2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级数学图形的相似的性质5(2)

初三相似的图形知识点归纳总结相似的图形在初中数学中占据非常重要的位置。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在初三学习过程中，我们接触到了许多涉及相似图形的知识点。

本文将对初三相似的图形知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角对应对应地相等，并且两个对应边成比例，则它们相似。

3. 相似三角形的对应边的比例关系：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度之比等于相似比。

即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)二、相似三角形的性质和应用1. 相似三角形的边长比例性质：两个相似三角形的相应边的比等于它们的相似比。

即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)2. 相似三角形的高线比例性质：两个相似三角形的高线与底边之比等于相似比。

即\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}\)3. 相似三角形的面积比例性质：两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。

即\(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2 =\left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2 = \left(\frac{CA}{C'A'}\right)^2\)4. 利用相似三角形性质解决实际问题。

如影子定理、塔楼高度的测量等。

苏教版九年级相似知识点相似是数学中一个重要的概念，也是学习几何的基础之一。

在几何中，相似指的是两个图形在形状上相似，但是大小不一样。

通过相似性，我们可以利用已知的信息来推导出未知的信息，解决实际问题。

本文将介绍苏教版九年级中与相似相关的知识点。

1. 相似三角形相似三角形是指两个三角形在形状上相似，对应的角度相等，对应的边成比例。

在求解相似三角形的问题时，我们可以利用一些特定的相似性质，如AAA判定相似、SAS判定相似和SSS判定相似等。

这些性质可以帮助我们简化计算过程，得出准确的结果。

2. 相似比在相似三角形中，对应的边成比例。

我们可以利用相似比来表示这种比例关系。

相似比是指已知相似三角形的两个对应边的比值。

例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，与角A对应的边和与角D对应的边的比值为a:b，与角B对应的边和与角E对应的边的比值为c:d，那么相似比为a:b=c:d。

通过相似比，我们可以计算出未知边的长度，解决各种实际问题。

3. 相似多边形除了三角形，多边形也可以相似。

相似多边形是指两个多边形在形状上相似，对应的角度相等，对应的边成比例。

在求解相似多边形的问题时，我们可以利用相似比来简化计算过程，得出准确的结果。

4. 比例尺比例尺是指图形在实际尺寸与其缩小或放大后的尺寸之间的比例关系。

在实际问题中，我们经常需要根据图纸上的比例尺来计算实际尺寸，或者根据实际尺寸来绘制图纸。

5. 三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。

例如，我们可以利用相似三角形的性质来计算高楼大厦的高度、电线杆的高度、塔的高度等。

通过相似三角形的计算，我们可以在不进行实际测量的情况下，得出准确的结果。

6. 相似几何体除了平面图形，立体图形也可以相似。

相似几何体是指两个立体图形在形状上相似，对应的面相似，对应的棱和对应的面的比例成比。

通过相似几何体的性质，我们可以计算出未知的长度、面积和体积，解决实际问题。

总结起来，苏教版九年级中的相似知识点包括相似三角形、相似比、相似多边形、比例尺、三角形的应用和相似几何体等。

苏科版九年级数学说课稿：第57讲图形的相似与相似图形的性质一. 教材分析苏科版九年级数学第57讲《图形的相似与相似图形的性质》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进一步探究图形的相似性。

本节内容通过实例引入相似图形的概念，引导学生探究相似图形的性质，从而加深学生对几何图形的认识和理解。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面几何的基本概念和性质有所了解。

但学生在学习过程中容易将相似图形和全等图形混淆，对相似图形的性质理解不深。

因此，在教学过程中，需要帮助学生明确相似图形和全等图形的区别，引导学生深入探究相似图形的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质，能够运用相似图形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对几何学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.重点：相似图形的概念及其性质。

2.难点：相似图形的性质在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例模型等，引导学生思考相似图形的特征。

2.探究相似图形：学生分组讨论，观察、操作、猜想相似图形的性质，并进行验证。

教师引导学生总结出相似图形的性质。

3.应用拓展：出示一些实际问题，让学生运用相似图形的性质解决问题，巩固所学知识。

4.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。

5.布置作业：布置一些有关相似图形的练习题，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：形状相同，大小不一定相同a.对应边成比例b.对应角相等c.面积比等于相似比的平方d.解决问题e.设计比例模型八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、操作等，评价学生的参与程度。

初中数学平面几何的相似性质知识点总结在初中数学的学习过程中，平面几何是一个非常重要的内容，其中相似性质是一个重要的知识点。

相似性质是指两个图形在大小或形状上相似的性质。

在本文中，我们将对初中数学平面几何的相似性质知识点进行总结和介绍。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相似性质的三角形，它们有一些重要的性质：1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，可以使用以下方法：1. 直角边定理：如果两个直角三角形的两个直角边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

2. 边角边相似定理：如果两个三角形的两条边成比例，并且包含这两条边的两个角相等，那么这两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 两个高塔：如果两个高塔之间的距离和高度的比例相等，那么两个高塔分别投影到地面上的阴影也是相似的。

2. 飞机与观察点：当飞机与观察点组成的线段与投影地面上的线段成比例时，飞机的高度与距离观察点的距离也成比例。

3. 日影问题：根据前面提到的直角边定理，如果两个物体的高度和它们的阴影长度成比例，那么它们之间的角度也是相等的。

四、相似三角形的比较当我们比较两个相似三角形的相似比时，可以使用以下方法：1. 边比：两个相似三角形的对应边的比例相等。

2. 周长比：两个相似三角形的周长比等于对应边的比例。

3. 面积比：两个相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。

五、相似三角形中的重要线段在相似三角形中，有一些重要线段需要我们注意：1. 高线：在一个三角形内，从顶点到对边所引的垂线称为高线。

在相似三角形中，高线的长度成等比例。

2. 角平分线：从一个三角形的顶点射出的线段，将对边的对应角分成相等的两个角，称为角平分线。

2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级数学开学考试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①线段；②等腰三角形；③矩形；④菱形；⑤正方形。

将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）。

【A】1 5【B】2 5【C】3 5【D】4 5【答案】D【分析】本题主要考查图形的轴对称、图形的中心对称以及随机事件的概率。

2．设有反比例函数1ykx+=，（x1，y1）、（x2，y2）为其图象上的两点，若x1＜0＜x2时y1＞y2，则k的取值范围是（）【A】k＞0【B】k＜0【C】k＞-1【D】k＜-1【答案】D【分析】本题主要考察反比例函数的性质。

3的正确结果是( )【A】【B】【C】-【D】-【答案】C【分析】本题考查二次根式的性质及二次根式成立的条件解答. 解答此题,要弄清以下问题:①定义:一般地,0)a≥的代数式叫做二次根式.②性质||a =.4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个。

设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）。

【A 】250(1)196x +=【B 】25050(1)196x ++=【C 】25050(1)50(1)196x x ++++=【D 】5050(1)50(12)196x x ++++=【答案】C【分析】本题主要考查一元二次方程的应用。

根据题意，可知八月份生产零件50(1)x +个，九月份生产零件250(1)x +个；因为第三季度生产零件196万个，则可得方程25050(1)50(1)196x x ++++=。

5．根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=，可列表如下：则方程20x px q ++=的正数解满足（ ）【A 】解的整数部分是0，十分位是5【B 】解的整数部分是0，十分位是8【C 】解的整数部分是1，十分位是1【D 】解的整数部分是1，十分位是2【答案】 C【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．由表可知 1.1＜x ＜1.2范围内使得20x px q ++=6．对于函数2y x-=,下列说法错误的是( ) 【A 】这个函数的图象位于第二、第四象限【B 】当x>0时,y 随x 的增大而增大【C 】这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形【D 】当x<0时,y 随x 的增大而减小【答案】A【分析】本题考查反比例函数的性质解:A、∵k=-2<0,∴这个函数的图象位于第二、第四象限,故本选项正确;B、∵k=-2<0,∴当x>0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;C、∵此函数是反比例函数,∴这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确;D、∵k=-2<0,∴当x<0时,y随x的增大而增大,故本选项错误.所以D选项是正确的.7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）。

九年级数学相似形知识点相似形是中学数学中的一个重要概念，在几何学中，它是指具有相同形状但大小不同的两个图形。

在九年级数学学习中，相似形的知识点成为了一个必然要掌握的内容。

在这篇文章中，我们将深入探讨九年级数学相似形的各个知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

一、相似形的定义和性质相似形的定义是指形状相似、对应边成比例的两个图形。

对于两个相似形，他们的对应边之间的比值叫做相似比，记作k。

相似比的性质有两个重要的结论：一是对应角相等；二是相似形的周长、面积之比等于相似比的平方。

二、相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法有以下几种：一是AAA判定方法，即两个三角形的对应角相等；二是AA判定方法，即两个三角形有一个对应角相等，并且有一个对应边成比例；三是SAS判定方法，即两个三角形有一个对应边成比例，并且有两个对应角相等；四是SSS判定方法，即两个三角形的对应边成比例。

三、相似三角形的性质和应用相似三角形有以下几个重要的性质：一是对应角相等；二是对应边成比例；三是面积之比等于边长之比的平方。

这些性质的运用在数学问题中有很多实际应用，比如解决高空建筑物的阴影问题、计算不规则图形的面积等。

四、相似形的测量问题在相似形的测量问题中，我们可以利用相似三角形的性质来求解各种未知量。

在实际问题中，我们可以通过测量已知长度和角度，来计算出未知长度和角度，进而解决一些实际应用问题。

五、相似形的画图问题在相似形的画图问题中，我们常常需要利用已知的相似形，根据给定的条件来画出新的相似形。

利用相似形的性质，我们可以轻松地完成这些画图问题，从而解决实际问题。

六、几何变换与相似形相似形与几何变换之间有一定的联系。

几何变换是指平移、旋转、翻转和放缩等操作，而相似形正是通过放缩操作而实现的。

理解几何变换与相似形的关系，对于理解相似形的性质和应用有很大帮助。

七、相似形的应用相似形的应用非常广泛，不仅仅局限在数学课本上。

在日常生活中，我们可以通过相似形的性质来解决各种测量问题，比如测算高楼大厦的高度、计算遥控器的控制范围等。

2019-2020常州市天宁区正衡中学九年级数学相似的应用（一）一、选择题（每题2分，共20分）1.下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）【A】【B】【C】【D】【答案】A【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【A】影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；【B】影子的方向不相同，错误；【C】影子的方向不相同，错误；【D】相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．2.某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）【A】1.25【B】10【C】20【D】8【答案】C【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4＝x：5，然后解方程即可．解答：解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4＝x：5，解得x＝20（m）．即该旗杆的高度是20m3.（2012春•涟水县校级期中）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米，这棵水杉树高为（）米。

【A 】7.5【B 】8【C 】14.7【D 】15.75【答案】A【分析】本题考察了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．解答：根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与水杉、水杉影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答． 解答：解：根据水杉影长水杉树高标杆影长标杆高= 列方程可得到结论，设水杉的高是x 米．则 即5.71.25.1x = 解得：x ＝7.5则这棵水杉树高为7.5米．4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）【A 】6米【B 】8米【C 】18米【D 】24米【答案】B【分析】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．解答：由已知得△ABP ∽△CDP ，则根据相似形的性质可得PDCD CD AB =解答即可． 解答：解：由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB ＝∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴PDBP CD AB = ，∴CD ＝88.12.12.1=⨯（米）5.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD ＝9.6米，留在墙上的影长CD ＝2米，则旗杆的高度（ ）【A 】9米【B 】9.6米【C 】10米【D 】10.2米【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．解：作CE ⊥AB 于E 点，如图，则四边形BDCE 为矩形，BD ＝CE ＝9.6，BE ＝CD ＝2，根据题意得2.11=EC AE ，即2.116.9=AE 解得AE ＝8，所以AB ＝AE ＋BE ＝8＋2＝10（m ）．答：旗杆的高度为10m ．6.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD ＝12 m ，塔影长DE ＝18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）【A 】24米【B 】22米【C 】20米【D 】18米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题），过点D 构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD ，斜坡上的DE ．然后根据影长的比分别求得AG ，GB 长，把它们相加即可．解：解：过D 作DF ⊥CD ，交AE 于点F ，过F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．菁优网 由题意得：26.1=DE DF ∴DF ＝DE ×1.6÷2＝14.4（m ）∴GF ＝BD ＝CD 21＝6m ． 又∵16.1=GF AG ∴AG ＝1.6×6＝9.6（m ）．∴AB ＝14.4＋9.6＝24（m ）．答：铁塔的高度为24m ．7.如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．若标杆BE 的高为1.2m ，测得AB ＝1.6m ，BC ＝12.4m ，则楼高CD 为____m【分析】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【答案】10.5解答：解答：解：∵EB ∥CD ，∴△ABE ∽△ACD ， ∴CD BE AC AB =,即CD2.14.126.16.1=+ ∴CD ＝10.5（米）．故答案为10.5．8.小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为_____ m ．【答案】0.5【分析】本题考查的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x ，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．解答：解：设手臂竖直举起时总高度xm ，列方程得：1.185.07.1x =， 解得x ＝2.2，2.2−1.7＝0.5m ，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m ．9.雨过天晴，小明在操场上散步从正前方2米的水影中看到对面的国旗迎风飘扬，测得国旗离小明42米，小明眼睛里地面1.5米，则国旗高_____米【答案】30【分析】本题主要考察了相似三角形的相关性质 解答，解：22405.1-=国旗的高， 解得，国旗的高=30米10.如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，则电视塔的高ED ＝ ___米．【答案】11.2【分析】此题考查了相似三角形的应用，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可.本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．解：过A 点作AH ⊥ED ，交FC 于G ，交ED 于H ．由题意可得：△AFG ∽△AEH ，∴EHFG AH AG = 即EH6.12.3511-=+， 解得：EH ＝9.6．∴ED ＝9.6＋1.6＝11.2（米）．故答案为：11.2． 11.如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于_____ 米【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．解答：解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ， ∴GE EF CD BC =，即2.126.3=BC ， ∴BC ＝6，在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12，即树长AB 是12米．故答案为12．12. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为___米【答案】11.8【分析】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目。

2019-2020学年江苏省常州市天宁区正衡中学九年级下学期数学新课结束考一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．4的平方根是（ ）。

【A 】2【B 】-2【C 】±2【D 】2±【答案】C【分析】本题主要考查平方根的意义，正数的平方根有两个。

解：∵422=±）（， ∴4的平方根是±2，故选C2．下列运算正确的是（ ）【A 】52342a a =-）（ 【B 】222±=-）（【C 】1284m m m =•【D 】325x =-÷-）（）（x x 【答案】C【分析】本题主要考察算术平方根以及幂的运算.解：（A ）原式＝64a ，故A 不正确；（B ）原式＝2，故B 不正确；（D ）原式＝3x -，故D 不正确；故选：C3．如图所示的几何体，它的俯视图是( )【答案】D【分析】本题考察三视图，俯视图是从物体上面看所得到的图形.解：从几何体上面看，第一排有三个，第二排有一个，故选D.4．某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）【A 】18，18，1【B 】18，17.5，3【C 】18，18，3【D 】18，17.5，1【答案】A【分析】本题考查了众数、中位数和方差的定义.解：这组数据18出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是18； 把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（18＋18）÷2＝18，则中位数是18；这组数据的平均数是：（17×2＋18×3＋20）÷6＝18， 则方差是：61[2×（17−18）²＋3×（18−18）²＋（20−18）²]＝1； 故选：A ．5.如图，AF 是∠BAC 的平分线，DF ∥AC ，若∠1＝35°，则∠BAF 的度数为（ ）【A 】17.5°【B 】35°【C 】55°【D 】70°【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．解：∵DF ∥AC ，∴∠FAC ＝∠1＝35°，∵AF 是∠BAC 的平分线，∴∠BAF ＝∠FAC ＝35°，故选：B ．6．如图①是半径为2的半圆，点C 是弧AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ）【A 】π34 【B 】334-π 【C 】332π+ 【D 】3232π- 【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．解：连接OC 交MN 于点P ，连接OM 、ON ，由题意知，OC ⊥MN ，且OP ＝PC ＝1，在Rt △MOP 中，∵OM ＝2，OP ＝1，∴cos ∠POM ＝OP/OM ＝1/2，AC ＝322=-OP OM ， ∴∠POM ＝60°，MN ＝2MP ＝23，∴∠AOB ＝2∠AOC ＝120°，则图中阴影部分的面积＝S 半圆−2S 弓形MCN＝12×π×2²−2×（1322136021202⨯⨯-⨯π） ＝3232π-， 故选：D ．7．如图是二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （−3，0），对称轴为直线x ＝−1，给出以下结论：①abc ＜0；②b ²−4ac ＞0；③4b ＋c ＜0；④若B （−25，y1），C （21-，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤当−3≤x ≤1时，y ≥0，其中正确的结论个数是（ ）【B 】3【C 】4【D 】5【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系.考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝−ab 2＝−1， ∴b ＝2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b ²−4ac ＞0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（−3，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝-1，∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），∴当−3≤x ≤1时，y ≥0，所以⑤正确．∵x ＝1，y ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝−a −b ＝−a −2a ＝−3a ，∴4b ＋c ＝8a −3a ＝5a ＜0，所以③正确；∵点B （−25，y1）到直线x ＝−1的距离比点C （21 ，y2）到直线x ＝−1的距离大，∴y1＜y2，所以④错误．故②③⑤正确，正确个数有三个，故选B ．8、如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC ＋PF 的最小值为（ ）【B 】2132- 【C 】6 【D 】252+【答案】B【分析】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短，利用了全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆外一点到圆上一点的距离.解：如图：取点C 关于直线DA 的对称点C ′．以AB 中点O 为圆心，OA 为半径画半圆． 连接OC ′交DA 于点P ，交半圆O 于点F ，连AF ．连BF 并延长交DA 于点E ． 由以上作图可知，AF ⊥EB 于F ．PC ＋PF ＝PC'′＋EF ＝C'F由两点之间线段最短可知，此时PC ＋PF 最小．∵C'B'＝4，OB ′＝6∴C'O ＝1326422=+，∴C'F ＝2132-，∴PC ＋PF 的最小值为2132-，故选：B ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.分解因式a a 1643-=_____________【答案】)2)(2(4-+a a a【分析】本题考察了提公因式法和公式法分解因式.解：a a 1643-=)2)(2(4442-+=-a a a a a ）（10.如果一个多边形的每个外角都是40°，那么这个多边形的内角和是 °.【答案】1260°【分析】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n−2）•180°；也考查了n边形的外角和为360°．解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于40°，∴n＝360÷40＝9，∴这个多边形的内角和＝（9−2）×180°＝1260°．故答案为1260°．11.如果一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为 cm²．【答案】10【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S＝12•l•R，（l为弧长）．解：∵圆锥的底面半径为2cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•2＝4π，∴圆锥的侧面积＝1/2•4π•5＝10π（cm²）．故答案为：10π．12.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为．25【答案】8【分析】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．解：∵Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝522=+BC AB ，∵DE 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA ＝1/2AC ＝5/2，∠AOD ＝∠B ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C ，∴△AOD ∽△CBA ，∴AD/AC ＝OA/BC ，即AD/5＝2.5/4，解得AD ＝25/8． 故答案为：825．13.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A 经过点E 、B 、O ．C 且点O 为坐标原点，点C 在y 轴上，点E 在x 轴上，A （−3，2），则tan ∠OBC 的值为 .【答案】32 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．解：过A 作AM ⊥x 轴于M ，AN ⊥y 轴于N ，连接EC ，∵∠COE ＝90°，∴EC 是⊙A 的直径，即EC 过O ，∵A （−3，2），∴OM ＝3，ON ＝2，∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴AM∥OC，同理AN∥OE，∴N为OC中点，M为OE中点，∴OE＝2AN＝6，OC＝2AM＝4，∵∠OBC＝∠OEC，∴tan∠OBC＝tan∠OEC＝OC/OE＝3214.如图，点A在双曲线y=3x上，点B在双曲线y=kx(k≠0）上,AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD,则k的值为________．【答案】9【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF=OD,BF=OE，∴AB=DE，∵点A在双曲线y=3x 上，∴S_(矩形AFOD)=3，同理S_(矩形OEBF)=k，∵AB∥OD,∴ODAB=CDAC=12,∴AB=2OD,∴DE=2OD,∴S_(矩形OEBF)=3S_(矩形AFOD)=9，∴k=9，故答案是：9．15.二次函数y=2x 2-8x+m满足以下条件：当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的下方；当6<x<7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为________【答案】-24【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=- -82×2=2， ∴x=2和x=6时，函数值相等，∵当-2<x<-1时，它的图象位于x 轴的下方；当6<x<7时，它的图象位于x 轴的上方，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(-2,0),(6,0),把(-2,0)代入y=2x 2-8x+m 得8+16+m=0，解得m=-24．故答案为-24．16.如图，在等边△ABC 内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，过E 点作EH ⊥CD 于H ，则EH 的长为________【答案】15 78【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°,AB=AC ，∵将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，∴∠DAE=∠BAC=60°,AD=AE=5,CE=BD=6，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AD=5，设DH=x ，则CH=CD-DH=4-x,在Rt △DHE 中,EH 2+x 2=52,① 在Rt △CHE 中,EH 2+(4-x)2=62,② ②-①得16-8x=11，解得x=58,∴EH=52-⎝ ⎛⎭⎪⎫ 582=15 78．故答案为15 78．17.如图，直线y=3x,点A 1坐标为(1,0),过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1,以原点O 为圆心,OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2;再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2,以原点O 为圆心,OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3,…,按此做法进行下去，点A 2019的坐标为_______【答案】()22018,0,【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答【解答】解：由题意可得， 点A 1坐标为(1,0),点B 1的坐标为(1, 3), 点A 2坐标为(2,0),点B 2的坐标为(2,2 3), 点A 3坐标为(4,0),点B 3的坐标为(4,4 3), ……∴点A 2019的坐标为()22018,0,18.抛物线24y x ax b =-++（a ＞1）与x 轴相交于O 、A 两点（其中O 为坐标原点），过点P(2,2a)作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （其中B 、C 不重合），连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ．若AP ⊥PC,则a 的为_______【答案】a=2+ 2．【分析】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型． 【解答】解：∵AP ⊥PC, ∴∠APC=90°, ∵∠CPB+∠APM=90°,∠APM+∠PAM=90°,∴∠CPB=∠PAM, ∵∠PBC=∠PMA=90°, ∴△PCB ∽△APM, ∴PB AM =BC PM , ∴6a-44a-2=4a-42a, 整理得a 2-4a+2=0，解得a=2± 2,∵a>1, ∴a=2+ 2．三．解答题（共84分） 19. （8分）计算：（1）303|2|(3)2cos 45(3)π---++-o（2）2(3)(1)(2)x x x --+- 【答案】（1）4+222）511x -+ 【分析】本题考查了实数运算，代数式化简【解答】解：（1）(3)21231=||2cos 45(3)π=++---+⨯+=+++o（2）222(3)(1)(2)=692511x x x x x x x x --+--+-++=-+20.（8分）（1）解方程：32833x x x -=-（2）解不等式组：341312x xx x ⎧-≤⎪⎨+>-⎪⎩【答案】（1）（2）【分析】本题考查了解分式方程，解不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键【解答】（1）解：去分母得：3x-9=2-8x ， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．（2）34①131②2x x x x ⎧-≤⎪⎨+>-⎪⎩ 解不等式1得，x ≤2 解不等式2的，x ＞-8所以原不等式组的解集是-8＜x ≤2【解答】解：（1）列表如下：622、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．（1）求证：△BAE≅△DCF；（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【答案】见解答【分析】本题考查了全等三角形的性质定理，平行四边形的性质。

2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级数学图形的相似复习11 1．若43=x y ，则x y x +的值为（ ） 【B 】74 【C 】45 【D 】472．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a=9cm ，b=4cm ，则线段c 长（ ）【A 】18cm【B 】5cm【C 】6cm【D 】±6cm3．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP >PB ),AB =4,那么AP 的长是()【A 】2-52【B 】5-2【C 】1-52【D 】2-54．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP~△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）【A 】∠ABP=∠C【B 】∠APB=∠ABC【C 】AB AP =ACAB【D 】BP AB =CBAC5．如果两个相似三角形的面积比是1:4,那么它们的周长比是( )【A 】1：16【B 】1：6【C 】1：4【D 】1：26．如图,在平行四边形ABCD 中,EF ∥AB 交AD 于E ,交BD 于F ,DE :EA =3:4,EF =3,则CD 的长为( )【A 】4【B 】7【C 】3【D 】127．如图,△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形,相似比为1:2, ∠OCD =90°,CO =CD .若B (1,0),则点C 的坐标为()【A 】（1，2）【B 】（1，1）【C 】（2，2）【D 】（2，1）8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）【A】1【B】2【C】3【D】49．如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于()【A】4.5米【B】6米【C】7，2米【D】8米10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）【A】2【B】2.5或3.5【C】3.5或4.5【D】2或3.5或4.5二、填空题11.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是________千米．12. 如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝_______．13. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．14. 如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH＝3，则点A 到BC的距离为________．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，树高A B=_______．16. 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC ＝8，AD＝6，当AP的长度为_______时，△ADP和△ABC相似．17.如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足23AOAB=，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝_____．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②AB：DE＝AG：DF；③23ABG FGHS S∆∆＝；④AG＋DF＝FG．其中正确的是________．（填写正确结论的序号）三、解答题19.如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且 AD CD CD BD＝ （1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小．20、如图，一位同学想利用树影测量树高（AB ），他在某一时刻测得高为1m 的竹竿影长为0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD ），他先测得留在墙上的影高（CD ）为1.2m ，又测得地面部分的影长（BC ）为2.7m ，他测得的树高应为多少米？21、如图，点A （1，4）、B （2，a ）在函数xm y （x ＞0）的图象上，直线AB 与x 轴相交于点C ，AD ⊥x 轴于点D ．（1）m ＝ .（2）求点C 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点E ，使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．22、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．23、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1【答案】D2【答案】C3【答案】A4【答案】D5【答案】D6【答案】B7【答案】B8【答案】B9【答案】B10【答案】D二、填空11【答案】3412【答案】1513【答案】（9，0）14【答案】915【答案】5.5m16【答案】4或917【答案】818【答案】①③④三、解答题19【答案】（1）△ACD ∽△CBD （2）∠ACB ＝90°【解答】（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∵ (AD )/(CD )＝ (CD )/(BD )．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．20【答案】4.2米解：设墙上的影高CD 落在地面上时的长度为xm ，树高为hm ，∵某一时刻测得长为1m 的竹竿影长为0.9m ，墙上的影高CD 为1.2m ， ∴x2.19.01=，解得x ＝1.08（m ）， ∴树的影长为：1.08＋2.7＝3.78（m ）， ∴78.39.01h =，解得h ＝4.2（m ）． 答：测得的树高为4.2米．21【答案】（1）4（2）C(3,0)（3）E(2,0)解：（1）∵点A （1，4）在反比例函数xm y =（x ＞0）的图象上， ∴m ＝1×4＝4，故答案为：4．（2）∵点B （2，a ）在反比例函数x y 4=的图象上， ∴a ＝24＝2， ∴B （2，2）．设过点A 、B 的直线的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 224，解得：⎩⎨⎧=-=62b k∴过点A 、B 的直线的解析式为y ＝−2x ＋6．当y ＝0时，有−2x ＋6＝0，解得：x ＝3，∴点C 的坐标为（3，0）．（3）假设存在，设点E 的坐标为（n ，0）．①当∠ABE ＝90°时（如图2所示），∵A （1，4），B （2，2），C （3，0） ∴B 是AC 的中点，∴EB 垂直平分AC ，EA ＝EC ＝3−n ．由勾股定理得：222AE DE AD =+，即222)3()1(4n n -=-+，解得：n ＝−2，此时点E 的坐标为（−2，0）；②当∠BAE ＝90°时，∠ABE ＞∠ACD ，故△EBA 与△ACD 不可能相似；③当∠AEB ＝90°时，∵A （1，4），B （2，2），∴AB ＝5,2＞25 ∴以AB 为直径作圆与x 轴无交点（如图3），∴不存在∠AEB ＝90°．综上可知：在x 轴上存在点E ，使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△ACD 相似，点E 的坐标为（−2，0）．22 【答案】见解析解：（1）证明：∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝∠DOA ＝90°，∴∠DOB ＝∠ACB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△DOB ∽△ACB ；（2）解：∵∠ACB ＝90°，∴AB ＝10862222=+=+BC AC∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DO ⊥AB ，∴DC ＝DO ，在Rt △ACD 和Rt △AOD 中，⎩⎨⎧==DODC AD AD ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AOD （HL ），∴AC ＝AO ＝6，设BD ＝x ，则DC ＝DO ＝8−x ，OB ＝AB −AO ＝4， 在Rt △BOD 中，根据勾股定理得：222BD OB DO =+， 即2224)8(x x =+-，解得：x ＝5，∴BD 的长为5；（3）解：∵点B ′与点B 关于直线DO 对称， ∴∠B ＝∠OB ′D ，BO ＝B ′O ，BD ＝B ′D ，∵∠B 为锐角，∴∠OB ′D 也为锐角，∴∠AB ′D 为钝角，∴当△AB ′D 为等腰三角形时，AB ′＝DB ′，∵△DOB ∽△ACB ，∴54108===AB BC BD OB ， 设BD ＝5x ，则AB ′＝DB ′＝5x ，BO ＝B ′O ＝4x ，∵AB ′＋B ′O ＋BO ＝AB ，∴5x ＋4x ＋4x ＝10，解得：x ＝1310，∴BD ＝1350．23【答案】见解析：解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ， ∴AC ＝10，①当AP ＝PO ＝t ，如图1，过P 作PM ⊥AO ，∴AM ＝21AO ＝25， ∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°，∠PAM ＝∠CAD ，∴△APM ∽△ACD ， ∴AD AM AC AP =，∴AP ＝t ＝825， ②当AP ＝AO ＝t ＝5，∴当t 为825或5时，△AOP 是等腰三角形； （2）过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH ＝21CD ＝21AB ＝3cm ． 由矩形的性质可知∠PDO ＝∠EBO ，DO ＝BO ，又得∠DOP ＝∠BOE ，∴△DOP ≌BOE ，∴BE ＝PD ＝8−t ，则S △BOE ＝21BE •OH ＝21×3（8−t ）＝12−23t ． ∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，相似比为DC DQ ＝6t ， ∴362DOC △DFQ △t S S = ∵2ABCD △DOC 12864141cm S S =⨯⨯==矩形， ∴S △DFQ ＝12×33622t t = ∴S 五边形OECQF ＝S △DBC −S △BOE −S △DFQ ＝21×6×8−（12−23t ）−32t ＝1223312++-t t ；∴S 与t 的函数关系式为S ＝1223312++-t t ；（3）存在，∵S △ACD ＝12×6×8＝24，∴S 五边形OECQF ：S △ACD ＝（1223312++-t t ）：24＝9：16， 解得t ＝3，或t ＝23， ∴t ＝3或23时，S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9：16；（4）如图3，过D 作DM ⊥PE 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵∠POD ＝∠COD ，∴DM ＝DN ＝524，∴ON ＝OM ＝5722=-DN OD ∵OP •DM ＝3PD ，∴OP ＝5−t 85，∴PM ＝t 85518-， ∵222DM PM PD +=， ∴222)524()85518()8(+-=-t t ， 解得：t ＝16（不合题意，舍去），t ＝39112， ∴当t ＝39112时，OD 平分∠COP ．。

2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学九年级数学图形的相似复习11【B 】74 【C 】45 【D 】472．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a=9cm ，b=4cm ，则线段c 长（ ）【A 】18cm【B 】5cm【C 】6cm【D 】±6cm【答案】C【分析】本题考查了比例中项。

由c 是a 、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c 的长，注意线段不能为负．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积。

所以942⨯=c ，解得6±=c （线段是正数，负值舍去）。

3．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP >PB ),AB =4,那么AP 的长是()【A【B【C【D【答案】A【分析】本题考查了黄金分割的定义。

根据黄金分割点的定义，知AP是较长线5．如果两个相似三角形的面积比是1:4,那么它们的周长比是( )【A】1：16【B】1：6【C】1：4【D】1：2【答案】 D【分析】本题考差了相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．解：∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴两个相似三角形的相似比是1:2，∴两个相似三角形的周长比是1:2，故选：D.6．如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为()【A】4【B】7【C】3【D】127．如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为()【A】（1，2）【B】（1，1）【C】（2，2）【D】（2，1）【答案】B【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，ky），进而求出即可．8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）【A】1【B】2【C】3【D】4【答案】B【分析】本题考察了相似三角形的性质与判定，利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB:BD=AE:EF.同理：△CDF∽△EAF，∴CD:CF=AE:EF，∴AB:BD=CD:CF，即9:3=(9−3):CF，∴CF=2.故选：B.9．如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于()【A】4.5米【B】6米【C】7，2米【D】8米10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）【A】2【B】2.5或3.5【C】3.5或4.5【D】2或3.5或4.5【答案】D【分析】1、分析已知条件，根据∠ABC的度数和BC的长度即可求出AB的长度，想一想△BDE是直角三角形有哪些情况？2、当0≤t＜4时时,可分为∠EDB=90°和∠DEB=90°两种情形，当∠EDB=90°时，如图2，根据D是BC的中点即可得到E是AB的中点，从而求出此时t的值；3、当∠DEB=90°时，由∠ABC的度数和BD的长度即可求出BE的长度，再根据路程、速度和时间的关系即可求出此时t的值；二、填空题11.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是________千米．【答案】34【分析】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换【解答】解：根据题意，3.4÷11000000＝3400000厘米＝34千米．即实际距离是34千米．12. 如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝_______．【答案】15【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．【解答】解：∵：l1∥l2∥l3，∴(AB)/(BC)＝(DE)/(EF)，∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15，故答案为：15．13. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．【答案】（9，0）【分析】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．14. 如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH＝3，则点A 到BC的距离为________．【答案】9【分析】本题主要考查了作辅助线，重心的特点，全等三角形的性质，难度适中．【解答】解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD＝3：1，∵GH⊥BC，∴△ADE∽△GDH，∴AD：GD＝AE：GH＝3：1，∴AE＝3GH＝3×3＝9，故答案为9．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝40cm ，EF ＝20cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，树高A B=_______．【答案】5.5m【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键【解答】解：在△DEF 和△DBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠D ∠DEF ＝∠DCB， ∴△DEF ∽△DBC ， ∴ DE CD EF BC ＝，即 40820BC=， 解得BC ＝4，∵AC ＝1.5m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5m ，即树高5.5m ．16. 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为_______时，△ADP 和△ABC 相似．【答案】4或9【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键【解答】解：当△ADP ∽△ACB 时， ∴ AP AD AB AC＝ ， ∴8 126AP ＝， 解得：AP ＝9，当△ADP ∽△ABC 时，∴ AD AP AB AC＝， ∴12 68AP ＝， 解得：AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似17.17.如图，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足23AO AB =，与BC 交于点D ，S △BOD ＝21，求k ＝_____．【答案】8【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注【解答】解：过A 作AE ⊥x 轴于点E ．∵OAE OCD S S ∆∆＝，∴S (四边形AECB )＝S (△BOD )＝21，∵AE ∥BC ，∴△OAE ∽△OBC ，∴ 24 25OAE OAE OBC OAE AECB S S AO S S S OB ∆∆∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭四边形＝＝＝＋， ∴S _(△OAE )＝4，则k ＝8．故答案是：8．18.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②AB ：DE ＝AG ：DF ；③23ABG FGH S S ∆∆＝；④AG ＋DF ＝FG ．其中正确的是________．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质【解答】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF ＋∠FBG ＝12∠CBF ＋ 12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，8AF ，∴DF ＝AD －AF ＝10－8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8－x ，HF ＝BF －BH ＝10－6＝4，在Rt △GFH 中，∵222GH HF GF +=，∴x 2＋42＝（8－x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD ＋∠AFB ＝90°，而∠AFB ＋∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴ AB AG DF DE＝， 所以②错误．∵S _(△ABG )＝12×6×3＝9，S _(△GHF )＝12×3×4＝6， ∴23ABG FGH S S ∆∆＝．所以③正确． 故答案为：①③④．三、解答题19.如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且 AD CD CD BD ＝（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【答案】（1）△ACD∽△CBD （2）∠ACB＝90°【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵(AD)/(CD)＝(CD)/(BD)．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．20、如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【答案】4.2米【分析】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，∴x2.19.01=，解得x ＝1.08（m ）， ∴树的影长为：1.08＋2.7＝3.78（m ）， ∴78.39.01h =，解得h ＝4.2（m ）． 答：测得的树高为4.2米．21、如图，点A （1，4）、B （2，a ）在函数xm y =（x ＞0）的图象上，直线AB 与x 轴相交于点C ，AD ⊥x 轴于点D ．（1）m ＝ .（2）求点C 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点E ，使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）4（2）C(3,0)（3）E(2,0)【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m 值；（2）根据待定系数法求出直线AB 的解析式；（3）分∠ABE ＝90°、∠BAE ＝90°以及∠AEB ＝90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．解：（1）∵点A （1，4）在反比例函数xm y =（x ＞0）的图象上， ∴m ＝1×4＝4，故答案为：4．（2）∵点B （2，a ）在反比例函数xy 4=的图象上，∴a ＝24＝2， ∴B （2，2）．设过点A 、B 的直线的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 224，解得：⎩⎨⎧=-=62b k∴过点A 、B 的直线的解析式为y ＝−2x ＋6．当y ＝0时，有−2x ＋6＝0，解得：x ＝3，∴点C 的坐标为（3，0）．（3）假设存在，设点E 的坐标为（n ，0）．①当∠ABE ＝90°时（如图2所示），∵A （1，4），B （2，2），C （3，0） ∴B 是AC 的中点，∴EB 垂直平分AC ，EA ＝EC ＝3−n ．由勾股定理得：222AE DE AD =+，即222)3()1(4n n -=-+，解得：n ＝−2，此时点E 的坐标为（−2，0）；②当∠BAE ＝90°时，∠ABE ＞∠ACD ，故△EBA 与△ACD 不可能相似；③当∠AEB ＝90°时，∵A （1，4），B （2，2），∴AB ＝5,2＞25 ∴以AB 为直径作圆与x 轴无交点（如图3），∴不存在∠AEB ＝90°．综上可知：在x 轴上存在点E ，使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△ACD 相似，点E 的坐标为（−2，0）．22、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B ′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB ′，AD ．（1）求证：△DOB ∽△ACB ；（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；（3）当△AB ′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．【答案】见解析【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果． 解：（1）证明：∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝∠DOA ＝90°，∴∠DOB ＝∠ACB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△DOB ∽△ACB ；（2）解：∵∠ACB ＝90°，∴AB ＝10862222=+=+BC AC∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DO ⊥AB ，∴DC ＝DO ，在Rt △ACD 和Rt △AOD 中，⎩⎨⎧==DO DC AD AD ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AOD （HL ），∴AC ＝AO ＝6，设BD ＝x ，则DC ＝DO ＝8−x ，OB ＝AB −AO ＝4，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得：222BD OB DO =+，即2224)8(x x =+-，解得：x ＝5，∴BD 的长为5；（3）解：∵点B ′与点B 关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB ′D ，BO ＝B ′O ，BD ＝B ′D ，∵∠B 为锐角，∴∠OB ′D 也为锐角，∴∠AB ′D 为钝角，∴当△AB ′D 为等腰三角形时，AB ′＝DB ′，∵△DOB ∽△ACB ，∴54108===AB BC BD OB ， 设BD ＝5x ，则AB ′＝DB ′＝5x ，BO ＝B ′O ＝4x ，∵AB ′＋B ′O ＋BO ＝AB ，∴5x ＋4x ＋4x ＝10，解得：x ＝1310，∴BD ＝1350． 23、已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，对角线AC ，BD 交于点O ．点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9：16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．． 解：解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10，①当AP ＝PO ＝t ，如图1，过P 作PM ⊥AO ，∴AM ＝21AO ＝25， ∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°，∠PAM ＝∠CAD ，∴△APM ∽△ACD ， ∴AD AM AC AP =，∴AP ＝t ＝825，②当AP ＝AO ＝t ＝5，∴当t 为825或5时，△AOP 是等腰三角形； （2）过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH ＝21CD ＝21AB ＝3cm ． 由矩形的性质可知∠PDO ＝∠EBO ，DO ＝BO ，又得∠DOP ＝∠BOE ，∴△DOP ≌BOE ，∴BE ＝PD ＝8−t ，则S △BOE ＝21BE •OH ＝21×3（8−t ）＝12−23t ．∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，相似比为DC DQ ＝6t ， ∴362DOC △DFQ △t S S = ∵2ABCD △DOC 12864141cm S S =⨯⨯==矩形， ∴S △DFQ ＝12×33622t t = ∴S 五边形OECQF ＝S △DBC −S △BOE −S △DFQ ＝21×6×8−（12−23t ）−32t ＝1223312++-t t ；∴S 与t 的函数关系式为S ＝1223312++-t t ；（3）存在，∵S △ACD ＝12×6×8＝24，∴S 五边形OECQF ：S △ACD ＝（1223312++-t t ）：24＝9：16， 解得t ＝3，或t ＝23， ∴t ＝3或23时，S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9：16；（4）如图3，过D 作DM ⊥PE 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵∠POD ＝∠COD ，∴DM ＝DN ＝524，∴ON ＝OM ＝5722=-DN OD ∵OP •DM ＝3PD ，∴OP ＝5−t 85，∴PM ＝t 85518-， ∵222DM PM PD +=，∴222)524()85518()8(+-=-t t ， 解得：t ＝16（不合题意，舍去），t ＝39112， ∴当t ＝39112时，OD 平分∠COP ．。