中考数学 锐角三角函数 综合题及答案

中考数学 锐角三角函数 综合题及答案

一、锐角三角函数

1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）235.

【解析】

【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，

'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ABC中，AC=60m，

AB=sin30AC=6012=120（m）

（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，

则'60AEAC， '30CEAA3，

在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，

DC=33AC=203

DE=503

tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235

答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由： 连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．

①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

3．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

(1)求证：△PAC∽△PDF；

(2)若AB＝5，，求PD的长；

(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.

（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.

（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.

试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.

∵AB⊥CD，∴.

如图，连接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的长为.

（3）如图，连接BP，BD，AD， ∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴与之间的函数关系式为.

考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2＝2CD•OE；

（3）若314cos,53BADBE，求OE的长．

【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：

连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线； （2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC•CD．

∴BC2=2CD•OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数

5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm． ∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．

∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．