∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，∴△BEP∽△DMF．∵，∴．∵，∴x2﹣3x+8=0，△＜0．∴此方程无实数根．故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使；当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，∵，∴．∵△BEP∽△CPF，∴．∴．∴．∴x2﹣9x+8=0，解得x1=1，x2=8．由于x2=8不合题意舍去．∴x=1，即BP=1．∴当时，BP的长为1．16. 解答：解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，∴△BEF∽△AME；解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．17. 解答：（1）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴，又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，∴，∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．（3）不存在．作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，∵△CDP∽△POA ∴=，OA=，若OA=AF =，3x2﹣6x+4=0 △=62﹣4×4×3=﹣12 x无解因此，不存在．18. 解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°∵，∴设AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC∵∠FDE=∠C=90°∴△EFD∽△FDC∴∴FD2=EF•CD，即9k2+4=2（4﹣4k）化简，得9k2+8k﹣4=0解得（负值舍去），∴；（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=3k，BE=5k∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°∴∠HED=∠FDC ∵∠EHD=∠C=90°∴△EHD∽△DCF ∴，当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°，∴，即解得，∴2°，∴，即解得，∴．综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．19. 解答：（1）证明：如图2，连接DC．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵点D是AB中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，∴∠ACD=∠B=45°．∵ED⊥DF，CD⊥AB，∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，∴∠EDC=∠FDB，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DE=DF；（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，∴△ADP∽△BDQ，∴DP：DQ=AD：DB=m．∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，∴∠QDP=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠QDF=∠PDE，∵∠DQF=∠DPE=90°，∴△DQF∽△DPE，∴DE：DF=DP：DQ，∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；（3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，∴AB=，∵AD：DB=1：2，∴AD=，DB=．由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，易证△DGE∽△FHD，∴，∴，∴y=8﹣2x，定义域是0＜x≤4．②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M．可得CE=6﹣x，AO=，OM=．若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，解得，∴当时，以CE为直径的圆与直线AB相切．20. 解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，∴BC=8，AB=10，∴CD=DB=4．过点E作EH⊥CB于H．则可求得EH=x．∴y=×4×x=x（0＜x≤或5＜x≤10）．（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．则OG=OB=×=（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，∴OD=．若两圆外切，则可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，∴（8+10﹣x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=．若两圆内切，得|BC﹣AE|=OD，∴（BC﹣AE）2=4OD2，∴（8﹣10+x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=﹣（舍去），所以两圆内切不存在．所以，线段BE的长为．（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．①当∠BEF为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，∴EM=EH．又EM=MB﹣EB=﹣x，由（1）知：EH=x，∴，∴x=2．∴y=×2=．②当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣=x，∴x=8．∴y=×8=．所以，△BED的面积是或．21. 解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足为H，则四边形ABHD为矩形；∴BH=DA=4，DH=AB=2在Rt△BCH中，，∴，（1分）；又CD=CH+DH=5，∴S梯形ABCD=；（2）连接AQ，由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）在Rt△BPE中，，令BE=3k，PE=4k．则在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即42=（2+3k）2+（4k）2，解得：；∴；（3）作PF⊥CD交CD于点F，由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，可得：△AEP∽△PFQ；∴，即，化简得：；又，∴；定义域为（0＜x＜5）．。