Ｎｏ．５ 一 ＴＩＭＥ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ Ｍａ．ｖ 新课程下的探究式案例教学 桑红迪 摘要：笔者从新课程理念和符合本班学生认知出发，设计了《直线的两点式方程》的探究式教学案例，在宁波地区“金兰合作组织” 开设公开课后，再整理反恩后成文的。 关键词：高中数学教学案例直线方程探究 中图分类号：Ｇ６２２．０ 文献标识码：Ｃ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８１８１．２０１３．１０．１５４ １背景 直线的方程是二元一次方程的延续，又与一次函数知识相吻 合，是解析几何部分的基础知识，在解决数学问题中有着广泛的应 用，也是进一步学习圆和圆锥曲线知识的基础。《直线的两点式方 程》是在学生已经掌握了直线点斜式和斜截式方程的基础上，进 一步给出的另一种直线的表现形式。 ２教学案例 ２．１复习回顾 设计意图：这一环节先从复习回顾上节课直线方程的两点式 和斜截式方程及其局限性人手，并通过一个练习承上启下，既让 学生巩固加深理解了上节课的内容，又自然引出这节课的主题。 提问：上一堂课我们探究了直线方程的哪两种形式及其局限 性？ 我们能否根据已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出经 过两点的直线方程呢？这就是我们今天所要探究的内容。首先 我们来做一个练习，题目如下： 练习：求过下列两点的直线方程： （１）Ｐｔ（２，１），Ｐ２（１，２） （２）Ｐ。 ，Ｙ。）， ：，ｙ２）（其中肋≠地ｙ１＋ ） 评析：当时Ｙ ≠Ｙ ，方程可写成 ，它的形式对称，非 常优美，直线的这一方程形式突出了两点的坐标，根据直线所过 两点的坐标可以立即写出直线的方程，所以，这个形式叫做直线 的两点式方程，简称两点式。 ２．２直线的两点式方程 设计意图：这块内容是本节课的重难点所在，笔者根据《数学 课程标准》所提出的数学地提出、分析和解决问题的要求，设计了 这个环节。合理的提问一步步带领学生逐步认识直线两点式的 表现形式及其适用条件，最后从一个例题中自然引出直线的截距 式方程。 思考：两点式有什么限制条件吗？这个条件限制导致了一些 直线不能直接用两点式表示，你知道哪些直线不适用吗？那么此 时，它们的直线方程是什么呢？ 进一步明确：根据上面的分析，两点式不能表示平面直角坐 标系内所有的直线了，那么通过怎样的变形，才能表示所有的直 线呢？两点式有限制条件是因为分母不能为零，那我们试从去分 母的角度变形。更有一般地，经过点Ｐ 。，ｙ】），Ｐ２ ：，，，：）的直线方程 都可以写成（ｙ—Ｙ。） 。）＝ 叫 ） —Ｙ ）：。 评析：到目前为止，我们已经学习了三种直线方程。遇到具 体问题时，要恰当选择直线方程求解，选择的原则是，怎样简单怎 样选。 例１求过下列两点的直线方程： （１）Ｐ （２，１），Ｐ２（０，一３） （２）尸 （１，５），Ｐｚ（一２，一１） （３）Ｐ （４，０），Ｐ：（０，５） （４）Ｐ ，０），Ｐ （０，６）（ｎ≠Ｄ），（６≠０） 由第（４）题引出直线的截距式方程，并给出它的限制条件。 ２．３直线的截距式方程 设计意图：这块内容是本堂课的延伸与拓展，从教材提供的 基本例题出发，设计了一系列的变式，层层递进与加深，在有限的 课堂里提高了教学效率，改善了学生的思维品质。 例２已知三角形三顶点的坐标分别是Ａ（一５，０）、Ｂ（３，一３）、ｃ（ｏ， ２），求ＢＣ边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 例３已知直线ｚ经过点Ｐ（１，４），且在两坐标轴上截距相等，求 直线的方程。 提问：首先考虑选择哪种直线方程？学生一般会想到截距式。 启发：我们选择截距式，设方程 《：１（ａ≠０，ｂ≠０）为然后把点 坐标代人，得ｘ＋ｙ一５＝０．思考一下，这样一个解题过程还有什么不 完善的地方吗？我们设直线方程为截距式，就是默认截距不为 ０。但是根据题目中的条件，截距可以为０吗？那我们应该怎么 处理呢？如果截距为０，那就经过坐标原点，此时我们可以设直 线方程为ｙ＝ｋｘ，代入点坐标，得ｙ＝４ｘ． 探究１已知直线ｚ经过点Ｐ（１，４），且在两坐标轴上截距的绝对 值相等，求直线的方程。 分析：它跟例３有什么联系和区别吗？截距的绝对值相等包 括截距相等和截距为相反数，那我们第一小题已经计算出截距相 等的情况，所以只要再计算截距为相反数的情形。 提醒：对于截距相等或截距绝对值相等的问题，要单独考虑 过原点的直线。 探究２直线ｚ经过点Ｐ（１，４），且与两坐标轴围成的三角形的 面积为１，求直线ｆ的方程。 分析：转化为截距的绝对值相乘为定值２。 探究３直线ｌ经过点Ｐ（１，４）。 （１）若直线２与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最小， 求直线的方程。 （２）若直线ｆ在两坐标轴正半轴上的截距积最小，求直线ｆ的 方程。 提示：探究二中面积是常数，这一变式中是让我们求面积的 最小值，前面的基本过程不变，且可以去掉绝对值，然后接下来怎 么思考？最值问题，我们惯用的手段是什么？那我们可以直接用 基本不等式吗？截距积与坐标轴围成的面积有什么关系？ 总结：截距积是与坐标轴围成的面积的２倍。那当截距积最 小的时候，面积也最小，无须计算，结果与上一小题一样。正所谓 换汤不换药就是这个意思了。 探究４直线ｚ经过点Ｐ（１，４），且在两坐标轴正半轴上的截距 和最小，求直线的方程。 ３课后反思 首先本案例从复习回顾学生上堂课学过的直线方程人手，求 过已知两点的直线方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要 性，同时也“悟”出两点式的推导方法，以此导入新课，使学生既能 加深对所学知识的理解，又能为学习新知识奠定良好的基础，符 合学生的认知规律。在给出两点式后，紧接着从例题人手，让学 生猜想截距式，这样处理，有利于比较两种形式的方程，从而有助 于学生理解两者之间的联系和区别。例３及一系列探究的设置 是本堂课内容的延伸与拓展。要有效提高课堂教学效率，采用习 题探究式教学就是比较有效的途径，它一方面发展了学生的思 维，另一方面挖掘了教材内涵，使学生对所学知识加以迁移，引导 学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。 参考文献： 【１】教育部．普通高中数学课程标准【Ｍ】．北京：人民教育出版社 ２００３． ［２】新课标教案【Ｍ】．北京：人民教育出版社，延边教育出版社，２００５． ［３］米姿娟ｌ新课程理念下初中数学探究式教学方法叶学苑教育 ２０１１，（８）． ［４】钱健．探究式教学案例及反思卟中学数学月刊，２０１２，（５）． 【５】沙婷婷．美国数学探究式教学案例特点研究【Ｄ】．东北师范大学 ２ｆ】１０ 作者简介：桑红迪（１９８４一），女，浙江宁波人，学士，中学二级教 师，研究方向为教案教法，浙江省宁波市鄞州区姜山中学，浙江宁 波３１５１９１ —１ ７５
年级：高一 科目：数学 班级： 姓名： 组长：张锦宇 制作人：王成亮 制作日期：2010-11-16
只有不畏攀登的采药者，才能登上高峰采得仙草； 只有不怕巨浪的弄潮儿，才能深入水底觅得骊珠！
直线方程的的两点式和一般式
【学习目标】（我们想去的地方！）
1、灵活运用直线方程的两点式和截距式
2、直线方程一般式的运用，并能将直线方程的几种形式进行互相转换，弄清各种形式的应用范畴
【重点难点】直线方程的两点式和截距式，直线方程的一般式的运用
【自学指导】认真阅读第65-67页，理解并记忆知识点，6分钟后完成下面内容。
【基本知识】（鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书！）
1、设直线l经过点1112221212(,),(,)(,)PxyPxyxxyy，则直线l的方程为
该方程叫做l的 方程
2、设直线l在x轴上的截距为(0)aa，在y轴上的截距为(0)bb，则直线l的方程
为 该方程叫做l的 方程
3、直线一般式方程为
【典例精析】（品出知识，品出题型，品出方法）
例1， 已知直线经过点A(0,3)和B(4,0),求该直线方程的斜截式方程和一般式方程
例2 已知直线经过点A(4,3)斜率为 -2， 求直线的点斜式方程，并化为一般式方程
例3、已知三角形三个顶点分别是A(7,4),B(3,-1),C(-5,2).求这个三角形三边所在直线的方程。
年级：高一 科目：数学 班级： 姓名： 组长：张锦宇 制作人：王成亮 制作日期：2010-11-16
只有不畏攀登的采药者，才能登上高峰采得仙草； 只有不怕巨浪的弄潮儿，才能深入水底觅得骊珠！
【双基达标】（听过的如烟云，看过的似流星，想过的铭于心，做过的能……）
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《3.2.3 直线的一般式方程》
年级：高一 新人教A版必修2 新疆且末县中学 ：仇怀英 时间：2015-5-25
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教A版）第三章直线方程第二节的第三课时。
直线方程一般式是在学生学习直线方程的点斜式与两点式的基础上，进一步研究直线方程.我们知道直线方程的点斜式与两点式是有限制条件的．此外直线方程一般式要涉及二元一次方程．由于这一节是直线方程的结尾部分，也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式的选择与互换，可以培养学生分析问题、解决问题的能力．
二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：
1. 直线方程一般式的形式不规范;
2. 直线方程一般式的讨论不清晰.
三、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
四、教学重点，难点
重点：直线方程的一般式。
难点：对直线方程一般式的理解与应用．
五、教学过程以及设想
问 题 设计意图 师生活动
一、展示学习目标
二、设置情境引入新课
问题1: 学过的直线方程有几种形式？
问题2、上述四种方程，能否写使学生知道本节课要干什么
复习旧知
提问，纠正
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成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
问题3、平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示吗？
问题4、每一个关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
1 3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计（第一课时）
一、内容及其解析
“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始，直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、目标及其解析
1．三维目标
1、知识与技能：
（1）在直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
（2）理解直线倾斜角和斜率的概念和关系。
2、过程与方法：
（1）结合实际，用实际问题带动数学学习；
（2）思维训练，借助图像帮助理解。
3、情感态度与价值观：
认识事物之间相互联系——用联系的观点看问题。
2.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念。
3.教学难点：斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
三、问题诊断与分析
1．在初中，学生已经知道，两点确定一条直线，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和他的倾斜角可以确定直线的位置。
2．对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。 2 3.探究直线倾斜角与斜率变化关系是本节的另一个难点，教学中可以采用从特殊到一般的思想方法，先让学生观察特殊角的正切值表，发现并总结规律，随后利用几何画板展示直线倾斜角与斜率的变化过程，拓展到一般情况，加强学生思维训练，同时让学生感受到数学的自然性。
