点和直线对称问题做好的

点和直线的有关对称问题摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。

中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。

解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。

关键词:点；直线；中心对称；轴对称对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况:(一)中心对称⒈点关于点对称⒉直线关于点对称例1:求直线 x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程.分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程.解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等.解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0.(二)轴对称⒈点关于直线对称例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标.解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0.设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2)解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y).∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2这就是已知直线 l的方程故点M′的坐标为(-2,2)⒉直线关于直线对称例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线b的方程.⑵求直线 l1:2x-y+3=0关于直线l :2x-y+4=0对称的直线l2 的方程.分析:由平面几何知识知,若a、b关于直线 l对称,则应具有以下性质:①当a、b相交时,则对称轴是a、b交角的平分线(且通过交点); 当a、b平行时,则a、b与对称轴的距离相等. ②若点A在直线a上,则点A关于直线 l的对称点B一定在直线b 上,并且AB⊥l ;AB的中点在l 上.⑴解一:由2x+y-4=03x+4y-1=0得a与l的交点Ｅ为（３,２）则E(3,-2)一定在b上,设b的斜率为k,于是(三)特殊的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b)；点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)；点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m)；点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点为(m-b,m-a).。

点关于直线对称的二级结论1. 嘿，你知道吗，点关于直线对称，那对称点的连线肯定垂直于这条直线呀！就像两个好朋友手牵手，互相依靠但又保持垂直。

比如给你个点(1,2)关于直线 y=x 对称，那对称点不就是(2,1)嘛！2. 哇塞，对称点到直线的距离还相等呢！这就好比是两端平衡的跷跷板，距离一样才稳定呀。

要是有个点(3,4)关于直线 x=2 对称，那对称点不就是(1,4)咯！3. 哎呀呀，一条直线上有两个对称点，那这两个对称点的横坐标或纵坐标之和的一半就是对称轴上的点呀！这就好像是把它们的特征平均一下。

像点(5,-3)和点(-1,-3)关于直线 x=2 对称，可不就是这样嘛！4. 嘿，你想想，要是有一组点都关于同一条直线对称，那它们的对称点之间是不是有某种规律呀！就像一群人按照特定的方式排队一样。

比如好多点都关于直线 y=-x 对称，那它们的对称点肯定有特别的联系。

5. 哇哦，点关于直线对称，这中间的关系可奇妙了。

就如同在一个神秘的几何世界里探索一样。

要是给你个复杂的图形，让你找对称点，是不是很有趣呀！6. 哈哈，对称点的性质就像是一把钥匙，能打开很多几何难题的大门呢！你不觉得很神奇吗？就像知道了点(2,5)关于某直线对称的点，就能解决大问题。

7. 哎呀，当你发现了点关于直线对称的这些结论，就像是找到了宝藏一样兴奋呢！比如说知道一个点关于 y 轴的对称点，是不是一下子就清楚了呀！8. 哇，点关于直线对称，这里面的奥秘可多了去了。

就像一个无尽的宝藏等着我们去挖掘。

要是让你找一个图形中所有点的对称点，你会很带劲吧！9. 嘿呀，你可别小看这点关于直线对称的结论，用处大着呢！就像一个小小的魔术，能变出很多奇妙的结果。

像知道了点(-3,6)关于直线的对称点，是不是很有成就感呀！10. 哇，点关于直线对称，真的是超级有趣呀！这可是几何世界里的精彩之处呢。

你想想，通过这些结论能解决多少难题呀！。

第1讲 点关于直线的对称问题知识与方法1.如右图所示，已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，求P 关于直线l 的对称点P '这类问题，通常可以设P '的坐标为(),a b ，利用PP '的中点在对称轴l 上，以及PP l '⊥来建立方程组，求解a 和b .2.技巧：当对称轴直线的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，再将点P 的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.典型例题【例题】已知点()1,2A ，则A 关于直线:220l x y −−=的对称的点A '的坐标为_______.【解析】如图，设(),A a b '，则AA '的中点为12,22a b G ++⎛⎫⎪⎝⎭， 点G 在直线l 上，所以1222022a b ++−⋅−=①， 又AA l '⊥，所以221211212b a +−⋅=−+−②， 联立①②可解得：3a =，2b =−，所以点A '的坐标为()3,2−.【答案】()3,2−变式1 已知点()1,2A ，则：（1）点A 关于直线1:10l x y −−=对称的点A '的坐标为_______；（2）点A 关于直线2:10l x y +−=对称的点A ''的坐标为_______；【解析】（1）1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0A '；（2）1101x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩，点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得10x y =−⎧⎨=⎩，所以()1,0A ''−.【答案】（1）()3,0；（2）()1,0−【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是1±，则不能这样做.变式2 已知直线:10l x y −+=和点()2,0A ，()3,3B −−，点P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为_______.【解析】如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得13x y =−⎧⎨=⎩， 所以A 关于直线l 的对称点为()1,3A '−， 由图可知PA PA '=，从而PA PB PA PB '+=+，故当P 为线段A B '与直线l 交点时，PA PB +最小，且最小值为A B '=.【答案】变式3 一只虫子从原点出发，先爬到直线:10l x y −+=上的点P ，再爬到点()1,1A ，则虫子爬行的最短路程为_______.【解析】问题等价于求直线l 上的动点P 到原点O 和点A 的距离之和的最小值，如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得02x y =⎧⎨=⎩， 所以点A 关于直线l 的对称点为()0,2A '，从而PA PA '=，故PO PA PO PA '+=+， 由图可知当P 为线段A O '与l 交点时，PO PA '+取得最小值，此时PO PA +也最小，且最小值为2.【答案】2【反思】求直线l 上的动点P 到直线l 同侧两定点A 、B 距离之和的最小值问题的解题步骤是：（1）求点A 关于直线l 的对称点A '；（2）求A B '的长，即为所求最小值.强化训练1.（★★）点()2,4A 关于直线:2330l x y +−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】设(),A a b '，如图，一方面，AA '的中点24,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，所以24233022a b ++⋅+⋅−=①， 另一方面，AA l '⊥，所以42123b a −⎛⎫⋅−=− ⎪−⎝⎭②， 联立①②解得：2a b ==−，所以A '的坐标为()2,2−−.【答案】()2,2−−2.（★★）点()3,2A −关于直线:10l x y −−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得12x y =−⎧⇒⎨=⎩点A '的坐标为()1,2−.【答案】()1,2−3.（★★★）已知P 是直线:20l x y +−=上的动点，点()3,0A −，()0,1B −，则PA PB +的最小值为_______.【解析】2202x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩， 将点B 的坐标代入这两个式子的右侧可得32x y =⎧⎨=⎩， 所以点B 关于直线l 的对称点为()3,2B '，从而PB PB '=，所以PA PB PA PB '+=+，由图可知当A 、P 、B '三点共线时，PA PB '+取得最小值AB '=，所以()min PA PB +=.【答案】。

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。

直线对称与点对称的认识与应用直线对称和点对称是几何学中两个重要的概念，它们在几何问题的解决中起到了关键的作用。

本文将对直线对称和点对称进行深入的认识和应用探讨。

一、直线对称的定义与性质直线对称，又称镜像对称，是指平面上的一个点关于一条直线的对称点仍在该直线上。

简单来说，就是一个图形绕着直线对折后完全重合。

直线对称有以下几个性质：1. 直线对称是一个等价关系，即对称是相互的。

如果点A关于直线l对称得到点B，那么点B关于直线l也对称得到点A。

2. 直线对称保持距离，即对称前后两点之间的距离是不变的。

即使这两个点不在直线上，对称后它们之间的距离也是不变的。

3. 直线对称保持角度，即对称前后两线段间的夹角是相等的。

4. 直线对称是可逆的，即对称前后两次对称可以回到原来的位置。

二、直线对称的应用1. 判断图形的对称性：利用直线对称的性质可以判断一个图形是否具有直线对称。

只需找到一个直线，使得图形绕该直线对折后完全重合，即可判断图形具有直线对称。

到对称图形。

只需把给定图形绕对称中心进行对折，并使对折后的图形与原图形完全重合，即可得到所求的对称图形。

3. 解决几何问题：在解决某些几何问题时，可以灵活运用直线对称的性质。

如在证明定理时，可以通过找到适当的直线使得已知条件与所求结论具有对称关系，从而简化证明过程。

三、点对称的定义与性质点对称是指平面上的一个点关于另一个点的对称点仍在以该点为中心的圆上。

简单来说，就是一个点关于另一个点旋转180度的位置。

点对称有以下几个性质：1. 点对称是一个等价关系，即对称是相互的。

如果点A关于点O 对称得到点B，那么点B关于点O也对称得到点A。

2. 点对称是保持距离、角度和面积的。

对称前后两点之间的距离、两线段间的夹角以及图形的面积均保持不变。

3. 点对称是可逆的，即对称前后两次对称可以回到原来的位置。

四、点对称的应用1. 判断图形的对称性：利用点对称的性质可以判断一个图形是否具有点对称。