高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用

专题09正弦定理与余弦定理的综合应用

一、本专题要特别小心：

1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）

2. 边角互化的选取

3. 正余弦定理的选取

4.三角形中的中线问题

5.三角形中的角平分性问题

6.多个三角形问题

二．【学习目标】

掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．

三．【方法总结】

1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.

4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；

(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.

(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.

四．【题型方法】

（一）三角形中角的范围问题

例1. 在中，，，则的最大值为

A． B． C． D．

练习1. 在锐角三角形ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若3sincbA，则tantantanCAB的最小值是_______．

练习2.设的内角的对边分别为，其外接圆的直径为1, ，且角为钝角.

（1）求的值；

（2）求的取值范围．

（二）正余弦定理与三角形面积综合

例2. 在中，为的外心，若，其中.则点的轨迹所对应图形的面积是__________．

练习1. 在VABC中，内角ABC，，的对边分别为abc，，，且3c，22cosbcaC.

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）

【题型解读】

题型特点 命题趋势

从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题. 主要是在三角恒等变换的基础上融合正、余弦定理，在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点.

▶▶题型一：三角函数的图象和性质

1．注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．

2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤

(1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．

(2)构造f(x)＝a2＋b2aa2＋b2·sin x＋ba2＋b2·cos x.

(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．

(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质．

(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

【例1】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3.已知fπ6＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．

【答案】见解析

【解析】(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cos ωx＝32sin

ωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.因为fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0＜ω＜3，所以ω＝2.

第4讲　平面向量“奔驰定理”

定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于

利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决

定性的基石作用．

例　(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC等于( )

A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6

答案　B

解析　由QR＝QB，得PR－PQ＝(PB－PQ)，

整理得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，

由RP＝RC，得RP＝(PC－PR)，

整理得PR＝－PC，∴－PC＝PB＋PA，

整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则等于( )

A.B.C.D.答案　A

解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，

又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝

.

1(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC＝AC，QC＝nBC，则n的

值为________．

答案　

解析　因为O是重心，所以OA＋OB＋OC＝0，即OA＝－OB－OC，PC＝AC⇒OC－OP＝(OC－OA)⇒OP＝OA＋OC＝

－OB－OC，QC＝nBC⇒OC－OQ＝n(OC－OB)

⇒OQ＝nOB＋(1－n)OC，

因为P，O，Q三点共线，所以OP∥OQ，

所以－(1－n)＝－n，解得n＝.

“奔驰定理”与三角形“四心”：

已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为△ABC的重心，则OA＋OB＋OC＝0.

(2)若O为△ABC的外心，则sin2A·OA＋sin2B·OB＋sin2C·OC＝0.

平面向量综合应用与解题技巧

【命题趋向】

由2019年高考题分析可知：

1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．

2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．

3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．

【考点透视】

“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．

透析高考试题，知命题热点为：

1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．

2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．

3．两非零向量平行、垂直的充要条件．

4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．

5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．

6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．

【例题解析】

1. 向量的概念，向量的基本运算

(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.

(2)掌握向量的加法和减法.

(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

(6)掌握平面两点间的距离公式.

例1（北京卷理）已知O是ABC△所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么（ ）

Ａ．AOOD Ｂ．2AOOD Ｃ．3AOOD Ｄ．2AOOD