人教中考数学锐角三角函数综合题汇编及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
2．如图，反比例函数 0kykx 的图象与正比例函数 2yx 的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y 轴，90ABC.
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)求tanC的值.
【答案】（1）2k，1,2B；（2）2.
【解析】
【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数0kykx 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，根据90ABC ， 90BHC ，可得CABH，再由已知可得AODABH，从而得CAOD，求出Ctan即可.
【详解】（1）∵点A(1，a)在2yx上，
∴a=2，∴A(1，2)，
把A(1，2)代入
kyx 得2k，
∵反比例函数0kykx 的图象与正比例函数 2yx
的图象交于A，B两点，
∴AB、 两点关于原点O中心对称，
∴12B， ；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵90ABC ， 90BHC ，∴CABH，
∵CA∥y 轴，∴BH∥x轴，∴AODABH，∴CAOD，
∴AD22OD1tanCtanAOD.
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.
3．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.
与交于点O,且关于对称
四边形是菱形.
（2）①连接,直线分别交于点,交于点
关于的对称图形为
在矩形中，为的中点，且O为AC的中点
为的中位线
同理可得：为的中点，
②过点P作交于点
由运动到所需的时间为3s
由①可得，
点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A 即：
由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.
在中，设
解得：
和走完全程所需时间为
考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置
4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//CDAB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQOP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），20AB，4cos5AOC．设OPx，CPF的面积为y．
（1）求证：APOQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13xxyxx；（3）8OP 【解析】
【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OPDQ，联结OD后还有OADO，再结合要证明的结论APOQ，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POAQDO即可；
（2）根据PFC∽PAO，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos5AOC、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．
【详解】
（1）联结OD，∵OCOD，
∴OCDODC，
∵//CDAB，
∴OCDCOA，
∴POAQDO．
在AOP和ODQ中，
{OPDQPOAQDOOADO，
∴AOP≌ODQ，
∴APOQ；
（2）作PHOA，交OA于H，
∵4cos5AOC，
∴4455OHOPx，35PHx，
∴132AOPSAOPHx．
∵//CDAB，
∴PFC∽PAO，
∴2210()()AOPyCPxSOPx，
∴2360300xxyx，当F与点D重合时，
∵42cos210165CDOCOCD，
∴101016xx，解得5013x， ∴2360300xxyx50(10)13x；
（3）①当90OPE时，90OPA，
∴4cos1085OPOAAOC；
②当90POE时，1010254coscos25OCCQQCOAOC，
∴252OPDQCDCQCD2571622，
∵501013OP，
∴72OP（舍去）；
③当90PEO时，∵//CDAB，
∴AOQDQO，
∵AOP≌ODQ，
∴DQOAPO，
∴AOQAPO，
∴90AEOAOP，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去；
综上，线段OP的长为8．
5．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）
【答案】22.4m
【解析】
【分析】
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解． 【详解】
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=3，
∴FG=tan3AGAGAFG，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，
∴CG=tanAGACG=3AG．
又∵CG﹣FG=24m，
即3AG﹣3AG=24m，
∴AG=123m，
∴AB=123+1.6≈22.4m．
6．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D作⊙O的切线交AC于E．
（1）求证：AE＝CE
（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．
（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝34，DE＝394时，N为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）401313NL
【解析】
