高二数学第一章测试附答案
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1.(2011·重庆理，6)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.43 B．8－43
C．1 D.23
[答案] A
[解析] 在△ABC中，C＝60°，
∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，
∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，
∴ab＝43，选A.
2．(文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是( )
A.0，π4 B.π4，π2
C.π4，3π4 D.π4，π3
[答案] A
[解析] 由条件知bsinA
∵a
(理)(2012·湖北八校联考)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是( ) A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，2) D．(1,2)
[答案] C
[解析] 由条件知，asin60°<3
3．(2012·深圳二调)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
[答案] D
[解析] 由正弦定理得asinA＝bsinB，所以4sin30°＝43sinB，sinB＝32.又0°
4．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120° B．105°
C．90° D．75°
[答案] A
[解析] ∵c＝3a，∴sinC＝3sinA＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝332sinC＋12cosC，
即sinC＝－3cosC，∴tanC＝－3. 又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.故选A.
(理)(2012·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cb
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
[答案] A
[解析] 依题意得sinCsinB0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.
5．(文)(2012·福建质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC等于( )
A.441 B.45
C.425 D.44141
[答案] B
[解析] 依题意得b＝a2＋c2－2accosB＝5，
又csinC＝bsinB，所以sinC＝csinBb＝42sin45°5＝45，选B.
(理)(2012·湖南理)在ΔABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案] A
[解析] ∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2abcosC ∴a2－b2＝ab，
又∵a>0，b>0，∴a－b＝aba＋b>0，所以a>b.
6．(文)(2011·天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] A
[解析] 由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc，由题知b2－a2＝－3bc，c2＝23bc，则cosA＝32，
又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.
(理)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋3 B．3＋3
C.3＋33 D．2＋3
[答案] C
[解析] 12acsinB＝12，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝3＋33.
7．(文)(2012·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆x24＋y23＝1上，则sinA＋sinCsinB的值为________． [答案] 2
[解析] 由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，
由正弦定理得sinA＋sinCsinB＝BC＋BAAC＝2.
(理)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．
[答案] 3
[解析] 边c最长时：
cosC＝a2＋b2－c22ab＝1＋4－c22×1×2>0，
∴c2<5.∴0
边b最长时：cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋c2－42c>0，
∴c2>3.∴c>3.
综上，3
8．(2012·广州一测)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝π3，a＝2b，则b的值为________．
[答案] 3
[解析] 依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcosπ3，解得b2＝3，∴b＝3.
1.(文)(2012·深圳二调)已知△ABC中，∠A＝30°，AB，BC分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于( ) A.32 B.34
C.32或3 D.32或34
[答案] D
[解析] 依题意得AB＝3，BC＝1，易判断△ABC有两解，由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，3sinC＝1sin30°，即sinC＝32.又0°
(理)(2012·泉州质检)△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
[答案] B
[解析] 依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，又0°
2．(文)(2012·枣庄八中)在△ABC中，内角A，B，C对边的长度分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3，△ABC的面积等于3，则a，b的值分别为( )
A．a＝1，b＝4 B．a＝4，b＝1
C．a＝4，b＝4 D．a＝2，b＝2 [答案] D
[解析] 由余弦定理得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，∴ab＝4.
联立 a2＋b2－ab＝4ab＝4，解得a＝2，b＝2.
(理)△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC边的长是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] C
[解析] 由条件知
12bcsin60°＝103 1b＋c＋b2＋c2－2bccos60°＝20 2
由(1)得bc＝40，由(2)得b＋c＋b＋c2－3bc＝20(3)
将bc＝40代入(3)中，解方程得b＋c＝13，
∴b＝8，c＝5或b＝5，c＝8，
∴a＝b2＋c2－2bccos60°＝7，故选C.
3.
(2011·天津理，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )
A.33 B.36 C.63 D.66
[答案] D
[解析] 如图，根据条件，设BD＝2，则AB＝3＝AD，BC＝4.
在△ABC中，由正弦定理：3sinC＝4sinA
在△ABD中，由余弦定理：
cosA＝3＋3－42×3×3＝13，∴sinA＝223
∴sinC＝3sinA4＝3×2234＝66，故选D.
4．(2012·四川双流县质检)在△ABC中，tanA＝12，cosB＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )
A.455
B.355
C.255 D.55
[答案] D
[解析] 由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角，
∵tanA＝12<1，∴032，
∴0
由条件知，sinA＝15，cosA＝25，sinB＝110，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝15×310＋25×110＝22，
由正弦定理，bsinB＝csinC知，b110＝122，∴b＝55.
5．(文)(2012·福州质量调研)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3，则△ABC的面积为________．
[答案] 2
[解析] 依题意得cosA＝2cos2A2－1＝35，∴sinA＝1－cos2A＝45，∵AB→·AC→＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面积S＝12AB·AC·sinA＝2.
(理)(2011·新课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．
[答案] 27
[解析] 依题意，由正弦定理得：
AB＝3sin60°·sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA.
∴AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(120°－A)＋4sinA
＝3cosA＋5sinA＝27sin(A＋φ)(其中tanφ＝35)
