柯西留数定理

留数定理

留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。

一、留数定理是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

二、在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。

三、由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

四、复分析把分析学方法从实变数推广到复变数。复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采用a+bi的形式, 式中a和b是实数。a称为这个复数的实数部分,b是复数的虚数部分,i为根号-1,是虚数单位。

五、解析函数是一类比较特殊的复变函数。200多年来，其核心定理“柯西-黎曼”方程组一直被数学界公认是不能分开的。王见定发现，尽管解析函数已形成比较完善的理论并得到多方面的应用，但自然界能够满足“柯西-黎曼”方程组条件的现象很少，使解析函数的应用受到较大的限制。

§2 柯西中值定理和不等式极限

一 柯西中值定理

定理(6.5) 设 、满足

(i) 在区间 上连续，

(ii) 在 内可导

(iii) 不同时为零;

(iv)

则至少存在一点 使得

柯西中值定理的几何意义

曲线 由参数方程

给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，

则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。

注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，

而弦 的斜率为

.

受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：

由于，

类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数

容易验证 满足罗尔定理的条件且

根据罗尔定理，至少有一点 使得 ，即

由此得

注2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成

这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则

. 这恰恰是罗尔定理.

注3:设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ，

.

三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性

1、利用其几何意义

要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。

可以用这种几何解释进行思考解题：

例1：设 在 （a ，b） 可导，且在 [a，b]

上严格递增，若，则对一切

有 。

证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格

朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以 ＜，从而

＜

注意到，移项即得＜，

2、利用其有限增量公式

要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式

进行思考解题：

例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得

证：上式左端

作辅助函数

则上式

=

，

= ，其中

3、作为函数的变形

要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上

（介于与之间）

此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。

留数及其应用

摘 要 数定理得知，计算函数)(zf沿C的积分，可归结为计算围线C内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．

关键词 留数定理；留数计算；应用

引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．

一. 预备知识

孤立奇点

1．设()fz在点a的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1C.在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的.

1.1 若0z为)(zf的可去奇点

则)(zf在Rzz00某去心邻域内解析，但在点a不解析，

则称a为f的孤立奇点.例如sinzz，1ze以0z为孤立奇点.

z以0z为奇点，但不是孤立奇点，是支点.

11sinz以0z为奇点（又由1sin0z，得1(1,2...,)zkk故0z不是孤立奇点）

2．设a为()fz的孤立奇点，则()fz在a的某去心邻域内，有10()()()，nnnnnnfzczacza称()n=1nncza为()fz在点a的主要部分，称0()nnnzac为()fz在点a的正则部分，

当主要部分为0时，称a为()fz的可去奇点；

留数定理

在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广

柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。