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第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
条件概率知识点一、条件概率的定义。
1. 概念。
- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。
那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。
2. 性质。
- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。
- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。
- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。
二、条件概率的计算方法。
1. 公式法。
- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。
- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。
设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。
AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。
那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。
2. 缩减样本空间法。
- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。
- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。
三、条件概率的乘法公式。
1. 公式。
- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
第一章 概率论的基本概念1 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)解 }100 , ,1 ,0|{n i ni S ⋅⋅⋅==, 其中n 为小班人数(2)同时掷三颗骰子 记录三颗骰子点数之和 解 S ={3 4, ⋅⋅⋅ 18}.(3)生产产品直到得到10件正品为止, 记录生产产品的总件数解 S ={10, 11, 12, ⋅⋅⋅ , n , ⋅⋅⋅ }(4)对某工厂出厂的产品进行检查, 合格的记上“正品”, 不合格的记上“次品”, 如连续查出2个次品就停止检查, 或检查4个产品 停止检查, 记录检查的结果.解 S ={00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110,1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111}其中0表示次品 1表示正品.(5)在单位圆内任意取一点 记录它的坐标解 S ={(x y )|x 2+y 2<1}.(6)将一尺之棰成三段 观察各段的长度解 S ={(x y z )|x >0 y >0 z >0 x +y +z =1} 其中x y z 分别表示第一、二、三段的长度2. 设A , B , C 为三事件, 用A , B , C 的运算关系表示下列各事件.(1)A 发生, B 与C 不发生解 表示为: A B C 或A -(AB +AC )或A -(B C )(2)A , B 都发生, 而C 不发生解 表示为: AB C 或AB -ABC 或AB -C(3)A , B , C 中至少有一个发生解 表示为: A +B +C(4)A , B , C 都发生解 表示为: ABC(5)A , B , C 都不发生解 表示为: ⎺A B C 或S - (A +B +C)或C B A ⋃⋃(6)A , B , C 中不多于一个发生解 即A , B , C 中至少有两个同时不发生相当于⎺A B B C ⎺A C 中至少有一个发生. 故表示为: ⎺A B B C ⎺A C .(7)A , B , C 中不多于二个发生解 相当于: A B C 中至少有一个发生.故表示为: A B C 或ABC(8)A , B , C 中至少有二个发生.解 相当于: AB , BC , AC 中至少有一个发生.故表示为: AB +BC +AC3 设A , B 是两事件且P (A )=0.6, P (B )=0.7. 问 (1)在什么条件下P (AB )取得最大值, 最大值是多少？(2)在什么条件下P (AB )取得最小值, 最小值是多少？解 (1)因为P (AB )=P (A )+P (B )-P (A B ) 且P (A )<P (B )≤P (A B ) 所以当A B 时 P (A B )=P (B ) P (AB )取到最大值, 最大值为P (AB )=P (A )=0.6(2)当A B =S 时, P (AB )取到最小值, 最小值为P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.4 设A , B , C 是三事件, 且P (A )P (B )P (C )1/4 P (AB )P (BC )0, P (AC )1/8. 求A , B , C 至少有一个发生的概率.解 P (A , B , C 至少有一个发生)=P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) (3/4)(1/8)05/85 在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词, 若从26个英文字母中任取两个字母予以排列, 问能排成上述单词的概率是多少？解 记A 表“能排成上述单词” 因为从26个任选两个来排列, 排法有226A 种. 每种排法等可能. 字典中的二个不同字母组成的单词: 55个 所以1301155)(226==A AP6 在房间里有10人. 分别佩戴从1号到10号的纪念章, 任选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率解 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A . 因为10人中任选3人为一组: 选法有310C 种, 且每种选法等可能. 又事件A相当于: 有一人号码为5, 其余2人号码大于5. 这种组合的种数有251C ⨯ 所以1211)(31025=⨯=C C AP (2)求最大的号码为5的概率.解 记“三人中最大的号码为5”为事件B , 同上 10人中任选3人, 选法有310C 种, 且每种选法等可能, 又事件B 相当于:有一人号码为5, 其余2人号码小于5, 选法有241C ⨯种 所以2011)(31024=⨯=C C BP 7 某油漆公司发出17桶油漆, 其中白漆10桶、黑漆4桶, 红漆3桶. 在搬运中所有标签脱落, 交货人随意将这些标签发给顾客, 问一个定货4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆顾客, 能按所订颜色如数得到定货的概率是多少？解 记所求事件为A .在17桶中任取9桶的取法有310C 种, 且每种取法等可能. 取得4白3黑2红的取法有2334410C C C ⨯⨯ 故2431252)(6172334410=⨯⨯=C C C C A P8 在1500个产品中有400个次品, 1100个正品, 任意取200个.(1)求恰有90个次品的概率解 用A 表示取出的产品恰有90个次品 在1500个产品中任取200个, 取法有2001500C 种, 每种取法等可能. 200个产品恰有90个次品, 取法有110110090400C C 种 因此2001500110110090400)(C C C A P= (2)至少有2个次品的概率.解 用B 表示至少有2个次品 B 0表示不含有次品, B 1表示只含有一个次品 同上, 200个产品不含次品, 取法有2001100C 种, 200个产品含一个次品, 取法有19911001400C C种 因为B B 0B 1且B 0, B 1互不相容 所以P (B )1P (B )1[P (B 0)P (B 1)]20015002001100199110014001C C C C +-=9 从5双不同鞋子中任取4只, 这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？解 样本空间所含的样本点数为410C 用A 表示4只全中至少有2支配成一对 则A 表示4只全不配对 A 所包含的样本点数为4452⨯C (先从5双鞋中任取4双 再从每双中任取一只) 因此2182)(410445=⋅=C C AP 21132181)(1)(=-=-=A P AP10 在11张卡片上分别写上Probabitity 这11个字母 从中任意连抽7张 求其排列结果为Abitity的概率解 所有可能的排列构成样本空间 其中包含的样本点数为711P 用A 表示正确的排列 则A 包含的样本点数为411111*********=C C C C C C C 则0000024.04)(711==P A P11 将3个球随机地放入4个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3解 记A i 表示杯中球的最大个数为i 个( i =1, 2, 3)三只球放入四只杯中, 放法有43种, 每种放法等可能 对A 1: 必须三球放入三杯中, 每杯只放一球. 放法4×3×2种. 故1664234)(31=⨯⨯=A P 对A 2: 必须三球放入两杯, 一杯装一球, 一杯装两球. 放法有3423⨯⨯C 种. 故169434)(3232=⨯⨯=C A P 对A 3: 必须三球都放入一杯中. 放法有4种.16144)(33==A P 12 将50只铆钉随机地取来用在10个部件, 其中有3个铆钉强度太弱, 每个部件用3只铆钉, 若将三个强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强度就太弱, 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解 记A 表示10个部件中有一个部件强度太弱.把随机试验E 看作是用三个钉一组, 三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序. 但10组钉铆完10个部件要分先后次序)对E : 铆法有323344347350C C C C ⨯⨯⨯ 种, 每种装法等可能对A : 三个次钉必须铆在一个部件上. 这种铆法数为10)(32334434733⨯⨯⨯C C C C故 00051.01960110][)(32334735032334434733==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C A P13 已知3.0)(=A P P (B )=0.4 5.0)(=B A P 求)|(B A B P ⋃.解 7.0)(1)(=-=A P A P 6.0)(1)(=-=B P BPB A AB B B A AS A ⋃=⋃==)( 注意Φ=))((B A AB . 故有 2.05.07.)()()(=-=-=B A P A P AB P .再由加法定理8.05.06.07.0)()()()(=-+=-+=⋃B A P B P A P B AP 于是 25.08.02.0)()()()]([)|(==⋃=⋃⋃=⋃B A P AB P B A P B A B P B A BP14 已知41)(=A P 31)|(=A B P 21)|(=B A P求P (A ⋃B ).解 根据条件概率)()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P ==61213141)|()|()()(=⨯==B A P A B P A P BP根据乘法公式1214131)()|()(=⨯==A P A B P ABP根据加法公式311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B AP15 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).解法一 (在缩小的样本空间SB 中求P (A |B ), 即将事件B 作为样本空间, 求事件A 发生的概率).掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x , y )(x , y =1, 2, 3, 4, 5,6)并且满足x +y =7, 则样本空间为S ={(x , y )| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每种结果(x , y )等可能.A ={掷二骰子, 点数和为7时, 其中有一颗为1点}故 3162)(==A P解法二 用公式)()()|(B P AB P B A P = S ={(x , y )| x =1, 2, 3, 4, 5, 6; y =1, 2, 3, 4, 5, 6} 每种结果均可能A =“掷两颗骰子, x , y 中有一个为1点”,B =“掷两颗骰子, x +y =7”.则 6166)(2==B P 262)(=AB P , 故31626162)()()|(2====B P AB P B A P 16 据以往资料表明, 某3口之家, 患某种传染病的概率有以下规律:P {孩子得病}=0.6,P {母亲得病|孩子得病}=0.5,P {父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解 令A ={孩子得病}, B ={母亲得病}, C ={父亲得病} 则P (A )=0.6, P (B |A )=0.5, P (C |AB )=0.4所以 P (⎺C|AB )=1-P (C |AB )=1-0.4=0.6.P (AB )=P (A )P (B |A )=0.6×0.5=0.3,所求概率为P (AB ⎺C )=P (AB )·P (⎺C|AB )=0.3×0.6=0.18.17 已知在10只晶体管中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 作不放回抽样, 求下列事件的概率(1)两只都是正品(2)二只都是次品(记为事件B )(3)一只是正品, 一只是次品(记为事件C )(4)第二次取出的是次品(记为事件D )解 设A i ={第i 次取出的是正品)(i =1 2).(1)452897108)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (2)45191102)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (3))()()(21212121A A P A A P A A A A P +=⋃)|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=45169810292108=⨯+⨯=. (4))()(21212A A A A P A P +=519110292108)|()()|()(121121=⨯+⨯=+=A A P A P A A P A P18 某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随机地拨号, (1)求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 (2)若已知最后一个数字是奇数, 那么此概率是多少？解 设A i ={第i 次拨号拨对}(i =1 2 3) A ={拨号不超过3次而拨通} 则321211A A A A A A A ++= 且三种情况互斥 所以)|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++= 于是(1)103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P(2)53314354415451)(=⨯⨯+⨯+=A P19 (1)设甲袋中装有n 只白球 m 只红球, 乙袋中装有N 只白球 M 只红球, 今从甲袋中任取一只球放入乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白球的概率是多少？ 解 用A 1表示“从甲袋中取得白球放入乙袋”, A 2表示“从甲袋中取得红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”. 因为 B =A1B +A 2B 且A 1, A 2互斥所以 P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)111++⨯+++++⨯+=M N N m n m M N N m n n)1)(()(+++++=N M n m n N m n19 (2)第一只盒子装有5只红球, 4只白球 第二只盒子装有4只红球, 5只白球. 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去, 然后从第二盒子中任取一只球, 求取到白球的概率. 解 记C 1为“从第一盒子中取得2只红球”. C 2为“从第一盒子中取得2只白球”. C 3为“从第一盒子中取得1只红球, 1只白球”, D 为“从第二盒子中取得白球”, 显然C 1, C 2, C 3两两互斥, C 1C 2C 3=S , 由全概率公式, 有P (D )=P (C 1)P (D|C 1)+P (C 2)P (D|C 2)+P (C 3)P (D|C 3)995311611711529141529242925=⋅⋅+⋅+⋅=C C C C C CC20 某种产品的高标为“MAXAM” 其中有2个字母已经脱落 有人捡起随意放回 求放回后仍为“MAXAM”的概率解 设A 1 A 2 ⋅⋅⋅ A 10分别表示字母MAMX MA MM AX AA AM XA XM AM 脱落的事件 则101)(=i A P (i =1 2, ⋅⋅⋅ 10) 用B 表示放回后仍为“MAXAM”的事件 则21)|(=i A B P (i =1 2, ⋅⋅⋅10) 1)|()|(64==A B P A B P 所以由全概公式得5311011101821101)|()()(101=⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i A B P A P BP21 已知男子有5%是色盲患者, 女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少？解 A 1={男人}, A 2={女人}, B ={色盲}, 显然A 1A 2=S , A 1 A 2= 由已知条件知21)()(21==A P A P %5)|(1=A B P ,%25.0)|(2=A BP 由贝叶斯公式, 有)|()()|()()|()()()()|(22111111A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +==2120100002521100521100521=⋅+⋅⋅=22 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为p , 若第一次及格则第二次及格的概率也为p 若第一次不及格则第二次及格的概率为2p (1)若至少一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率. (2)若已知他第二次已经及格, 求他第一次及格的概率.解 A i ={他第i 次及格}(i =1, 2)已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=p , 2/)|(12p A A P= (1)B ={至少有一次及格} 则21}{A A B ==两次均不及格 所以 )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-=)]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1p p p p -=---= (2)由乘法公式, 有P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2| A 1)=p2 由全概率公式, 有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2p p p p p p +=⋅-+⋅= 于是 1222)|(2221+=+=p p p p p A AP23 将两信息分别编码为A 和B 传递出去 接收站收敛到时 A 被误收作B 的概率为002 而B 被误收作A 的概率为0.01 信息A 与信息B 传送的频繁程度为21 若收站收到的信息是A 问原发信息是A 的概率是多少？ 解 设B 1 B 2分别表示发报台发出信号“A ”及“B ” 又以A 1有A 2分别表示收报台收到信号“A ”及“B ”. 则有 32)(1=B P 31)(2=B P P (A 1|B 1)=0.98 P (A 2|B 1)=0.08 P (A 1|B 2)=0.01 P (A 2|B 2)=0.91 从而由Beyes 公式得)|()()|()()|()()|(2121111111B A P B P B A P B P B A P B P A B P i += 19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=24 有两箱同种类的零件 第一箱装50只 其中10只一等品 第二箱装30只 其中18只一等品 今从两箱中任挑出一箱 然后从该箱中取零件两次每次任取一只 作不放回抽样 试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率(2)第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也是一等品的概率解 (1)记A i ={在第i 次中取到一等品}(i =1 2) B ={挑到第i 箱} 则有4.03018215121)|()()|()()(2121111=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P . (2))|()()|()()(2212121121B A A P B P B A A P B P A A P +=19423.030182129175121499=⨯⨯+⨯⨯= 4856.04.019423.0)()()|(12112===A P A A P A A P .25 某人下午5:00下班, 他所积累的资料表明:的, 试求他是乘地铁回家的概率.解 设A={乘地铁}, B ={乘汽车}, C ={在5:47到家}, 由题意 AB =∅, A B =S已知P (A )=0.5, P (C|A )=0.45, P (C|B )=0.2, P (B )=0.5 由贝叶斯公式有)()|()()|()()|()()()|()|(B P B C P AP A C P A P A C P C P A P A C P C A P +== 6923.05.02.05.045.05.045.0=⨯+⨯⨯=26 (1)设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4. 它们的可靠性分别为p 1, p 2, p 3, p 4, 将它们按图1-3的方式联接, 求系统的可靠性.解 记A i 表示第i 个元件正常工作(i =1, 2, 3, 4), A 表示系统正常.因为A =A 1A 2A 3+A 1A 4两种情况不互斥 所以P (A )=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 4)-P (A 1A 2A 3 A 4) (加法公式) =P (A 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (A 4)-P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)=p 1p 2p 3+p 1p 4-p 1p 2p 3p 4 (A 1, A 2, A 3, A 4独立)26. (2)设有5独立工作的元件1 2 3 4 5 它们的可靠性均为p 将它们按图1-4的方式联接 求系统的可靠性.解 记A i 表示第i 个元件正常工作(i =1, 2, 3, 4 5), B 表示系统正常 则)()(2345453121A A A A A A A A A A P B P ⋃⋃⋃=)()()()(2345453121A A A P A A P A A A P A A P +++= )()()(432154215321A A A A P A A A A P A A A A P ---)()()(5432543215431A A A A P A A A A A P A A A A P --- )()(45432154321A A A A A P A A A A A P -+24222522p p p p +-+=27 如果一危险情况C 发生时 一电路闭合并发出警报 我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性 在C 发生时这些开关每一个都应闭合 且至少一个开关闭合了 警报就发出 如果两个这样开关并联接 它们每个具有0.95的可靠性(即在情况C 发生时闭合的概率) (1)这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？(2)如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统 则至少需要用多少只开关并联？这里各开关闭合与否都是相互独立的解 (1)设A i 表示第i 个开关闭合 A 表示电路闭合 于是A =A1⋃A 2. 由题意当两个开关并联时P (A )=0. 96. 再由A 1 A 2的独立性得P (A )=P (A 1⋃A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1)P (A 2)=2⨯0.96-(0.96)2=0.9984.(2)设至少需要n 个开关闭合 则∏==≥-=--=⋃=n i i i n i A P A P A P 1419999.004.01)](1[1)()(即 0.04n≤0.00001所以 58.304.0lg 00001.0lg =≥n 故至少需要4只开关联28 三个独立地去破译份密码 已知各人能译出的概率分别为1/5 1/3 1/4 问三个中至少有一个能将此密码译出的概率是多少？解 设A B C 分别表示{第一、二、三人独立译出密码} D 表示{密码被译出} 则)(1)()(C B A P C B A P D P ⋃⋃-=⋃⋃=)()()(1)(1C P B P A P C B A P -=⋂⋂-=534332541=⨯⨯-=29 设第一个盒子装有3只蓝球, 2只绿球, 2只白球；第二个盒子装有2只蓝球, 3只绿球, 4只白球. 独立地分别在两只盒子中各取一只球.(1)求至少有一只蓝球的概率(2)求有一只蓝球一只白球的概率(3)已知至少有一只蓝球, 求有一只蓝球一只白球的概率. 解 记A 1 A 2 A 3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球 一只绿球 一只白球, B 1 B 2 B 3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球 一只绿球 一只白球. 则A i 与B i 独立(i =1 2 3).(1)所求概率为9592739273)()()()(111111=⨯-+=-+=⋃B A P B P A P B A P . (2)所求概率为)()()()()(13311331B P A P B P A P B A B A P +=⋃631692729473=⨯+⨯= (3)所求概率为P (A 1B 3⋃A 3B 1| A 1⋃B 1)=P (A 1B 3| A 1⋃B 1)+P (A 3B 1| A 1⋃B 1))())(()())((111113111131B A P B A B A P B A P B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= )())()())(11131311131131B A P B A B A A P B A P B B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= 35169/563/16)()()(111331==⋃+=B A P B A P B A P .30 A , B , C 三人在同一办公室工作, 房间有三部电话, 据统计知, 打给A , B , C 的电话的概率分别为2/5 2/5 1/5. 他们三人常因工作外出, A , B , C 三人外出的概率分别为1/2 1/4 1/4, 设三人的行动相互独立, 求(1)无人接电话的概率(2)被呼叫人在办公室的概率若某一时间段打进3个电话, 求(3)这3个电话打给同一人的概率(4)这3个电话打给不同人的概率(5)这3个电话都打给B , 而B 却都不在的概率. 解 设A 1 B 1 C 1分别表示A B C 三个人外出的事件 A B C 分别表示打给三个人的电话的事件(1)P (无人接电话)=P (A 1B 1C 1)=P (A 1)P (B 1)P (C 1)321414121=⨯⨯= (2)用D 表示被呼叫人在办公室的事件, 则CC B B A AD 111++= )()(111C C B B A A P D P ++=)()(()()()(111C P C P BP P B P A P A P ++=2013514352435221=⨯+⨯+⨯=(3)用E 表示3个电话打给同一个人的事件 E 1 E 2 E 3分别表示3个电话是打给A B C 则E =E 1+E 2+E 3)()()()(321E P E P E P E P ++=12517)51()52()52(333=++=(4)用F 表示3个电话打给不同的人的事件 则F 由六种互斥情况组成, 每种情况为打给A , B , C 的三个电话, 每种情况的概率为1254515252=⨯⨯于是1252412546)(=⨯=F P (5)由于是知道每次打电话都给B , 其概率是1, 所以每一次打给B 电话而B 不在的概率为41, 且各次情况相互独立 于是P (3个电话都打给B , B 都不在的概率)641)41(3==31 袋中装有m 只正品硬币, n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽). 在袋中任取一只, 将它投掷r 次, 已知每次都得到国徽. 问这只硬币是正品的概率为多少？解 用A 表示出现r 次国徽的事件 B 表示任取一只是正品的事件 则r r nm n n m m B A P B P B A P B P A P 1)21()|()()|()()(⨯+++=+=)()|()()|(A P B A P B P A B P =r n m m2⋅+=32 设一枚深炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3 击伤的概率为1/2 击不中的概率为1/6 并设击伤两次也会导致潜水艇下沉 求施放4枚深炸能击沉潜水艇的概率解 用A 表示施放4枚深炸击沉潜水艇的事件 则433446131]21)61()61[(1)(1)(-=⨯+-=-=C A P A P33 设根据以往记录的数据分析 某船只运输某种物品损坏的情况共有三种 损坏2%(这一事件记为A 1), 损坏10%(事件A 2), 损坏90%(事件A 3) 且知P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.15, P (A 3)=0.05, 现在从已被运输的物品中随机地取3件, 发现这3件都是好的(这一事件记为B ), 试分别求P (A 1|B ) P (A 2|B ), P (A 3|B )(这里设物品件数很多, 取出一件后不影响后一件是否是好品的概率)解 因为B 表取得三件好物品.B =A 1B +A 2B +A 3B 且三种情况互斥由全概率公式, 有P (B )=P (A 1)P (B|A 1)+P (A 2)P (B|A 2)+P (A 3)P (B|A 3)=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.86248731.08624.0)98.0(8.0)()|()()()()|(31111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 1268.08624.0)9.0(15.0)()|()()()()|(32222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 0001.08624.0)1.0(05.0)()|()()()()|(33333=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P34 将A , B , C 三个字母一一输入信道, 输出为原字母的概率为α, 而输出为其它一字母的概率都是(1α)/2. 今将字母串AAAA , BBBB , CCCC 之一输入信道, 输入AAAA , BBBB , CCCC 的概率分别为p 1, p 2, p 3 (p 1+p 2+p 3=1), 已知输出为ABCA , 问输入的是AAAA 的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的. )解 用A B C 分别表示输入信号为AAAA , BBBB , CCCC ,用H 表示输出信号为ABCA 由于每个字母的输出是相互独立的 于是有4)1(]2/)1[()|(2222αααα-=-=A H P8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=B H P8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=C HP又P (A )=p 1 P (B )=p 2 P (C )=p 3 由贝叶斯公式得)()|()()|()()|()()|()|(C P C H P B P B H P A P A H P A P A H P H A P ++= 33231221228)1(8)1(4)1(4)1(p p p p ⋅-+⋅-+⋅-⋅-=αααααααα ))(1(223211p p p p +-+=ααα。
1. 設A ﹑B 為樣本空間S 中的兩事件﹐且P (A )＝72﹐P (B )＝32﹐P (A ∪B )＝76﹐A '﹐B '分別表A ﹐B 的餘事件﹐則 (1)P (B ｜A )＝(A)71 (B)51 (C)31 (D)21 (E)32(2)P (A ｜B )＝(A)71 (B)51 (C)31 (D)21 (E)32 (3)P (B '｜A ')＝(A)71 (B)51 (C)31 (D)21 (E)32﹒ 2. 某班34位同學期考的數學平均成績為51分﹐今老師將成績作線型調整﹐把每位同學的成績先乘以34倍再減去4分﹒令變量X ﹑Y 分別表同學的原始成績與調整後的成績﹒ (1)設CV X ﹑CV Y 分別表變量X ﹑Y 的變異係數﹐則下列何者正確﹖ (A)CV X ＝CV Y (B)CV X ＝CV Y ＋4 (C)CV Y ＋4＝34CV X (D)CV X ＝1716CV Y (E)CV Y ＝34CV X ﹐(2)設r 表變量X 與Y 的相關係數﹐則下列何者正確﹖(A)0.3＜r ＜0.5 (B)0.5＜r ＜0.7 (C)0.7＜r ＜0.9 (D)0.9＜r ＜1 (E)r ＝1﹒3. 設甲﹑乙﹑丙三人解題的能力分別為54﹑43﹑32﹐今三人獨立同解一題﹐則此題被解出的機率為 (A)52 (B)6029 (C)2013 (D)6049 (E)6059． 4. 設甲﹑乙﹑丙三人解題的能力分別為54﹑43﹑32﹐今三人獨立同解一題﹐此題恰有一人解出的機率為 (A)203 (B)51(C)103 (D)52 (E)53． 5. 設甲﹑乙﹑丙三人解題的能力分別為54﹑43﹑32﹐今三人獨立同解一題﹐若已知此題恰有一人解出﹐則是乙解出的機率為 (A)91 (B)92 (C)31 (D)94 (E)95． 6. 一副撲克牌有52張﹐共分4種花色﹐每種花色13張﹐分別標示2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9﹑10﹑J ﹑Q ﹑K ﹑A ﹐今任取5張牌﹐若花色一致﹐則稱“同花”﹐若其順次依前述之次序為連續（如3﹑4﹑5﹑6﹑7﹐9﹑10﹑J ﹑Q ﹑K ﹐10﹑J ﹑Q ﹑K ﹑A ﹐另外A ﹑2﹑3﹑4﹑5亦視為連續）﹐則稱為“順”﹐今任取5張牌﹐若已知為“順”的條件下﹐則“同花”的機率為 (A)41 (B)161 (C)641 (D)2561 (E)10241． 7. 某一工廠生產燈泡﹐12個裝成一盒﹒工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取4個來檢查﹐如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的﹐則整盒淘汰﹒若某一盒有5個壞燈泡﹐則這一盒會被淘汰的機率為 (A)1933 (B)1455 (C)7099(D)2155 (E)1433﹒8. 九位學生的數學抽考成績分別為﹕30﹐40﹐60﹐50﹐70﹐80﹐60﹐90﹐60﹐現在使用簡單隨機抽樣法﹐從這九個分數中取出三個﹐若已知所取出三個分數中有一個為70分﹐則在此條件之下﹐此三個分數的中位數為60分的機率為何﹖(A)314(B)37(C)16(D)13(E)1556﹒9. 有一種丟銅板的遊戲﹐其規則為﹕出現正面則繼續丟﹐出現反面就出局﹒那麼連續丟5次後還可繼續丟的機率為(12)5＝132﹐一班有40名學生﹐每人各玩一局﹐設班上至少有一人連續丟5次後還可繼續丟的機率為p﹐則(A)0.4 ≤p＜0.5 (B)0.5 ≤p＜0.6 (C)0.6 ≤p＜0.7 (D)0.7 ≤p＜0.8 (E)0.8 ≤p＜0.9﹒10. 設A﹐B﹐C為獨立事件﹐且P(A)＝13﹐P(B│A')＝34﹐P(B∩C)＝15﹐試求P((A∪B)∩C)之值為(A)19(B)29(C)13(D)49(E)512﹒11. 有甲乙兩個錢袋﹐甲袋內有銀幣5個﹐金幣1個﹔乙袋內有銀幣3個﹐今由甲袋任意取出4個錢幣﹐置入乙袋﹐再由乙袋任意取出5個錢幣放入甲袋（假設每一錢幣被取出的機會相等）﹐求最後金幣在甲袋的機率為(A)1124(B)1121(C)1721(D)821(E)421﹒12. 下列有關兩變量X與Y的20對點資料的五個散布圖中﹐哪一個的相關係數最接近0.25﹖13. 下列有關兩變量X與Y的10個點資料的散布圖中﹐何者的相關係數最大﹖14. 下列三個散布圖中﹐設其迴歸線斜率由左而右分別為m1﹐m2﹐m3﹐比較其大小可得(A)m1＞m2＞m3 (B)m1＞m3＞m2 (C)m2＞m1＞m3 (D)m3＞m2＞m1 (E)m2＞m3＞m1﹒15. 下列有關兩變量x與y的20對點資料的散布圖中﹐何者相關係數最接近0.25﹖(A)(B)(C)(D)16. 十位考生之國文與數學成績列表如下﹕考生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10國文89 65 76 69 82 57 66 72 78 66數學75 57 65 65 83 63 58 62 63 69今已算出國文成績之標準差為8.9（取至小數點第一位）﹐數學成績之標準差為7.5（取至小數點第一位）﹐則此十位考生兩科成績之相關係數最接近(A)－0.85 (B)0.25 (C)0.66 (D)0.78 (E)0.85﹒17. 研究十位學生某次段考甲﹑乙兩科測驗成績的相關性﹒已知此十位學生的成績如下﹕學生代號 A B C D E F G H I J 總計甲科測驗 3 4 8 9 5 6 7 7 6 5 60乙科測驗9 8 5 6 7 6 5 7 8 9 70則此次甲﹑乙兩學科測驗成績之相關程度為﹕(A)高度相關(B)中度相關(C)低度相關(D)完全正相關(E)完全負相關﹒18. 有學生十人﹐其期考數學成績與該學期數學缺課數﹐如下表所示﹕學生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸缺課數 1 2 3 3 4 3 5 6 3 0成績100 90 90 80 70 70 60 60 80 100設兩者的相關係數為r﹐則﹕(A)－1 ≤r≤－0.6 (B)－0.6＜r＜－0.2 (C)－0.2 ≤r≤ 0.2 (D)0.2＜r＜0.6 (E)0.6≤r≤ 1﹒19. 下圖表兩組數據x﹑y的分布圖﹐試問其相關係數r最接近下列何值﹖(A)1 (B)0.5 (C)0 (D)－0.5 (E)－1﹒20. 右圖為一班參加高中聯考成績﹐X表英文成績﹐Y表國文成績﹐兩個變數的相關係數最接近下列哪個值﹖(A)2(B)1 (C)0.75 (D)0.5 (E)0.25﹒21. 一肥皂廠欲推出一種新產品﹐在上市前以不同的單價X（單位﹕十元）﹐調查市場的需求量Y（單位﹕萬盒）﹐調查結果如下﹕X 8 9 10 11 12Y 11 12 10 8 9問X﹑Y的相關係數最接近下列哪一個值﹖(A)45(B)25(C)0 (D)－25(E)－45﹒22. 令X代表每個高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計）﹐則W＝7(24－X)代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間﹒令Y代表每個高中生數學學科能力測驗的成績﹒設X﹑Y之相關係數為R XY﹐W﹑Y之相關係數為R WY則R XY與R WY兩數之間的關係﹐下列選項何者為真﹖(A)R WY＝7(24－R XY) (B)R WY＝7R XY(C)R WY＝－7R XY (D)R WY＝R XY (E)R WY＝－R XY﹒23. (1)某班40位同學期中考數學平均成績51分﹐最高75分﹒今老師將成績做線型調整﹐把每位同學的成績先乘以4 3倍﹐再減去4分﹐令變量X﹑Y分別表示同學的原始成績與調整後成績﹐設CV X﹑CV Y分別表示變量X﹑Y的變異係數﹐則下列何者正確﹖(A)CV Y＝CV X(B)CV Y＝CV X－4 (C)CV Y＝43CV X－4 (D)CV Y＝17 16CV X(E)CV Y＝43CV X﹒(2)承上題﹐設γ表變量X與Y的相關係數﹐則下列何者正確﹖(A)0.3＜γ＜0.5 (B)0.5＜γ＜0.7 (C)0.7＜γ＜0.9 (D)0.9＜γ＜1 (E)γ＝1﹒24. 坐標平面上有△ABC﹐若將坐標軸平移到新原點O'(3 , 1)﹐則下列何者會改變﹖(A)點A的坐標(B)AB的長(C)△ABC的面積(D)∠A的大小﹒25. 若將坐標軸旋轉正銳角θ後﹐點P (3 , 3)的新坐標為(3 ,－3)﹐則θ角為 (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°﹒26. 方程式5x 2－16xy ＋3y 2＋6x ＋10y －8＝0的圖形是 (A)橢圓 (B)一點 (C)兩相交直線 (D)雙曲線﹒ 27. 旋轉坐標軸使方程式4x 2－4xy ＋y 2－45＝0的新方程式不具XY 項﹐則旋轉的正銳角θ為 (A)tan－134 (B)tan －143(C)tan －12 (D)tan －112﹒ 28. 若將坐標軸平移到新原點O '(h , k )﹐點P 的新坐標為(3 , 8)﹐舊坐標為(5 , 6)﹐則新原點O '的坐標為 (A)(2 ,－2) (B)(2 ,2) (C)(－2 , 2) (D)(－2 , 3)﹒29. 若將坐標軸旋轉正銳角θ﹐原坐標平面上有一四邊形ABCD ﹐下列何者會改變﹖ (A)點A 的坐標 (B)AB 的長 (C)四邊形的面積 (D)∠A 的大小﹒30. 方程式x 2－2xy ＋y 2＋3x ＋5y －7＝0的圖形是 (A)一直線 (B)兩平行直線 (C)兩相交直線 (D)拋物線﹒ 31. 旋轉坐標軸使方程式3x 2－12xy ＋8y 2＝24的新方程式不具XY 項﹐則旋轉的正銳角θ為 (A)tan －1125 (B)tan －1512(C)tan －132 (D)tan －123﹒ 32. 坐標平面上x 2＋xy ＋y 2＝1的圖形和4xy ＝1的圖形的關係是 (A)相離 (B)交於一點 (C)交於兩點 (D)交於四點﹒ 33. 在xy 一平面上有二橢圓於y 軸互相對稱﹐其中一橢圓之方程式為x 2＋3xy ＋4y 2－2x ＝0﹐則另一橢圓之方程式為(A)x 2－3xy ＋4y 2－2x ＝0 (B)x 2－3xy ＋4y 2＋2x ＝0 (C)x 2－3xy －4y 2＋2x ＝0 (D)x 2＋3xy ＋4y 2＋2x ＝0 (E)x 2＋3xy ＋4y 2－2x ＝0 (F)x 2＋3xy －4y 2－2x ＝0﹒34. 曲線x 2－y 2－2x －2y －1＝0經過平移坐標軸後的新方程式為X 2－Y 2＝1﹐則新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為﹖(A)(1 , 1) (B)(－1 ,－1) (C)(－1 , 1) (D)(1 ,－1) (E)(1 , 0)﹒35. 平面上一點P 在原坐標系中的坐標為(0 , m )﹐(m ≠0)﹐而在平移後得到的新坐標系中的坐標為(m , 0)﹐那麼新坐標系的原點O '在原坐標系中的坐標為﹖(A)(－m , m ) (B)(m ,－m ) (C)(m , m ) (D)(－m ,－m ) (E)(m , 0)﹒36. 如右圖﹐為週期為2π的函數y ＝f (x )的圖形﹐那麼f (x )可能為﹖(A)sin(1＋x ) (B)cos(－1－x ) (C)sin(x －1) (D)cos(1＋x ) (E)sin(1－x )﹒37. 將直角坐標系x -y 平移到新原點(2π, 0)後方程式y ＝sin x 在新坐標系中的方程式為﹖ (A)Y ＝－sin X (B)Y ＝cos X (C)Y ＝tan X (D)Y ＝－cos X (E)y ＝1sin X﹒38. 方程式y ＝1x的圖形為則方程式y ＝－11x ＋的圖形是﹖39. 圖形y ＝12x ＋在經過坐標平移後與下列哪一個方程式所表示的圖形能重合﹒ (A)y ＝－1x ＋2 (B)y ＝12x －－ (C)y ＝11x －＋1 (D)y ＝121x x －－ (E)y ＋1x ＋1＝0﹒ 40. 設函數f (x )＝121x －(－1 ≤ x ≤ 0)﹐則函數y ＝f (x )的圖形為﹖1-141. 方程式x 2－2xy －y 2－8x ＋9＝0的軌跡是 (A)拋物線 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)無軌跡﹒42. 方程式x 2＋4xy ＋4y 2－9＝0的圖形是﹕ (A)平行兩直線之聯集 (B)相交兩直線之聯集 (C)橢圓 (D)雙曲線 (E)拋物線 (F)圓 (G)一點 (H)φ﹒43. 方程式x 2＋4xy ＋4y 2－2x －4y －3＝0之圖形是﹕ (A)橢圓 (B)雙曲線 (C)兩平行直線之聯集 (D)兩相交直線的聯集﹒44. 將坐標軸旋轉θ角（0＜θ＜2π）﹐可以把二次曲線4x 2＋4xy ＋y 2－6x －3y ＋2＝0的方程式化為標準形式﹐求出tan θ以及這個標準形式﹕ (1)tan θ＝ (A)13 (B)12(C)1 (D)2 (E)3﹒ (2)這曲線是 (A)橢圓（非退化） (B)雙曲線 （非退化） (C)拋物線（非退化） (D)相交兩直線 (E)以上皆非﹒45. 如右圖﹐將坐標軸（逆時針）旋轉45︒後﹐所得的圖形為下列何者﹖46. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況﹐依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類﹒統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍﹐且知在高收入的人口中﹐每年有四成會轉變為低收入﹒請問在低收入的人口中﹐每年有幾成會轉變為高收入﹖請選出正確的選項﹒ (A)6成 (B)7成 (C)8成 (D)9成﹒47. 下列哪一些矩陣滿足－A ＝A t ﹖(A)123456⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)100000⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)101000100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＋ (E)012103230⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－﹒ 48. 對任意的n ⨯ n 矩陣A ﹐B ﹐下列何者恆正確﹖(A)det(A ＋B )＝det(A )＋det(B )﹐(B)det(A －B )＝det(A )－det(B )﹐(C)det(A t )＝det(A )﹐(D)det(－A )＝－det(A )﹐(E)det(－A )＝det(A )﹒49. 下列何者正確﹕(A)A ＝[a ij ]n ⨯ n ﹐a ij ＞0﹐∀i ﹐j ﹐則det(A )＞0﹐ (B)B ＝[b ij ]n ⨯ n ﹐b ij ≤ 0﹐∀i ﹐j ﹐則det(B ) ≤ 0﹐ (C)A ＝[a ij ]n ⨯n ﹐a ij ＝10i j i j⎧⎨≠⎩－＝﹐則det(A )＝－1﹐(D)A ＝[a ij ]n ⨯n ﹐a ij ＝10i j i j⎧⎨≠⎩－＝﹐則det(A )＝(－1)n ﹐(E)A＝[a ij]n⨯n﹐B＝[b ij]n⨯n﹐a ij＞b ij﹐∀i﹐j﹐則det(A)＞det(B)﹒50. 對於n⨯n矩陣A﹐B﹐下列何者正確﹖(A)(A＋I)2＝A2＋2A＋I (B)A2－B2＝(A－B)(A＋B) (C)AB＝BA (D)(AB)2＝A2B2 (E)(AB)T＝A T B T﹒51. 考慮一次方程式組M txy⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ab⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹐其中M t＝131tt t⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＋12331t t⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋＋﹐t為實數﹒(1)使此方程組恆有解的充分且必要條件為何﹖(A)t≠5 (B)t≠1 (C)t∉{1 , 5} (D)t∉{1 ,－3 , 5} (E)t∉{－3 , 1}﹒(2)當t滿足本題的正確條件時﹐下列何者成立﹖(A)對於任何一對a﹑b﹐此方程組恰有一組解﹐(B)對於任何一對a﹑b﹐此方程組都有無限多組解﹐(C)僅只有一對a﹑b﹐使此方程組恰有一組解﹐(D)僅只有一對a﹑b﹐使此方程組有無限多組解﹐(E)有不只一對（但非所有的）a﹑b﹐使此方程組有無限多組解若t＝0﹐a＝0﹐b＝－1﹐則(3)det(M0－1)＝(A)13(B)15－(C)115(D)1 (E)0﹒(4)x＝(A)13(B)－15(C)115(D)1 (E)0﹒(5)y＝(A) 13(B)－15(C)115(D)1 (E)0﹒52. 設A為二階方陣﹐I2＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹐O＝0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹔若A2－5A＋6I2＝0﹐則下列何者是5I2－A的乘法反矩陣﹖(A)A (B)－A (C)A－5I2 (D)16A (E)A2－5A﹒53. 下列哪一些矩陣滿足－A＝A T (A)123456⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)100000⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)101000100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＋(E)012103230⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－﹒54. 下列哪一個函數式方程式圖形在變換0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦下﹐保持不變﹖(A)y＝log x (B)y＝e x (C)y＝sin x (D)│x│2＋y2＝1 (E)y＝arc sin x﹒55. a≠0‚方程式x2＋y2＋ax－ay＝0的圖形﹖(A)對x軸對稱(B)對y軸對稱(C)對直線x＝y對稱(D)對直線y＋x＝0對稱(E)對原點對稱﹒56. 下列方程式中何者與x2－y＝0表示同一曲線﹒(A)2x t y t ⎧⎨⎩＝＝ (B)2cos cos x t y t ⎧⎨⎩＝＝ (C)tan 1cos 21cos 2x tt y t ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋＝－ (D)tan 1cos 21cos 2x t t y t ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝+ (E)2sin 1cos x t y t ⎧⎨⎩＝＝－﹒ 57. 在區間[－50 , 50]中任取一個整數x ﹐則滿足22355034x x x x ＋－＋－≥ 2之機率＝ (A)90101 (B)91101 (C)92101 (D)93101(E)94101﹒ 58. 設a ﹑b 皆為正實數﹐則(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9﹒ 59. 已知log2＝0.3010﹐則滿足(0.4)n ＜0.0001之最小自然數n ＝ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (E)14﹒60. 設a ＞0且a ≠1﹐則下列敘述何者正確﹖ (A)a ＜1時﹐y ＝log a x 為遞減函數 (B)a ＞1時﹐y ＝log a x 為遞增函數(C)log a x 恆大於a x (D)a ＜1時﹐y ＝a －x 為遞減函數 (E)a ＞1時﹐y ＝a －x 為遞增函數﹒61. 在第一象限中滿足x －2y ≥－6﹐7x －2y ≤18﹐x ＋y ≥ 0之所有點(x , y )的區域為 (A)空集合 (B)半平面 (C)三角形區域 (D)四邊形區域 (E)五邊形區域﹒62. 在區間[－20 , 20]中任取一個整數xx －1之機率＝ (A)2341 (B)1320 (C)34 (D)1720 (E)1920﹒ 63. 設a ＝sin(sin0)﹐b ＝sin(cos0)﹐c ＝cos(cos2π)﹐d ＝cos(sin 2π)﹐則a ﹐b ﹐c ﹐d ﹐之大小順序何者正確﹖ (A)a ＜b ＜c ＜d (B)a ＜d ＜b ＜c (C)a ＝b ＜c ＝d (D)c ＜b ＜c ＜a (E)c ＜d ＜a ＜b ﹒64. 當x 的範圍被限制在－2π和2π之間時﹐亦即－2π＜x ＜2π﹐有關函數f (x )＝cos x ＋4cos x 的敘述﹐哪些是正確的﹖(A)f (x )＝f (－x ) (B)f (x ) ≥ 4 (C)f (x )的最小值是4 (D)f (x )有最大值﹒65. 設a ＞b ＞1000﹐令pq ＝12(log 7a ＋log 7b )﹐r ＝log 72a b＋﹐則下列敘述何者正確﹖ (A)q ＝log(B)q ＞r (C)r ＜p ＜q (D)p ＜q ＜r (E)q ＜p ＜r ﹒66. (1)設a ﹐b ﹐c 都是正數﹐且a ＋b ＋c ＝1則下列三小題中何者正確﹖(A)(B)(C)(D)﹒ (2)1a ＋1b ＋1c (A)大最大值9 (B)有最小值9 (C)有最大值19 (D)有最小值19﹒ (3) abc (A)有最大值127 (B)有最小值127(C)有最大值27 (D)有最小值27﹒ 67. 設實數x 滿足不等式log 3(3x ＋8)＜2x＋1＋log 32﹐則x 的範圍為下列何者﹖ (A)log 32＜x ＜log 38 (B)1＜x ＜log 312 (C)log 34＜x ＜log 38 (D)log 34＜x ＜log 316 (E)log 38＜x ＜log 316﹒68. y ＝3＋5sin x －2sin 2x （x ∈R ）之最大值為 (A)498 (B)6 (C)5 (D)12(3＋﹒ 69. 求滿足不等式log 2(x ＋1) ≤ 1＋log 4(x ＋2)的整數解共有幾個﹖ (A)3 (B)4 (C)5 (D)8﹒70. 已知log2＝0.3010﹐則滿足(0.4)n ＜0.0001之最小自然數n ＝ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (E)14﹒ 71. 如右圖所示之四邊形﹐其四邊的直線方程式各為x ＋y ＝6﹐x －y ＝3﹐ 3x ＋y ＝3﹐x －2y ＝－8﹐則四邊形區域可用下列哪一組不等式表示﹖ (A)x ＋y ≥ 6﹐x －y ≤ 3﹐3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≥－8 (B)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≥ 3﹐ 3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≥－8 (C)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≤ 3﹐3x ＋y ≤ 3﹐x －2y ≥－8 (D)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≤ 3﹐3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≤－8 (E)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≤ 3﹐ 3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≥－8﹒72. 圖中舖色部分的點坐標(x , y )代入x －2y ＝k ﹐則使k 值最大的是哪一點﹖(A)A 點 (B)B 點 (C)C 點 (D)D 點 (E)E 點﹒73. 如右圖﹐斜線區域是由直線2x －3y －a ＝0﹐3x －y －b ＝0﹐x ＋2y －c ＝0所圍成的﹐試問下列何者為此區域的聯立不等式﹖ (A)2x －3y －a ≤ 0﹐3x －y －b ≥ 0﹐x ＋2y －c ≤ 0 (B)2x －3y －a ≥ 0﹐3x －y －b ≥ 0﹐x ＋2y －c ≤ 0 (C)2x －3y －a ≤ 0﹐3x －y －b ≤ 0﹐ x ＋2y －c ≤ 0 (D)2x －3y －a ≥ 0﹐3x －y －b ≤ 0﹐x ＋2y －c ≤ 0 (E)2x －3y －a ≤ 0﹐3x －y －b ≥ 0﹐x ＋2y －c ≥ 0﹒74. 如右圖﹐斜線區域﹐可由下列哪一不等式表示﹖(A)xy (x ＋y －1) ≤ 0 (B)xy (x ＋y －1) ≥ 0 (C)x y (x ＋y －1) ≤ 0(D)xy (x ＋y －1) ≥ 0 (E) xy1x y ＋－≥ 0﹒75. 不等式1 ≤ 2x ≤ 3x ＋4y ≤ 5y ≤ 20的解集合所代表的圖形為 (A)三角形 (B)正方形 (C)平行四邊形 (D)長方形 (E)五邊形﹒76. 在坐標平面上﹐右圖之舖色區域所代表的不等式組為(A)2100200x y x y y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋－－＋ (B)2100200x y x y y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＋－－＋ (C 2100200x y x y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋－－＋ (D)2100200x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＋－－＋﹒77. 就右圖﹐若(x , y)為舖色區域上的點﹐則2x－3y的最大值為(A)8 (B)－8(C)6 (D)－6﹒78. 在第一象限中滿足x－2y≥－6﹐7x－2y≤ 18﹐x＋y≥ 0之所有點(x , y)的區域為(A)空集合(B)半平面(C)三角形區域(D)四邊形區域(E)五邊形區域﹒79. 下列選項何者為滿足右圖的聯立不等式﹖(A)232360x yx y⎧⎨⎩＋＞－－＞(B)232360x yx y≥⎧⎨≤⎩＋＋＋(C)232360x yx y≥⎧⎨≤⎩＋－＋(D)23236x yx y≤⎧⎨≤⎩＋－－(E)31222360y xx y⎧≤⎪⎨⎪≥⎩－－＋﹒11。
