余弦定理的知识点

正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：

一、正弦定理

1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a =

sinB/b = sinC/c。

2. 性质：

- 等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；

- 等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；

- 等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：

- 已知三个角的度数，求边长；

- 已知两个边的长度，求第三个边的长度；

- 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；

- 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

二、余弦定理

1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)。

2. 性质：

- 等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；

- 等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；

- 等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：

- 已知三个角的度数，求边长；

- 已知两个边的长度，求第三个边的长度；

- 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；

- 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

三、题型归纳

1. 已知三个角的度数，求边长：

- 根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；

- 如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：

- 根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；

- 如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：

- 根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；

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正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.

重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题. 在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.

重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.

难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

学案：解三角形（二）

一、知识点讲解

1．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：

如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

RCcBbAa2sinsinsin。

（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

3．三角形的面积公式：

（1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

（2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；

（3）△＝)sin(2sinsin2CBCBa＝)sin(2sinsin2ACACb＝)sin(2sinsin2BABAc；

（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）

（5）△＝Rabc4；

（6）△＝))()((csbsass；)(21cbas；

（7）△＝r·s。

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

余弦定理 教师：lihao

(1)语言叙述

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ．

(2)公式表达

2a＝

2b＝ 2c=

c2＝

思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①已知三边比例；

②求三角形的三内角．

解答本题可应用余弦定理求出三个角

[题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定

理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，

最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)

已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC

各角的度数．

[解题过程] ∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，

∴令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k.

由余弦定理，有

cos A＝b2＋c2－a2

2bc＝6＋3＋12－4

26×3＋1＝2

2，

∴A＝45°.

cos B＝a2＋c2－b2

2

ac＝4＋3＋12－6

2×2×3＋1＝1

2，

∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

1．在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，

求角A，B，C.

解析： 在△ABC中，由余弦定理得，

cos C＝a2＋b2－c2

2ab＝262－6＋232－432

2×26×6＋23

＝243＋12423＋1＝22.

∴C＝45°，sin C＝2

2.

由正弦定理得：sin A＝asin C

c＝26×2

2

43＝1

2.

∵a

∴A＝30°.

∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.

已知：在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形．

[解题过程] 方法一：由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B得

(3)2＝a2＋32－2×a×3×cos 30°

∴a2－33a＋6＝0