正余弦定理重要知识点(经典)

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正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.

重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题. 在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.

重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.

难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：

一、正弦定理

1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a =

sinB/b = sinC/c。

2. 性质：

- 等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；

- 等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；

- 等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：

- 已知三个角的度数，求边长；

- 已知两个边的长度，求第三个边的长度；

- 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；

- 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

二、余弦定理

1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)。

2. 性质：

- 等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；

- 等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；

- 等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：

- 已知三个角的度数，求边长；

- 已知两个边的长度，求第三个边的长度；

- 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；

- 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

三、题型归纳

1. 已知三个角的度数，求边长：

- 根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；

- 如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：

- 根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；

- 如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：

- 根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法

1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．

2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．

主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．

1． 正弦定理

(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它

所对角的正弦的比相等， 即 ．其

中 R是三角形外接圆的半径．

(2) 正弦定理的其余形式： ， c

① a ＝ R A ， b ＝

2 sin

＝ ；

a

②sin A＝2R， sin B＝ ，

sin C＝ ；

③a∶b∶c＝______________________.

2． 余弦定理

——王彦文 青铜峡一中

(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍．即

a2＝ ，b2＝ ，

c2＝. ，即为勾

若令 C＝ °，则 c2＝

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股定理． (2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA

＝ ， cosB＝ ，

cosC＝ .

若 C为锐角，则 cosC>0，即 a2＋ b2 ______c2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a2＋b2______c2. 故

由 a2 ＋b2 与 c2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．

(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边

角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2 A

＝ sin 2B＋ sin 2C－ 2sin Bsin CcosA，近似地， sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝

__________________.注意式中隐含条件 A＋ B

正余弦定理

1.定理内容：

（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

2sinsinsinabcRABC

（2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：

2222cosabcbcA

2222cosbacacB

2222coscababC

（3）面积定理：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB

2.利用正余弦定理解三角形：

（1）已知一边和两角：

（2）已知两边和其中一边的对角：

（3）已知两边和它们所夹的角：

（4）已知三边：

正弦定理

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

D．26

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

A．42 B．43

C．46

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )

A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定

解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )

A．1

C．2

6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )