高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角、距离优化练习新
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2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角、距离优化练习 新人教A版选修2-1
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2 / 92 第3课时 空间向量与空间角、距离
［课时作业］
[A组 基础巩固］
1．在矩形ABCD中，AB＝1,BC＝错误!，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析:建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0,0，1）,C（1，2，0)，错误!＝(1，错误!，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝（0,0,1），
所以cos〈错误!，n〉＝错误!
＝－错误!,
所以〈错误!，n〉＝120°，
所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以PC与平面ABCD所成角为30°,故选A.
答案：A
2．在长方体ABCD。A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）
A.错误! B．错误!
C.错误! D.错误!
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°,∠DC1D1＝45°，
设B1C1＝1，CC1＝错误!＝DD1.
∴C1D1＝错误!，则有
B1（错误!,0，0，），C(错误!，1,错误!），C1(错误!，1，0)，D(0,1，错误!)．
∴B1C，→＝（0，1，错误!），
错误!＝(－错误!，0，错误!）．
∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!.
答案:A
3．已知直二面角α。l。β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β,BD⊥l，D为垂足．若AB＝2,AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( ) 2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角、距离优化练习 新人教A版选修2-1
3 / 93 A.错误! B。错误!
C.错误! D．1
解析：∵平面α⊥平面β,且AC⊥l，BD⊥l,故AC⊥平面β,BD⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt△ACD中，可得CD＝错误!，故A(0,0,1），B(1，错误!,0)，C（0,0,0)，D(0，错误!，0），
2，0)．
则错误!＝（0，0，1），错误!＝（1,错误!,0)，错误!＝(0，设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z)，
则错误!⇒x＝－错误!y，z＝0，
令y＝1，可得n＝（－错误!，1，0)，
故所求距离d＝错误!＝错误!＝错误!。故选C.
答案：C
4.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1（侧棱与底面垂直）中，AA1＝AB＝AC,AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点,P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为（ )
A。π6 B.π4
C.错误! D。错误!
解析:以A为坐标原点，AC,AB，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝AB＝AC＝2，
则错误!＝（2,0，1），Q(1,1，0）,P(0,1,2）,错误!＝(－1,0，2)，
所以错误!·错误!＝0,
所以QP与AM所成角为错误!.
答案：D
5．已知正四棱柱ABCD.A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A。错误! B。错误! 2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角、距离优化练习 新人教A版选修2-1
4 / 94 C.错误! D.错误!
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1，0），C(0，1,0)，D（0，0,0），C1(0,1，2），故错误!＝(1，1，0）,错误!＝(0,1,2），错误!＝(0，1,0）．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则错误!即错误!令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝（2，－2，1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin θ＝｜cos〈n，错误!〉|＝错误!＝错误!，故选A.
答案:A
6．设A(1，0，0）,B（1，0，1)，C（0，1,1），D（1,1，1）,则直线AD与平面ABC的夹角为________．
解析：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．
∵n·错误!＝0,n·错误!＝0，
所以错误!
即错误!
∴错误!
令x＝1，则n＝(1,1,0），
∴cos
∴〈错误!，n〉＝错误!.
∴直线AD与平面ABC的夹角θ＝错误!－错误!＝错误!。
答案：错误!
7．在空间中，已知平面α过点（3,0,0）和（0，4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a＞0），如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a＝________.
解析:设平面α的法向量为n1＝(x，y，z),
记A（3,0，0），B（0，4,0),
C（0,0，a）（a＞0）,则错误!＝(－3，4,0)，错误!＝（－3,0,a）
由题意知错误!即错误!
取z＝3得错误!
n1＝（a，错误!，3），而n2＝（0,0,1）是平面xOy的一个法向量，
则cos〈n1，n2>＝错误!＝错误!＝错误!，又a＞0，解得a＝错误!. 2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角、距离优化练习 新人教A版选修2-1
5 / 95 答案：错误!
8．已知矩形ABCD中，AB＝1,BC＝错误!,将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直．则B与D之间的距离为________．
解析：由B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可求得AM＝错误!，
BM＝错误!，CN＝错误!，DN＝错误!。
MN＝1。由于错误!＝错误!＋错误!＋错误!,
∴｜错误!|2＝（错误!＋错误!＋错误!）2＝｜错误!|2＋｜错误!|2＋｜错误!｜2＋2(错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!)＝错误!2＋12＋错误!2＋2(0＋0＋0）＝错误!,
∴|错误!|＝错误!。
答案：错误!
9。如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝错误!，
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解析:(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD,所以AO⊥BD.
因为BO＝DO，BC＝CD，
所以CO⊥BD。
在△AOC中，由已知可得AO＝1,CO＝错误!,而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD。
(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0,0）,D（－1,0，0），C（0,错误!，0)，A(0，0,1)，错误!＝（－1,0,1)，
错误!＝（－1，－错误!，0）,所以cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为错误!。
10.如图，四棱锥P。ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC; 2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角、距离优化练习 新人教A版选修2-1
6 / 96 (2）若二面角DPC.A的余弦值为错误!，求点A到平面PBC的距离．
解析：（1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD,
∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
（2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，
∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥AE，建立如图所示的空间直角坐标系,则A（0，0，0)，P(0，0，h),
C错误!，D错误!，B（0,2，0)，
错误!＝(0,0，h）,错误!＝错误!，错误!＝错误!
错误!＝错误!，求得平面PAC与平面PDC的一个法向量分别为n1＝（h，－错误!h,0)，n2＝错误!。
∵cos〈n1，n2〉＝错误!＝错误!，
∴h＝错误!.
又可求得平面PBC的一个法向量n3＝（3，3，2),
所以，点A到平面PBC的距离为
d＝错误!＝错误!＝错误!.
[B组 能力提升]
1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( ）
A．－错误! B.错误!
C．－错误! D.错误!
解析：建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2，则D（0,0，0）,
B(2,2，0)，B1（2，2,2)，E（0,2，1）．
∴错误!＝(－2，－2,0）,错误!＝（0,0,2）,错误!＝（－2，0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝（x，y，z）．
∴n⊥错误!，n⊥错误!，
∴错误!∴错误!
令y＝1，则n＝（－1，1，0）．
