人教中考数学锐角三角函数综合题汇编及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）235.

【解析】

【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，

'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ABC中，AC=60m，

AB=sin30AC=6012=120（m）

（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，

则'60AEAC， '30CEAA3，

在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，

DC=33AC=203

DE=503

tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235

答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′． ∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

3．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

【答案】（1）tan∠DBC=；

（2）P（﹣，）．

【解析】

试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．

试题解析：

（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，

解得 x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．

∵C（0，4），

∴CD//AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4， ∴BC=4．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED=，

∴BE=BC﹣DE=．

∴tan∠DBC=；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF=．

设P（x，﹣x2+3x+4），则=，

解得 x1=﹣，x2=4（舍去），

∴P（﹣，）．

考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数

4．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点P是y轴上的一个动点，连接PA，试求5PA+4PC的最小值；

（3）如图②，若直线l经过点T（﹣4，0），Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式．

【答案】（1）233384yxx；（2）5PA+4PC的最小值为18；（3）直线l的解析式为334yx或334yx.

【解析】 【分析】

（1）设出交点式，代入C点计算即可 （2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D，易证△CDP∽△COB，得到比例式PCPDBCOB，得到PD=45PC，所以5PA+4PC＝5（PA+45PC）＝5（PA+PD），当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q，∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个；此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G，利用cos∠QFT求出QG，分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可

【详解】

解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0）、B（4，0）

∴y＝a（x+2）（x﹣4）

把点C（0，3）代入得：﹣8a＝3

∴a＝﹣38

∴抛物线解析式为y＝﹣38（x+2）（x﹣4）＝﹣38x2+34x+3

（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D

∴∠CDP＝∠COB＝90°

∵∠DCP＝∠OCB

∴△CDP∽△COB

∴PCPDBCOB

∵B（4，0），C（0，3）

∴OB＝4，OC＝3，BC＝22OBOC=5

∴PD＝45PC

∴5PA+4PC＝5（PA+45PC）＝5（PA+PD）

∴当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小

∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC

∴S△ABC＝12AB•OC＝12BC•AE

∴AE＝631855ABOCBC ∴5AE＝18

∴5PA+4PC的最小值为18．

（3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆

当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，

∴只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°

∴∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q

∵当Q在⊙F上运动时（不与A、B重合），∠AQB＝90°

∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个

此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G

∴∠FQT＝90°

∵F为A（﹣2，0）、B（4，0）的中点

∴F（1，0），FQ＝FA＝3

∵T（﹣4，0）

∴TF＝5，cos∠QFT＝35FQTF

∵Rt△FGQ中，cos∠QFT＝35FGFQ

∴FG＝35FQ＝95

∴xQ＝1﹣9455，QG＝2222912FQ355FG

①若点Q在x轴上方，则Q（41255，）

设直线l解析式为：y＝kx+b

∴4041255kbkb 解得：343kb

∴直线l：334yx

②若点Q在x轴下方，则Q（41255，）

∴直线l：334yx

综上所述，直线l的解析式为334yx或334yx