2022年河南省许昌市中考数学一模试题及答案解析

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2022年河南省许昌市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. −5的相反数是( )

A. −15 B. 15 C. −5 D. 5

2. 北京冬奥会于2022年2月4日开幕，超5亿电视观众观看了开幕式，人数创历史之最！5亿用科学记数法表示为( )

A. 5×108 B. 50×107 C. 0.5×109 D. 5×109

3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )

A.

B.

C.

D.

4. 如图𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐶=∠𝐸=40°，则∠𝐴的度数为( )

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A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°

5. 下列各式的运算结果等于4𝑥2𝑦4是( )

A. −𝑥2𝑦4+5𝑥2𝑦4 B. 3𝑥𝑦3⋅𝑥𝑦 C. (4𝑥3𝑦4+𝑥)÷𝑥 D. −(2𝑥𝑦2)2

6. 如图，𝐶𝐷是⊙𝑂的直径，弦𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点𝐸，则下列结论不一定成立的是( )

A. 𝐴𝐸=𝐵𝐸

B. 𝑂𝐸=𝐷𝐸

C. 𝐴𝐶⏜=𝐵𝐶⏜

D. 𝐴𝐷⏜=𝐵𝐷⏜

7. 下表记录了某学校甲、乙、丙、丁四个科技小组最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．

甲 乙 丙 丁

平均数 7 8 8 7

方差 1.5 1.6 1.5 1.9

根据表中信息，要从中选出一个成绩好且发挥稳定的小组参加市青少年科技创新大赛，那么应该选的组是( )

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁

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8. 现有𝐴、𝐵、𝐶三种不同的矩形纸片若干张(边长如图)，小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取𝐴纸片4张，再取𝐵纸片1张，还需取𝐶纸片的张数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶.按以下步骤作图：①以点𝐴为圆心，适当长为半径画弧，分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点𝐸，𝐹；②分别以𝐸，𝐹为圆心，大于12𝐸𝐹的长为半径画弧，两弧在∠𝐵𝐴𝐶内交于点𝑃；③作射线𝐴𝑃，交𝐵𝐶于点𝐷.若𝐴𝐶=1，则点𝐷到𝐴𝐵的距离为( )

A. 12 B. √22 C. √2−1 D. 2−√2

10. 如图，在平面直角坐标系中，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴(0,2)，𝐵(−3,−1)，𝐴𝐷=6，且𝐴𝐷//𝑥轴．将▱𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝑦轴向上平移，使点𝐶的对应点𝐶′落在对角线𝐵𝐷上，则平移后点𝐷的对应点𝐷′的坐标为( )

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A. (6,2) B. (6,3) C. (6,4) D. (8,4)

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若√𝑥−1在实数范围内有意义，则𝑥的取值范围是 ．

12. 写一个当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而增大的函数解析式 ．

13. 双减政策实施后，某学校为丰富学生的业余生活，发展学生的兴趣特长，增强学生的体质，开展了四个体育兴趣社团：跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团，小明和小亮对四个社团都很喜欢．他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是______．

14. 如图1，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是𝐵𝐶边的中点，点𝑃是对角线𝐴𝐶上一动点，设𝑃𝐶=𝑥，𝑃𝐸+𝑃𝐵=𝑦，图2是𝑦关于𝑥的函数图象，则图象上最低点𝑄的坐标是______．

15. 如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为2的等边三角形，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的高．将△𝐴𝐷𝐶绕点𝐷顺时针旋转得到△𝐴′𝐷𝐶′，其中点𝐴的对应点为点𝐴′，点𝐶的对应点为点𝐶′.在旋转过程中，当点𝐴′落在直线𝐸𝐶上时，𝐴′𝐶的长为______．

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三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. (本小题10.0分)

(1)计算：|1−√2|+(13)−1−√8；

(2)阅读下列计算过程，并完成相应的任务：

解方程组：{2𝑥−𝑦=4①8𝑥−3𝑦=20②．

解：①×4，得8𝑥−4𝑦=16③，………………第一步，

②−③，得−𝑦=4，……………………………第二步，

𝑦=−4.…………………………………………第三步，

将𝑦=−4代入①，得𝑥=0.……………………第四步，

所以，原方程组的解为{𝑥=0𝑦=−4.………………第五步．

填空：

任务一：这种求解二元一次方程组的方法叫做______．

A.代入消元法ㅤㅤ𝐵.加减消元法

任务二：第______步开始出现错误，错误的原因是______；

任务三：直接写出该方程组的正确解：______．

17. (本小题9.0分)

空气质量指数(𝐴𝑖𝑟𝑄𝑢𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦𝐼𝑛𝑑𝑒𝑥，简称𝐴𝑄𝐼)是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大．许昌市为改善生态环境质量，打赢蓝天保卫战，以建设“生态强市”为目标，着力改善我市的空气质量．为了解2021年环境改善情况，环保部门收集了该年每天的空气质量指数(空气质量指数范围及相应类别为：0≤𝐴𝑄𝐼≤50，空气质量为优，空气质量为良；100<𝐴𝑄𝐼≤150，空气质量为轻度污染；150<𝐴𝑄𝐼≤200，

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空气质量为中度污染；200<𝐴𝑄𝐼≤300，空气质量为重度污染；𝐴𝑄𝐼>300，空气质量为严重污染)，其中部分数据(按从小到大的顺序排列)和统计图(不完整)如下：

序号 1 2 3 … 182 183 184 … 363 364 365

𝐴𝑄𝐼 13 14 14 … 63 64 65 … 376 421 423

(1)请补全条形统计图；

(2)这组数据的中位数是______.已知这组数据的平均数是76，你对它与中位数的差异有什么看法？

18. (本小题9.0分)

已知正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)与反比例函数𝑦=−8𝑥的图象都经过点𝐴(4,𝑎)．

(1)求𝑎，𝑘的值；

(2)在图中画出正比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象，并结合图象，写出不等式𝑘𝑥+8𝑥≥0的解集．

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19. (本小题9.0分)

随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的𝑆型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部𝐴𝐶、滑道(包括助滑区𝐷𝐸和着陆坡𝐸𝐹)及看台区𝐺𝐹三部分构成(𝐴𝐶、𝐺𝐹均与水平面平行)，其中𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐵，𝐵𝐷=14𝑚，𝐷𝐸=109𝑚，𝐸𝐹=198𝑚，从点𝐸处测得点𝐷处的仰角为26°，点𝐹处的俯角为31°，求“雪如意”的高𝐵𝐻的长(结果精确到1𝑚，𝑠𝑖𝑛26°≈0.44，𝑐𝑜𝑠26°≈0.90，𝑡𝑎𝑛26°≈0.49，𝑠𝑖𝑛31°≈0.52，𝑐𝑜𝑠31°≈0.86，𝑡𝑎𝑛31°≈0.80)．

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20. (本小题9.0分)

张老师在复习《圆》的内容时，用投影屏幕展示出如下内容：

已知，𝐴𝐵为半圆𝑂的直径，点𝐶为半圆𝑂上任一点．

张老师让同学们根据题意画出图形，添加条件后，编制一道题目，并给出解答．

以下是小亮和小颖的对话：

小亮：我画的图形如图，过点𝐶作半圆𝑂的切线，交𝐴𝐵的延长线于点𝐷.连接𝑂𝐶，𝐴𝐶，𝐵𝐶，若∠𝐴=30°，则图形中存在全等的三角形；

小颖：我在半圆𝑂上找一点𝐸，且满足以点𝐴，𝑂，𝐶，𝐸为顶点的四边形为菱形，若𝐴𝐵=2，可求出𝐵𝐶⏜的长为𝜋3；

小亮：小颖的答案是有问题的．

参考上面对话，完成以下任务：

(1)请写出图中所有的全等三角形，并对其中一对给出证明；

(2)填空：小颖编制的题目中𝐵𝐶⏜的长应为______．

21. (本小题9.0分)

某日，甲乙两人同去加油站加同种汽油，甲用300元加的油量比乙用375元加的油量少10升．

(1)求当天加油站的油价和甲乙两人的加油量．若设当天加油站的油价为𝑎元/升，则可列方程______；若设甲当天的加油量为𝑏升，则可列方程______；请选择一种你喜欢的设法，完整解答本小题．

(2)当天加油站在其汽油进价的基础上提高25%进行定价，若加油站的经营成本为𝑦元(包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价)，销售量为𝑥升，𝑦与𝑥之间的函数关系式为：𝑦=0.04𝑥+315，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？(总成本=进价+经营成本)

(3)汽油价格受多种因素影响浮动较大，甲乙两人再次同去加同种汽油时，油价每升比上次上涨了0.5元，甲加油的总价与上次相同，乙加油的油量与上次相同，请通过计算两人两次所加汽油的平均单价，说明甲乙两人采用的加油方式哪种更合算？

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22. (本小题10.0分)

已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑏2−𝑏(𝑎≠0)．

(1)若𝑏=2𝑎，求抛物线的对称轴；

(2)若𝑎=1，且抛物线的对称轴在𝑦轴右侧．

①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求𝑏的值；

②点(−3,𝑦1)，(−1,𝑦2)，(3,𝑦3)在抛物线上，若𝑦1>𝑦3>𝑦2，请直接写出𝑏的取值范围．

23. (本小题10.0分)

问题背景

折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．

芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：

第一步：如图1，将正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷对折，使点𝐴与点𝐷重合，点𝐵与点𝐶重合．再将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷展开，得到折痕𝐸𝐹；

第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点𝐶与点𝐸重合，边𝐵𝐶翻折至𝐵′𝐸的位置，得到折痕𝑀𝑁，𝐵′𝐸与𝐴𝐵交于点𝑃．

则点𝑃为𝐴𝐵的三等分点，即𝐴𝑃：𝑃𝐵=2：1．

问题解决

如图1，若正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是2．