一元二次不等式的解法
[学习目标]
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2.掌握图像法解一元二次不等式
[教学过程]
一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
思考 下列不等式是一元二次不等式的有________．
①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.
答案 ①②
解析 ①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．
二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} 错误! R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
思考 一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)
等式，分式不等式，高次不等式的简单解法，对含参的一元二 次不等式的解法做深入阐述． 关键词：一元二次方程；二次函数；一元二次不等式 一元二次不等式的解法是职高数学教学的重点和难点之一． 从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该 内容涉及的知识点较多且应用广泛．从思想层次上看，它涉及到 数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想 将在中学数学中产生广泛而深远的影响．以下从一元二次不等式 入手，讨论绝对值值不等式，分式不等式，高次不等式以及含 参数的一元二次不等式的解法． 一、一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系 ｎ＞０ △＞０ △＝０ △＜０ 一元二次函数Ｙ＝ ＼ ＼＼＼／／／ （ＩＸ ＋ｈ＋ｃ的图象 ｌ＝Ｘ２ 元二次方程 ：＋ 有两实根 有两相等的实根 无实根 ６ ＋Ｃ＝０的根 ＝ Ｉ旦ｋ ＝ ２ ＝ １＝Ｘ２ 一元二次不等式 ：＋ ｛ ｌ ＜ ｌ，或 ＞ ≠丢｝ Ｒ ｂ ＋ｃ＞０的解集 一元二次不等式 ＋ ｛ ｌ １＜ ＜ ２｝ ６ ＋ｃ＜０的解集 一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数 的图象结合起来解决问题．即一元二次方程根的分布转化为～元 二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题 来求解． 例１解下列一元二次不等式： （１）２ｘ ＋乱＋３＜０； （２）一３ｘ 一２ｘ＋８≤０： （３）８ｘ一１≥１６ｘ０． 解：（１）因为△＝４ ～４×２ Ｘ ３＝１６—２４＝一８＜０， 所以方程２ｘ２＋乱＋３＝０没有实根． 所以 ＋乱＋３＜０的解集为 ． （２）原不等式等价于３ ＋２ｘ一８≥０甘（ ＋２）（３ ～４）≥ ０ ≤一２或 ≥ ４． ｊ 所以不等式的解集为（一。。，一２ ３Ｕ［丁４，＋ ）． ２８基础教育论坛［２０１２年第４期 所以只有当４ｘ一１＝０，即 ＝丁１时不等式成立， 故不等式解集为｛｝｝． 【注】一元二次不等式ｏｇｇ ＋６ ＋ｃ＞０（＜０）（０≠０）的解题步骤： （１）将二次项系数化为正数； （２）看判别式△的符号； （３）求出相应一元二次方程的根（若根存在）； （４）根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的 关系，结合不等号定解集． 有时通过因式分解，直接求出方程的根． 二、与一元二次不等式有关的其他不等式的解法 １．解含有绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号．去绝 对值的常用方法有： （１）依据绝对值的定义：即ｌ。Ｉ＝ｆ。－（ａ。（ａ≥＜。Ｏ）．， （２）利用不等式的性质：｛ｌ厂（ ）ｌ＜６１，得一。＜ｆ（ ）＜ｎ； ｌｆ（ｘ）ｌ＞。得ｆ（ ）＞ｏ，或ｆ（ｘ）＜一ｎ． （３）平方法：将不等式两边同时平方去绝对值符号，两边 非负． （４）解含多个绝对值符号的不等式，常根据绝对值的定义去 绝对值符号，求解过程不要漏掉区间端点的讨论，以免漏解． 例２解下列不等式： （１）ｌ 一３ ｌ＞２ｘ； （２）｝．１７＋２ Ｊ＞ｆ 一１ ｌ一３． （１）解法一：（定义法） 原不等式等价于｛ ：：３＿ ） ，或ｉ（２ ：－一３，＜）＞０， ． 解得 ＞３或 ≤一ｘ／３或一、／３＜ ＜１． 故原不等式的解集为｛ ｌ ＞３或 ＜１｝． 解法二：（平方法） 原不等式 ）２＞ 或 ． 解得 ＞３或０≤ ＜１或 ＜０． 故原不等式的解集为｛ Ｉ ＜Ｉ或 ＞３｝． 解法三：（图象法） 令Ｙ１＝ｌ 一３ ｌ， ＝２ｘ，可知交点坐标为（１，２）和（３，６）． 故满足Ｙ ＞ 的不等式的解集为｛ Ｉ ＜１或 ＞３｝． （２）分别令 ＋２＝０， 一１＝０，得原不等式的零点为一２，１．
知识点一：一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.
任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.
知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：
注意：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。
知识点三：解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程
规律方法指导
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
二次函数
（）的图象
经典例题透析
类型一：解一元二次不等式
1．解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
总结升华：
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
第二课时 一元二次不等式解法(一)
教学目标：
通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想.
教学重点：
一元二次不等式解法
教学难点：
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.
数形结合思想渗透.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.｜x｜＞a及｜x｜＜a(a＞0)型不等式解法.
2.｜ax＋b｜＜c及｜ax＋b｜＞c（c＞0）解的结果.
3.绝对值符号去掉的依据是什么?
Ⅱ.讲授新课
1.“三个一次”关系
在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢?
我们共同来看下面问题：
y＝2x－7
其部分对应值表
x
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y －3 －2 －1 0 1 2 3
图象：
填表：
当x＝3.5时，y＝0，即2x－7＝0
当x＜3.5时，y＜0，得2x－7＜0
当x＞3.5时，y＞0，得2x－7＞0
注：(1)引导学生由图象得结论.(数形结合)，(2)由学生填空.
从上例的特殊情形，可得到什么样的一般结论？
教师引导下让学生发现其结论.
一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0，0)就有如下结果.
一元一次方程 ax＋b＝0的解集是{x｜x＝x0}
一元一次不等式ax＋b＞0（＜0)解集
(1)当a＞0时，一元一次不等式
ax＋b＞0的解集是{x｜x＞x0}，一元
一次不等式ax＋b＜0的解集是
{x｜x＜x0}.
(2)当a＜0时，一元一次不等式
ax＋b＞0的解集是{x｜x＜x0}；一元
一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＞x0}. 2.“三个二次”的关系
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系.
从下面特例寻求“三个二次”关系.
举例：y＝x2－x－6，对应值表
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
